경우의 수
순열과 조합 - 순열의 활용
순열에서 가장 중요한 건 뽑는 순서에 따라 결과가 달라진다는 거예요. 그래서 뽑는 순서가 중요한지 아니면 중요하지 않은지를 잘 구별해야 해요.
문제에 따라서 한 개의 순열로 답을 구할 수 있는 경우도 있고, 여러 개의 순열을 구하여 계산해야 답을 얻을 수 있는 경우도 있어요. 또, 순열이 아니라 그냥 경우의 수를 구해야 하는 경우도 있고요.
어떤 유형에서 어떤 순서를 구할 때 순열을 쓸 것인지, 또 여러 개의 순열을 구해야 하는지를 잘 비교해 보세요.
유형이 많아서 다 다루지는 않고 간단한 것 몇 가지만 해보죠.
순열의 활용
0, 1, 2, 3, 4의 숫자가 적힌 숫자카드 다섯 장 중에서 세 장을 꺼내어 세 자리 자연수를 만들려고 한다. 경우의 수를 구하여라.
세 자리 자연수니까 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 구성할 세 장의 카드가 필요해요. 다섯 장중의 세 장을 뽑는 거니까 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60일 것 같죠?
그런데 백의 자리가 0이 되면 세 자리 자연수가 아니죠? 따라서 백의 자리는 0이 올 수 없어요. 백의 자리에 올 수 있는 숫자 카드는 1, 2, 3, 4중 하나니까 경우의 수는 4죠?
십의 자리, 일의 자리에 올 카드 두 장을 뽑아야 하는데 백의 자리에서 한 장을 뽑았으니까 남은 카드는 0을 포함한 네 장이에요. 네 장의 카드에서 두 장을 순서대로 뽑아야 하니까 4P2 = 4 × 3 = 12가지예요.
백의 자리 숫자 카드를 뽑는 경우와 십의 자리, 일의 자리 숫자 카드를 뽑는 사건이 둘 다 동시에 일어나야 하니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야겠네요.
세 자리 자연수를 만드는 경우의 수
= (백의 자리 카드를 뽑는 경우의 수) × (십의 자리, 일의 자리 카드를 뽑는 경우의 수)
= 4 × 4P2= 4 × 12= 48
숫자 유형에서는 첫 번째 자리에 0이 올 수 없다는 걸 주의해야 해요.
SM엔터테인먼트 회사에서 회식하기로 했다. 바쁜 일정 때문에 모든 그룹이 참여하지는 못하고 소녀시대 9명, f(x) 5명, 샤이니 5명, EXO 12명이 참여하였다. 같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃하여 앉을 때, 테이블에 앉은 방법의 수를 구하여라.
같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃해서 앉아야 하니까 소녀시대는 소녀시대끼리 샤이니는 샤이니끼리 앉아야 해요.
예를 들어 (소녀시대), (샤이니), (f(x)), (EXO) 이런 식으로 앉을 수도 있고 (소녀시대), (EXO), (샤이니), (f(x)) 이런 식으로 앉을 수도 있죠? 즉 네 그룹이 서로 순서를 바꿔서 앉을 수 있어요. 그러니까 그룹이 앉는 방법의 수는 4P4죠.
그런데 소녀시대 그룹 안에서도 멤버 9명이 자리를 앉는 방법이 있어요. 9명 멤버 모두가 순서대로 앉는 거니까 9P9죠. f(x)도 샤이니도 EXO도 각 그룹 안에서 멤버들이 앉는 방법이 있고요. 5P5, 5P5, 12P12가 될 거예요.
그룹이 앉는 것, 각 그룹의 멤버들이 앉는 건 모두 동시에 일어나니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야 해요.
따라서 답은 4P4 × 9P9 × 5P5 × 5P5 × 12P12 = 4! × 9! × 5! × 5! × 12! 이에요.
숫자가 너무 크니까 계산은 하지 않을게요.
여기서 가장 중요한 건 이웃해야 하는 것들을 하나의 묶음으로 보는 거예요. 각 그룹의 멤버들끼리 이웃해서 앉는 거니까 각 그룹을 하나의 묶음으로 보는 거지요. 그 묶음들을 배치하는 경우의 수를 구해요. 그리고 각 묶음 안에서 자리 배치를 하는 경우의 수를 구하는 거죠. 묶음을 배치하는 것과 묶음 안에서 배치하는 건 동시에 일어나는 사건이니까 이 두 개를 곱해요.
이웃하는 경우의 수를 구하는 순서예요.
- 이웃하는 것을 하나의 그룹으로 묶어서 계산
- (묶음을 배치하는 순열) × (각 묶음 안에서 구성원을 배치하는 순열)
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행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기
그래프와 행렬의 관계에 대해서 알아보죠.
그래프를 행렬로 바꿔볼 거예요. 그래프를 행렬로 바꿨을 때 행렬이 그래프의 특징들을 잘 드러내는지도 알아볼 거예요. 행렬이 나타내는 그래프의 특징을 보고 그래프를 예상할 수 있어야 해요.
정말 어려울 것 같지만 따지고 보면 별거 아닌 내용이에요.
행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기
다음과 같은 그래프가 있다고 해보죠.
한 점이 다른 점과 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0이라고 써서 표로 나타내 보죠. 예를 들어 A는 B와 변으로 연결되어 있으니까 1, D와는 변으로 연결되어 있지 않으니까 0이라고 쓰는 거예요.
| A | B | C | D | |
| A | 0 | 1 | 1 | 0 |
| B | 1 | 0 | 1 | 0 |
| C | 1 | 1 | 0 | 1 |
| D | 0 | 0 | 1 | 0 |
이번에는 이 표를 행렬로 나타내보죠.
4차 정사각형렬이네요. (꼭짓점의 개수) × (꼭짓점의 개수) 행렬이죠.
이 행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 그어지는 대각선에 대해서 대칭이에요. A와 B가 변으로 연결되어 있으면 B와 A도 연결되어 있어서 같은 값을 가지니까요.
행렬의 성분으로 표현하자면 (i, j)의 성분 = (j, i)의 성분이 되는 거예요.
반대로 행렬만 보고 그래프의 특징을 알아낼 수 있나요?
예를 들어 이 행렬은 4차 정사각행렬이에요. 꼭짓점이 4개 있다는 뜻이에요.
변의 개수를 알 수 있을까요? 변은 꼭짓점과 꼭짓점을 연결한 선이에요. 행렬에서 1이 의미하는 건 두 꼭짓점 사이가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠? 그래서 행렬에 있는 1을 모두 더하면 돼요. 하지만 AB와 BA를 모두 1로 나타냈으니까 중복되는 걸 빼려면 행렬에서 1을 모두 더한 값을 2로 나눠줘야 하죠.
변의 개수 = (행렬의 모든 성분의 합) ÷ 2
한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점에 연결된 변의 개수도 구할 수 있어요. 행렬에서 1은 다른 꼭짓점과 연결되었는지를 나타내는 거니까 A에서 다른 꼭짓점으로 연결된 변의 개수는 A가 있는 제 1 행의 모든 성분을 다 더한 값과 같아요.
꼭짓점에 연결된 변의 개수 = 해당 꼭짓점이 나타내는 행(또는 열)의 모든 성분의 합
A에 연결된 변의 개수는 A를 나타내는 제 1 행 (또는 제 1 열)의 성분을 모두 더한 2가 되는 거죠.
행렬의 성분과 경우의 수
행렬을 P라고 해볼게요.
P =
p12 = 1이 의미하는 건 A와 B가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠.
P를 제곱했더니 위와 같은 행렬이 만들어졌어요. P는 두 꼭짓점이 서로 변으로 연결되어 있는지 아닌지를 나타내요. 즉 1이면 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 하나만 지나는 된다는 걸 말하죠. P2은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 두 번 지나면 된다는 걸 의미해요. 여기서는 1이 아닌 2, 3이라는 숫자도 있죠? 이건 경우의 수를 말해요.
p11 = 2죠? A에서 변을 두 개 지나서 A로 오는 방법이 두 가지가 있다는 얘기예요. A - B - A, A - C - A의 두 가지예요.
p21 = 1이죠? B에서 변을 두 개 지나서 A로 가는 방법이 한 가지가 있다는 얘기예요. B - C - A뿐이네요.
Pn의 pij = k (n, k는 자연수)
→ i에서 n개의 변을 지나서 j로 가는 방법은 k가지이다.
그래프와 행렬 1 - 그래프에서 경로에는 한 번 지나간 변은 다시 지나지 않는 것으로 한다고 했는데 행렬에서는 한 번 더 지나는 것도 포함된다는 차이가 있어요.
다음 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 그래프를 행렬로 나타내어라.
(2) A에서 변을 두 개 지나서 B까지 가는 방법의 수를 구하여라.
표 그리는 건 그냥 생략하고 바로 행렬를 나타내보죠. 두 점이 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0을 넣어요.
(2) A에서 B까지 변을 두 개 지난다고 했으니까 행렬을 제곱해야겠네요.
A에서 B까지 이동하는 걸 나타내는 성분은 1행 2열의 성분이니까 2이네요. A - C - B, A - D - B의 두 가지 방법이 있어요.
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순열과 조합 - 순열이란
순열과 조합은 경우의 수 공식 - 대표 뽑기에서 했던 건데 조금 더 자세히 알아볼게요. 순열과 조합은 조금 어려운 내용이라서 공부하기 힘들 거예요. 계산 자체가 어렵다기보다는 순열인지 조합인지 판단하기가 상당히 모호해요. 잘 구별해야 합니다.
어렵긴 하지만 양이 많지는 않으니까 금방 지나가요. 순열은 순서가 중요하고 조합은 순서가 중요하지 않다는 차이만 확실히 이해하시면 돼요.
순열
1부터 5까지 적힌 카드가 한 장씩 있다고 해보죠. 이 중 세 장을 뽑아서 세 자리 숫자를 만드는 방법의 경우의 수를 구해볼까요?
- 백의 자리 카드를 뽑을 때는 1 ~ 5중 한 장을 뽑을 수 있어요. 총 다섯 가지
- 십의 자리 카드를 뽑을 때는 ① 뽑은 카드를 제외한 네 장중 하나를 뽑을 수 있어요. 네 가지
- 일의 자리 카드를 뽑을 때는 ①, ②에서 뽑은 카드를 제외한 세 장중에서 하나를 뽑을 수 있어요. 세 가지
연달아 일어나는 사건이므로 곱의 법칙을 이용하면 다섯 장의 카드 중 세 장의 카드를 뽑아서 숫자를 만드는 방법은 5 × 4 × 3 = 60가지예요.
위 예에서 카드를 뽑아서 순서대로 놓았죠? 바로 이런 걸 순열이라고 해요. 이름 그대로 순서대로 뽑아서 줄을 세우는 걸 순열이라고 하지요.
순열을 기호로 나타낼 때는 순열을 뜻하는 영어 Permutation의 첫 글자 P를 이용해요. n개 중에서 r개를 뽑아서 줄을 세우는 걸 nPr이라고 합니다. 엔피알이라고 읽으세요. P는 대문자로 쓰고 n과 r은 소문자로 쓰는데 크기를 조금 작게 써요.
총 다섯 장의 카드 중에서 세 장을 뽑는 건 5P3이라고 쓰고 오피삼이라고 읽는 거죠.
n가지 중에서 r개를 뽑아 줄을 세우는 경우를 볼까요?
- 첫 번째로 뽑을 때는 n개 중 한 개를 뽑을 수 있어요. n가지
- 두 번째로 뽑을 때는 ①에서 뽑은 한 개를 제외한 (n - 1) 개중 하나를 뽑을 수 있어요. (n - 1)가지
- 세 번째로 뽑을 때는 ①, ②에서 뽑은 걸 제외한 (n - 2) 개중에서 하나를 뽑을 수 있어요. (n - 2) 가지
그럼 r번째로 뽑을 때는 어떨까요? r번째로 뽑을 때는 ①, ②, …, (r - 1)에서 뽑은 걸 제외한 n - (r - 1)개 중에서 하나를 뽑을 수 있어요. n - (r - 1)가지가 되지요.
여기서 r은 개수에요. 그러니까 당연히 0보다 커야겠죠? 그리고 n개 중에서 뽑는 거니까 n보다 클 수는 없어요. n보다 작거나 같지요. 0 < r ≤ n
서로 다른 n개에서 r개를 순서대로 고르는 순열의 수는
(단, 0 < r ≤ n)
nPr은 n부터 1씩 줄여가면서 r개의 숫자를 곱해서 구할 수 있어요.
(n + 1)P3 = 24을 만족하는 n을 구하여라.
(n + 1)P3 = 24
(n + 1)n(n - 1) = 24
n(n2 - 1) = 24
n3 - n - 24 = 0
n에 관한 삼차방정식에요. 조립제법을 이용해서 해를 구해보면 n = 3이 나오네요.
무한도전 일곱 멤버(박명수, 정준하, 유재석, 정형돈, 길, 노홍철, 하하)의 자리 배치를 다시 하려고 한다. 유재석이 가운데인 네 번째 자리에 오도록 자리를 배치할 때 경우의 수를 구하여라.
유재석이 네 번째에 고정되어야 하는군요.
부분집합의 개수를 구할 때 특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 어떻게 구했나요? 그 원소를 뺀 나머지 원소들의 부분집합을 구한 다음에 거기에 특정 원소를 집어넣으면 되는 거였어요. 즉, 특정 원소를 포함한 부분집합의 개수 = 특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수였었죠?
마찬가지로 유재석을 뺀 나머지 여섯 명의 자리 배치를 한 후에 네 번째 자리에 유재석을 끼워 넣고 나머지를 한 자리씩 뒤로 미루면 돼요. 유재석이 없을 때의 경우의 수와 같다는 거지요.
유재석을 뺀 나머지 6명의 자리 배치를 해볼까요? 6명 중에서 6명을 모두 뽑아야 해요. 뽑고 싶지 않은 멤버가 있어도 하차시키지 말고 다 뽑아야 해요.
6명의 멤버 중 6명을 순서대로 뽑아서 줄을 세우는 거니까 6P6이네요. 6부터 1씩 줄이면서 6개의 숫자를 곱하는 거지요.
6P6 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
720가지 방법이 있군요. 자리분양 특집 한 번 더 해야겠어요.
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합의 법칙, 곱의 법칙은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 공부했었어요. 물론 기억나지 않겠지만요.
합의 법칙, 곱의 법칙은 경우의 수를 구하는 방법이에요. 이 과정을 집합과 관련지어서 생각하면 조금 더 쉽게 답을 구할 수 있어요. 이 글에서는 어떤 관련이 있는지를 알아볼 거예요. 집합 원소의 개수를 이용해서 구하는 거니까 내용이 어렵지 않아요.
그리고 합의 법칙을 사용하는 경우와 곱의 법칙을 사용하는 경우를 잘 비교해보세요.
합의 법칙
합의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 더해서 구하는 거예요.
사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 m + n이죠.
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수이므로 둘 중 하나만 일어나면 되는 사건이에요.
합의 법칙은 집합을 이용해서 나타낼 수 있어요. 사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 할 수 있는 거죠.
이때, 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 n(A + B)가 아니라 n(A ∪ B)에요. 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우는 n(A ∩ B)고요.
두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 구하여라.
주사위의 눈금은 1 ~ 6까지 있어요. 두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3의 배수인 사건을 A, 눈금의 합이 2의 배수인 사건은 B라고 해보죠.
눈금의 합이 3의 배수인 사건 A가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 3일 때: (1, 2), (2, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 9일 때: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
두 눈금의 합이 12일 때:(6, 6)
눈금의 합이 2의 배수인 사건 B가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 2일 때: (1, 1)
두 눈금의 합이 4일 때: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 8일 때: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
두 눈금의 합이 10일 때: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
두 눈금의 합이 12일 때: (6, 6)
n(A) = 12, n(B) = 18에요.
두 눈금의 합이 6, 12일 때는 양쪽 사건 모두에 있네요. n(A ∩ B) = 6
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 12 + 18 - 6 = 24
곱의 법칙
곱의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 곱해서 구하는 거예요. 동시에라는 말은 시간적 의미의 동시라는 뜻도 있지만 잇달아서 연달아서 일어나는 사건을 나타내요.
두 개의 주사위를 한꺼번에 던지는 예도 있지만 한 개를 먼저 던지고 다른 하나를 나중에 던지는 경우도 포함해요. 연속해서 던지는 경우니까요. 또는 한 개의 주사위를 한 번 던지고 다시 집어서 던지는 경우도 포함하죠. 잇달아 던지는 거잖아요.
사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어날 경우의 수는 m × n이죠.
곱의 법칙도 집합으로 나타내보죠.
사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 한다면 사건 A와 사건 B가 연달아 일어날 확률은 n(A) × n(B)에요.
두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 구하여라.
A 주사위를 던져서 3의 배수가 나올 경우의 수: 3, 6
B 주사위를 던져서 2의 배수가 나올 경우의 수: 2, 4, 6
n(A) × n(B) = 2 × 3 = 6
합의 법칙, 곱의 법칙 구별
곱의 법칙은 동시에 일어나는 사건에 적용해요. 여기서 동시에란 연속해서, 잇달아 일어나는 사건이에요. 별개의 두 사건이 모두 발생한다는 거죠. 합의 법칙은 별개의 두 사건이 있는 경우에 둘 다 일어나지 않아도 상관없어요.
두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 보세요. 주사위 눈금의 합이 3의 배수인 사건과 2의 배수인 사건 두 개의 사건이 일어날 수 있어요. 그런데 눈금의 합이 3의 배수인 사건만 일어나도 이 경우에는 유효해요. 반대로 눈금의 합이 2의 배수인 사건만 일어나도 유효한 거죠. 그래서 이 사건은 합의 법칙으로 경우의 수를 구해요.
두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 보세요. A 주사위 눈금이 3의 배수인 사건만 발생해서는 유효하지 않죠? B 주사위의 눈금이 2의 배수인 사건까지 일어나야 유효해요. 두 사건 A, B가 모두 일어나야 유효하니까 이 경우에는 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.
"동시에"라는 개념이 상당이 애매한데요. 시간적 의미의 동시라기보다는 "사건이 모두 발생한다"라는 의미로 이해하세요.
합의 법칙: 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때, 두 사건이 모두 일어나지 않아도 상관없을 때
곱의 법칙: 두 사건이 동시에 일어날 때, 두 사건이 모두 일어나야 할 때
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경우의 수 문제 푸는 법
인터넷에서 쉬운 수학 문제 풀이법을 봤어요. 정말 열심히 풀었더라고요.
그래서 그 노력이 너무나 가상하여 저도 한 번 풀어봤어요. 주사위를 이용한 경우의 수 문제고요 원본의 풀이법과 조금 색다른(?) 방법으로 풀어봤습니다.
너무 꼼수를 부린 게 아닌가 해서 사진 속 풀이를 한 학생에게 미안하기도 하네요. 제가 푸는 방법이 꼭 옳은 건 아니에요. 풀이과정만 정확하다면 어떤 방법으로 풀어도 상관없겠죠? 여러분들도 한 번 풀어보세요.
아주 쉬운 경우의 수 문제
사진 속의 학생은 모든 경우의 수를 다 쓰고, 그 수를 세었군요.
세 주사위 A, B, C를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수를 구하시오.
세 수를 곱해서 짝수가 되는 경우의 수를 구하는 문제에요. 이 때 세 수는 1 ~ 6까지의 자연수죠. 순서쌍으로 몇 개만 써보죠.
(1, 1, 1) = 1
(1, 1, 2) = 2
(1, 1, 3) = 3
(1, 1, 4) = 4
(6, 2, 1) = 12
(6, 2, 2) = 24
(6, 2, 3) = 36
(6, 2, 4) = 48
해보니까 어떤 특징이 보이나요?
(1, 1, 1) (1, 1, 3) 처럼 세 수가 모두 홀수이면 그 곱은 홀수에요.
(1, 1, 2) (1, 1, 4) 처럼 세 수중 하나만 짝수여도 그 곱은 짝수네요.
(6, 2, 1) (6, 2, 3) 처럼 두 수만 짝수여도 그 곱이 짝수고요.
(6, 2, 2) (6, 2, 4) 처럼 세 수가 모두 짝수여도 그 곱은 짝수네요.
결국 구하는 건 하나 이상의 수가 짝수인 경우에요. 이걸 구하려면 어떻게 해야할까요? 막막하죠? 그러니까 반대로 생각해보기로 해요.
위에서 세 수가 다 홀수이면 그 곱이 홀수죠? 그 외에는 전부 짝수잖아요. 그래서 전체 경우의 수에서 곱이 홀수인 경우의 수를 빼서 구하는 거지요.
(세 수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수의 곱이 홀수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수가 모두 홀수인 경우의 수)
주사위를 한 개 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6가지이고, 그 중 3개가 홀수에요. A, B, C 세 개의 주사위를 던지는 사건은 동시에 일어나니까 곱의 법칙을 적용해야겠죠?
전체 경우의 수 = 6 × 6 × 6 = 216
세 주사위의 수가 모두 홀수인 경우의 수 = 3 × 3 × 3 = 27
(세수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세수가 모두 홀수인 경우의 수)
= 216 - 27
= 189
답은 189에요.
사진속에 답은 안써져 있지만 동그라미가 쳐져있으니 답을 정확히 구했나 봅니다. 저 학생은 수학은 열심히 노력하면 되는 거라는 걸 보여주는 군요. 여러분들도 포기하지 말고 끝까지 도전해 보세요.
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확률, 확률의 뜻, 확률 공식
확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
확률의 계산에서는 확률의 덧셈과 확률의 곱셈에 대해서 배워요.
먼저 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 봤던 경우의 수의 합과 곱에 대해서 알고 있어야 해요.
확률의 계산에서도 덧셈과 곱셈을 하는데, 경우의 수에서 봤던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙이 그대로 사용되거든요.
우리가 알고 있는 공식에서 경우의 수라는 단어를 확률이라는 단어로 바꾸면 끝이에요.
경우의 수에서 했던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙을 정리해보죠. 두 사건이 동시에 일어날 때는 경우의 수를 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더했죠?
- 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지) - 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A와 사건 B가 동시에(모두) 일어날 경우의 수 = a × b(가지)
확률의 덧셈과 곱셈에서도 똑같아요.
두 사건이 동시에 일어나면 확률을 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 더하는 거죠.
확률의 덧셈
1 ~ 10까지의 자연수가 적힌 카드가 있어요. 이 중에서 한 장의 카드를 뽑을 때 3 또는 5의 배수가 나올 확률을 구해보죠.
카드가 1 ~ 10까지 있으니까 전체 경우의 수는 10이에요. 3 또는 5의 배수를 뽑는 경우는 3, 5, 6, 9, 10 이렇게 5 가지 경우가 있네요.
(3 또는 5의 배수가 나올 확률) = 
그럼 이번에는 각각의 확률을 구해보죠.
전체 경우의 수는 마찬가지로 10이에요. 3의 배수가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9의 3가지 경우이고, 5의 배수가 나오는 경우는 5, 10의 2가지 경우가 있어요. 두 확률을 더해볼까요
(3의 배수가 나올 확률) + (5의 배수가 나올 확률) = 
사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) + (사건 B가 일어날 확률)
사건이 동시에 일어나지 않을 때는 각각의 확률을 더해주면 돼요. 보통은 문제에서 "또는" 이라는 단어가 보일 때에요.
서로 다른 주사위 2개를 던질 때, 나오는 눈금의 합이 3 또는 6일 확률을 구하여라.
눈금이 3 또는 6일 확률이니까 각각의 확률을 구해서 더해주면 되겠죠? 물론 경우의 수를 한꺼번에 구해서 확률을 계산할 수도 있고요. 한 번 더해보죠.
주사위를 2개를 동시에 던져서 눈금의 합을 구할 수 있는 경우의 수는 6 × 6 = 36
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 3이 되는 경우: (1, 2), (2, 1)
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 6이 되는 경우: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
(합이 3이 될 확률) + (합이 6이 될 확률) =
확률의 곱셈
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 두 사건이 동시에 일어나면 경우의 수를 곱한다고 했어요. 마찬가지로 확률에서도 두 사건이 동시에 일어나면 각각의 확률을 곱해서 계산하면 돼요.
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) × (사건 B가 일어날 확률)
A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 주사위 A는 짝수가, 주사위 B는 3의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?
이때는 주사위 두 개를 던지지만 두 주사위가 서로 영향을 미치지 않죠? 따라서 각각을 별개의 사건으로 봐야 해요. 또 동시에 일어나는(둘 다 일어나야 하는) 사건이니까 확률을 구할 때는 곱해서 구해야 하죠.
A 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 짝수가 나올 경우의 수는 2, 4, 6 이렇게 3이에요.
B 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 3의 배수가 나올 경우의 수는 3, 6의 2이네요.
(A 주사위에서 짝수가 나올 확률) × (B 주사위에서 3의 배수가 나올 확률)
=
A 주머니에 파란 공 2개와 빨간 공 3개가, B 주머니에는 빨간 공 4개와 파란 공 2개가 들어있다. 양쪽 주머니에서 공을 한 개씩 꺼낼 때 둘 다 파란 공일 확률을 구하여라.
양쪽 모두에서 한 개씩 꺼낸다고 했네요.
A주머니에는 총 5개의 공이 있고 그 중 파란색은 2개
B주머니의 6개 공 중에 파란색은 2개
(A 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률) × (B 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률)
=
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확률, 확률의 뜻, 확률 공식
확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
확률, 확률의 뜻, 확률 공식
확률이라는 말은 많이 들어봤죠? 비 올 확률, 병에 걸릴 확률 등 뭔가의 가능성을 비율로 나타낼 때 확률이라는 표현을 많이 쓰잖아요.
이번 글에서는 확률에 대해서 배울 거예요. 확률이란 무엇인지 확률을 어떻게 구하는지에 대해서요.
물론 확률을 구하는 공식도 알아볼 거고요.
확률, 확률 공식
일정한 조건 아래에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, 어떤 사건이 일어나는 경우의 수의 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 이 일정한 값을 그 사건이 일어날 확률이라고 해요. 말이 어렵죠? 그냥 수학적으로 정의하자면 그렇다는 얘기고 그냥 무슨 일이 생길 가능성을 비율로 나타낸 걸 확률이라고 해요.
확률은 영어 단어 Probability의 첫 글자를 따서 P라고 써요. 사건 A가 일어날 확률을 P(A)라고 쓰지요.
확률은 비율이라서 백분율로 표현하기도 하고, 소수나 분수로도 표현해요. 10%나 0.1이나 
경우의 수를 이용한 확률
확률을 구하는 방법을 모르지만 우리는 확률을 구할 수 있어요.
동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 얼마인가요? 50%에요. 다 알고 있잖아요? 어떻게 구했죠? 동전은 앞, 뒤가 있는데, 둘 중 하나가 나올 거니까 50%에요.
동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 앞, 뒤 이렇게 두 가지예요. 그리고 앞면이 나오는 경우의 수는 1이죠. 경우의 수를 비교해봤더니 
사건 A가 일어날 확률은 사건 A가 일어날 수 있는 경우의 수를 전체 사건이 일어날 수 있는 경우의 수로 나눠서 구해요.
주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?
주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6이고, 이 중에서 2의 배수가 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 세 가지예요. 그래서 주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률은 3 ÷ 6 =
상대도수를 이용한 확률
확률을 구할 때 경우의 수를 이용해서 구하기도 하지만 실제 관찰이나 실험을 통해서 구하기도 해요. 예를 들어 "비만인 사람은 정상인 사람보다 OO병에 걸릴 확률이 50% 높다". 이런 종류의 얘기들을 해요. 하지만 실제로 비만인 사람이 OO병에 걸리는 경우의 수를 구할 수 없죠. 수십억 명의 세계 인구 중에 비만인 사람의 수를 모두 셀 수는 없으니까요. 또 정상인 사람이 병에 걸렸는지의 경우의 수도 구할 수 없고요.
이처럼 실험이나 관찰을 통해서 확률을 구하기도 하는데요. 이때는 관찰의 개수가 적으면 확률을 제대로 구할 수 없어요. 가능한 한 많이 실험하고 많이 관찰해야 해요.
동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은
실제로 여러분이 동전을 던졌다고 해보세요. 한 번 던졌는데, 앞면이 나왔다 치죠. 그럼 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 100%잖아요. 앞서 구한 확률과 차이가 엄청나게 많이 나죠? 동전 던지기를 한 번이 아니라 100번, 1000번 해보면 앞면이 나올 확률이
이 때 "실제 실험을 100번 해봤더니 앞면이 49번 나왔다"고 한다면 앞면이 나올 확률은 49 ÷ 100 = 0.49가 되는 거예요.
확률의 정의에서 사용했던 상대도수라든가 일정한 값에 가까워지는 등의 이야기는 바로 여기에 해당하는 내용이에요.
주사위 2개를 동시에 던질 때, 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률을 구하여라.
먼저 주사위 2개를 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수를 구해야겠네요. 각각의 주사위가 6가지 경우의 수를 가지니까 두 개의 주사위를 동시에 던지면 36가지 경우의 수가 생겨요.
두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우를 찾아볼까요? 4, 8, 12가 될 수 있겠네요.
두 주사위 눈금의 합이 4가 되는 경우를 순서쌍으로 표시해보죠. (1, 3), (2, 2) (3, 1)의 세 가지 경우가 있네요.
눈금의 합이 8이 되는 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 다섯 가지 경우가 있고요.
눈금의 합이 12가 되는 경우는 (6, 6) 하나밖에 없네요.
따라서 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우는 총 9가지 경우가 있어요.
주사위 2개를 동시에 던질 때 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률 p = 9 ÷ 36 = 
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경우의 수 공식 - 대표 뽑기
여러 가지 경우의 수 공식 두 번째입니다.
이번 글에서는 다룰 내용은 뽑기인데요. 여러 물건 중에서 하나 또는 그 이상을 선택하는 거에요.
경우의 수 공식 - 한 줄 세우기에서 했던 한 줄 세우기와 다른 점은 줄 세우기는 여러 개가 있으면 그 여러 개를 다 사용하는 경우고, 뽑기는 여러 개 중에서 일부만 사용하는 거에요.
뽑기에도 공식이 있어요. 어렵지 않은 공식이니까 어떻게 유도되는지 잘 이해해보세요.
경우의 수 공식 - 순서대로 뽑기
순서대로 뽑기는 한 줄 세우기 + 뽑기에요. 그러니까 경우의 수 공식 - 한 줄 세우기에 대해서 알고 있어야 해요.
여러 개의 항목이 있는데, 그중에서 정해진 개수만큼만 뽑아요. 그런데 순서가 있어요. 첫 번째로 뽑는 것과 두 번째로 뽑는 게 서로 다른 역할을 하는 거지요.
1 ~ 5까지의 자연수가 있는데, 이 중에서 세 개를 뽑아서 세 자리 자연수를 만드는 경우의 수는 몇 가지나 되는지 알아보죠. 세 자리의 자연수니까 백의 자리까지 있는 수에요.
- 백의 자리에 올 수는 1 ~ 5중에 아무거나 하나를 사용할 수 있어요. - 경우의 수 5
- 십의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리에서 뽑은 숫자 하나를 제외한 4개 중 고를 수 있어요. - 경우의 수 4
- 일의 자리 숫자는 백의 자리, 십의 자리에 뽑은 숫자를 제외한 3개 중에서 고를 수 있어요. - 경우의 수 3
숫자를 뽑는데 뽑는 순서에 따라 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리로 그 역할이 달라요. 따라서 뽑는 순서가 중요하죠.
백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 각각 뽑는 경우의 수를 구했어요. 이 과정은 동시에 일어나니까 곱의 법칙을 이용해야겠죠? 5 × 4 × 3 = 60가지 경우가 있네요.
이걸 공식으로 표현해보죠. 전체 n개 중에서 a개를 뽑는 경우의 수예요.
위 문제에서는 1 ~ 5까지 총 5개의 숫자 중에서 3개를 뽑는 거였어요. 5, 4, 3, 2, 1 이렇게 숫자를 하나씩 줄여가면서 곱하는데, 3개를 뽑는 거니까 앞에 있는 숫자 3개만 곱해서 5 × 4 × 3 = 60이 된 거죠.
학급 인원 30명 중에서 2학기 반장과 부반장, 회장, 부회장을 각각 한 명씩 뽑으려고 한다. 이때 반장과 부반장, 회장, 부회장을 뽑을 수 있는 경우의 수를 구하여라.
위에서 했던 방법대로 해볼까요?
- 30명 중에서 한 명을 반장으로 뽑아요. - 경우의 수는 30
- 반장으로 뽑힌 학생을 제외한 29명 중에서 부반장을 뽑아요. - 경우의 수 29
- 반장, 부반장으로 뽑힌 학생을 제외한 28명 중에서 회장을 뽑아요. - 경우의 수 28
- 반장, 부반장, 회장으로 뽑힌 학생을 제외한 27명 중에서 부회장을 뽑아요. - 경우의 수 27
반장, 부반장, 회장, 부회장을 뽑는 건 동시에 일어나는 사건이니까 곱의 법칙을 이용해요.
30 × 29 × 28 × 27 = 657,720 가지 방법이 있네요.
이번에는 공식으로 풀어보죠. 학급의 학생 수가 30명이니까 n = 30이고 반장, 부반장, 회장, 부회장 총 네 명을 뽑으니까 a = 4에요.
30에서 숫자를 하나씩 줄여서 곱하는데 앞에서부터 4개를 곱하니까 30 × 29 × 28 × 27이라는 식이 나와요.
공식을 이용하면 훨씬 쉽게 구할 수 있겠죠?
눈에 확 띄는 예를 들다 보니 숫자가 커졌는데, 대개는 암산으로 가능한 정도의 계산만 나와요. 다섯 명에서 두 명을 뽑는다던가 하는 정도의 수준이에요.
경우의 수 공식 - 순서 없이 뽑기
이번에는 순서에 상관없이 뽑는 경우예요. 뽑는 순서가 중요하지 않아요.
학급 인원 30명 중에서 주번 2명을 뽑는 경우의 수를 알아볼까요?
앞에서는 회장, 부회장이라는 역할의 차이가 있으니까 뽑는 순서에 따라 그 결과가 달라졌어요. 그런데 이번처럼 주번을 뽑을 때는, 먼저 뽑히든 나중에 뽑히든 그냥 둘 다 주번으로 역할이 같아요. 순서는 아무런 의미가 없지요.
- 30명 중에서 한 명을 주번으로 뽑아요. - 경우의 수는 30
- 앞에서 주번으로 뽑힌 학생을 제외한 29명 중에서 주번을 뽑아요. - 경우의 수 29
두 사건은 동시에 일어나는 사건이니까 곱의 법칙을 30 × 29 = 870가지 경우가 있어요.
여기서 한 가지 주의해야 할 게 있어요. 1단계 30명 중에서 뽑을 때는 영철이가, 2단계 29명 중에서 뽑을 때는 철수가 뽑혔다고 해보죠. 그런데 1단계 30명 중에서 뽑을 때 철수가 뽑히고, 2단계 29명 중에서 뽑을 때 영철이가 뽑힌 것과 다른 게 있나요? 영철이가 첫 번째에서 뽑히든 두 번째에서 뽑히든 아무 상관이 없어요. 마찬가지로 철수가 첫 번째에서 뽑히든 두 번째에서 뽑히든 어차피 똑같은 주번인 거죠.
위에서 구했던 30 × 29에는 이처럼 결과적으로 똑같은 경우가 2개씩 들어있는 거에요. 따라서 30 × 29에 ÷ 2를 해줘야 우리가 구하는 경우의 수가 됩니다.
만약에 주번을 3명 뽑는다면 그럼 3으로 나눠주면 될까요? 그것도 아니에요. 3명이 뽑히는 경우의 수는 3 × 2 × 1이기 때문에 6으로 나눠줘야 해요. 위에서는 그냥 2가 아니라 2 × 1 로 나눠준 거에요.
공식으로 표현해보지요.
전체 n개 중에서 a개를 뽑는데 순서와 상관없이 뽑는다면 분자는 n에서 1씩 줄여가면서 곱하는데 a개만큼 곱해주고, 분모는 a를 숫자를 1씩 줄여가며 곱해주는 거에요.
사과, 배, 감, 귤, 포도, 수박의 과일이 있다. 이 중에서 세 가지를 사려고 할 때 경우의 수는 얼마인가?
바로 공식에 대입해보죠.
과일의 수는 6개로 n = 6, 세 가지를 산다고 했으니까 a = 3이에요. 분자는 6에서 숫자를 1씩 줄이면서 곱하는데 앞의 3개만 곱하고, 분모는 3부터 숫자를 1씩 줄여서 곱해요
만약에 과일을 네 가지를 산다고 한다면 아래처럼 구할 수 있겠네요. n = 6, 네 가지를 산다고 했으니까 a = 4예요. 분자는 6에서 숫자를 1씩 줄이면서 곱하는데 앞의 4개를 곱하고, 분모는 4부터 숫자를 1씩 줄여서 곱해요.
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경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 경우의 수라는 걸 알아봤어요.
이제는 여러 상황에서 경우의 수가 어떻게 되는지 알아볼 거예요.
몇 가지 패턴이 있는데, 그것만 알면 경우의 수를 쉽게 구할 수 있어요. 공식이 나옵니다. 외우면 좋겠죠?
경우의 수에서 예로 들었던 동전 던지기와 주사위 던지기를 알아볼 거고요. 여러 항목을 한 줄 세우기 할 때 경우의 수에 대해서 알아볼 거예요.
동전 던지기
동전은 앞면과 뒷면이 있어요. 그래서 동전 하나를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 두 개죠.
동전 두 개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수를 순서쌍으로 나타내 볼까요?
(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤) 이렇게 총 4가지 경우가 있어요.
동전 두 개를 던졌을 때 나오는 경우의 수는 각각의 동전을 동시에 던지니까 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 = 4로 구합니다.
동전을 세 개 던지면 어떻게 될까요? 마찬가지로 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 × 2 = 8이 되겠네요.
동전의 개수가 n 개라면 동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 2n입니다.
주사위 던지기
주사위는 총 6개의 면이 있어요. 한 개의 주사위를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 6이에요.
주사위 두 개를 던지면 어떻게 될까요?
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
총 36가지의 경우가 있어요. 두 개의 주사위도 마찬가지로 동시에 일어나는 사건이니까 6 × 6 = 36이 되는 거죠.
주사위를 세 개 던지면 6 × 6 × 6 = 216의 경우의 수가 나와요.
주사위 n개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6n입니다.
한 줄 세우기
줄 세우기는 여러 개의 항목이 있는 걸 차례대로 놓는 걸 말해요.
한 줄 세우기
1 ~ 4까지의 자연수가 있어요. 이 자연수를 차례대로 놓아서 네 자리 숫자를 만들 때, 경우의 수는 어떻게 될까요?
- 먼저 천의 자리 숫자에는 1 ~ 4까지 아무 수나 하나 골라요. - 경우의 수는 4
- 백의 자리 숫자를 고르는데, 천의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 그래서 남은 세 수중에서 하나를 골라요. - 경우의 수는 3
- 십의 자리 숫자를 고르는데, 천, 백의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 남은 두 수 중에서 하나를 골라요. - 경우의 수는 2
- 마지막 일의 자리 숫자는 천, 백, 십의 자리 숫자를 고르고 남은 하나가 됩니다. - 경우의 수 1
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 뽑는 건 동시에 일어나는 것으로 곱의 법칙을 이용할 수 있어요.
그래서 네 자리 숫자를 만들 수 있는 총 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1 = 24가 됩니다.
여러 항목을 줄 세울 때는 항목의 개수가 몇 개인지가 중요해요. 줄 세울 때 경우의 수는 아래 공식으로 구할 수 있어요.
한 줄 세우기 경우의 수
n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1
개수를 하나씩 줄여가면서 계속 곱하는 거예요.
웬디, 아이린, 슬기, 조이, 예리 다섯 사람이 앨범 표지로 사용할 사진을 찍으려고 한다. 이 다섯 명이 한 줄로 서서 사진을 찍을 때 한 줄로 서는 경우의 수는 얼마인가?
한 줄 세우기 공식 한 번 더 써보죠. n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1
멤버 수가 총 5명이니까 5부터 1씩 줄여가면서 계속 곱하면 돼요.
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 가지의 경우가 있네요.
이웃하여 한 줄 세우기
한 줄을 세울 때 특별한 경우가 있어요. 항목중에서 몇 개를 꼭 함께 놓는 경우가 있거든요.
과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 팔아요. 이 과일들을 한 줄로 진열하려고 할 때 사과와 배는 꼭 바로 옆에 놓게 진열을 한다면 몇 가지 경우의 수가 있을까요?
사과와 배를 바로 옆에 놓지 않아도 될 때의 경우의 수를 먼저 구해보죠. 과일의 종류가 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박 총 6가지니까 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720가지의 경우의 수가 있어요.
이 중에서 사과와 배가 바로 옆에 붙어 있는 경우의 수를 구해야 하는 거잖아요. 이때는 사과와 배를 하나의 묶음으로 생각해 버려요. 하나의 묶음으로 생각해서 과일의 종류가 총 다섯 가지라고 계산하면 쉽거든요.
사과와 배를 하나의 묶음으로 생각하면 한 줄로 진열할 수 있는 경우의 수는 몇 가지일까요? 한 줄로 세우는 공식은 바로 위에서 했죠? 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120이네요.
여기서 끝난 게 아니에요. 사과와 배를 묶음으로 생각했는데, 사과 - 배의 순서로 놓을 수도 있고 배 - 사과의 순서로 놓을 수도 있겠지요? 사과와 배를 줄 세우는 방법이 두 가지 경우가 있어요. 이건 다른 과일들을 놓는 것과 동시에 일어나는 사건이기라서 곱의 법칙을 이용해요.
결국, 여섯 종류의 과일을 진열할 때 사과와 배를 바로 옆에 놓도록 진열하는 방법은 120 × 2 = 240가지가 있어요.
이웃하여 한 줄 세우기는 아래의 공식으로 구할 수 있어요.
이웃하여 한 줄 세울 때 경우의 수
(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)
과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 한 줄로 진열하려고 한다. 배, 감, 포도가 서로 이웃하도록 진열하려고 할 때 경우의 수를 구하여라.
위 설명에서 했던 문제인데, 이번에는 배, 감, 포도 총 세 개의 과일을 이웃하게 진열한다고 했네요.
공식을 그대로 쓰면 돼요.
먼저 배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 생각하면 과일의 종류는 4가지로 볼 수 있겠지요? 이 네 가지를 한 줄로 진열하는 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1이 되고요.
배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 봤을 때 배, 감, 포도를 한 줄로 진열하는 방법은 3 × 2 × 1가지가 있어요.
위의 둘을 곱하면 답이 나옵니다.
(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)
= (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 24 × 6
= 144
총 144가지의 경우의 수가 나오네요.
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방학이 다 끝나고, 2학기가 시작되었어요.
2학기에는 확률과 도형에 대해서 공부해요. 1학기 때 배웠던 연립방정식이나 함수와 다른 새로운 내용이니까 "기초가 부족해" 이런 생각하지 마세요. 처음 보는 단원이다 생각하고 열심히 하시면 됩니다.
처음으로 배울 내용은 확률인데 그 중에서도 경우는 수예요. 경우의 수는 간단히 말해서 주사위를 던지거나 동전을 던졌을 때 어느 면이 나오는지 그 수를 세보는 거예요.
경우의 수는 상식적인 선에서 생각해야 해요. 동전을 던졌을 때 세로로 서 있는 경우, 침대 밑으로 굴러가서 확인할 수 없는 경우 등은 전혀 고려하지 않아요.
경우의 수
사건은 같은 조건에서 여러 번 할 수 있는 실험이나 관찰로 얻어진 결과를 말해요. "동전을 던졌더니 앞면이 나왔다." 같은 거요.
시행은 실험이나 관찰을 하는 행위를 말하고요.
경우는 수는 사건에서 일어날 수 있는 경우의 가짓수에요.
동전을 던지면 앞면이 나오는 경우가 있겠죠? 뒷면이 나오는 경우도 있을 거예요. 두 가지 경우가 있지요? 동전을 던질 때는 앞면 또는 뒷면이 나오는 두 가지 경우가 있어요. 따라서 이때의 경우의 수는 2에요.
주사위를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나올 수 있어요. 총 6가지죠. 따라서 이때의 경우의 수는 6이에요.
합의 법칙
경우의 수를 구하는 방법은 크게 두 가지에요. 그중에 첫 번째는 합의 법칙인데요.
한 개의 주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우의 수를 구한다고 해보죠.
주사위를 던져서 2의 배수가 나오는 경우는 2, 4, 6의 세 경우가 있어요. 경우의 수는 3이죠.
주사위를 던져서 5의 배수가 나오는 경우는 5 한 가지뿐이에요.
주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우는 3 + 1 = 4예요.
주사위를 던졌을 때 어떤 수가 나오는데, 2의 배수이면서 5의 배수인 경우가 있나요? 없죠? 그래서 각각의 경우의 수를 구해서 더해주는 거예요.
합의 법칙은 각 사건이 동시에 일어나지 않을 때 사용해요. 문제에서 " 또는 ", "~ 이거나" 하는 표현들이 나올 때죠.
사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지)
1 ~ 30까지의 자연수가 적힌 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?
상자에서 카드를 꺼낼 때 5의 배수인 카드가 나오는 경우는 5, 10, 15, 20, 25, 30으로 6가지에요.
7의 배수인 카드가 나오는 경우는 7, 14, 21, 28로 4가지고요.
문제에서 "5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드"라고 했으니까 두 경우의 수를 더해서 6 + 4 = 10, 총 10가지 경우가 되겠네요.
1 ~ 30까지의 자연수가 적혀있는 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?
위의 예제와 같은 문제인데 숫자만 바꿨어요. 풀이가 어떻게 달라지는지 보죠.
상자에서 카드를 꺼낼 때 3의 배수인 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 총 10가지에요.
4의 배수인 카드가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 총 7가지고요.
이 문제에서도 "3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드"라고 했으니까 그냥 10 + 7 = 17하면 될까요?
안됩니다. 12가 적힌 카드를 뽑았다고 해보죠. 12는 3의 배수이면서 4의 배수예요. 12를 뽑은 건 하나의 사건인데 3의 배수인 카드를 뽑은 사건과 4의 배수를 뽑은 사건 양쪽에서 각각 더해주면 두 번을 세는 거예요. 그래서 한 번은 빼줘야 해요. 24도 마찬가지고요.
10 + 7 - 2 = 15, 이때의 경우의 수는 15가 돼요.
합의 법칙은 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없을 때 각 사건이 일어나는 경우의 수를 더해줘요. 하지만 두 사건이 모두 일어나는(중복되는) 경우가 생기면 그만큼을 빼줘요.
곱의 법칙
1, 2, 3, 4가 적힌 카드 네 장이 있어요. 이 네 장의 카드를 이용해서 두 자리 자연수를 만드는 경우의 수는 몇 가지인지 알아보죠.
두 자리 자연수를 만든다고 했으니까 십의 자리 숫자 하나, 일의 자리 숫자 하나를 뽑아야 해요.
십의 자리 숫자로 1을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 2, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 2를 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 3을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 4을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 3이 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
각각의 경우를 수를 다 더하면 3 + 3 + 3 + 3 = 12가 나와요.
이 문제를 쉽게 풀어볼까요?
십의 자리 숫자에 올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4 해서 총 4개에요. 그리고 어떤 한 수를 십의 자리에 놓았을 때 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 나머지 3개죠?
(십의 자리를 뽑는 경우의 수 4) × (일의 자리를 뽑는 경우의 수 3) = 12 하면 쉽게 구할 수 있죠?
곱의 법칙은 합의 법칙과 달리 사건이 동시에 일어나는 경우에 사용해요. 동시라는 같은 시각을 의미하는 게 아니에요. 경우의 수를 구하는 과정에서 두 사건이 모두 일어나야 한다는 뜻이에요.
십의 자리를 뽑는 것과 일의 자리를 뽑는 두 사건이 모두 일어나야 하죠? 십의 자리를 뽑는 사건과 일의 자리를 뽑는 사건 중 하나만 일어나서는 경우의 수를 구할 수 없어요. "동시에"라는 말은 여러 사건이 모두 일어나는 경우를 말해요.
이처럼 두 개 이상의 사건이 동시에 일어나면 각각의 경우의 수를 곱해요.
사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 경우의 수 = a × b(가지)
3종류의 티셔츠와 2종류의 바지가 있다. 티셔츠와 바지를 하나씩 골라 입을 수 있는 경우의 수를 구하여라.
여기서는 3종류의 티셔츠 중 하나를 고르는 사건과 2종류의 바지 중에서 하나씩 골라 입는 경우의 수를 구하라고 했어요. 티셔츠를 고르는 사건과 바지를 고르는 사건은 동시에 일어나야 하는 하죠?
티셔츠를 고를 수 있는 경우의 수는 3, 바지를 고를 수 있는 경우의 수는 2에요.
따라서 옷을 입을 수 있는 경우의 수는 3 × 2 = 6(가지)가 되는 거죠.
합의 법칙과 곱의 법칙의 선택
어떤 두 사건이 있을 때 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으면 합의 법칙, 두 사건이 모두 일어나야 하면 곱의 법칙을 사용해요.
위의 1 ~ 30까지 자연수가 적힌 카드가 들어있는 상자에서 5의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우의 수 예제를 보죠. 이때는 5의 배수가 적힌 카드가 나와도 괜찮죠. 그리고 7의 배수가 적힌 카드를 뽑아도 괜찮아요. 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으니까 합의 법칙이에요.
3종류의 티셔츠와 2종류의 바지에서 하나를 고르는 예제를 보죠. 티셔츠를 고르는 사건만 일어나거나 바지만 고르는 사건만 일어나서는 안 돼요. 두 사건 모두가 일어나야 해요. 그래서 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.
합의 법칙: 여러 사건 중 하나만 일어나도 괜찮은 경우
곱의 법칙: 여러 사건이 모두 일어나야 하는 경우
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