중등수학/중3 수학
이차함수의 뜻, 이차함수란?
이차방정식에 이어 이차함수에요.
1학년 때 함수를 공부했고, 2학년 때는 일차함수와 그래프를 공부했죠. 이제는 이차함수와 그래프를 공부할 거예요. 식은 똑같은 데 차수만 높아지는 거니까 겁먹을 필요 없어요.
일차방정식과 이차방정식의 차이는 뭐였죠? 미지수 x의 차수가 일차냐 이차냐의 차이였어요. 마찬가지로 일차함수와 이차함수의 차이도 x에 관한 식의 차수가 일차냐 이차냐 차이에요. 차수가 일차면 일차함수, 이차면 이차함수지요.
일차함수는 y = ax + b (a ≠ 0, a, b 는 상수)였어요. 이차함수는 우변이 x에 관한 이차식이니까 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c는 상수)겠죠?
이차방정식인지 아닌지 확인할 때, 괄호는 풀고 동류항을 다 정리한 후에 차수가 일차인지 이차인지 확인했었죠? 이차함수에서도 괄호는 다 풀고 동류항 계산을 다 한 다음에 차수를 확인합니다.
다음 중 이차함수 인것은?
(1) y = 2x + 6
(2) y = 2x2 + 3x + 1
(3) y = 2(x - 3)2
(4) x2 + 3x + 2 = 0
(5) y = 2(x - 2)2 + 3 - 2x2
(1)은 우변 x의 최고차항이 1차니까 일차함수고요.
(2)는 우변이 x에 관한 이차식이니까 이차함수가 맞아요.
(3) 역시 우변을 전개해보면 y = 2x2 - 12x + 18이어서 이차함수가 맞고요.
(4)는 이차식이긴 하지만 함수가 아닌 방정식이어서 이차방정식이네요.
(5)는 우변을 정리해보면 y = 2x2 - 8x + 8 + 3 - 2x2 = -8x + 11이여서 차수가 1인 일차함수네요.
따라서 이차함수인 것은 (2), (3)입니다.
이차방정식의 활용
이차방정식의 마지막인 이차방정식의 활용입니다.
이차방정식의 활용 문제 푸는 단계
- 문제를 읽고 구하고자 하는 것을 미지수 x로 놓는다.
문제에서 구하고자 하는 것을 정확히 찾아야 해요. 수를 구하는 문제에서 큰 수를 구하라고 했는지 작은 수를 구하라고 했는지 등에 주의하세요. - 미지수를 이용하여 방정식을 세운다.
- 방정식을 푼다.
인수분해, 근의 공식을 이용해서 해를 구합니다. - 문제의 조건에 맞는 답을 고른다.
이차방정식이니까 해가 2개가 나올 수 있어요. 이 중에서 문제에서 요구하는 것을 찾아야 해요. 예를 들어 길이나 무게, 개수 등은 음수가 아닌 양수여야겠죠. 사람 수를 묻는 문제라면 소수가 아닌 자연수가 되어야 하고요.
식 세우는 팁
문제의 유형에 따라 식을 세우는 방법이 몇 가지가 있어요.
연속하는 수
연속하는 두 자연수: x와 x + 1
연속하는 세 자연수: x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수 또는 연속하는 세 짝수: x - 2, x, x + 2
연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적을 때 가장 작은 홀수는? (단 세 홀수는 모두 양수)
연속하는 세 홀수라고 했으니까 x - 2, x, x + 2라고 해볼까요?
가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적으니까 식으로 나타내면 (x + 2)2 = x2 + (x - 2)2 - 9가 되겠네요.
전개해서 정리해보죠.
(x + 2)2 = x2 + (x - 2)2 - 9
x2 + 4x + 4 = x2 + x2 - 4x + 4 - 9
x2 - 8x - 9 = 0
(x - 9)(x + 1) = 0
x = 9 or x = -1
세 홀수는 모두 양수라고 했으니까 x = -1은 안되죠. 남은 건 x = 9지만 문제에서 구하는 건 가장 작은 홀수이므로 x - 2, 즉 7입니다.
도형의 넓이, 부피 문제
사다리꼴 넓이: 1/2 × (윗변 + 아랫변) × 높이
원의 넓이: 
삼각뿔, 원뿔의 부피: 1/3 × 밑넓이 × 높이
땅에 길을 만드는 문제
직사각형 모양의 공원에 가로 세로로 산책로를 만드는 문제도 자주 나와요.
이때는 도형의 모양을 약간 변형해서 풀면 쉬워요. 각각 떨어져 있는 영역들을 하나로 합치면 새로운 직사각형의 모양이 돼요. 그러면 그냥 직사각형의 넓이를 구하는 방법으로 풀면 됩니다.
가로와 세로의 길이가 각각 20m, 15m인 잔디밭에 폭이 일정한 길을 내려고 한다. 길을 제외한 잔디밭의 넓이가 204m2이라고 할 때 길의 폭을 구하여라. (그림 생략.)
폭이 일정하다고 했으니 길의 폭을 x라고 하죠.
(전체 넓이) - (길의 넓이) = (잔디밭의 넓이)라는 식을 구할 수 있지요.
20 × 15 - (x × 20 + x × 15 - x2) = 204
하지만 그보다는 위 그림처럼 길을 제외한 부분을 하나로 합치면 (20 - x)(15 - x) = 204라는 식이 돼요. 두 식을 정리해보면 똑같아요. 하지만 아래식이 조금 더 간단해 보이죠?
(20 - x)(15 - x) = 204
300 - 35x + x2 = 204
x2 - 35x + 96 = 0
(x - 32)(x - 3) = 0
x = 32 or x = 3
일단 둘 다 양수니까 길이가 될 수 있겠죠. 하지만 잔디밭의 세로 길이는 15m여서 폭이 이 세로 길이보다 길 수는 없겠죠? 따라서 길의 폭이 될 수 있는 x는 3m입니다.
하늘로 쏘아 올린 공의 높이 문제
t초 후의 높이를 구하는 식이 주어지고, 정해진 높이일 때 시간을 구하는 문제가 나오죠. 시간이니까 기본적으로 양수여야 해요.
또 공을 위로 쏘아 올리므로 어느 지점을 지나면 다시 땅으로 떨어지겠죠? 따라서 공이 올라가면서 정해진 높이에 도달할 때와 떨어지면서 도달할 때 두 가지 경우가 있다는 걸 주의하세요. 이때 공의 속도가 나오기도 하는데, 속도는 높이에 전혀 영향을 미치지 않으니 그냥 무시하세요.
지면에서 초속 20m/s의 속력으로 하늘로 공을 쏘아 올릴 때 t초 후의 공의 높이는 (30t - 6t2)m이다. 하늘로 쏘아 올린 공은 몇 초 후에 지면에 도달하는지 구하시오.
먼저 초속 20m/s라는 공의 속도는 생각하지 마세요.
공이 지면에 도달할 때 공의 높이는 0m지요? 따라서 식은 30t - 6t2 = 0이에요. 이 이차방정식을 풀면 t = 0초 또는 t = 5초가 되는데 0초는 공을 쏘아 올릴 때의 시간이니까 빼고, 답은 5초 후네요.
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한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
이차방정식 구하기 두 번째입니다. 이전 글 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서는 두 근이 주어졌을 때와 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식을 구하는 법을 알아봤어요.
이번 글에서는 두 근이 아니라 한 근만 알려줬을 때, 이차방정식을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 근을 하나만 알려줬다고 해서 근이 하나만 있는 건 아니에요. 중근이라서 하나만 가르쳐주는 경우도 있지만 근이 두 개인데 그 중 하나만 알려주는 경우도 있거든요. 두 경우를 잘 구분하고, 어떻게 근을 구하는 지 알아보죠.
중근을 알려주었을 때
중근이라는 건 같은 근이 두 개가 있다는 뜻이죠? 따라서 한 근을 α라고 한다면 다른 근 역시 α라고 할 수 있죠.
두 근이 α, β이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0
위 식에 대입해보면 a(x - α)(x - α) = 0이라서 좌변을 정리하면 a(x - α)2 = 0라는 식이 돼요.
주어진 근이 중근이라면 기존에 사용했던 방법에 그대로 대입해서 구할 수 있다는 얘기에요. 공식의 모양이 아래처럼 바뀝니다.
중근이 α이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)2 = 0
x = 3을 중근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.
공식에 바로 대입하죠.
2(x - 3)2 = 0
2(x2 - 6x + 9) = 0
2x2 - 12x + 18 = 0
생각보다 어렵지 않죠?
계수가 유리수인 이차방정식
계수가 유리수인 이차방정식은 새로운 내용이 아니에요. 복잡한 이차방정식의 풀이에서 봤던 계수가 소수나 분수인 이차방정식을 말합니다. 물론 여기에는 계수가 정수인 이차방정식도 포함하는 거죠. 즉, 우리가 다루었던 모든 이차방정식을 그냥 이름만 거창하게 붙여놓은 거예요.
계수가 유리수인 이차방정식의 특징이 있어요. 계수가 유리수고 한 근이 무리수면 다른 한 근을 계산해보지 않아도 구할 수 있어요.
근의 공식을 한 번 생각해보세요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
근은 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠져 있어요. 그런데 유리수 부분은 같고, 무리수 부분은 부호만 다르죠. 한 근은
그러니까 주어진 근이 무리수라면 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 것이죠. 한 근만 알려줬지만 실제는 두 근 모두를 알려준 거예요.
계수가 유리수고 한 근이 m + n
⇒ 다른 한 근은 m - n
(m, n은 유리수,
두 근을 구한 다음에는 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 구합니다.
두 근의 합이 m이고, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x2 - mx + n) = 0
a(x2 - 합x + 곱) = 0
한 근이 2 -
일단 계수가 유리수이고, 근은 무리수에요. 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대라고 했죠? 한 근이 2 -
두 근의 합은 (2 -
두 근의 곱은 (2 -
따라서 문제에서 구하는 답은 아래와 같아요.
2(x2 - 4x - 1) = 0
2x2 - 8x - 2 = 0
주의 해야할 내용 - 근이 유리수라면
여기서 주의해야할 것이 하나 있는데요. 계수가 유리수이더라도 근이 유리수면 위 관계는 성립하지 않는다는 거예요.
예를 들어 한 근이 3이라고 하죠. 3은 3 +
절대 안됩니다. 중근이었다면 중근이라고 분명히 얘기를 해 줬을 거예요.
(x – 1)(x – 3) = 0의 경우처럼 한 근이 3일 때 다른 근이 1이 될 수도 있거든요. 이런 경우에는 이차방정식의 해의 정의에 따라 3을 식에 대입해서 다른 계수를 구하는 방법으로 풀어야 해요
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이차방정식에서 근을 구하는 방법을 모두 배웠어요. 간단하게 정리해보자면 먼저 인수분해를 해서 구하고, 인수분해가 안되면 근의 공식을 사용하는 거죠.
이제는 거꾸로 생각해볼까요?
이차방정식을 주고 그 해를 구하는 게 아니라 해를 알려주고 이차방정식을 구하는 경우요.
이번 글에서는 이차방정식의 두 근을 알려주었을 때와 두 근 대신 두 근의 합과 곱을 알려주었을 때 이차방정식을 구하는 방법을 공부해보죠.
두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거에요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, x = 2
두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.
x = α, β
(x - α)(x - β) = 0
x2 - (α + β)x + αβ = 0
두 근이 2, 3이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.
거꾸로 주어진 두 근을 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 이 식을 전개해서 이차방정식을 구하는 거예요.
두 근이 2, 3이므로
(x - 2)(x - 3) = 0
x2 - 5x + 6 = 0
두 근이 4, 5이고 이차항의 계수가 3인 이차방정식을 구하여라.
위 문제와 다른 점은 이차항의 계수가 1이 아닌 3이라는 거예요.
(x - 4)(x - 5) = 0
x2 - 9x + 20 = 0
여기에 이차항의 계수가 3이라고 했으니 3x2 - 9x + 20 = 0이라고 쓰면 될까요? 절대 안돼요. 3x2 - 9x + 20 = 0에 x = 4를 넣으면 식이 성립하지 않아요. 그러니까 이 식은 4를 근으로 갖지 않는 거죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때는 인수분해로 만든 식에 이차항의 계수 곱해줍니다. 위에서 만든 식이 (x - 4)(x - 5) = 0였으니까 여기에 이차항의 계수 3을 곱하면 3(x - 4)(x - 5) = 0이 되는 거죠.
이 식을 전개하면 3x2 - 27x + 60 = 0가 되는데 이게 문제에서 구하는 이차방정식이에요.
두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
두 근이 아니라 합과 곱이 주어졌을 때입니다. 이 때는 근을 구할 필요가 없어요.
위에서 사용했던 공식 a(x - α)(x - β) = 0의 괄호 부분을 전개해보세요. 식이 어떻게 되나요?
a(x - α)(x - β) = 0
a{x2 - (α + β) x + αβ} = 0
이 전개식에 합과 곱을 집어넣으면 돼요.
두 근의 합이 2이고 곱이 -8인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2)
두 근의 합과, 곱, 이차항의 계수를 알려주었네요.
a(x2 - 합x + 곱) = 0
2(x2 - 2x - 8) = 0
2x2 - 4x - 16 = 0
근과 계수와의 관계
이차방정식의 두 근과 계수 사이에는 재미있는 관계가 있어요. 어떤 재미있는 관계냐고요? 두 근을 알고 있다면 이차방정식의 계수를 구할 수 있어요. 반대로 계수들을 알고 있다면 두 근을 구하지 않고도 두 근의 합과 두 근의 곱을 알 수 있고요.
근과 계수와의 관계는 공식으로 외워두면 좋아요. 어렵지 않은 공식이니까 금방 외울 수 있을 거예요.
이차방정식의 근과 계수 사이에는 어떤 관계가 있는 지 알아보죠.
근과 계수와의 관계
이차방정식 근의 공식을 또 써먹을 시간이 되었네요. 근의 공식 한 번 더 해볼까요?
이차방정식의 두 근을 α, β라고 해요. 알파, 베타라고 읽고요.
근의 공식에 나오는 것처럼 한 근을 
두 근의 합과 계수와의 관계
두 근 α, β를 더 해보죠.
두 근을 더했더니, 1차항의 계수를 2차항의 계수로 나눈 거에 (-)를 붙여준 것과 같죠?
두 근의 곱과 계수와의 관계
이번에는 두 근 를 곱해볼께요.
곱한 건 어떻죠? 상수항을 2차항의 계수로 나눈 것과 같아요.
종합해보면 아래같은 공식을 얻을 수 있어요.
이차방정식 x2 - 5x + 6 = 0의 두 근의 합과 곱을 구하여라.
두 근의 합과 곱 공식을 사용하기 전에 먼저 근을 구해볼까요?
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2, or x = 3
근이 2, 3이 네요. 두 근을 더하면 5, 곱하면 6이 됩니다.
자 이번에는 근과 계수와의 관계를 이용해서 답을 구해보죠.
두 근의 합 =
두 근의 곱 =
실제 근을 구해서 더하고 곱한 답과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 답이 같죠? 그렇다면 굳이 두 근을 구할 필요가 없다는 거예요.
x2 + ax + b = 0의 두 근의 합이 6, 곱이 -12일 때 a + b의 값을 구하여라.
두 근의 합 
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이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
복잡한 이차방정식의 풀이
이차방정식을 풀기 위해서는 이차방정식의 기본형인 ax2 + bx + c = 0꼴로 바꿔주는 것이 좋아요. 기본형으로 바꾼다음 인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하고 인수분해가 되지 않는다면 근의 공식으로 푸세요.
이번 글에서는 복잡한 이차방정식의 풀이에 대해서 알아볼 거예요. 복잡한 식이라는 거 많이 해봤잖아요. 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이, 복잡한 부등식, 복잡한 인수분해.. 모두 원리는 하나에요.
복잡한 건 복잡하지 않게 계산하기 쉽게 바꾸면 된다. 복잡한 이차방정식은 복잡하지 않게 바꾼 다음에 인수분해 or 근의 공식 입니다.
복잡한 이차방정식 푸는 법
괄호가 있을 때
괄호가 있으면 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 계산을 해야해요. 괄호를 전개하지 않거나 동류항 계산을 다 끝내야 일반형으로 바꿀 수 있어요.
x(1 - x) = (x + 2)(x - 3)
괄호가 있으니까 전개해서 동류항 계산을 하세요. 물론 기본형으로 바꾸는 작업까지요.
x - x2 = x2 - x - 6
2x2 - 2x - 6 = 0
x2 - x - 3 = 0
일반형으로 바꿨더니 위처럼 됐어요. 근데 인수분해가 안되니까 근의 공식을 써야겠죠.
계수가 소수일 때
계수가 소수이면 계산이 복잡합니다. 그래서 계수를 정수로 바꿔줘야해요. 정수로 바꿀려면 10의 제곱인 수 즉, 10, 100, 1000을 식에 곱해줍니다. 계수를 정수로 바꾼 다음에 인수분해나 근의 공식을 이용하세요.
0.3x2 - x + 0.1 = 0
계수가 소수 첫째자리까지 있으니까 10을 곱해줘야 겠네요.
3x2 - 10x + 1 = 0
인수분해가 안되네요. 근의 공식을 써야하는데 x의 계수가 짝수니까 짝수 공식을 써볼까요?
계수가 분수일 때
계수가 분수일 때에도 역시 계수를 정수로 바꿔줘야 해요. 정수로 바꾸려면 각 계수의 분모의 최소공배수를 식에 곱해주면 돼요.
계수가 분수이고, 각 계수의 분모인 5, 2, 10의 최소공배수가 10이니까 식에 10을 곱해줄께요.
2x2 + 5x - 3 = 0
(x + 3)(2x - 1) = 0
x = -3 or x =
공통인 식이 있을 때
공통인 식이 있을 때는 다른 문자로 치환을 해요. 치환하는 거 인수분해할 때 연습 많이 해봤죠? 식에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶여져 있는 부분을 치환합니다.
일단 식을 치환하는 경우에는 대부분 인수분해가 돼요. 인수분해가 되면 치환했던 걸 다시 원래 식으로 바꿔주고 그 다음에 해를 구할 수 있어요.
(x - 1)2 + 6(x - 1) - 27 = 0
x - 1이라는 부분이 있으니까 이 걸 A라는 문자로 치환해볼께요.
A2 + 6A - 27 = 0라는 식이 돼요. 이 식은 A에 관한 이차방정식입니다. 따라서 인수분해나 근의 공식으로 A 값을 구할 수 있겠죠. 인수분해가 되는 군요. A를 구해볼까요?
(A + 9)(A - 3) = 0
A = -9 or A = 3
A를 구했어요. 하지만 문제에서 구하는 건 A가 아니라 x 라는 걸 명심하세요. 원래 A = x - 1였으니까 x를 구해보죠.
| A = -9 x - 1 = -9 x = -8 |
A = 3 x - 1 = 3 x = 4 |
x - 1이라는 식을 A라는 문자로 치환한 후에 다시 원래 식으로 되돌아와서 x를 구할 수 있었어요.
괄호가 있으니까 괄호를 전개해서 계산해도 되지만 전개하지 않고 치환하는 게 훨씬 쉬워요.
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인수분해, 공통인수로 인수분해
인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
인수분해 공식 두 번째
복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환
복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때
이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
이차방정식 근의 공식을 다 외우셨나요? 근의 공식을 외우지 못했다면 근의 공식, 근의 공식 유도를 보고 공식을 얼른 외우세요. 중 3수학에서 가장 중요한 내용입니다.
이차방정식이란, 이차방정식의 뜻에서 잠깐 얘기했는데, 일차방정식은 근이 하나, 이차방정식은 근을 두 개까지 가질 수 있어요. 두 개까지 가질 수 있다는 얘기는 하나일 수도있고, 두 개일 수도 있고, 하나도 없을 수도 있다는 뜻이에요.
그럼 어떤 경우에 근이 하나인지, 두 개인지, 하나도 없는 지 알아볼까요?
판별식이란?
이차방정식에서 판별식은 근의 공식에서 근호 안에 있는 부분을 말해요. 판별식은 영어로 Discriminant에서 앞글자 D를 따서 D로로 씁니다.
판별식은 이름 그대로 판별하는 겁니다. 뭘 판별하느냐? 여러가지를 판별할 수 있지만 가장 많이 하는 게 근의 개수를 판별하는 거예요.
이차방정식 근의 개수
이차방정식에서 근의 공식을 이용해볼까요?
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 근은 
판별식 D = b2 - 4ac > 0이면 근은 
판별식 D = b2 - 4ac = 0이면 
판별식 D = b2 - 4ac < 0 이면 어떻게 될까요? 우리가 제곱근에서 배웠던 내용을 기억해보세요. 제곱해서 음수가 되는 수는 없죠? 제곱근 안의 수가 0보다 작은 경우는 없어요. 즉, 수가 없는 겁니다. 판별식 D가 0보다 작은 그런 수는 없어요. 따라서 해도 없는 거지요.
| 판별식 | 근의 개수 |
|---|---|
| b2 - 4ac > 0 | 서로 다른 두 근 |
| b2 - 4ac = 0 | 중근 |
| b2 - 4ac < 0 | 근이 없다 |
x2 + 3x - 4 + k = 0가 서로 다른 두 근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.
서로 다른 두 근을 가지므로 판별식이 0보다 커야 해요.
D = b2 - 4ac > 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) > 0
9 + 16 - 4k > 0
4k < 25
아래는 이차방정식이 중근을 가질 조건에서 풀었던 문제인데요. 판별식을 이용하면 좀 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.
x2 + □x + 9= 0가 중근을 가질 때 □ 의 값은?
중근을 가지려면 판별식 D = 0이어야 하죠?
D = b2 - 4ac = 0
□2 - 4 × 1 × 9 = 0
□2 = 36
□ = ± 6
판별식을 이용하여 근의 개수를 구할 수도 있고, 근의 개수를 미리 알려주고 이차방정식의 계수를 묻는 문제도 풀 수 있어요. 근의 공식만 외워두면 판별식은 따로 외울 필요가 없겠죠? 근의 공식을 꼭 외우세요.
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인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
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근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
근과 계수와의 관계
근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이를 이용하면 이제 웬만한 이차방정식의 해는 구할 수 있어요. 그런데 그 과정이 너무 복잡하죠. 이차항의 계수로 나누고, 숫자를 더해주고, 인수분해하고 등등……
그래서 이 과정을 생략하고 바로 근만 구할 방법, 즉 공식이 있어요. 그래서 그 공식은 어떤 식인지 어떤 과정을 거쳐서 만들어지는지 배워볼까요?
이차방정식 근의 공식을 유도하는 과정은 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 과정을 그대로 하면 됩니다. 숫자 대신에 문자를 사용한다는 차이뿐이에요.
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
완전제곱식을 이용해서 이차방정식을 푸는 과정은 아래와 같아요.
- 이차항의 계수로 양변을 나눈다
- 상수항을 우변으로 이항
을 양변에 더해준다.
- 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x+p)2=k
- 제곱근을 이용하여 해를 구한다.
아래 예제를 통해서 한 번 더 확인하세요.
근의 공식 유도
위 복잡한 과정을 생략하고 바로 근만 구하는 공식이 있어요. 다음 표에서 왼쪽은 일반적인 식을 이용한 과정이고 오른쪽은 이차방정식의 일반형을 이용한 과정이에요. 숫자가 문자로 바뀐 것만 다르고 방법과 과정은 모두 같아요. 연습장에 여러 번 써보면서 연습을 해야 합니다.
이제 공식이 어떻게 만들어지는 지 이해하셨죠? 이제 공식을 외워야합니다.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근
근의 공식은 모든 이차방정식의에 사용할 수 있어요. 인수분해가 되던 안 되던 상관없습니다. 앞으로도 계속 사용하는 가장 중요한 공식 중 하나이니까 꼭 외우세요.
근의 공식 - 짝수 공식
근의 공식 중에 짝수 공식이라는 게 있어요. 짝수 공식은 x 일차항의 계수가 짝수(2b')일 때 사용하는 공식이에요. 위에서 봤던 공식으로 풀지 못하는 건 아니지만, 이 짝수 공식을 이용하면 계산이 조금 더 간단해지죠. 외우면 좋지만, 공식이 두 개라서 헷갈린다면 굳이 외우지 않아도 되는 공식이에요.
ax2 + 2b'x + c = 0 (a, b', c는 상수 a ≠ 0)의 근
혹시 시간나면 이차방정식을 푸는 새로운 방법에 대해서도 읽어보세요. 이 글의 유도보다 조금 더 쉬워요.
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이차방정식을 풀 때 제일 쉬운 방법은 인수분해를 이용하는 방법이에요. 그런데 인수분해가 되지 않을 때도 풀 수 있는 방법도 있어야겠죠?
바로 완전제곱식을 이용한 방법인데요. 원래 완전제곱식으로 인수분해가 되면 이차방정식이 중근을 가질 조건처럼 중근을 가집니다. 그런데 인수분해가 되지 않는 식을 완전제곱식으로 바꿔서 x를 구하면 완전제곱식 꼴이긴 하지만 중근을 갖지는 않아요. 잘 구별하세요.
여기서는 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용의 방법을 사용하기 위해서 문제에서 주어진 식을 완전제곱식 형태로 바꾸는 과정을 공부할 겁니다.
완전제곱식 만들기
완전제곱식은 말 그대로 식 전체가 제곱이 되어 있는 경우를 말해요. (x + 5)2같은 거 말이죠. 곱셈공식에서 공부했던 (x + a)2, (x - a)2이 바로 완전제곱식이에요.
x2 + 4x + 1 = 0
위 식은 인수분해가 되지 않아요. 그리고 제곱근을 이용할 수도 없네요. 그래서 제곱근을 이용할 수 있도록 식의 모양을 완전제곱식으로 바꿔줄 겁니다.
1단계는 상수항을 우변으로 이항하는 거예요. 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용에서도 상수항은 우변으로 이항했었죠?
x2 + 4x = -1
좌변을 완전제곱식으로 바꿀 거예요. 완전제곱식은 어떤 특징이 있다고 했죠? 일차항의 계수와 상수항 사이에는 아래같은 관계가 있어요.
x2 + 4x = -1에 일차항의 계수를 이용해서 상수항을 만들어 주는 거예요. 상수항은 
좌변을 완전제곱식으로 인수분해 할 수 있어요.
(x + 2)2 = 3
이제는 제곱근의 정의를 이용할 수 있죠?
이차방정식의 해는 특별한 조건이 없으면 실수 범위에서 구하는 거니까 위의 값이 해가 돼요.
x2 - 2x - 6 = 0
2x2 -8x + 3 = 0
이번에는 x2의 계수가 1이 아닌 2네요. 위에서 했던 건 x2의 계수가 1이었으니까 우리가 해봤던 형태로 바꿔보죠. 어떻게요? 양변을 x2의 계수인 2로 나눠주는 거죠.
이 되겠네요. 나머지는 위와 모두 같아요.
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이차방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있어요. 앞에서는 인수분해를 이용해서 이차방정식을 풀었는데, 이번에는 다른 방법 이용해서 풀어보죠.
바로 제곱근을 이용하는 방법인데요.제곱근이 뭐죠?
위처럼 되어 있을 때 x를 a의 제곱근이라고 하죠.
제곱근을 구하는 것처럼 이차방정식에서도 좌변을 제곱, 우변을 상수항으로 모양을 바꿔서 미지수의 값을 구할 수 있어요.
a(x + p)2 = k (a, k는 상수, k ≠ 0)
x2 - 4 = 0
상수인 4를 우변으로 이항해보세요. x2 = 4가 돼요. 제곱근을 구할 때 많이 봤던 형태네요. x가 얼마인가요? x = ±2입니다.
제곱근의 성질을 이용해서 이차방정식을 풀었어요. 어렵지 않죠?
(x + 3)2 - 16 = 0
마찬가지로 상수인 16를 우변으로 이항해보세요. (x + 3)2 = 16가 됐어요.
제곱근의 성질을 이용하면 x + 3 = ± 4가 돼요. 식이 두 개가 나오네요. x + 3 = 4, x + 3 = -4라는 식에서 각각 x의 값을 구할 수 있어요.
| x + 3 = 4 x = 1 |
x + 3 = -4 x = -7 |
3(2 x + 5)2 - 75 = 0
이번에는 제곱된 식 앞에 3이 곱해져 있군요. 상수인 75를 이항한 후 양변을 3으로 나눠주면 돼요.
3(2x + 5)2 = 75
(2x + 5)2 = 25
2x + 5 = ±5
| 2x + 5 = 5 2x = 0 x = 0 |
2x + 5 = -5 2x = -10 x = -5 |
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이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식의 해가 하나일 때, 이 해를 중근이라고 해요. 사실 해는 두 개인데, 이 두개가 중복되기 때문에 중근이라고 하는 겁니다.
해가 하나만 있다고 해서 중근이라고 하면 안되요. 예를 들어 x = 2, x = -5라는 해가 나왔는데, 문제에서 x > 0 이라는 조건이 주어져서 x = 2라는 해만 답이 될 때는 중근이라고 하지 않아요. x는 중복되는 게 아니니까요.
이차방정식이 중근을 가지는 지 확인하는 방법은 두 가지가 있는데, 이 글에서는 먼저 한가지만 알아볼꺼에요. 다른 한 가지는 판별식을 이용하는데 나중에 보도록 하죠.
이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식이 중근을 가지려면 AB = 0 에서 살펴봤듯이 A2 = 0이라는 완전제곱식 형태가 되어야 해요. 이렇게 됐을 때 다항식 A = 0 이 되어서 똑같은 근이 두 개 생기잖아요.
이차방정식의 해가 중근 = 완전제곱식
전개의 반대과정이 인수분해니까 인수분해해서 완전제곱식이 되는 건 거꾸로 완전제곱식을 전개해서 이차방정식과 비교해도 되겠죠?
이차항의 계수가 1일 때
완전제곱식 (x + a)2을 전개해보면 x2 + 2ax + a2가 돼요.
여기서 x의 일차항의 계수와 상수항을 비교해 볼께요. 어떤 관계가 있나요?
x2 + □x + 9 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
일차항의 계수인 □의 절반의 제곱이 상수항인 9와 같아야하니까 아래처럼 풀 수 있어요.
따라서 □는 6 또는 -6이 되네요.
일차항의 계수는 ± 값 2개가 있다는 점 주의하세요.
x2 - 10x + △ = 0가 중근을 가질 때 △의 값은?
일차항과 상수항의 관계를 이용해서 중근을 가질 때 계수들을 구할 수 있겠죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때
위 경우에는 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때에 사용하는 방법이고요. 만약에 이차항의 계수가 1이 아니라면 양변을 이차항의 계수로 나눈 다음에(이차항의 계수를 1로 만든 다음) 같은 방법으로 하면 되겠지요.
아니면 아래 방법으로 구해도 되고요.
3x2 + □x + 75 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
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한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
중3 수학 목차
중학교 3학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 실수와 식의 계산
- 인수분해
- 이차방정식
- 이차함수
- 통계
- 삼각비
- 원의 성질
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식의 풀이법 중 가장 쉬운 방법은 인수분해를 이용한 방법이에요. 이전 단원에서 인수분해 연습을 많이 해봤으니 이번에 공부할 내용은 그리 어렵지 않을 거예요.
AB = 0
어떤 두 수 a, b를 곱했더니 0이 되었어요. 이게 의미하는 게 뭘까요? 두 수 중의 하나는 반드시 0이라는 뜻이에요. 물론 두 수 모두가 0일 수도 있어요.
마찬가지로 두 다항식을 곱했더니 0이 되었다는 건 두 식 중 하나는 0이라는 거죠. 두 식 모두가 0일 수도 있고요.
AB = 0 은 A = 0 이거나 B = 0이라는 얘기입니다.
AB = 0 <=> A = 0 or B = 0
이 성질(?)을 이용해서 이차방정식을 풀 수 있어요.
이차방정식 ax2+ bx + c = 0의 좌변을 인수분해해서 다항식의 곱으로 표시하면 AB = 0 의 꼴로 바뀌겠죠. 여기에서 다항식 A = 0일 때의 x 값, B = 0일 때의 x값이 이차방정식의 해가 되는 거예요.
x2 - 5x + 6 = 0의 해를 구하여라.
이차방정식의 좌변인 x2 – 5x + 6을 인수분해하면 (x – 2)(x – 3) = 0이죠. 두 다항식을 곱했더니 0이 되었단 말은 x – 2 = 0이거나 x – 3 = 0이라는 뜻이에요. 즉, x = 2이거나 x = 3 이라는 거죠. 그래서 위 이차방정식의 해는 x = 2 또는 x = 3입니다.
2x2 + 8x + 8 = 0의 해를 구하여라.
좌변을 인수분해하면
2x2+ 8x + 8 = 0
2(x2 + 4x + 4) = 0
2(x + 2)2 = 0
2(x + 2)2 = 0은 2 × (x + 2) × (x + 2) = 0이죠. 제일 앞에 있는 2는 0이 될 수 없어요. 그래서 상수 부분은 그냥 넘어갑니다. x + 2 = 0 이거나 x + 2 = 0인데, 어차피 둘이 똑같으니까 한 번만 써주면 돼요. 그래서 위 문제에서 이차방정식의 해는 x = -2예요.
이처럼 이차방정식의 해 두 개가 같아서 결과적으로 해가 하나만 있을 때 이 해를 중근이라고 합니다. 이차방정식이 중근을 가지려면 완전제곱식 형태가 되어야하는 데 자세한 건 다음에서 알아보죠.
이차방정식이란, 이차방정식의 뜻
1학년 때 일차방정식의 뜻, 이항을 공부했죠? 2학년 때는 연립방정식을 공부했고요. 3학년 때는 새로운 방정식을 공부할 거예요. 기본적으로 방정식이니까 1, 2학년 때 공부했던 방정식의 특징을 그대로 다 가지고 있어요.
새로 공부할 방정식은 이차방정식이에요. 방정식이 뭔지는 다 알죠? 식에 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말해요. 앞에 이차라는 말이 붙어있으니까 최고차항의 차수가 2인 방정식이 바로 이차방정식이에요.
x에 관한 일차방정식은 x가 한 번만 곱해져 있었죠. 이차방정식은 x가 두 번 곱해져서 x2으로 표현할 수 있는 식입니다.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
이차방정식을 위 형태로 나타내는데, 이런 형태를 일반형이라고 불러요. 만약에 a = 0이라면 최고차항의 차수가 1이라서 이차방정식이라고 할 수 없겠죠. 그래서 a ≠ 0인지 꼭 확인해야 해요.
b와 c는 0이어도 상관없어요. 최고차항인 x2항만 있으면 되니까요.
이차방정식인지는 모든 동류향을 정리해서 계산한 후의 모양으로 판단해요. 괄호가 있으면 괄호를 풀고 더할 건 더하고 뺄 건 빼야겠죠.
이차방정식의 해, 근
방정식의 해(또는 근)는 그 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 말해요. 일차방정식에서는 해가 몇 개였죠? 식 하나에 해가 한 개였어요. 이차방정식에서는 최대 2개까지 해를 가질 수 있어요. 최대 2개까지란 말은 하나일 수도 있고, 없을 수도 있고, 두 개일 수도 있다는 얘기예요. 해의 개수에 관한 건 나중에 더 공부하기로 하죠.
해를 두 개를 갖기때문에 각각의 해를 보통은 α, β로 써요. 알파, 베타라고 읽고요.
x= α가 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해라면 x = α를 대입했을 때 식이 참이돼요.
x = α가 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해 <=> a × α2 + b × α + c = 0
이차방정식의 해는 문제에서 특별한 조건이 없다면 실수 전체의 범위에서 구합니다. 무리수도 해가 될 수 있어요.
방정식과 일차방정식을 이미 공부했으니까 이차방정식이라는 용어에 대해서는 그리 어렵지 않게 이해할 수 있을 거예요.
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