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이번에는 도수분포표를 보고 분산과 표준편차를 구하는 방법이에요. 분산과 표준편차에서 얘기한 것처럼 표준편차를 구하려면, 평균 → 편차 → 분산 → 표준편차의 순서대로 구해야 해요.

그런데 도수분포표에서 평균 구하는 방법은 일반적인 평균구하는 방법과 달랐죠? 도수분포표에서의 평균 구하기에서 했던 방법으로 평균을 먼저 구해야 해요. 미리 확인하세요.

이 글에서는 1학년 때 배웠던 도수분포표 관련 내용과 앞에서 배운 산포도의 내용이 모두 총망라돼서 나와요. 산포도 구하는 방법과 공식을 꼭 기억하고 있어야 해요.

도수분포표에서 분산과 표준편차 구하기

도수분포표에서 분산과 표준편차를 구할 때 가장 중요한 것은 도수예요. 일반적인 변량들로 된 자료에서는 각각의 값들을 정확하게 알 수 있어요. 하지만 도수분포표는 정확한 값을 알 수 없기 때문에 계급값을 이용하죠. 그리고 계급값을 이용하여 얻은 값들은 도수가 포함되지 않은 값들이에요. 따라서 값에 도수를 곱해줘야 우리가 원하는 걸 얻을 수 있어요.

뭔 말인지 모르겠죠? 실제로 구해보면서 정리해보죠. 아래같은 도수분포표가 있다고 해볼까요?

평균 → 편차 → 분산 → 표준편차를 구해야 해요.

분산과 표준편차를 구할 때는 아래처럼 표를 이용해서 구하는 게 알아보기 쉽고 편해요.

1. 계급값은 각 구간의 양 끝값을 더해서 2로 나눈 값이죠? 도수분포표, 변량, 계급, 계급값, 도수에서 계급값 구하는 방법도 해봤어요. 계급값을 이용해서 평균을 구했더니 85가 나왔네요.
   
   
2. 평균을 구한 다음에는 편차를 구해야 해요. 편차 구하는 공식의 변량 자리에 계급값을 넣어주세요.
   
   
3. 편차를 구한 다음에는 분산을 구해야 하는데요. 분산은 편차의 제곱의 평균이라고 했어요. 그런데 도수분포표에서는 편차 제곱에 도수를 구한 것들의 평균이에요. 편차의 제곱에 도수를 꼭 곱해줘야 해요.
   
   일반적인 변량이었다면 각각 편차를 구해서 더했을 텐데, 도수분포표에서는 각각의 편차를 구할 수 없기때문에 대표인 계급값을 이용했던 거거든요. 그런데 같은 계급값을 갖는 변량이 도수의 개수만큼 있잖아요. 특정한 계급값을 대표로 갖는 도수의 개수만큼을 곱해줘야 해당 계급의 변량들의 값을 모두 더한 게 되는 거죠.
   
   편차의 합은 0이라고 했는데, 위 도수분포표에서 편차의 합은 0이 아니에요. 대신 편차에 도수를 곱해서 더하면 0이 되는 겁니다.
   
   
   각 계급의 (편차)² × 도수를 구한 다음에 도수의 총합으로 나누면 그게 바로 분산입니다. 분산이 60이 나왔네요.
4. 마지막으로 표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 거니까 가 되네요.
   
   

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산포도에 대해서 알아보고 있어요. 산포도에서 가장 많이 쓰이는 게 이번 글에서 다룰 분산과 표준편차에요.

한 번의 계산으로 구해지는 게 아니라 여러 단계를 거쳐서 구해야 하는 조금은 귀찮고 까다로울 수 있는 내용이에요. 반대로 단계별 순서만 기억하면 계산은 어렵지 않아서 쉽게 구할 수 있어요.

산포도와 편차에서 바로 이어지는 내용이니까 미리 읽어두세요. 분산과 표준편차의 뜻과 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

분산

편차는 음수와 0, 양수가 섞여 있어요. 다 더하면 0이고, 평균도 0이 되지요. 따라서 편차의 평균으로는 산포도를 알 수 없어요.

새로운 뭔가가 필요해서 음수 없이 양수만 나오게 하려고 편차를 제곱하는 방법을 이용합니다. 이 편차 제곱의 평균을 이용해서 산포도를 구하게 된 거죠.

분산은 편차 제곱의 평균이에요. 제곱의 평균이니까 일단 편차를 전부 다 제곱해서 더한 다음 편차(변량)의 개수로 나누어야겠죠?

표준편차

분산을 구했더니 이게 제곱한 값들의 평균이라서 값이 너무 커질 때가 있어요. 제곱한 거니까 원래대로 돌려주려면 어떻게 해야하나요? 제곱근을 씌우면 되죠?

표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 거예요. 제곱근을 씌웠으니까 양수인데요. 0이 될수도 있어요. 즉, 분산의 음이 아닌 제곱근을 말해요.

표준편차를 구하는 순서는 조금 복잡하네요.

표준편차 구하는 순서: 변량의 평균 → 편차 → 분산 → 표준편차

결국 표준편차를 구하려면 평균과 편차, 분산을 모두 구해야 해요.

19, 20, 21, 19, 26의 표준편차를 구하여라.

표준편차를 구하라고 했어요. 위해서 했던 것처럼 표준편차를 구하려면 평균 → 편차 → 분산 → 표준편차의 순서대로 구해야 해요. 순서대로 구해보죠. 표를 이용해서 구해볼까요?

① 평균 = (19 + 20 + 21 + 19 + 26) ÷ 5 = 21이네요.

② (편차) = (변량) - (평균)으로 구할 수 있고요.

③ 분산은 (편차)²의 평균이니까 각각의 제곱을 구해서 더해야겠죠. 그다음 평균을 구했더니 6.8이 나왔어요.

이제 문제에서 구하려고 하는 표준편차를 구할 차례인데, 표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 거에요. 따라서 이 되네요.

자료의 분산과 표준편차가 크면 클수록 그 자료는 평균을 중심으로 멀리 흩어져있다고 할 수 있죠. 분산과 표준편차는 산포도의 한 종류니까요. 단순히 분산과 표준편차를 구하는 것에 그치지 말고, 그 수치가 어떤 의미를 가졌는지도 알아야 해요.

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대푯값에 대해서 알아봤어요. 평균, 중앙값, 최빈값이 있었죠? 대푯값은 말 그대로 변량들의 특징을 대표적으로 나타낼 수 있는 값이에요.

그런데 이번에는 자료의 대표적인 특징이 아니라 자료가 어떻게 분포되어 있는지 알고 싶어요. 대푯값으로는 알 수가 없거든요.

그래서 자료의 분포를 쉽게 알아볼 수 있는 값을 구해야 하는데 그게 바로 산포도입니다.

산포도

산포도는 자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값이에요. 산포는 분포랑 비슷한 뜻이에요.

산포도도 대푯값처럼 딱 하나만 있는 게 아니라 여러 가지 종류가 있어요. 그중에서도 분산과 표준편차가 가장 많이 쓰이는데, 이것에 대해서는 다음 글 분산과 표준편차에서 자세히 설명할게요.

산포도는 평균에 얼마나 가까이 있느냐, 평균에서 얼마나 멀리 있느냐를 통해서 자료가 흩어진 정도를 알아보는 방법이에요. 따라서 평균을 제일 먼저 구해야 해요. 자료의 변량이 평균에 가까이 있으면 "산포도가 작다"고 하고, 평균에서 멀리 떨어져 있으면 "산포도가 크다"고 해요.

편차

산포도는 평균에서 얼마나 떨어져 있느냐가 중요하잖아요. 평균에서 얼마나 떨어져 있느냐를 값으로 나타낸 게 편차이에요. 편차는 아래 공식으로 구해요.

변량이 평균보다 크면 편차 > 0이고, 변량이 평균보다 작으면 편차 < 0이 돼요.

편차의 부호와 상관없이 편차의 절댓값이 작을수록 평균에 가까이 있고, 절댓값이 클수록 평균에서 멀리 떨어져 있는 거죠.

또 하나 기억해야 할 게 편차의 합 = 0이에요.

90, x, 85, 95, 100의 다섯 숫자의 평균이 90일 때 x와 그 편차를 구하여라.

평균 90은 다섯 수를 모두 더해서 5로 나눈 값이죠? 그 과정을 거꾸로 하면 x를 구할 수 있어요.

(90 + x + 85 + 95 + 100) ÷ 5 = 90
90 + x + 85 + 95 + 100 = 450
x = 80

x = 80이에요. 편차 = 변량 - 평균이므로 x의 편차는 80 - 90 = -10이 되네요.

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UN 알죠? 국제연합이라는 기구에요. 여기에는 여러 나라가 가입되어 있어요. UN에서 회의하는데 전 세계에 있는 사람들이 모두 모일 수는 없죠? 그래서 나라마다 1명씩만 나와서 회의를 합니다. 우리나라에서도 한 명이 가겠죠?

이때 우리나라에서 가는 그 한 명을 대한민국 대표라고 하지요? 대표는 어떤 집단의 특징을 잘 나타내야 해요. 우리나라 대표로 가는데 일본사람이나 중국사람이 가면 안 되잖아요.

여러 개의 자료가 있을 때, 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 걸 뭐라고 하는 지, 그 종류에는 어떤 게 있는지, 어떻게 구하는지 알아보죠.

대푯값

대푯값은 위에서 설명한 것처럼 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값이에요. 1학년 때 도수분포표, 변량, 계급, 계급값, 도수에서 공부했던 계급값은 그 계급을 대표하는 대푯값이에요.

계급값 말고도 잘 아는 게 바로 평균이에요. 처음으로 듣게 되는 대푯값으로는 중앙값과 최빈값이 있어요.

평균

평균은 변량 전체의 합을 변량의 총 개수로 나눈 값을 말해요. 평균 구하는 법은 이미 알 테고, 도수분포표에서의 평균 구하기에서 했던 내용은 기억이 나지 않을 수도 있으니 미리 한 번 봐두세요. 도수분포표에서 평균 구하는 건 나중에 또 나오니까 꼭 알고 있어야 해요.

평균

중앙값

중앙값은 이름 그대로 가운데 있는 값이에요. 영어로는 median이라고 하죠. 중앙값을 구하기 전에는 변량들을 작은 값부터 크기 순서대로 나열해야 해요. 그런 다음에 가운데 순서에 있는 값을 구하는 거죠.

3, 6, 9, 2, 4, 5, 8이라는 자료가 있어요. 여기에서 중앙값을 구해볼까요?

중앙값을 구하기 전에는 자료들을 순서대로 나열해야 해요. 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9로 나열할 수 있어요. 자료의 개수가 7개고, 순서상으로 한가운데 있는 값은 네 번째 있는 5네요. 그래서 중앙값은 5예요.

자료의 개수(n)가 홀수개면 번째 값이 중앙값이에요. 위에서는 자료의 개수가 7개니까 (7 + 1) ÷ 2 = 4여서 네 번째 값이 중앙값인 거죠.

자료의 개수(n)가 짝수개면 번째 값의 평균이 중앙값이에요.

10, 30, 40, 20, 60, 70, 90, 80이라는 자료가 있어요. 크기가 작은 순서대로 나열해보면, 10, 20, 30, 40, 60, 70, 80, 90이에요. 총 8개의 자료가 있는데, 한가운데 값은 4, 5번째 수가 되겠죠? 그러면 값이 두 개인데, 이 두 개를 평균 낸 것이 자료의 중앙값이에요. 네 번째 순서에 있는 40과 다섯 번째 순서에 있는 60의 평균인 50이 중앙값입니다.

중앙값
전체 자료의 개수(n)가 홀수일 때 → 째 값
전체 자료의 개수(n)가 짝수일 때 → 째 값들의 평균

최빈값

최빈값은 변량 중에서 도수가 가장 큰 값이에요.

100, 200, 300, 400, 400, 500, 500, 500이라는 자료가 있다고 해보죠. 100, 200, 300은 개수가 하나씩 있죠? 도수가 모두 1이에요. 400은 두 개고, 500은 세 개가 있어요. 400은 도수가 2고, 500은 도수가 3이에요. 여기서는 도수가 3으로 가장 큰 500이 최빈값이에요.

그럼 만약에 100, 100, 200, 200, 300, 300처럼 모든 변량의 도수가 2인 경우에는 어떤 값이 최빈값일까요? 도수가 가장 큰 것도 2고 가장 작은 것도 2잖아요. 이처럼 변량의 도수가 모두 같으면 최빈값은 없어요.

또 100, 200, 200, 300, 300에서는 200과 300이 도수가 2로 같아요. 100은 도수가 1이니까 위처럼 모든 변량의 도수가 같은 경우는 아니지요. 그런데 이렇게 도수가 같은 변량이 여러 개 있을 때는 모두가 다 최빈값이라고 할 수 있어요. 따라서 이 경우의 최빈값은 200과 300입니다.

최빈값: 변량 중에서 도수가 가장 큰 값
           변량의 도수가 모두 같으면 최빈값은 없다.
           변량의 도수가 가장 큰 값이 여러 개이면 최빈값은 2개 이상일 수도 있다. 

평균, 중앙값, 최빈값의 장단점

대푯값에서 평균과 중앙값, 최빈값을 알아봤는데, 각각이 어떤 장단점이 있는지 알아야겠죠? 어떤 자료들의 특징을 대표할 때 어떤 값을 사용하는 것이 대표성을 가장 잘 나타내는지 말이에요.

평균은 모든 자료의 값을 다 이용한다는 장점이 있어요.

중앙값은 1, 1, 1, 2, 2, 2, 100처럼 자료의 값 중 어느 하나가 너무 크거나 너무 작을 때 자료의 특징을 잘 대표할 수 있어요.

최빈값은 가장 많이 발생하는 값을 구할 때 유용하고, 특히 자료가 숫자가 아니어도 사용할 수 있지요. 대신 최빈값은 없을 수도 있고, 2개 이상일 수도 있다는 단점이 있어요.

다음 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 구하여라.
19, 20, 21, 19, 26

평균 = (19 + 20 + 21 + 19 + 26) ÷ 5 = 21

중앙값을 구하기 위해서 작은 거부터 순서대로 써보죠. 19, 19, 20, 21, 26이네요. 전체 자료의 수가 5로 홀수 개니까 (n + 1) ÷ 2 = 3번째 값인 20이 중앙값입니다.

최빈값은 도수가 가장 높은 값이에요. 19의 도수는 2, 나머지 20, 21, 26의 도수는 1이니까 도수가 2인 19가 모두 최빈값이라고 할 수 있겠네요.

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이번에는 이차함수 그래프를 대칭이동 시켜볼꺼에요. 선대칭, 점대칭 이런 용어 들어보셨죠?

우리는 선대칭을 이용할 건데, 그렇다고 아무 선이나 막 그어서 대칭시키는 게 아니에요. 좌표평면에 우리가 자주 보는 선이 두 개 있어요. 바로 x축과 y축이에요. 이차함수 그래프를 두 선에 대칭 시키는 걸 공부할 겁니다.

이차함수 그래프를 평행이동할 때 그래프의 폭과 모양은 바뀌지 않았어요. 이차함수 그래프를 대칭이동 시킬 때는 모양은 바뀌지만 폭은 그대로예요. 즉 그래프를 평행, 대칭이동 시켜도 그래프의 폭은 바뀌지 않는다는 걸 미리 알아두세요.

이차함수 그래프의 x축 대칭이동

아래는 y = (x-1)² + 1 그래프와 이 그래프를 x축에 대칭 시킨 그래프입니다.

y = (x-1)² + 1에서 a = 1이라서 아래로 볼록한 그래프인데, 대칭이동 시켰더니 위로 볼록이 되었어요. 그래프의 폭은 같으니까 1인데, 위로 볼록이니까 음수여야하죠? 그래서 a = -1이에요.

점들을 보세요. (1, 1)이 (1, -1)로, (2, 2)가 (2, -2)로, (3, 5)가 (3, -5)로 바뀌었죠? 이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭시켰더니 어떻게 되나요? x값은 그대로인데, y 값들만 부호가 반대로 되었죠?

이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 시키면 y의 부호가 반대가 돼요. 즉, y 대신에 -y를 넣어주면 돼요.

y = (x - 1)² + 1에 y = -y를 넣어주면
-y = (x - 1)² + 1
y = -(x - 1)² - 1

위의 식에서 a가 1에서 -1로 부호가 바뀌었죠? 그리고 q의 부호도 바뀌었어요.

y = a(x - p)² + q에 y대신 -y 대입
-y = a(x - p)² + q
y = -a(x - p)² - q

이차함수 그래프의 y축 대칭이동

아래는 y = (x - 3)² + 1의 그래프에요.

y축에 대칭이동 시켰어도 그래프는 그대로 위로 볼록한 모양이에요. a 값의 변화가 없다는 얘기에요.

점을 한 번 살펴볼께요. (3, 1)이 (-3, 1)로, (4, 2)가 (-4, 2)로, (5, 5)가 (-5, 5)로 바뀌었어요. y는 그대로인데, x는 부호가 반대로 바뀌었죠? 따라서 함수식에서도 x 대신 -x를 넣어주면 돼요.

y = (x-3)² + 1에 x = -x를 대입해보죠.
y = (-x - 3)² + 1
y = {-(x + 3)}² + 1
y = (x + 3)² + 1

x = -x를 대입했더니, 완전제곱식 부분의 부호가 반대로 바뀌었죠? 뒤에 q 부분은 바뀌지 않았어요.

y = a(x - p)² + q에 x대신 -x대입
y = a(-x - p)² + q
y = a{-(x + p)}² + q
y = a(x + p)² + q

이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

이차함수의 평행이동과 대칭이동을 잘 비교해서 차이를 알아야 해요.

이차함수의 평행이동

이차함수 y = ax²의 그래프를 x축으로 p만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p 대입
     y = ax² → y = a(x - p)²
이차함수 y = ax²의 그래프를 y축으로 q만큼 평행이동 시키면 y 대신 y - q 대입
     y = ax² → y - q = ax² → y = ax² + q
이차함수 y = ax²의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p, y 대신 y - q 대입
     y = ax² → y - q = a(x - p)² → y = a(x - p)² + q

이차함수 그래프의 대칭이동

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프를 x축에 대칭이동 시키면 y 대신 -y 대입
      y = a(x - p)² + q → y = -a(x - p)² - q
이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프를 y축에 대칭이동 시키면 x 대신 -x 대입
      y = a(x - p)² + q → y = a(x + p)² + q

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이차함수의 마지막 이차함수의 활용입니다. 이차함수는 1학기의 마지막 단원이니까 오늘 내용만 하면 1학기 수학이 다 끝나네요.

활용은 모든 단원에서 하지만 원리는 같아요. 구하는 미지수가 뭔지 찾고, 식 세우고, 계산하는 거죠.

이차함수의 활용은 그런 면에서 이차방정식의 활용과 비슷한 유형의 문제가 많이 나와요. 이차방정식의 활용을 열심히 공부했던 학생이라면 어렵지 않게 느껴질 겁니다.

이차함수의 활용

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
3. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
4. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

함수의 활용 문제에서 대부분 변하는 값을 x로 놓아요. 시간이라든가 길이 같은 게 되죠. 그리고 x에 따라 바뀌는 종속적인 값을 y로 놓아요. 시간에 따라 바뀌는 온도, 가로 길이에 따라 바뀌는 넓이 같은 거죠.

이차함수의 활용에서는 최대, 최소를 구하는 문제가 많이 나오거든요. 최대/최소를 직접 구하거나 최댓값, 최솟값을 가질 때 변수의 값을 구하는 문제요. 따라서 일반형이 아닌 표준형을 많이 사용해요.

또 표준형 y = a(x - p)² + q에서 a에 따라서 최댓값, 최솟값 중 하나만 가지니까 a의 부호도 잘 보죠.

두 수의 합을 주고 곱을 구하는 문제

두 수의 합의 관계식을 주고, 곱의 최댓값을 구하거나 곱이 최대일 때 두 수를 구하는 문제 유형이에요.

실제로 두 수를 주는 건 아니고 두 수의 관계식을 주는 거죠. 예를 들어 두 수의 합이 10이다. 두 수의 차가 20이다 이런 식으로요.

한 수를 x라고 놓으면 다른 수는 관계식에서 구할 수 있어요. 두 수의 합이 10일 때, 한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 10 - x가 되는 거지요. x(10 – x)는 두 수의 곱이 되겠죠?

합이 16인 두 수의 곱이 가장 클 때 그때의 두 수와 곱의 최댓값을 구하여라.

한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 16 - x가 되겠죠? 곱은 x(16 - x)가 될 거고요.

y = x(16 - x)
y = 16x - x²
y = -x² + 16x
y = -(x² - 16x)
y = -(x² - 16x + 8² - 8²)
y = -(x - 8)² + 64

x = 8일 때 곱이 최대가 되고 그 때 곱은 64네요. 한 수가 8이니까 다른 한 수는 16 - 8 = 8이겠고요. 답은 두 수는 8, 8, 곱의 최댓값은 64가 되겠습니다.

도형의 둘레, 넓이 문제

자주 나오는 유형 중 하나가 도형의 둘레와 넓이에 관한 문제예요. 이 유형도 위의 유형과 같아요. 도형의 둘레는 가로, 세로 길이의 합이고 도형의 넓이는 가로, 세로 길이의 곱이잖아요.

둘레의 길이가 36cm인 사각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 가로, 세로 길이를 구하여라.

가로, 세로 길이를 구하라고 했으니까 가로를 x, 세로를 y로 놓으면 될까요? 그렇게 하지 않아요. 가로를 x로 놓으면 가로 x에 따라 바뀌는 넓이를 y로 놓는 거예요.

가로를 x라고 놓으면 세로는 둘레의 길이에서 구할 수 있어요. 둘레는 2 × (가로 + 세로) = 36이니까 세로 길이는 18 - x네요.

직사각형의 넓이는 가로 × 세로니까 y = x (18 - x)라는 함수식을 세울 수 있어요

y = x(18 - x)
y = -x² + 18x
y = -(x² - 18x)
y = -(x² - 18x + 9² - 9²)
y = -(x - 9)² + 81

x = 9일 때 최댓값 81을 가지므로 가로가 9cm일 때 넓이가 최대예요. 가로가 9cm니까 세로는 18 - 9 = 9cm군요.

가로, 세로 길이가 모두 9cm인 정사각형일 때 넓이가 최대네요.

이차함수에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

함수의 최댓값과 최솟값은 바로 y값을 말하는 거지요. 따라서 y의 범위를 구하면 돼요. y의 범위를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠.

일반적으로 x의 범위가 주어지지 않으면 x는 실수 전체라고 생각해요. 범위가 주어졌을 때는 그 범위에 맞게 해야겠지요. 또 범위가 주어지지 않더라도 사람 수나 길이 등은 양수나 자연수라는 것도 잊으면 안돼요.

최대, 최소를 구할 때는 y의 범위를 바로 알 수 있는 이차함수의 표준형을 이용해요. 일반형으로 나와 있으면 표준형으로 고쳐요.y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형

이차함수 최솟값

이차함수의 그래프를 생각해보죠. y = a(x - p)² + q에서 a > 0이라고 해보죠. 그래프는 어떻게 되나요? a > 0이면 그래프는 아래로 볼록인 모양이에요. 아래로 볼록이니까 그래프에서 가장 아래에 있는 곳의 y값은 꼭짓점의 y좌표예요. 꼭짓점의 y좌표는 q잖아요. 따라서 y의 범위가 y ≥ q죠. y는 q보다 크니까 최솟값은 q예요.

그럼 최댓값은 얼마일까요? 그래프를 다시 한 번 보죠. 대칭축을 기준으로 또는 꼭짓점을 기준으로 좌우 양쪽으로 가면 갈수록 y는 커져요. x축의 오른쪽으로 얼마나 갈 수 있을까요? 끝도 없이 가겠죠? 그렇다면 그에 해당하는 y값도 끝도 없이 커질 거예요. x축 왼쪽으로도 마찬가지죠. 무슨 말이냐면 y가 끝을 알 수 없는 값을 가진다는 거예요. 그래서 그 끝을 알 수 없으므로 최댓값이라는 게 존재하지 않는 거죠.

• a > 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최댓값은 구할 수 없다.

이차함수의 최댓값

이번에는 y = a(x - p)² + q에서 a < 0이라고 해볼게요. 그래프는 위로 볼록한 모양이에요. 위로 볼록한 그래프에서 가장 높은 곳에 있는 점은 꼭짓점이죠? y값의 범위가 y ≤ q예요. 최댓값이 q라는 얘기죠.

최솟값은 x축 양쪽으로 가면 갈수록 작아져서 가장 작은 값을 알 수 없어요. 최솟값은 구할 수 없어요.

• a < 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최솟값은 구할 수 없다.

이차함수 y = a(x - p)² + q에서 x의 범위가 주어지지 않으면 이차함수는 최댓값 또는 최솟값 중 하나만
a > 0이면 최솟값만
a < 0이면 최댓값만
최댓값/최솟값은 꼭짓점의 y 좌표. x = p일 때 y = q

x의 범위가 주어졌을 때 최대, 최소

보통 흔한 경우는 아닌데, x의 범위가 주어질 때가 있어요. 문제에서 x의 범위를 따로 주는 건 아니고 사람 수라든가 길이, 개수 이런 식으로 특정한 범위를 가질 수밖에 없는 값들이 주어지요. 예를 들어서 20명의 사람이 있는데, 어쩌고 저쩌고에서는 “0 ≤ x ≤ 20인 자연수”라는 범위를 갖는 거죠

이럴 때도 기본적으로 a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값을 갖는 건 같아요. 이건 바뀌지 않아요. 추가로 x 범위의 경계에서 최대, 최소를 가질 수 있다는 건데요.

a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최댓값을 가져요.
a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최솟값을 가져요.

물론 식에 양쪽 경계의 값을 넣어서 나온 결과를 비교할 수도 있는데요. 간단하게 구하려면 축의 방정식 즉, 꼭짓점의 x좌표에서 더 먼 쪽에서 최대/최소를 가져요.

이차함수식에서 미지수를 구하면 함수식을 완성시킬 수 있어요. 그런데 이차함수 식을 구하는 것이 아니라 계수의 부호를 판별하는 유형의 문제도 자주 나와요. 이번 글에서는 이차함수의 계수의 부호를 알아내는 방법을 공부합니다.

부호를 구하는 데 무작정 구할 수는 없죠? 바로 그래프를 보고 부호를 판단해야 해요.

이차함수는 두 가지 유형으로 표현하죠? 하나는 표준형, 다른 하나는 일반형 이렇게요.

두 가지 유형에서 계수의 부호을 어떻게 구하는 지 알아볼까요?

y = a(x-p)² + q에서 a, p, q 부호 찾기

이차함수의 표준형에서 계수는 a, p, q 에요.

가장 먼저 알 수 있는 건 a에요. a는 그래프의 모양을 보고 판단합니다. 어떤 모양이요? 어디로 볼록한 지를 보는 거죠.

a < 0 이면 그래프는 위로 볼록이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록이에요. 그러니까 그래프가 아래로 볼록이면 a > 0이고, 위로 볼록이면 a < 0인 거죠.

그 다음은 p, q인데요. p, q는 뭐죠? 그래프의 꼭짓점의 좌표에요. 그러니까 꼭짓점이 어디에 있는지 보면 p, q의 부호를 알 수 있겠죠? 꼭짓점이 1사분면에 있다면 p > 0, q > 0 이런 식으로요.

y = a(x-p)² + q에서 a, p, q의 부호
a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
p는 꼭짓점의 x좌표의 위치: y축 왼쪽이면 p < 0, y축 오른쪽이면 p > 0
q는 꼭짓점의 y좌표의 위치: x축 아래면 q < 0, x축의 위면 q > 0

아래 y = a(x-p)² + q의 그래프를 보고 a, p, q의 부호를 구하여라.

왼쪽에 있는 그래프 먼저 볼까요?

그래프가 아래로 볼록이니까 a > 0이고요. 꼭짓점이 3사분면에 있어요. 3사분면(x<0, y<0)에 있으니까 p < 0, q < 0 이에요.

오른쪽 그래프는 위로 볼록이네요. 그래서 a < 0이고, 꼭짓점이 1사분면에 있으니까 p > 0, q > 0이에요.

y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호 구하기

먼저 a부터 부호를 구해보면요. 이차항의 계수인 a는 위에서와 마찬가지로 그래프의 모양, 즉 볼록한 방향을 보고 판단합니다. 똑같아요. 위로 볼록이면 a < 0, 아래로 볼록이면 a > 0이지요.

그 다음에는 c를 볼까요? c는 y 절편이에요. 따라서 y 절편이 x축 위면 c > 0, y 절편이 x축 아래면 c < 0이 되지요.

a와 c는 그래프를 보면 바로 알 수 있겠죠? 문제는 b인데, 이건 좀 복잡해요.

y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형에서 일반형 함수식을 표준형으로 바꾸는 법을 알아봤어요. 이 때는 a, b, c에 숫자가 있었는데, 이걸 숫자가 아닌 문자 그대로 바꾸면 어떻게 되나면요. 어쩌고 저쩌고가 돼요.

꼭짓점의 x 좌표 그러니까 축의 방정식이 가 되거든요. 따라서 꼭짓점의 x좌표가 어디인지를 보면 b의 부호를 알 수 있어요.

가 y축의 왼쪽에 있다고 해보죠.

이게 무슨 말이냐면 b를 2a로 나눴더니 양수가 된다는 말은 둘의 부호가 서로 같다는 뜻이죠. a와 b의 부호가 같은데, a의 부호는 그래프의 볼록한 방향에서 알 수 있으니 b의 부호도 알 수 있는 거죠.

가 y축의 오른쪽에 있다고 해보죠.

이번에는 b를 2a로 나눈 게 음수가 됐어요. 둘의 부호가 서로 반대라는 뜻이죠. 마찬가지로 a는 그래프의 볼록한 방향으로 알 수 있고, b는 a와 반대 부호를 가진다는 걸 알 수 있겠죠.

이거를 좌동우이라는 말로 표현해요. 그러니까 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고, 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 다르다라는 말이에요.

y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호
a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
b는 좌동우이: 대칭축이 y축의 왼쪽이면 a, b의 부호가 같고, 대칭축이 y축의 오른쪽이면 a, b의 부호가 반대
c는 y절편: y절편이 x축보다 위에 있으며 c > 0, y절편이 x축보다 아래 있으면 c < 0

아래 y = ax² + bx + c의 그래프를 보고 a, b, c의 부호를 구하여라..

왼쪽에 있는 그래프 먼저 볼까요?

그래프가 아래로 볼록이니까 a > 0이고요. 대칭축이 y축 왼쪽에 있죠? 좌동우이니까 b의 부호는 a의 부호와 같아요. a > 0이니까 b > 0이네요. y절편이 x축보다 아래 있어서 c < 0이에요.

답은 a > 0, b > 0, c < 0 입니다.

오른쪽 그래프는 위로 볼록이니까 a < 0이고요. 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으니까 a와 b의 부호가 반대에요. 따라서 b > 0이죠. y절편은 x축보다 아래 있어서 c < 0입니다.

답은 a < 0, b > 0, c < 0이네요.

이제 이차함수의 그래프와 그래프의 평행이동에 대해서 알아봤으니까 식 구하는 걸 한 번 해보죠. 일차함수 식 구하는 것도 기억이 나나요?

일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기, 그래프를 보고 직선의 방정식 구하기

일차함수에서 처럼 여러가지 특징을 가지고 또는 그래프에서 특징들을 알아낸 다음에 이차함수를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.

이차함수는 y = a(x-p)² + q도 쓰고, y = ax² + bx + c로도 써요. 이차함수 식을 구한다는 얘기는 a, p, q를 구하거나 a, b, c를 구한다는 얘기가 되겠죠.

점의 좌표를 주고 이차함수를 구하라고 하는데요. 이차함수가 특정한 점을 지난다는 얘기는 점의 좌료를 식의 x, y에 대입하면 식이 참이 된다는 뜻이에요. 그래서 점의 좌표를 식에 넣어서 미지수를 구하게 돼요.

꼭짓점의 좌표와 다른 한 점의 좌표를 알 때

이차함수의 표준형 y = a(x-p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)에요. 이걸 거꾸로 하면 꼭짓점이 (p, q)이면 그 함수식은 y = a(x-p)² + q가 된다는 얘기죠.

우리가 알고 싶은 건 a, p, q인데, p, q는 꼭짓점의 좌표에서 알았으니 이제 a만 알면 되겠죠? 이 a를 구하려면 꼭짓점과 함께 주어진 점의 좌표를 위 식에 대입하세요. 문자는 a만 남게되니까 일차방정식으로 풀 수 있어요.

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이고 (2, 4)를 지나는 포물선을 구하여라.

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)면 이차함수 표준형은 y = a(x-1)² + 2가 돼요. 여기에 x = 2, y = 4를 대입해볼까요?
4 = a(2-1)² + 2
4 = a + 2
a = 2

a를 구했어요. 따라서 구하는 이차함수 식은 y = 2(x-1)² + 2가 됩니다.

축의 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표를 알 때

축의 방정식은 바로 꼭짓점의 x 좌표와 같아요. 꼭짓점의 x좌표가 1이라면 축의 방정식은 x = 1이 돼요. 꼭짓점의 x좌표가 10이라면 축의 방정식은 x = 10이 되고요. 꼭짓점의 x좌표를 알려준 것과 축의 방정식을 알려준 것은 결국 같은 정보를 준 겁니다.

y = a(x-p)² + q에서 꼭짓점의 x좌표인 p를 구했으니 이제 a와 q만 구하면 되겠죠? 이 함수식에 서로 다른 두 점의 좌표를 각각 대입하세요. 그러면 미지수가 a와 q가 있는 연립방정식이 돼요. 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풀면 a, q를 구할 수 있겠죠?

연립방정식의 풀이법 - 가감법 1, 연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째, 연립방정식의 풀이법 - 대입법

축의 방정식이 x = -1이고 (-1, 2), (1, -2)를 지나는 이차함수를 구하여라.

축의 방정식이 x = -1이니까 함수식은 y = a(x+1)² + q가 돼요. 여기에 두 점의 좌표를 대입해보죠.

2 = a(-1+1)² + q, -2 = a(1+1)² + q라는 두 식이 나오네요.

따라서 구하는 이차함수는 y = -(x+1)² + 2가 됩니다.

서로 다른 세 점의 좌표를 알 때

세 점의 좌표를 알 때는 이차함수의 표준형이 아닌 일반형 y = ax² + bx + c를 사용해요. 표준형 y = a(x-p)² + q을 사용하면 p가 제곱이 되어서 구하기가 귀찮거든요.

여기에서는 a, b, c 세 개의 미지수 값을 구해야합니다.

두 점의 좌표를 넣으면 식이 두 개인 연립방정식이 돼죠? 그럼 세 점의 좌표를 넣으면 어떻게 될까요? 식이 세 개인 연립방정식이 돼요. 하지만 미지수가 세개이고 식이 세개인 연립방정식을 푸는 방법을 배우지 않았어요. 그래서 점의 좌표를 줄 때 형식상으로는 세 점의 좌표인 것처럼 보이지만 실제로는 두 점의 좌표만 줍니다.

바로 y 절편을 주기 때문이죠. y = ax² + bx + c에서 c는 y절편이라는 걸 알아요. 그래서 점의 좌표를 줄 때 c를 바로 알 수 있도록 (0, c)라는 점을 줍니다. 제일 먼저 y절편을 이용해서 c를 구해요. 그럼 식에서 모르는 문자는 a, b 두 개죠? 다음에 다른 두 점의 좌표를 식에 넣으세요. 그러면 연립방정식이 돼요.

뭐라고요? x = 0인 점의 좌표를 먼저 찾는 게 중요하다고요.

이해하셨나요? 예제를 볼까요?

세 점 (0, 0), (1, 2), (-1, 4)를 지나는 이차함수를 구하여라.

세 점을 줬는데요. 그중에 주목해야할 점은 바로 (0, 0)이에요. 주의하세요. 원점이 주어졌다고 해서 그게 꼭짓점은 아니에요.

(0, 0)만 먼저 y = ax² + bx + c에 대입해보죠.
0 = a × 0² + b × 0 + c
c = 0

c = 0이므로 식은 y = ax² + bx가 돼요. 이제 미지수는 a, b 두 개만 남았잖아요. 두 점의 좌표를 대입해보죠.

2 = a + b, 4 = a - b 라는 연립방정식이 됐어요. 연립해서 풀어보면 a = 3, b = -1이 돼요.

따라서 구하는 이차함수 식은 y = 3x² - x입니다.

x축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때

x축과의 교점의 좌표를 두 개를 알려줘요. 그게 무슨 의미인지 알아보죠. x 축과의 교점이라는 말은 y = 0이라는 뜻이에요. 이걸 식으로 써보면 0 = ax² + bx + c가 되는 거죠. 이게 뭐죠? 이차방정식이잖아요. 즉 이차방정식의 두 근을 알려주고 식을 구하라는 문제가 같은 형식인 거죠.

합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서 공부했던 내용인데, 다시 정리해보죠.

우변의 0을 y로 바꾸면 돼요.

두 근은 바로 x축과의 교점의 좌표이니까 모르는 건 a만 남겠죠? 이 a는 교점이 아닌 다른 한 점의 좌표를 대입해서 구할 수 있어요.

다만 문제에서 x축과의 교점이라고 얘기해주지 않아요. 그냥 세 점의 좌표만 주는데, 세 점의 좌표 중에서 y = 0인 좌표가 두 개있으면 이 유형의 문제인 것이죠.

세 점 (0, 6), (3, 0), (-2, 0)을 지나는 이차함수를 구하여라.

세 점의 좌표 중 y = 0인 좌표 (3, 0), (-2, 0)을 찾아내야 해요. 이 점을 찾아냈으면 식으로 써봐야겠죠? y = a(x-3)(x+2)라고 놓을 수 있겠군요.

그 다음에 위 식에 (0, 6)을 대입하세요. 6 = a(0-3)(0+2)에서 a = -1인 걸 알 수 있어요.

식으로 쓰면 y = -(x-3)(x+2)인데, 이차함수는 표준형 또는 일반형으로 표현하기때문에 식을 전개해보죠. y = -x² + x + 6이 되는 군요.

그런데, 위 세 점을 자세히 보면 (0, 6)이라는 x = 0인 점의 좌표가 주어졌어요. 따라서 위에서 했던 y = ax² + bx + c에 c = 6으로 놓고 다른 두 점의 좌표를 대입해서 연립방정식으로 풀어도 돼요.

이차함수의 그래프에 대해서 공부하고 있는데, y = a(x - p)² + q꼴 이었어요. 이런 형태를 이차함수의 표준형이라고 해요.

이차방정식에서는 ax² + bx + c = 0 꼴을 이차방정식의 일반형이라고 하는데, 이차함수에도 일반형이 있어요. 이차함수의 일반형은 이차방정식 우변의 0을 y로 바꾸고, 좌우변을 바꾼 y = ax2 + bx + c이에요.

이차함수의 일반형 y = ax² + bx + c

y = ax² + bx + c의 특징을 먼저 알아볼까요?

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프에서 그래프의 모양과 폭을 결정하는 건 뭐죠? 이차항의 계수인 a죠. 일반형에서도 이차항의 계수가 그래프의 폭과 모양을 결정합니다.

y = ax²+ bx + c에서 이차항의 계수는 a이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록이에요. 또 |a|가 클수록 그래프의 폭은 좁아집니다.

x절편은 y = 0일 때의 x좌표죠? y = 0을 넣어볼까요? 0 = ax² + bx + c가 되어서 이차방정식의 해가 x절편이 되는 걸 알 수 있어요.

y절편은 x = 0일 때의 y좌표죠? x = 0을 넣어보면 y = c가 나와요.

일반형은 표준형보다 x, y 절편 찾기가 쉬워요.

표준형은 꼭짓점이나 축의 방정식, y값의 범위를 알아보기가 쉽죠. y = a(x - p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)라는 걸 알 수 있잖아요.

그러니까 꼭짓점을 찾을 때는 표준형, y절편을 찾을 때는 일반형이 편하겠죠. 그래프의 모양이나 폭은 어떤 것이든 상관없고요.

그런데 함수식을 두 가지 형태로 다 주는 건 아니잖아요. 식이 표준형이면 x = 0, y = 0을 대입해서 x, y 절편을 찾을 수 있어요. 하지만 일반형일 때는 그 상태 그대로 꼭짓점이나 y값의 범위를 찾을 방법이 없죠.

그래서 일반형을 표준형으로 바꿔야 해요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

일반형은 x에 관해 내림차순으로 쓰인 식이고, 표준형은 완전제곱식을 포함하고 있는 식이에요. 그러니까 완전제곱식 + 상수항의 꼴이죠.

일반형을 완전제곱식으로 바꾸는 걸 우리는 이미 해봤어요. 바로 “완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이”에서요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 어떻게 했는지 보죠.

1. 이차항의 계수로 양변을 나눈다.
2. 상수항을 우변으로 이항
3. 을 양변에 더해준다.
4. 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x + p)² = k
5. 제곱근을 이용하여 해를 구한다.

x² - 2x - 6 = 0

기억나죠? 정말 많이 해봤던 문제잖아요.

y = ax² + bx + c를 y = a(x-p)² + q로 바꾸기 (일반형을 표준형으로)

이차방정식에서 완전제곱식을 만들었던 것과 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 80% 비슷해요.

다른 건 두 가지. 위의 순서에서 2번에 있는 상수항을 우변으로 이항하는 게 없어요. 그리고 해를 구하는 게 아니니까 5번 단계가 필요 없어요. 두 단계가 줄었으니까 더 편하겠죠?

그다음에는 이차항의 계수로 양변을 나눈다고 했는데, 이걸 “이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶는다.”로 바꾸면 돼요. 인수분해한다는 얘기예요. 을 양변에 더해주는 건 좌변에만 한 번 더해주고 빼주는 걸로 바꿔요. 그 외 나머지는 다 똑같아요.

연습을 한번 해보죠.

y = 2x² + 4x + 5의 꼭짓점의 좌표과 축의 방정식을 구하여라.

먼저 이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶어요.
y = 2(x² + 2x) + 5

을 더해줘야 하는데 어디에 더하냐면 괄호로 묶인 부분 안에 더해줘요. 그리고 원래 식에 없던 값을 더해줬으니까 한 번 빼줘야 원래 식과 같은 식이 되겠죠? 빼주는 것도 괄호 안에 빼줘요. 문제에서는 (2 / 2)² = 1을 더해주고 빼줘야겠네요.

y = 2(x² + 2x + 1 - 1) + 5

괄호 안에 있는 부분 중 앞의 세 항(x₂ + 2x + 1)을 완전제곱식으로 바꿔요.

y = 2{(x + 1)² - 1} + 5

괄호 안에는 완전제곱식과 상수항이 남아있는데, 이 상수항을 괄호 밖으로 빼네요. 이때 주의해야할 건 괄호 앞에 이차항의 계수였던 2가 있으니까 분배법칙을 이용해서 빼내야 한다는 거예요.

y = 2(x + 1)² - 2 + 5
y = 2(x + 1)² + 3

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이와 거의 비슷하죠? 이렇게 표준형으로 바꿨더니 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 구할 수 있겠네요. 꼭짓점은 (-1, 3), 축의 방정식은 x = -1이군요.

한 문제 더 해보죠.

y = -x² + 4x -2의 꼭짓점과 y절편을 구하여라.

꼭짓점은 표준형에서 y절편은 일반형에서 구하는 게 편해요.

문제의 식이 일반형이니까 y절편부터 구해보죠. 이차함수 y = ax² + bx + c에서 x = 0일 때 y 좌표가 y절편이니까 –2네요.

꼭짓점을 구하기 위해서 일반형을 표준형으로 바꿔보죠.

꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이고 y 절편은 -2네요.

이차함수 그래프의 평행이동 마지막입니다. 뭐 거창한 건 아니고요. 앞에서 공부했던 내용들을 한꺼번에 공부하는 거예요.

이차함수그래프를 x축으로도 평행이동 해봤고, y축으로도 평행이동 해봤어요. 이제는 x, y 축 평행이동을 동시에 하는 거예요.

y = ax² 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동한 그래프에 대해서 공부할 거예요. 어렵게 생각하지 마세요. 이 그래프는 y = ax² + q와 y = a(x - p)²의 특징을 모두 갖고 있거든요.

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프

y = ax² 그래프를 y축 방향으로 먼저 q만큼 평행이동한 y = ax² + q 그래프를 다시 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프예요. 순서를 바꿔도 상관없어요.

그래프를 x축으로 평행이동하면 x와 관련된 모든 항목이 바뀌고, y축으로 평행이동하면 y와 관련된 항목이 모두 바꿔요. 그럼 x, y로 평행이동한 그래프는 당연히 x와 y에 관련된 모든 것들이 다 바뀌겠죠π x와 관련된 항목은 p로 y와 관련된 항목은 q로 바꿔보죠.

꼭짓점은 원점 (0, 0) 이었어요. 평행이동하면 어떻게 될까요π (p, q)로 바뀌겠죠π

축의 방정식은요. x하고만 관련이 있잖아요. x = 0 에서 x = p로 바뀌고요.

y값의 범위는 y하고만 관련이 있죠π a < 0이면 y ≤ q가 될 거고, a > 0 이면 y ≥ q가 될 거예요.

이차함수 그래프의 평행이동

a > 0일 때 이차함수 그래프를 평행이동한 그래프에 관한 내용을 정리해볼까요π

그래프
	y = ax2	y = ax2 + q	y = a(x - p)2	y = a(x - p)2 + q
꼭짓점	(0, 0)	(0, q)	(p, 0)	(p, q)
축의 방정식	x = 0	x = 0	x = p	x = p
증가, 감소 기준	x > 0 x < 0	x > 0 x < 0	x > p x < p	x > p x < p
y의 범위	y ≥ 0	y ≥ q	y ≥ 0	y ≥ q

이차함수 그래프가 y축으로 평행이동한 것을 공부했어요. 이 글에서는 이차함수 그래프가 x축으로 평행이동한 경우를 생각해보죠.

이차함수 그래프 y = ax²가 y축으로 q만큼 평행이동하면 y에 관련된 값인 꼭짓점의 y좌표, y의 범위 등이 바뀌죠. 그리고 y와 상관없는 꼭짓점의 x좌표, 축의 방정식 등은 그대로예요.

이차함수의 그래프가 x축 방향으로 평행이동 했을 때는 이차함수 그래프의 특징에서 어떤 값들이 어떻게 바뀌는 지 알아보죠.

이차함수 y = a(x - p)²의 그래프

일차함수든 이차함수든 x, y축 어느 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 일차함수의 그래프에서 기울기나 직선인 모양은 그대로이고요. 이차함수에서도 포물선 모양과 위/아래로 볼록인 것도 그대로예요. 그래프의 폭도 바뀌지 않아요.

특히 이번에는 x축으로 p만큼 평행이동 했을 때를 볼 건데, 이때는 x에 관련된 내용이 모조리 p로 바뀝니다.

y = ax²의 그래프의 꼭짓점은 원점 (0, 0)이었어요. x 관련된 것만 바뀌니까 꼭짓점의 x좌표가 바뀌겠죠? (p, 0)이 돼요.

축의 방정식은 x = 0이었죠? x와 관련된 식이네요. 역시 x = p로 바뀝니다.

x > 0이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 0이면 x가 증가할 때 y는 감소하죠. 여기서 x의 범위도 x > p일 때 x가 증가하면 y가 증가하고 , x < p일 때 x가 증가하면 y가 감소하는 것으로 바뀌죠.

y값의 범위는 x랑 상관없죠? 그래서 바뀌지 않아요.

아래 그래프는 y = x²과 y = (x - 3)²의 그래프에요.

그래프에서 꼭짓점은 (3, 0)이고, 축의 방정식은 x = 3이네요. x > 3이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 3이면 x가 증가할 때 y는 감소하는군요. 찾을 수 있겠죠?

파란색 그래프 위의 점들이 x축 방향으로 3만큼 이동하면 오른쪽 그래프 위의 점들과 일치하죠? 양의 방향으로 3만큼 이동했으니까 x + 3을 해줘야 할 것 같은데, 식은 x - 3이 됐어요. 여기를 주의하세요. 이동한 만큼 빼주는 거예요.

x축으로 p만큼 평행이동한 이차함수 그래프는 x 대신 x - p, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프는 y 대신 y - q를 넣어주세요.

만약 x축 방향으로 -3만큼 이동하면 y = {x - (-3)}² = (x+3)²가 돼요.

y축으로 q만큼 이동한 그래프는 원래는 y - q = ax²인데, q를 이항해서 우리가 아는 y = ax² + + q로 바꾼 거예요.

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이차함수 그래프의 특징
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q
이차함수 그래프, y = (x - p)² + q
이차함수 그래프의 대칭이동

일차함수에서 우리는 제일 처음에 y = ax 에 대해서 공부했어요. 그리고 y = ax 그래프를 y축으로 b만큼 평행이동 시킨 y = ax + b 그래프를 공부했고요.

일차함수의 그래프

이차함수에서 y = ax² 그래프를 공부했으니 y축으로 평행이동한 그래프를 공부해야겠죠? 그게 바로 y = ax² + q예요.

그래프를 평행이동 하면 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 그러니까 폭도 그대로이고, 위로/아래로 볼록한 것도 그대로에요.

일차함수의 그래프에서도 그래프의 기울기나 모양이 바뀌지는 않았어요.

이차함수 y = ax² + q의 그래프

y = ax² + q 그래프는 y = ax² 를 y축으로 q만큼 이동한 그래프에요.

y축에 대해서 q만큼 평행이동 했으니까 y와 관련된 항목들만 바꿔요.

y축 대칭이어서 축의 방정식은 x = 0이었어요. 축의 방정식은 x만 있고 y와 상관없죠? 그래서 축의 방정식은 x = 0 그대로예요.

x가 증가할 때 y가 증가/감소하는 구간도 역시 x > 0 일 때와 x < 0 일 때, 즉 x의 범위에 따라 달라지는 거니까 y와는 상관없어요. 그대로예요.

꼭짓점은 원점(0, 0)에서 (0, q)로 바뀝니다. y축으로 이동했으니 꼭짓점의 y좌표도 이동해야겠죠?

y축으로 평행이동 하면 y값의 범위도 바뀌어야 해요. a > 0이라면 y ≥ q가 될 거고, a <0이라면 y ≤ q가 돼요.

기억하세요. y = ax²가 y축 방향으로 q만큼 이동한 y = ax² + q는 y 관련된 항목, 꼭짓점의 y좌표, y값의 범위만 바뀌고, 다른 것은 그대로라는 걸요.

이번에는 이차함수 그래프의 특징에 대해서 알아볼 거예요. 이차함수 그래프 그리기에서 잠깐 봤지만 이차함수 그래프는 직선이 아니라 곡선, 정확히는 포물선이에요. 가운데 뾰족한 부분이 있고 그 양쪽은 서로 대칭인 모양이죠.

일차함수 y = ax에서 a를 기울기라고 했는데, 이차함수에서는 기울기라는 표현을 쓰지 않아요. 대신 이차항의 계수라고 그냥 편하게 부르면 돼요.

y = x²의 그래프를 그려보았는데요, 이번에는 x²의 계수가 1이 아닌 2, 3…… 일 때 그래프의 특징에 대해서 알아보죠. 또 a의 부호에 따라 그래프가 어떻게 달라지는 지도 알아봐요.

y = ax² 그래프의 성질 (a > 0일 때)

이차함수니까 당연히 a≠0이에요.

아래는 y = x²의 그래프예요. 그래프를 보면서 특징을 하나씩 적어볼게요. a = 1이긴 하지만 a가 2, 3, 4, …여도 특징은 같아요.

그래프를 보면 알겠지만, 그래프는 아래로 튀어나온 모양이죠? 이걸 아래로 볼록한 모양이라고 표현해요.

그리고 원점 (0, 0)을 지나요. 원점을 기준으로 양쪽이 서로 대칭이에요. 이렇게 뾰족한 점을 꼭짓점이라고 해요.

꼭짓점 양쪽의 그래프를 잘 살펴보면 서로 대칭인 것을 알 수 있어요. 선대칭인데, 이 대칭이 되는 선을 대칭축이라고 불러요. 대칭축은 y축이네요. y축을 식으로 나타내면 x = 0이죠. 이 x = 0을 축의 방정식이라고 불러요. 대칭축을 방정식으로 표현했다는 얘기예요.

대칭축을 기준으로 해서 오른쪽 부분은 x가 증가하면 y도 증가하죠. 그런데 축의 왼쪽 부분은 x가 증가하면 y가 감소해요.

x와 y의 범위는 따로 얘기하지 않는다면 실수 전체를 말합니다. 그런데 실제로 y 값들이 실수 전체인가요? 아니죠. y는 원점에서 가장 작고 그 외에는 0보다 커요. 따라서 y값의 범위는 y ≥ 0이에요.

아래는 y = x²와 y = 2x² 그래프를 함께 그린 건데, 계수가 커질수록 그래프는 y축에 가까워지죠? 일차함수 y = ax + b (a > 0)에서도 a가 커지면 그래프는 y축에 점점 가까워졌어요. 이차함수에서는 이걸 폭이 좁아진다고 표현합니다. 즉, a가 커질수록 그래프의 폭이 좁아진다고 하죠.

y = ax² 그래프의 성질 (a < 0일 때)

이번에는 a < 0인 y = -x² 그래프를 보고 특징을 알아보죠.

y = x²의 그래프와 마찬가지로 원점을 지나고, 이 원점을 꼭짓점으로 해요.

y = -x²그래프는 위쪽에 뾰족한 부분이 있죠? 그래서 위로 볼록이라고 해요.

y = x²와 마찬가지로 y축에 대해서 대칭이죠. 그러니까 축의 방정식도 x = 0으로 같아요.

그래프를 보면 가장 큰 y값이 0이고 나머지는 0보다 작죠? 그래서 y값의 범위는 y ≤ 0이에요.

아래는 y = -x²와 y = -2x² 그래프를 함께 그린 건데, 계수가 작아질수록 그래프는 y축에 가까워지죠? 폭이 좁아져요.

계수인 a 가 0보다 클 때는 a가 커지면 폭이 좁아진다고 했는데, a < 0일 때는 계수가 작아져야 폭이 좁아져요. 이걸 한 번에 표현하면 a의 절댓값이 커지면 그래프의 폭이 좁아진다고 할 수 있어요. 일차함수에서도 y = ax + b에서 a의 절댓값이 커지면 그래프는 y축에 가까워지는 걸 알 수 있었어요

y = ax² 그래프의 특징

이차함수 y = 2x²에 대한 설명으로 틀린 것은?
① 원점을 꼭짓점으로 한다.
② x > 0일 때 x가 증가하면 y도 증가한다.
③ y축에 대하여 대칭이다.
④ 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ 제 1, 2사분면을 지난다.

원점을 지나고 y축에 대해 대칭인 것은 a와 상관없는 이차함수 y = ax²그래프의 특징이에요. 그래서 1번과 3번은 맞아요.

y = 2x²는 a가 0보다 크네요. 그래프의 모양을 생각해보죠. x > 0 인 곳은 그래프에서 오른쪽 부분이에요. 오른쪽 부분은 x가 커지면 y도 함께 커져요. 따라서 2번은 맞아요.

a > 0이니까 아래로 볼록한 곡선이죠? 4번은 틀렸네요.

y값의 범위가 y ≥ 0이니까 1, 2 사분면을 지나는 것도 맞아요.

따라서 틀린 것은 4번이네요

이차함수 그래프 그리는 방법을 알아볼꺼에요. 아주 간략하게 그리는 거고, 꼭지점과 y절편 등을 이용해서 그리는 건 나중에 다시 더 배울 거예요.

일차함수의 그래프는 두 점을 찍은 다음 그 점들을 직선으로 연결해서 그래프를 그렸어요.
일차함수 그래프 그리기

하지만 이차함수는 조금 달라요. 직선이 아니거든요.

이차함수의 가장 기본이 되는 y = x²의 그래프를 그려 보자고요.

y = x²의 그래프 그리기

y = x²에 x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...을 대입하면 y = ..., 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, ...가 나와요. 이 점들을 순서쌍을 나타내면 (-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)가 되겠네요. xy 좌표평면에 찍으면 아래처럼 돼요.

딱 봐도 직선으로 연결할 수는 없겠죠? 그럼 어떻게 하느냐? 각 점들이 최대한 매끄럽게 되도록 곡선으로 연결해줍니다. 정확히는 포물선 모양이에요.

원점은 뾰족한 모양이 되고 양쪽으로 곡선 모양이네요.

점을 많이 찍으면 그리기가 더 수월해요. 하지만 좌표 구하기가 더 어렵죠.

y = -x²의 그래프 그리기

y = -x²에 x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...을 대입하면 y = ..., -9, -4, -1, 0, -1, -4, -9, ...가 나와요. 이 점들을 순서쌍을 나타내면 (-3, -9), (-2, -4), (-1, -1), (0, 0), (1, -1), (2, -4), (3, -9)가 되죠. 마찬가지로 점을 표시하고 매끄럽게 곡선으로 연결하면 돼요.