이번에는 도수분포표를 보고 분산과 표준편차를 구하는 방법이에요. 분산과 표준편차에서 얘기한 것처럼 표준편차를 구하려면, 평균 → 편차 → 분산 → 표준편차의 순서대로 구해야 해요.
그런데 도수분포표에서 평균 구하는 방법은 일반적인 평균구하는 방법과 달랐죠? 도수분포표에서의 평균 구하기에서 했던 방법으로 평균을 먼저 구해야 해요. 미리 확인하세요.
이 글에서는 1학년 때 배웠던 도수분포표 관련 내용과 앞에서 배운 산포도의 내용이 모두 총망라돼서 나와요. 산포도 구하는 방법과 공식을 꼭 기억하고 있어야 해요.
도수분포표에서 분산과 표준편차 구하기
도수분포표에서 분산과 표준편차를 구할 때 가장 중요한 것은 도수예요. 일반적인 변량들로 된 자료에서는 각각의 값들을 정확하게 알 수 있어요. 하지만 도수분포표는 정확한 값을 알 수 없기 때문에 계급값을 이용하죠. 그리고 계급값을 이용하여 얻은 값들은 도수가 포함되지 않은 값들이에요. 따라서 값에 도수를 곱해줘야 우리가 원하는 걸 얻을 수 있어요.
뭔 말인지 모르겠죠? 실제로 구해보면서 정리해보죠. 아래같은 도수분포표가 있다고 해볼까요?
점수(점) | 학생 수(명) |
---|---|
60 이상 ~ 70 미만 | 1 |
70 ~ 80 | 3 |
80 ~ 90 | 11 |
90 ~ 100 | 5 |
합계 | 20 |
평균 → 편차 → 분산 → 표준편차를 구해야 해요.
분산과 표준편차를 구할 때는 아래처럼 표를 이용해서 구하는 게 알아보기 쉽고 편해요.
점수 (점) | 학생 수 (명) | 계급값 | 계급값 × 도수 | ②편차 | (편차)2 × 도수 |
---|---|---|---|---|---|
60이상 ~ 70미만 | 1 | 65 | 65 × 1 = 65 | 65 - 85 = -20 | (-20)2 × 1 = 400 |
70 ~ 80 | 3 | 75 | 75 × 3 = 225 | 75 - 85 = -10 | (-10)2 × 3 = 300 |
80 ~ 90 | 11 | 85 | 85 × 11 = 935 | 85 - 85 = 0 | (0)2 × 11 = 0 |
90 ~ 100 | 5 | 95 | 95 × 5 = 475 | 95 - 85 = 10 | (10)2 × 5 = 500 |
합계 | 20 | 65 + 225 + 935 + 475 = 1700 | 400 + 300 + 0 + 500 = 1200 | ||
평균 | ①1700 ÷ 20 = 85 | ③1200 ÷ 20 = 60 |
- 계급값은 각 구간의 양 끝값을 더해서 2로 나눈 값이죠? 도수분포표, 변량, 계급, 계급값, 도수에서 계급값 구하는 방법도 해봤어요. 계급값을 이용해서 평균을 구했더니 85가 나왔네요.
- 평균을 구한 다음에는 편차를 구해야 해요. 편차 구하는 공식의 변량 자리에 계급값을 넣어주세요.
- 편차를 구한 다음에는 분산을 구해야 하는데요. 분산은 편차의 제곱의 평균이라고 했어요. 그런데 도수분포표에서는 편차 제곱에 도수를 구한 것들의 평균이에요. 편차의 제곱에 도수를 꼭 곱해줘야 해요.
일반적인 변량이었다면 각각 편차를 구해서 더했을 텐데, 도수분포표에서는 각각의 편차를 구할 수 없기때문에 대표인 계급값을 이용했던 거거든요. 그런데 같은 계급값을 갖는 변량이 도수의 개수만큼 있잖아요. 특정한 계급값을 대표로 갖는 도수의 개수만큼을 곱해줘야 해당 계급의 변량들의 값을 모두 더한 게 되는 거죠.
편차의 합은 0이라고 했는데, 위 도수분포표에서 편차의 합은 0이 아니에요. 대신 편차에 도수를 곱해서 더하면 0이 되는 겁니다.
각 계급의 (편차)2 × 도수를 구한 다음에 도수의 총합으로 나누면 그게 바로 분산입니다. 분산이 60이 나왔네요. - 마지막으로 표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 거니까
가 되네요.
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비밀댓글입니다
지식인은 질문하는 한 가지에 대한 답만 있으니까요. 질문을 벗어나는 내용은 없잖아요.
흐아 ㅠ 대학와서 과제하는데 중학교수학 다까먹어서 멘붕중이었는데 감사합니닼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
대학수학보다 오히려 중학수학이 더 어렵게 느껴질 때가 있어요. ㅎㅎ
댓글 고맙습니다.
와진짜이해되네요감사합니다
순서대로 차근차근 구하면 어렵지 않죠?
비밀댓글입니다
어쩔 수 없지요.
한 단계씩 차근차근 해 내는 수밖에 없어요. 익숙해질 때까지 반복해서 공부해야죠.
수학시험결과 남학생 4명과 여학생 6명의 평균은 같고 분산은 각각 4,9 이었다
전체10명의 수학점수의 분산은? < 이문제에서 각각의 변량을모르는데 어떻게 전체의
분산을알수있나요?
어떻게풀어야할지 모르겠어요....ㅠㅠㅠ
분산과 표준편차(http://mathbang.net/118)를 참고하세요.
편차의 제곱을 알 때 분산을 구하는 방법을 거꾸로 하면 구할 수 있습니다. 남여 각각의 분산을 이용해서 각각의 편차의 제곱의 합을 구한 다음 이걸 더해서 분산을 구하면 됩니다.
비밀댓글입니다
평균, 분산, 표준편차 응용은없나요?ㅜㅜ
네. 굳이 응용이 필요한가요?
도수분포표에서 편차의 합이 0이되지 않는 이유가 무엇인가요??
매년 1번씩은 들어오게 되네요. 정보 감사합니다.