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앞서 원주각과 중심각의 크기에서는 원주각은 중심각의 절반이고, 중심각은 원주각의 두 배라는 걸 공부했어요.

1학년 때, 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이가 정비례한다는 걸 공부했어요. 현의 길이는 중심각의 크기와 전혀 상관이 없다는 것까지요.

이 글에서는 원주각과 중심각의 관계, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이는 정비례한다는 사실 두 가지를 하나로 합쳐서 원주각의 크기와 호의 길이는 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.

원주각의 크기와 호의 길이

원주각과 중심각의 크기에서 원주각의 크기는 중심각 크기의 절반이라고 했어요. 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각의 크기도 서로 같아져요. 1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이도 같다는 걸 공부했어요.

이 두 가지를 정리해보면, 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각이 같고, 중심각이 같으면 호의 길이가 같아요. 즉 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이가 같아지죠.

서로 다른 두 호에서 원주각의 크기가 같다. → 중심각의 크기가 같다. → 호의 길이가 같다.

∠APB = ∠CQD
  → ∠AOB = ∠COD   (∵ 2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD =  ∠COD)
  → 호AB = 호CD

이 명제의 역도 성립해요. 호의 길이가 같으면 이에 대한 원주각의 크기도 같아요.

한 원 또는 지름이 같은 원에서
크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다.
길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

원주각의 크기와 호의 길이는 정비례

1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각과 호의 길이는 정비례한다는 걸 공부했어요. 호에 대한 중심각은 원주각의 두 배니까 중심각 자리에 원주각을 넣으면 역시 비례가 성립하지요. 

∠AOB : ∠COD = 호AB : 호CD
 → 2∠APB : 2∠CQD = 호AB : 호CD  ( ∵  2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD = ∠COD)
 → ∠APB : ∠CQD = 호AB : 호CD

한 원 또는 지름이 같은 원에서
원주각의 크기 ∝ 호의 길이
중심각의 크기 ∝ 호의 길이
현의 길이는 중심각, 원주각의 크기와 비례하지 않는다.

그림처럼 원 위에 8개의 점이 있다. 이 점들 간의 거리가 모두 같을 때, 다음을 구하여라.
(1) 호EF의 중심각과 크기가 같은 원주각을 갖는 호를 모두 찾아라.
(2) ∠DBE와 같은 길이의 호를 갖는 원주각을 모두 찾아라.

우선 각 점들 간의 거리가 같다고 했으니 각 점들로 이루어진 호의 길이가 같겠죠? 이 호의 길이를 a라고 놓아보죠. 또 각 호의 길이가 같으니까 이 호의 길이에 대한 원주각의 크기도 같은데, 이 각을 x라고 놓아보죠.

(1) 호EF의 길이는 a이고, 원주각의 크기는 x에요. 중심각의 크기는 2x겠네요.
즉, 문제는 원주각의 크기가 2x인 호를 찾으라는 건데, 크기가 2x인 원주각은 ∠EAG, ∠DBF, ∠AGC이므로 호EG와 호DF, 호AC가 되겠네요.

(2) ∠DBE에 대한 호의 길이는 a이고 원주각의 크기는 x에요. 호의 길이가 같으면 원주각의 크기도 같아요. 각의 크기가 x인 원주각은 ∠EBF, ∠BEA네요.

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이 글에서는 원주각과 중심각에 대해서 공부합니다.

1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 중심각이 뭔지는 공부했어요. 중심각은 부채꼴에서 호와 반지름 두 개로 이루어진 각을 말했는데요.

이 글에서는 부채꼴이 아니라 호에 관해서 배우기 때문에 호의 중심각이라고 합니다. 호의 중심각과 부채꼴의 중심각은 그림이 똑같아요. 다만 기준을 어디에 두고 보느냐에 따라 이름이 달라지는 것 뿐이죠.

원주각의 뜻과 성질, 그리고 원주각과 중심각의 관계에 대해서 알아보죠.

원주각과 중심각의 크기

원주각은 이름 그대로 원주에 있는 각 이에요. 원주는 원의 둘레를 말하죠? 그러니까 원 위에 있는 각인데, 그냥 원 위에 있는 게 아니에요. 원 위에 가 있다면 그 나머지 부분이 있잖아요. 그 나머지 부분 위에 임의의 한 점 P를 잡고, 호의 양 끝점인 점 A, 점 B와 점 P를 연결해서 만들어진 ∠APB를 에 대한 원주각이라고 해요.

중심각은 에서 양 끝점인 점 A, 점 B와 원의 중심 점 O를 연결해서 만든 ∠AOB를 말합니다.

2 × 원주각 = 중심각
원주각 = ½ 중심각

중심각은 원주각의 두 배에요. 증명해볼까요? 세 가지 경우로 나누어서 증명해보죠.

원의 중심 O가 ∠APB 내부에 있을 때

점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 그어보죠. 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.

△OAP와 △OBP가 생기는데요.

△OAP에서  = 반지름 r이므로 △OAP는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질에 따라 두 밑각의 크기가 같으니까 ∠OAP = ∠OPA죠.

삼각형 외각의 크기에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이라는 걸 공부했죠? ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB

중심각 ∠AOB = ∠AOQ + ∠BOQ = 2∠OPA + 2∠OPB = 2(∠OPA + ∠OPB) = 2∠APB입니다.

따라서 ∠AOB = 2∠APB.   (증명 끝.)

원의 중심 O가 ∠APB 외부에 있을 때

점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 긋고 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.

△OAP와 △OBP가 생기는데요.

△OAP에서  = 반지름 r이므로 △OAP는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질에 따라 두 밑각의 크기가 같으니까 ∠OAP = ∠OPA죠.

삼각형 외각의 크기에서 한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB

중심각 ∠AOB = ∠BOQ - ∠AOQ = 2∠OPB - 2∠OPA = 2(∠OPB - ∠OPA) = 2∠APB입니다.

따라서 ∠AOB = 2∠APB.   (증명 끝.)

원의 중심 O가 위에 있을 때

증명이 제일 쉬운데요.

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOB = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB = 2∠APB

∠AOB = 2∠APB    (증명 끝.)

원주각의 성질

한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

위 증명에서 세 가지 경우를 봤는데, 모두 원주각의 크기는 중심각의 절반이었어요. 세 원주각이 같다는 얘기잖아요. 원주각의 위치에 상관없이 원과 호가 같으면 원주각의 크기도 같아요.

지름에 대한 원주각의 크기는 90°

이번에는 중심각이 평각인 180°일 경우를 보죠.

중심각이 평각이 되는 경우는 지름일 때 또는 반원일 때에요. 원주각은 중심각 크기의 절반이니까 이때의 원주각은 90°가 되겠죠?

원주각의 크기가 90°라는 건 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어진다는 거예요. 삼각비, sin, cos, tan, 피타고라스의 정리와 연관된 문제가 출제된다는 것도 예상할 수 있겠죠?

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삼각형의 내접원을 했으니 이제는 사각형의 내접원을 할 차례에요.

그런데 내접원을 공부하면서 삼각형에서의 내접원만 배웠지요? 사각형에서는 내접원이 없는 경우도 있기 때문에 따로 배우지 않았어요.

이 글에서 사용하는 용어도 사각형의 내접원이 아니라 원의 외접사각형이에요. 일단 원이 중심이 되고, 사각형은 부수적인 거예요. 원에 외접하는 사각형은 얼마든지 그릴 수 있으니까요.

원의 외접사각형의 성질을 알아보죠.

원의 외접사각형

원의 외접사각형은 이름만 들어도 뭘 말하는 지 알 수 있겠죠? 어떤 원이 있고, 그 원에 외접하는 사각형이에요.

원의 외접사각형에는 한 가지 성질이 있어요. 그 성질에 대해서 알아보고 증명해 보죠. 이 한 가지 성질의 역도 성립한다는 걸 미리 얘기해 둘게요.

원의 외접사각형은 두 대변의 길이의 합이 서로 같다.

원의 접선, 원의 접선의 길이에서 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다고 했어요.

사각형의 각 꼭짓점을 원 밖의 한 점으로 보면 각 꼭짓점에서 원에 그은 두 접선의 길이가 서로 같아요. 길이가 같은 접선에 번호를 매겨봤어요.

= ① + ②
= ② + ③
= ③ + ④
= ① + ④

두 대변의 길이의 합을 구해보면
 +   = ① + ② + ③ + ④
 + = ① + ④ + ② + ③

두 대변의 길이의 합이 서로 같아요.

이 성질의 역도 성립합니다. 두 대변의 길이의 합이 서로 같으면 이 사각형은 원의 외접사각형이라고 할 수 있어요.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

두 대변의 길이의 합이 같으므로 5 + (5 + x) = 8 + 6이에요. x = 4(cm)

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내접원은 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질에서 공부했어요. 여기서는 내접원의 성질이나 내심과 관련된 내용이 중요한 건 아니니까 내심이 잘 기억나지 않는다고 해서 겁내지 마세요. 이 글에서 필요한 건 내접원은 그냥 삼각형의 안쪽에 접한다는 것과 내심에서 각 변에 이르는 거리가 같다는 정도니까요.

하지만 삼각형의 외심과 내심은 아주 중요한 내용이니까 나중에라도 꼭 확인하고 이해할 수 있도록 하세요.

삼각형의 내접원과 접선의 길이를 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 알아보죠.

삼각형의 내접원

삼각형의 내접원을 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 넓이를 구할 수 있어요.

삼각형의 둘레의 길이 = a + b + c = 2(x + y + z)

삼각형 세 변의 길이가 a, b, c라면 둘레의 길이는 a + b + c에요.

원의 접선의 길이에서 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다고 했죠? 위 그림에서는 삼각형의 각 꼭짓점이 원 밖의 한 점에 해당해요. 각 꼭짓점에서 원에 접선을 그었을 때 접점이 바로 점 D, 점 E, 점 F가 되는 거죠.

접선의 길이를 각각 x, y, z라고 했을 때
a = y + z
b = z + x
c = x + y
a + b + c = 2(x + y + z)입니다.

삼각형의 넓이 = r(a + b + c)

원의 중심 O에서 세 꼭짓점으로 선을 그으면 세 개의 삼각형으로 나뉘어요. △OAB, △OBC, △OCA

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA

각각의 삼각형 넓이는 각 변을 밑변으로 하고, 내접원의 반지름을 높이로 하면 구할 수 있죠? 원의 중심에서 접점에 내린 반지름은 각 변에 수직이니까요. (원의 접선의 성질)

△OAB = cr

△OBC = ar

△OCA = br

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
        = cr + ar + br

        = r(a + b + c)

다음 그림에서 △ABC는 ∠B = 90°인 직각삼각형이고, 원 O는 △ABC의 내접원, 각 변의 접점이 D, E, F일 때 물음에 답하여라.
(1) 의 길이를 구하여라.
(2) 원의 넓이를 구하여라.

(1)  = x라고 해보죠. 원 밖의 한 점에서 내린 두 접선의 길이는 같기 때문에, 꼭짓점과 접점 사이의 거리는 아래처럼 표현할 수 있어요.

빗변 = (12 - x) + (9 - x) = 15
2x = 6
x = 3(cm)

(2) □ODBE를 보세요(원의 중심이 O입니다.) 이 사각형은 이웃한 두 각의 크기의 합이 180° (∠DBE + ∠OEB)이므로 평행사변형이에요. 평행사변형은 대변의 길이가 같으니까 x = 3cm이면 대변인 반지름 r = 3cm가 되지요.

사실 이 □ODBE는 정사각형이에요. 자세한 건 사각형의 정의와 성질, 조건를 참고하세요.

내접원의 반지름의 길이가 3cm이니까 넓이는 πr² = 9π(cm²)

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현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

원에 대해서 계속하고 있는데, 생각보다 어렵지 않죠? 새 단원의 시작이라서 그래요. 이 글도 별로 어렵지 않아요.

이번에는 현과는 조금은 다른 접선에 대해서 알아볼 거예요. 1학년 때 원과 직선의 위치관계, 접점, 접선, 할선에서 접선이 뭔지는 공부했어요. 기억이 정확하지 않다면 얼른 읽어보고 오세요.

이 글에서는 원의 접선의 길이를 구하는 방법과 원의 접선의 성질을 알아볼 거예요.

원의 접선

원 밖의 한 점에서 직선을 그었을 때 직선과 원이 만나는 점을 교점이라고 해요. 이 교점이 하나일 때 원과 직선이 서로 접하므로 그 직선을 접선이라고 하고 이때의 교점을 접점이라고도 해요. 또 원 밖의 한 점과 접점 사이의 거리를 접선의 길이라고 합니다.

이들 사이의 관계를 알아보죠.

원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직

원과 두 점에서 만나는 할선에서 두 교점 사이를 우리는 현이라고 하지요? 현의 수직이등분선에서 공부한 것처럼 반지름은 현을 수직이등분해요.

이 할선을 밑으로 계속 내려보세요. 그러면 한 점에서 만나게 되는데, 이 점이 바로 접점이자 반지름에서 내린 수선의 발이에요.

즉, 접점에서 반지름과 접선이 직교하는 거죠.  ⊥

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.

원 밖의 한 점에서는 원에 접선을 두 개 그을 수 있는데 두 접선의 길이가 서로 같아요.

증명해볼까요?

한 점 P에서 원에 접선을 두 개 그었어요. 그리고 점 P에서 원의 중심 O에 선을 그어보죠.

△POA와 △POB라는 삼각형 두 개가 생겼어요. 원의 반지름과 접선은 서로 직교하므로 이 두 삼각형은 직각삼각형이죠.

= 반지름 r
∠PAO = ∠PBO = 90°
는 공통

두 직각삼각형은 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △POA ≡ △POB

대응변의 길이가 같으므로  =      (증명 끝.)

위 그림에서 한 가지 추가로 알 수 있는 게 있어요. 사각형 내각의 합은 360°죠. □PAOB의 내각의 크기도 360°에요. 그런데, ∠PAO = ∠PBO = 90°이므로 남은 두 각의 합이 180°가 되어야겠죠?

접점이 아닌 두 곳의 내각의 크기의 합 = ∠APB + ∠AOB = 180°

다음 그림은 원과 그 접선들이다. x를 구하여라.

접점이 세 개가 있어요. 한 점에서 원에 그은 두 접선은 길이가 같다는 걸 이용해야겠군요.

8cm로 되어 있는 곳은 원과의 접점을 기준으로 두 부분으로 나누어지죠. 아래쪽 부분은 3cm, 위쪽 부분은 xcm입니다. x + 3 = 8이므로 x = 5(cm)네요.

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현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

현의 수직이등분선에서 두 가지 성질을 알아봤는데, 첫 번째는 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다였죠. 두 번째는 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다였고요. 이 글에서도 이 두 가지 성질을 그대로 이용합니다. 따라서 잘 기억하고 있어야 해요.

이 글에서 배울 내용도 그다지 어렵지 않아요. 증명도 쉬울 뿐 아니라 증명만 제대로 이해한다면 문제도 쉽게 풀 수 있어요. 그냥 쭉 한 번 읽어만 봐도 쉽게 알 수 있을 겁니다.

현의 길이

현의 길이도 두 가지 성질이 있어요. 하나는 명제이고 다른 하나는 그 명제의 역이에요. (명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역)

하나라고 해도 상관없으니까 한 가지만 제대로 알면 다른 건 그냥 자연스럽게 따라서 이해하게 되어 있어요.

한 원에서 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.

원의 중심에서 현까지의 거리가 같으면 두 현의 길이가 같아요.

점 O에서 점 A와 점 C에 선을 그어보죠.

직각삼각형이 두 개 생겼어요.

△OMA와 △ONC에서

=     (원의 중심에서 같은 거리에 있는 현, 가정)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로  = 죠. 현의 수직이등분선에서 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다고 했어요. = 2, = 2

따라서  =      (증명 끝.)

다음 그림을 보고 △OCD의 넓이를 구하여라.

삼각형의 넓이를 구하려면 밑변의 길이, 높이를 알아야 하는데, 높이는 4cm라고 나와 있네요.

밑변의 길이는 인데, 는 이 원의 현이고, 원의 중심으로부터 거리가 4cm에요. 도 원의 중심에서 4cm 떨어진 현이고요. 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같으므로  = 에요. 의 길이를 구해보죠.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로  = 이에요.  = 2 = 8cm이죠.

△OCD = ½ × 4 × 8 = 16cm²

한 원에서 길이가 같은 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다.

이번에는 위와 반대에요. 현의 길이가 같으면 원의 중심으로부터의 거리가 같아요.

점 O에서 점 A와 점 B에 선을 그어보죠.

△OMA와 △ONC에서

 =     (가정에서  = 이고, = 2, = 2현의 수직이등분선)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로 =      (증명 끝.)

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1학년 때 여러 가지 도형의 종류와 정의에 대해서 배웠다면 2학년, 3학년 때는 각 도형의 성질을 배워요. 2학년 때는 여러 가지 사각형과 삼각형의 닮음에 대해서 배웠지요?

3학년 때는 원에 대해서 자세히 알아볼 거예요. 원에 대한 내용 중 첫 번째로 현에 관한 내용이에요. 현은 1학년 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 공부한 적이 있어요. 현의 정의에 대해서는 위 글을 참고하세요.

여기에서는 현의 수직이등분선의 성질에 대해서 알아보고, 그 성질을 증명해보죠.

현의 수직이등분선

현은 원 위의 두 점을 이은 직선을 말하죠? 원의 중심과 현 사이에는 한 가지 성질이 있어요. 이 한 가지 성질을 이렇게도 말하고 반대로도 말해요.

이 성질을 증명하기는 별로 어렵지 않아요. 그리고 나오는 문제들도 매우 쉽고요. 짧게 설명하고 넘어갈게요.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다.

원의 중심 O에서 에 수선을 내리면 는 를 수직이등분해요. 수선이니까 당연히 수직이겠죠. 이등분하는지만 증명해보면 되겠네요.

점 O에서 점 A와 점 B로 선을 그어보죠.

△OAH와 △OBH가 생겨요. 두 삼각형에서

∠OHA = ∠OHB = 90°    (는 수선)
는 공통
 = 반지름 r

따라서 두 삼각형은 RHS 합동이에요. 대응변의 길이가 같으므로 이죠.    (증명 끝.)

다음 그림을 보고 의 길이를 구하여라.

△OAH가 직각삼각형이에요. 피타고라스의 정리를 이용하면 = 4cm고요.  = 2 = 8cm입니다.

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.

명제의 결론인 원의 중심을 지나는지를 증명하기는 까다로워요. 그래서 다른 방법으로 증명하지요. 현의 중점과 원의 중심을 연결해요. 그리고 이 선이 현에 수직인지를 증명하는 거죠.

의 중점을 H라고 하고 원의 중심 O와 점 H을 연결해요. 와 가 수직인지를 증명해보죠.

점 O에서 점 A와 점 B로 선을 그어요.

△OAH와 △OBH에서

    (점 H는 의 중점)
는 공통
 = 반지름 r

따라서 두 삼각형은 SSS 합동이에요. 대응각의 크기가 같으므로 ∠OHA = ∠OHB이죠. ∠OHA + ∠OHB = 180°(평각)이므로 ∠OHA = ∠OHB = 90°에요.  (증명 끝.)

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접선과 현이 이루는 각

이제는 삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구하는 방법을 알아볼 거예요

평행사변형의 넓이는 (밑변) × (높이)에요. 여기서는 밑변의 길이와 높이를 알져주지 않고 다른 조건들을 알려준 평행사변형의 넓이를 구하는 걸 해볼 거예요. 물론 삼각비를 이용해서요.

삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구할 때는 평행사변형의 성질을 이용합니다. 따라서 2학년 때 공부했던 평행사변형의 성질, 평행사변형과 넓이에 대해서 미리 읽어보세요.

사각형의 넓이는 삼각형의 넓이 공식 유도 방법과 비슷하니까 하나만 잘 해놓으면 두 개를 다 이해할 수 있어요.

평행사변형의 넓이

평행사변형의 넓이를 구할 때는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줍니다. 삼각형의 넓이를 구할 때도 이 두 가지를 알려줬었죠?

높이를 구하여 평행사변형의 넓이 구하기

삼각형의 넓이를 구할 때 크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지로 수선을 내려요. 점 A에서 변 BC에 수선을 내렸다고 해볼게요.

평행사변형 ABCD의 높이는 △ABH의 높이 즉, 와 같아요. 는△ABH에서 삼각비를 이용해서 구할 수 있죠.

평행사변형의 높이를 알아냈으니 넓이를 구할 수 있겠죠?

그런데 ∠B가 아니라 ∠A를 가르쳐줬다면 어떻게 할까요? ∠A는 둔각이에요. 둔각의 삼각비는 모르니까 예각으로 바꿔야겠죠? 2학년 때 공부한 건데, 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 합은 180°라는 성질을 이용해요. 이 성질을 이용하면 ∠B = 180° - ∠A가 되니까 예각인 ∠B를 알 수 있어요.

평행사변형의 대변은 길이가 같으니까 중 두 변의 길이를 고르고, 예각인 B를 끼인각으로 하면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있어요.

두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이

삼각형의 넓이를 이용하여 평행사변형의 넓이 구하기 

높이를 구하지 않고 다른 방법으로 평행사변형의 넓이를 구해볼까요?

평행사변형에 대각선을 그어보세요. 삼각형 두 개로 나누어져요. 평행사변형과 넓이에서 대각선으로 나누어진 두 삼각형은 넓이가 같다는 걸 공부했어요. 그러니까 삼각형의 넓이를 구해서 두 배 해주면 되겠죠?

삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이에서 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 x°인 삼각형의 넓이는 라고 했지요? x°가 둔각일 때는 였고요.

똑같은 삼각형이 두 개 있으니까 두 배 해주면 돼요.

두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이

결국, 어떤 방법을 이용하던 결과는 같아요. 평행사변형의 넓이 공식은 삼각형의 넓이 공식에 2를 곱해주면 됩니다.

다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, ∠A = 120°일 때 평행사변형 ABCD의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 둔각이에요. 둔각일 때는 180°에서 빼서 예각을 만들어서 사용하면 돼요.

사각형의 넓이

이번에는 평행사변형이 아니라 그냥 막 생긴 사각형의 넓이에요. 여기서는 어떤 조건을 알려 주냐면 두 대각선의 길이와 대각선의 교각의 크기를 알려줘요.

이 사각형의 넓이를 구할 때는 그냥 구할 수 없어요. 우리가 알고 있는 사각형으로 변신을 시켜야 해요. 어떤 사각형이냐면 바로 위에서 했던 평행사변형으로 변신시키는 거죠.

위 사각형에서 대각선 와 평행하고 점 A를 지나는 평행선을 그어요. 또, 와 평행하고 점 C를 지나는 평행선도 긋고요. 이번에는 와 평행하고, 점 B를 지나는 평행선과 점 D를 지나는 평행선을 그어요.

총 네 개의 평행선을 긋는데, 이 평행선들이 만나서 사각형이 생기죠? 이 사각형을 □EFGH라고 할게요. 이 □EFGH은 와 에 평행한 선들로 이루어졌죠? 따라서 에요. 평행사변형이라는 얘기죠.

□AEFC는 평행사변형 →
□HEBD도 평행사변형 →
그 속의 작은 사각형들도 모두 평행사변형 → ∠AEB = x°

작은 평행사변형 네 개가 생기는데, 모두 대각선으로 나누어져 있죠? 각각의 작은 평행사변형을 둘로 나눈 삼각형 네 개를 붙여놓은 게 처음에 넓이를 구하려고 했던 □ABCD에요. 작은 삼각형은 작은 평행사변형의 넓이의 절반이므로(평행사변형과 넓이) □ABCD의 넓이는 □EFGH의 넓이의 절반인 걸 알 수 있어요.

□EFGH는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알고 있으니까 공식으로 구할 수 있고, 이걸 2로 나눈 게 □ABCD의 넓이에요. 

여기서도 마찬가지로 두 대각선의 교각이 둔각이면 180° - x°를 해서 예각을 만들어야 해요. 

두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이

다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, x° = 60°일 때 □ABCD의 넓이를 구하여라.

두 대각선의 길이와 교각의 크기를 알려줬어요. 이 교각이 예각이죠. 따라서 공식에 대입해보면

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삼각비를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요.

삼각형의 넓이 공식 모르는 사람 없죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

물론 이건 높이를 알고 있을 때 쓰는 공식이에요. 예각삼각형의 높이, 둔각삼각형의 높이에서도 해봤지만, 삼각비에는 변의 길이와 내각의 크기를 알려주지, 삼각형의 높이는 알려주지 않거든요. 주어진 내용을 가지고 삼각형의 높이를 구해서 위 공식에 대입해야 합니다.

두 변의 길이와 끼인각을 알려줬을 때 높이를 구하는 것부터 넓이를 구하는 것까지 해보고 공식으로 정리해보죠.

예각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요.

예각삼각형의 높이에서 예각삼각형의 높이를 구할 때는 길이를 알고 있는 한 변과 크기를 알고 있는 각이 같은 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요.

△ACH에서

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

문제에서 알려준 걸 다 곱하면 되는 겁니다. 두 변의 길이를 곱하고, 거기에 크기를 알려준 각의 sin값을 곱해요. 삼각형의 넓이니까 그 절반으로 하는 거죠.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 예각삼각형의 넓이는 에요.

둔각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요

둔각삼각형의 높이에서는 크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서 높이를 구한다고 했어요.

△ACH만 보세요. sin을 이용해서 높이를 구해야 하는데, 기준각인 CAH는 180° - ∠A에요. 따라서 높이는 아래처럼 구할 수 있어요.

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

예각삼각형의 넓이 구하는 공식과 같아요. 차이가 있다면 A가 아니라 180° - ∠A라는 거지요.

삼각형의 넓이는 알려준 길이 두 개와 각을 곱해요. 각은 그대로 곱하지 않고 sin값을 곱하죠. 그런데 우리는 0° ~ 90°까지의 삼각비밖에 안 배웠어요. 그러니까 sin을 구할 각의 크기는 예각이어야 해요. 예각이 아니라면(둔각이면) 180°에서 각을 빼서 예각을 만들어서 공식에 넣으면 돼요.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 둔각삼각형의 넓이는 에요.

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삼각비의 활용 - 예각삼각형의 높이에 이어 둔각삼각형의 높이 구하기입니다.

둔각삼각형의 높이 구하기도 예각삼각형의 높이 구하기와 크게 차이는 없어요. 높이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 두 변의 길이와 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때지요.

특히, 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선이 삼각형의 바깥쪽에 그려지는 것만 빼면 예각삼각형의 높이를 구하는 방법과 완전히 같아요.

이 글에서는 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때에 주의해서 보시면 됩니다.

둔각삼각형의 높이

두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선을 내리는데, 수선은 삼각형의 바깥쪽에 그어지게 됩니다. 크기를 모르는 각 중 하나에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내리면 돼요. 이때 생기는 작은 직각삼각형을 이용해서 삼각형의 높이를 구할 거예요.

둔각삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때에요. 각의 크기를 모르는 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 

가 △ABC의 높이에요.

를 구하려면, 원래 있던 △ABC는 볼 필요 없고요. 새로 그은 수선 때문에 생긴 △ABH만 보면 돼요. △ABH에서는 c와 h가 들어있는 삼각비를 이용하면 되겠죠?

대신 기준각이 원래 있던 각이 아니라 새로 생긴 각이에요. ∠ABH죠. ∠CBH가 평각이므로 ∠ABH = 180° - ∠B로 구할 수 있어요.

다음 그림에서 a = 5cm, c = 6cm, ∠B = 120°일 때, △ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 위 그림을 보세요. 가 높이에요. ∠ABH = 180° - 120° = 60° 고요.

△ABH에서

한 변의 길이와 양 끝각을 알 때

여기서도 마찬가지로 보조선을 그어야 해요. 수선을 그어야하는데 어디에 그어야 하나면 각의 크기를 모르는 꼭짓점에서 길이를 아는 변의 연장선으로 수선을 내려요. 그러면 작은 직각삼각형 한 개와 큰 직각삼각형 한 개가 만들어져요. 이 두 직각삼각형의 내각의 크기를 구해서 tan를 이용하면 높이를 구할 수 있어요.

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요. 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형 두 개가 보이죠? 새로 생긴 큰 직각삼각형의 밑변에서 새로 생긴 작은 직각삼각형의 밑변을 빼면 원래 삼각형의 한 변의 길이가 되는 걸 알 수 있어요.  이걸 이용합니다.

이제부터 원래 있던 △ABC는 생각하지 마세요. 큰 직각삼각형 △ACH와 작은 직각삼각형 △ABH만 생각하면 됩니다.

먼저 큰 직각삼각형 △ACH를 보세요. 삼각형 내각의 합에 의해서 ∠CAH = 180° - 90° - ∠C = 90° - ∠C에요.

이제 작은 직각삼각형 △ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - ∠B에요. 그리고 ∠BAH = 180° - 90° - (180° - ∠B) = ∠B - 90°죠.

에 위에서 구한 와 처음에 알려준 의 값을 대입하면 높이 를 구할 수 있어요.

아래 그림에서  = 4cm, ∠B = 120°, ∠C = 45°일 때 ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하지요. (위 그림 참조.)

△ACH에서 ∠CAH = 180° - 90° - 45° = 45°이므로

△ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - 120° = 60°, ∠BAH = 90° - 60° = 30° 이므로 

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삼각형의 바깥쪽 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아봤으니 이제 삼각형 높이를 알아볼 차례네요. 직각삼각형이라면 직각이 생기는 곳의 변의 길이가 높이니까 쉽게 구할 수 있어요.

이 글에서 다룰 내용은 직각삼각형이 아니라 일반삼각형, 그중에서도 예각삼각형에서 높이를 구하는 방법이에요. 여기서도 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서와 마찬가지로 수선을 긋는 게 중요해요.

예각삼각형에서 높이를 구하는 방법을 잘 알아야 둔각삼각형의 높이도 구할 수 있어요.

예각삼각형의 높이 구하기

예각삼각형은 세 각의 크기가 모두 예각인 삼각형이에요. 예각삼각형의 높이를 구할 때도 삼각형의 합동조건과 같은 조건이 필요해요. 단 삼각비를 이용할 거니까 각을 알려줘야겠죠?

따라서 예각삼각형의 높이를 구할 수 있는 조건은 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때 두 가지예요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

△ABC에서 두 변의 길이와 그 끼인각을 알려줬네요.

높이를 구하기 위해서 수선을 내려야하는데요. 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서 수선을 내릴 때 어떻게 했나요? 크기를 알려준 각과 길이를 알려준 변이 한 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지에요.

점 A에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

△ABH만 보세요. 직각삼각형이에요. 삼각비의 정의에서 봤던 그 삼각형이죠? 직각삼각형 변의 길이 구하기에서 이미 해봤던 거예요.

△ABC에서 a = 5cm, c = 4cm, ∠B = 60° 일 때 높이 h를 구하여라.

점 A에서 변 BC로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠. △ABC의 높이는 △ABH에서 변 AH의 길이와 같아요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요.

이 경우에 수선을 긋는 방법은 다른 경우와 달라요. 이때는 길이를 알려준 변이 밑변이 되도록 수선을 그어요. 즉 길이를 알려준 변이 둘로 나뉘도록 하는 거죠. 양 끝각이 아닌 다른 각에서 수선을 내린다고 말해도 되겠네요.

각각의 직각삼각형에서 원래 알려준 각이 아닌 새롭게 만들어진 각을 기준각으로 정하는 것이 핵심이에요.

△ABH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠BAH + ∠B = 180°이므로 ∠BAH = 90° - ∠B가 돼요. △ABH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠BAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 BH가 되죠.

△ACH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠CAH + ∠C = 180° 이므로 ∠CAH = 90° - ∠C가 돼요. △ACH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠CAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 CH가 되죠.

이제는 원래의 큰 삼각형으로 돌아와서요. △ABC에서 밑변 BC의 길이는 변 BH + 변 CH죠.

이 식을 정리하면 h를 구할 수 있어요.

다음 그림을 보고 △ACH의 높이 h를 구하여라.

△ABH에서에서 ∠BAH = 30°이므로 이 각을 기준각으로 하면
 

또 △ACH에서에서 ∠CAH = 45°이므로 이 각을 기준각으로 하면

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일반삼각형에서 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아보죠.

그런데 아무 삼각형이나 세 변의 길이를 구할 수 있는 게 아니에요. 몇 가지 조건이 있어야 해요. 삼각형의 세 가지 합동조건 알고 있죠?. 세 변의 길이가 같을 때, 두 변과 그 끼인 각이 같을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때지요.

일반삼각형에서 세 변의 길이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 그중 하나인 세 변의 길이를 알 때는 문제의 목적에 맞지 않으니까 나머지 두 개의 조건만 있으면 되겠죠? 두 변의 길이와 끼인 각을 알 때, 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때요.

직각삼각형 변의 길이를 구할 때와 마찬가지로 각의 크기를 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 거에요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

두 변의 길이를 알고 있으니까 나머지 의 길이만 구하면 되겠네요.

삼각형의 높이와 넓이에서 했던 방법과 비슷해요. 제일 먼저 삼각형의 한 점에서 수선을 내려서 두 개의 직각삼각형으로 나누어야 해요.

이때 어떤 점에서 수선을 내릴 것인지가 중요한데요. 여러 가지로 표현할 수 있겠지만, 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내리면 돼요. 여기서는 점 A와 점 C 둘 중 아무 데서나 대변으로 수선을 내려도 되는 거지요.

점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 할게요. ∠B와 가 한 삼각형 안에 포함되었죠?

△ABH와 △ACH가 생겼어요.

△ABH에서

△ACH에서
 가 됩니다.

△ACH에서 높이와 밑변의 길이를 구했으므로 빗변인 의 길이는 피타고라스의 정리로 구할 수 있어요.

이거는 공식 아니에요. 외울 필요가 없어요. 구하는 과정만 잘 이해하면 됩니다.

1. 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
2. 삼각비를 이용하여 작은 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 구한다.
3. 다른 작은 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하여 빗변의 길이를 구한다.

다음 △ABC에서 a = 8cm, c = 5cm, ∠B = 60°일 때 의 길이를 구하여라.

두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기를 알려줬네요.

길이를 알려준 변과 크기를 알려준 각이 한 직각삼각형이 되도록 수선을 그어보죠. 점 A에서 대변으로 그었더니 아래 그림처럼 되었어요.

△ABH에서
 

의 길이를 구했으니까 △ACH에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요. 길이를 구해야하는 변이 두 개네요.

여기서 제일 먼저 해야 할 게 있어요. 두 개의 각의 크기를 알려줬어요. 삼각형 내각의 합은 180°에요. 이 걸 이용하면 다른 한 내각의 크기도 알 수 있겠죠? ∠A = 180° - (∠B + ∠C)이죠. 결국, 두 개의 각의 크기를 알려줬다는 건 세 개 모두 알려준 거나 마찬가지에요.

이번에도 마찬가지로 보조선을 그어서 두 개의 직각삼각형으로 나눠야해요. 방법은 위와 같아요. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그으면 됩니다.

점 C에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. ∠B와 가 한 직각삼각형안에 포함되었네요.

△BCH와 △ACH가 생겼어요.

△BCH에서

△ACH에서
 

일단, 한 변의 길이를 구했어요.

이제 점 C가 아닌 점 B에서 대변으로 수선을 내려서 위와 같은 방법으로 구하면 다른 한 변의 길이도 구할 수 있어요.

1. 삼각형 내각의 합을 이용하여 알려주지 않는 한 내각의 크기를 계산한다.
2. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
3. 삼각비를 이용하여 삼각형에서 높이를 구한다.
4. 다른 작은 직각삼각형에서 삼각비를 적용하고 3에서 구한 높이를 대입하여 빗변의 길이를 구한다.
5. 2 ~ 4의 과정을 다시 반복

다음 △ABC에서 의 길이를 구하여라.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬네요. 삼각형의 내각의 합을 이용해서 다른 한 각의 크기도 알 수 있죠? 180° - (75° + 45°) = 60°에요.

크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내려보죠. 점 A에서 수선을 내려볼게요.

△ACH에서

△ABH에서

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특수한 각의 삼각비, 30°, 45°, 60°에서 했던 내용 기억하죠? 특수한 각의 삼각비를 공부했고요. 삼각형을 그려놓고 각을 알려준 다음에 삼각형 변의 길이를 구하는 예제를 풀어봤어요.

이 글에서도 직각삼각형에서 삼각형의 변의 길이를 구하는 걸 할 거예요. 대신 특수한 각이 아니라는 게 다를 뿐이죠. 전에는 sin30°의 값을 외워서 했다면 이제는 30° 대신 다른 예각이 들어가고, 해당하는 삼각비 값을 알려줘요. sin30° 자리에 다른 예각의 sin 값을 넣으면 되는 거예요.

방법은 똑같고 각의 크기만 달라지는 거니까 어렵지 않아요. 삼각비의 정의를 잘 이용하면 됩니다.

직각삼각형 변의 길이

△ABC에서 ∠C = 90°이고, 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때 한 변의 길이와 직각이 아닌 한 각의 크기를 알면 다른 두 변의 길이를 구할 수 있어요.

물론 각을 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 뜻이에요. 각만 알고 삼각비를 모르면 삼각비표를 보면 돼요.

크기를 알고 있는 각이 ∠A라고 해보죠.

한 각의 크기와 한 변의 길이를 알고 있을 때 다른 두 변의 길이를 알 수 있다고 했지요? 한 각은 알고 있으니 어떤 변의 길이를 알고 있는지에 따라 길이를 구해야 하는 다른 두 변이 달라지겠죠?

∠A와 빗변의 길이(c)를 알고 있을 때

높이(a)와 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 빗변을 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 밑변과 빗변의 식인 cosA를 사용해서 길이를 구해요.

높이 a	밑변 b

∠A와 높이(a)를 알고 있을 때

빗변(c)과 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 높이를 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 높이와 밑변의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.

빗변 c	밑변 b

∠A와 밑변의 길이(b)를 알고 있을 때

빗변(c)과 높이(a)를 구해야겠죠? 밑변을 알고 있으니까 빗변과 밑변의 식인 cosA와 밑변과 높이의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.

빗변 c	높이 a

위에 총 여섯 개의 공식이 나왔는데, 이걸 외울 수는 없어요. 그러니까 공식을 외우지 말고, 공식의 첫 줄에 나와 있는 것처럼 이런 식으로 쓴 다음에 문자를 이항하고 값을 대입해서 그냥 푸세요.

다음 직각삼각형에서 한 각이 40°이고, 그 대변의 길이가 6cm일 때, 다른 두 변의 길이를 소수 둘째 자리까지 구하여라. (단, sin40° = 0.64, tan40° = 0.83이고 소수 셋째자리에서 반올림할 것)

한 각의 크기와 높이를 줬네요. 구해야 하는 길이는 빗변과 밑변의 길이고요.

빗변과 높이의 식인 sin과 밑변과 높이의 식인 tan를 이용해서 구해야겠군요.

빗변	밑변

빗변은 9.38cm, 밑변은 7.23cm네요.

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3학년 1학기 때는 모든 교과서, 참고서의 가장 뒷부분에 표가 하나 있었어요. 제곱근표였죠?

2학기에도 모든 책 뒤에 표가 하나 있어요. 그 표가 바로 삼각비표에요. 제곱근표보다 훨씬 간결하죠.

이 글에서는 삼각비표가 무엇인지와 삼각비표에서 삼각비와 각도를 구하는 방법을 알아볼 거에요.

삼각비표는 일반적으로 보는 표와 크게 다르지 않으니까 금방 이해할 수 있어요.

삼각비표

삼각비 표는 0°부터 90°까지의 각을 1° 간격으로 나누어 이들의 삼각비의 근삿값을 표로 나타낸 거에요. 근삿값이 아닌 것도 있지만, 대부분이 근삿값이에요. 가로줄에는 각도의 크기가 세로줄에는 sin, cos, tan가 쓰여 있어요.

그냥 설명 없이 표만 봐도 금방 알 수 있겠죠?

삼각비 표를 이용해서 삼각비 구하기

삼각비표는 제곱근표 보는 방법보다 훨씬 쉬워요. 가로줄에서 원하는 각도를 찾고, 세로줄에서는 sin, cos, tan를 선택해서 둘이 서로 만나는 칸의 값이 해당 각도의 삼각비에요.

예를 들면 sin48°는 가로줄의 48°와 세로줄의 sin이 만나는 칸에 쓰여 있는 값을 찾으면 되죠. 0.7431이네요. cos46°는 0.6947이고, tan50°는 1.1918이고요.

제곱근표에서 값을 구해서 나타낼 때는 ≒ 기호를 썼어요. 예를 들면 처럼요. 하지만 삼각비에서는 ≒ 기호를 쓰지 않고 =를 써요. 실제로 삼각비표에 나와 있는 값들 대부분이 근삿값이지만 =를 씁니다. sin45° ≒ 0.7071이 아니라 sin45° = 0.7071이라고 말이죠. 좀 달라요.

삼각비표를 이용하여 다음을 구하여라.
(1) sin45° + cos46° + tan47° 

sin45° = 0.7071, cos46° = 0.6947, tan47° = 1.0724이므로
sin45° + cos46° + tan47° = 0.7071 + 0.6947 + 1.0724 = 2.4742

삼각비 표를 이용해서 각도 구하기

이번에는 반대로 특정한 삼각비 값을 주고 그 각이 몇 °인지 구하는 거에요. 위 과정을 거꾸로 하면 되겠죠?

0.7547이라는 sin값을 갖는 각은 몇 °일까요? 먼저 표의 sin줄에서 0.7547이라는 값을 찾아요. 그리고 왼쪽으로 바로 가면 49°가 보이네요.

다음을 만족하는 x, y를 구하여라.
(1) sinx° = 0.7314
(2) sinx° + cosy° = 1.3742

(1) 삼각비표의 sin줄에서 0.7314를 찾으면 x = 47가 되는군요.

(2)에서 sinx° = 0.7314라고 했으니까 이걸 식에 대입하면 0.7314 + cosy° = 1.3742가 돼요.
cosy° = 0.6428이 되죠. cos 줄에서 0.6428을 찾으면 y° = 50°가 되네요.

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30°, 45°, 60°의 삼각비를 알아봤어요. 특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°

이제는 위 세 각이 아닌 다른 각의 삼각비를 알아볼꺼에요. 0° ~ 90°까지의 각이요. 그 이상의 각은 여기서 다루지 않아요.

예각의 삼각비는 외울 필요도 없고 외울 수도 없지만 구하는 방법은 알고 있어야해요. 예각의 삼각비를 구하는 방법을 살짝 응용해서 0°와 90°의 삼각비를 구하거든요.

그리고, 0°와 90°의 삼각비값은 외워야 해요. 이해가 되지 않으면 외울 수도 없겠죠? 설명을 잘 보세요.

예각의 삼각비

예각의 삼각비를 구할 때 제일 중요한 건 바로 반지름의 길이가 1인 원을 그려서 생각하는 거에요.

반지름이 1인 원의 중심과 원 위의 한 점, x축을 연결해서 삼각형을 만들었어요.

위 그림에서 ∠x를 기준각으로 하고 삼각비를 구해보죠. sin, cos은 △OAB에서 구하고 tan는 △OCD에서 구해요. 크기가 다른 직각삼각형이라도 기준각의 크기가 같으면 삼각비는 같잖아요.

그러니까 예각의 삼각비를 구할 때는 분모가 되는 변의 길이가 1인 삼각형을 찾고 그 삼각형에서 삼각비를 찾으면 돼요. sin과 cos인 빗변이 분모가 되니까 빗변의 길이가 1인 △OAB에서 구했어요. tan는 밑변이 분모가 되므로 밑변의 길이가 1인 △OCD에서 구했고요.

0°와 90°의 삼각비

0°와 90°의 삼각비도 예각의 삼각비와 마찬가지로 반지름이 1인 원을 그려서 확인할 수 있어요.

0°의 삼각비 - sin0°, cos0°, tan0°

왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은 에요. 그런데 점 B가 원을 따라서 x축으로 가까이 가면 어떻게 될까요? 는 점점 짧아질 거에요. 그러다가 점 B가 x축과 만나게 되면  = 0이 되겠죠. 이때 ∠BOA = 0°이고요.

즉 sin0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요.

△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은 에요. 위와 마찬가지로 점 B를 원을 따라 x축으로 가까이 옮겨볼까요? 그럼 는 점점 길어져요. 점 B가 x축과 만나면  = 1이 되고, ∠BOA = 0°이 돼요.

cos0° = 1이 되는 걸 알 수 있지요.

이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은 죠. 그런데 ∠DOC가 점점 작아지면 도 계속 작아져요. 그러다가 가 x축과 만나면 ∠DOC는 0°가 돼요.  = 0이 돼죠.

즉, tan0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요. 

90°의 삼각비 - sin90°, cos90°, tan90°

왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은 에요. 그런데, 점 B가 원을 따라서 y축으로 가까이 가면 어떻게 될까요? 는 점점 길어질 거예요. 그러다가 점 B가 y축과 만나게 되면  = 1이 되겠죠. 이때 ∠BOA = 90°이고요.

즉 sin90° = 1이 되는 걸 알 수 있어요.

△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은 에요. 위와 마찬가지로 점 B를 원을 따라 y축으로 가까이 옮겨볼까요? 그럼 는 점점 줄어들어요. 점 B가 y축과 만나면  = 0이 되고, ∠BOA = 90°이 돼요.

cos90° = 0이 되는 걸 알 수 있지요.

이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은 죠. 그런데 ∠DOC가 점점 커지면 도 계속 커져요. 그러다가 가 y축과 만나면 ∠DOC는 90°가 돼요. 이때의 tan는 너무 커져서 그 크기를 알 수 없어요. 이때를 정할 수 없다고 표현합니다.

다음을 계산하여라.
(1) sin0° + cos0° + tan0°
(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°)

sin0° = 0, cos0° = 1, tan0° = 0, sin90° = 1, cos90° = 1을 위 식에 대입해서 풀면 돼요.

(1) sin0° + cos0° + tan0° = 0 + 1 + 0 = 1

(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°) = (0 + 0) × (1 + 1) = 0 × 2 = 0

0° ~ 90°의 삼각비

0°에서 90°까지 각의 크기가 변화할 때, 삼각비는 어떻게 되는지 알아볼까요?

sin은 0°에서 90°로 갈수록 값이 커져요. sin0° = 0으로 가장 작고, sin90° = 1로 가장 큽니다.
cos은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 작아지고요. cos0° = 1으로 가장 크고, cos90° = 0으로 가장 작아요.
tan은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 커져요. tan0° = 0으로 가장 작고, 계속 커져서 그 끝은 정할 수 없어요.

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