중등수학/중3 수학
실수와 수직선, 무리수를 수직선 위에 나타내기
무리수, 실수라는 새로운 수를 공부했으니 이걸 수직선 위에 나타내 볼까요?
유리수는 수직선위에 나타내기 쉬웠는데, 무리수는 그 값을 정확하게 모르니까 수직선 위에 나타내기가 좀 어려워요. 제곱근의 성질을 이용할 수 있는 정사각형을 그려서 수직선 위에 나타냅니다.
수직선과 유리수, 무리수, 실수의 관계도 알아볼 거예요. 유리수, 무리수, 실수의 성질이 비슷하니까 잘 구별해야 해요. 유리수의 성질과 무리수의 성질은 같고, 실수는 이 둘의 성질을 모두 가지고 있어요.
무리수를 수직선 위에 나타내기
유리수는 수직선을 긋고 그 위에 나타낼 수 있어요. (유리수와 수직선) 무리수도 수직선 위에 나타낼 수 있는데 그 방법을 알아보죠.
수직선 위에 한 칸의 길이가 1인 모눈종이가 있다고 생각해보세요.
그림에서 파란색 사각형은 정사각형이에요. 이 정사각형의 넓이를 구해보죠.
파란 정사각형의 넓이 = (점선으로 그려진 정사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 4 - 4(½ × 1 × 1) = 2
정사각형의 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 
점 O를 중심으로 하고 작은 정사각형 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 수직선과 만나는 점을 점 P, 점 Q라고 하죠. 원의 반지름이므로 
점 P의 좌표는 점 O에서의 거리니까
수직선 위에 정사각형을 그리고, 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원과 수직선과의 교점을 이용해서 무리수를 수직선 위에 그릴 수 있어요.
다음 그림에서 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라. (모눈 한 칸은 길이가 1인 정사각형)
점 P와 점 Q는 점 O를 중심으로 하고 
분홍색 정사각형의 넓이를 구해야
분홍색 정사각형의 넓이 = (점선으로 그린 사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 9 - 4(½ × 2 × 1) = 5
점 P는 점 O에서 
실수와 수직선
모든 유리수는 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 이 말은 유리수는 수직선 위의 한 점과 대응한다는 뜻이에요. 또 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있지요. 0과 1 사이에는 0.5, 0.55, 0,555 …… 등 무수히 많은 유리수가 있죠?
무리수도 유리수처럼 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 무리수도 수직선 위의 한 점과 대응하는 거죠. 무리수 사이에도 무수히 많은 무리수가 있어요.
유리수와 무리수를 합치면 실수니까 실수는 유리수와 무리수의 성질을 모두 가지고 있어요. 위 두 가지를 합치면 실수는 수직선 위의 한 점과 대응하고, 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다는 걸 알 수 있어요. 그 외에 유리수, 무리수는 없는 실수만 가지고 있는 성질이 하나 잇는데, 실수에 대응하는 무수히 많은 점으로 수직선을 완전히 메울 수 있어요. 유리수나 무리수만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없어요.
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무리수와 실수, 실수체계
오늘 공부할 건 매우 중요한 내용이에요. 수학의 기본이 되는 수의 체계에 대한 내용이거든요.
이제까지 알고 있던 모든 수 자연수, 정수, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수에 더해서 무리수라는 새로운 이름의 수를 공부할 거예요. 무리수는 새로운 수가 아니라 이미 알고 있는 수에요. 다만 어떤 수를 무리수라고 하는지 몰랐을 뿐이에요.
또 실수라는 것도 공부할 건데, 이게 앞으로 수학 시간에 계속 사용할 거니까 잘 알고 있어야 해요.
이 글에서는 각 수의 뜻과 특징, 서로를 구별하는 방법, 수의 관계를 이해해야 합니다.
무리수와 실수
이제까지 공부했던 수의 체계를 정리해볼까요? 일단 1, 2, 3, …… 같은 자연수가 있어요. 자연수(양의 정수)와 0, 자연수에 (-) 부호를 붙인 음의 정수로 나눠지는 정수도 있고요. 분수 꼴로 나타낼 수 있는 유리수도 있지요. 자연수는 정수에 포함되고, 정수는 유리수에 포함돼요. 결국, 자연수는 유리수에 포함되는 거죠.
유한소수와 무한소수도 공부했어요. 무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수로 나눌 수 있었죠? 유한소수와 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으니 유리수에요. 그러니까 유한소수와 순환소수는 유리수에 속해요.
그럼 분수 꼴로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수는 어떤 수에 속할까요? 바로 무리수에 속해요.
무리수는 유리수가 아닌 수예요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수니까 그 반대인 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수예요. 순환하지 않는 무한소수 중 가장 대표적인 게 뭐죠? 바로 π죠. 그 외에도 
유리수와 무리수의 뜻을 잘 생각해보세요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 없을 거고요. 따라서 모든 수는 유리수와 무리수로 나눌 수 있는데 이 두 가지를 합쳐서 실수라고 합니다. 실수는 실제 수를 말하고 영어로는 Real Number라고 해요.
앞으로 특별한 언급 없이 그냥 수라고 한다면 모두 실수라고 생각하면 돼요.
무리수: 유리수가 아닌 수
순환하지 않는 무한소수, π
근호를 못 없애는 제곱근
실수: 유리수 + 무리수
그림에서 가장 주의깊게 봐야할 건 무한소수에요. 무한소수 중 순환소수는 유리수고, 순환하지 않는 무한소수는 무리수에요.
아래는 위 그림을 벤다이어그램으로 나타낸 건데, 꼭 기억하세요. 수의 체계를 아주 잘 나타내고 있어서 문제에서 자주 나오는 그림이거든요. 이 글에서는 이 그림하나만 기억하면 돼요.
다음 설명 중 틀린 것을 모두 고르시오.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 된다.
(2) 정수는 무리수에 속한다.
(3) 정수는 자연수에 속한다.
(4) 유리수가 아니면 무리수이다.
(5) 유리수면서 동시에 무리수인 수는 없다.
위의 그림을 잘 보세요. 자연수는 정수에 속하고, 정수는 유리수에 속해요. 그러니까 자연수는 유리수에 속하죠. 또, 유리수와 무리수 모두 실수에 속하고요. 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되네요.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되므로 맞아요.
(2) 정수는 무리수에 속하는 게 아니라 유리수에 속하니까 틀렸어요.
(3) 자연수가 정수에 속하니까 거꾸로 됐네요. 틀렸어요.
(4) 유리수가 아니면 무리수에요. 반대로 무리수가 아니면 유리수지요.
(5) 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 맞아요. 반대로 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수는 없어요.
따라서 틀린 건 (2), (3)입니다.
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제곱근의 대소관계, 제곱근의 크기비교
제곱근의 뜻과 표현, 성질을 알아봤어요.
이번 글에서는 제곱근의 크기를 비교하는 걸 해볼꺼에요. 제곱근끼리의 크기비교도 해볼꺼고요. 제곱근과 제곱근이 아닌 수와의 크기 비교도 해볼꺼에요.
제곱근도 하나의 수이므로 대소비교를 하는데, 기존에 해봤던 정수의 대소관계나 유리수의 대소관계의 성질과 별로 다르지 않아요. 정수와 유리수는 음수, 0, 양수의 세 수로 나눌 수 있었어요. 음수는 숫자가 작을수록 크고, 양수는 숫자가 클수록 크죠? 이것만 기억하고 있으면 돼요.
제곱근의 대소관계
넓이가 3cm², 5cm², 7cm²인 정사각형이 세 개가 있어요. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱해서 구하니까 정사각형 한 변의 길이는 각각 
정사각형 한 변의 길이의 순서는 넓이의 순서와 같죠? 따라서 작은 것부터 순서대로 쓰면
정수의 대소관계나 유리수의 대소관계에서 수직선에서 오른쪽에 있을수록 크기가 크다고 했죠? 제곱근도 마찬가지로 수직선으로 나타냈을 때 오른쪽에 있을수록 크기가 더 커요. 음수, 0, 양수의 순서죠.
정수, 유리수에서 대소비교할 때 양수는 숫자가 크면 크고, 음수는 숫자가 작아야 크잖아요. 제곱근의 대소관계에서는 그냥 숫자가 아니라 근호 안의 숫자의 크기를 가지고 얘기해요.
제곱근이 양수일 때는 근호 안의 숫자가 클수록 크고
제곱근이 음수일 때는 근호 안의 숫자가 작을수록 커요.
제곱근과 유리수의 대소관계
제곱근끼리의 대소비교는 근호 밖의 부호(음수, 0, 양수)와 근호안의 숫자 크기를 비교하면 알 수 있어요. 그러면 제곱근과 유리수의 크기 비교는 어떻게 할까요? 유리수는 근호가 없어서 바로 비교할 수가 없잖아요.
제곱근의 근호를 없앨 수 있으면 근호를 없애서 유리수와 비교하면 되는데, 제곱근을 없애고싶다고 없앨 수 있는 건 아니에요.
그래서 반대로 유리수를 근호안에 넣어서 제곱근으로 모양을 바꾼 다음 비교를 해요. 근호 밖의 유리수를 제곱해서 근호 안으로 넣는 거죠. 이렇게 하면 모두 제곱근이 되고, 위에서 했던 것처럼 근호 안의 숫자의 크기를 비교해서 제곱근과 유리수의 크기를 비교할 수 있어요.
다음을 크기가 작은 순서대로 나열하여라.
몇 개는 정수로 되어있네요. 정수로 되어있는 건 근호 안에 넣어줘야 해요. 근호 안에 넣어줄 때는 숫자를 제곱해서 넣어야 하죠.
정수든 유리수든 제곱근이든 대소비교를 할 때 가장 먼저 해야할 건 부호에 따라서 크기를 나누는 거예요. 음수, 0, 양수로 나눠볼까요?
음수는 근호 안의 숫자가 큰 게 작아요. 양수는 근호 안의 숫자가 큰 게 크지요. 16 < 5, ½ < 3 < 4 이므로
순서대로 배열했으니까 처음 문제에서 줬던 숫자로 다시 써보면
2, 3이 근호 밖에 있으니까 근호 안에 넣어서 크기를 비교해야 해요.
따라서 x가 될 수 있는 자연수는 5, 6, 7, 8 네 개네요.
이런 문제를 조금 더 쉽게 풀기 위해서는 2, 3을 근호 안에 넣는 것도 좋지만 각 항을 모두 제곱해버리는 게 좋아요. 각 항을 제곱하면 4 < x < 9가 바로 나오지요?
제곱근의 성질, 제곱수의 근호풀기
제곱근의 뜻과 표현에서 새로운 용어와 새로운 기호를 공부했어요. 의미가 헷갈리니까 잘 이해할 수 있도록 하시고요.
이 글에서는 제곱근의 성질과 근호를 없애는 방법에 대해서 공부할 거예요. 제곱근의 성질을 알아야만 제곱근 기호(근호)를 없앨 수 있어요. 그러니까 처음부터 차분히 잘 따라오세요.
무작정 근호를 없애려고 하면 안 돼요. 원리와 방법이 어렵지 않으니까 잘 읽어보면 쉽게 계산할 수 있어요. 근호를 없애는 건 나중에 제곱근의 사칙연산할 때 아주 중요하니까 연습을 많이 해두세요.
제곱근의 성질
제곱근과 제곱은 서로 반대의 의미를 지녀요.
어떤 수의 제곱근을 제곱하면 원래 수가 돼요. 4의 제곱근은 ±2인데 이걸 제곱하면 22 = (-2)2 = 4가 되잖아요.
이때 어떤 수는 제곱근을 구할 수 있는 수니까 양수거나 0이에요. 제곱근의 뜻과 표현에서 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 했었죠?
반대의 경우를 생각해보죠.
어떤 양수를 제곱해서 근호를 씌우면 원래 수가 돼요. 22 = 4에 근호를 씌우면 
어떤 음수를 제곱해도 같은지 해볼까요? (-2)를 제곱해서 근호를 씌워보면 (-2)2 = 4고,
근호를 씌우는 건 그냥 제곱근을 구하는 게 아니라 양의 제곱근을 구하는 거예요. 그러니까 결과는 무조건 양수로 나올 수밖에 없어요. 음수를 제곱해서 양의 제곱근을 구하니까 원래 수와 부호가 다른 건 당연하지요.
근호를 씌운다 = 양의 제곱근을 구한다.
근호를 씌운다 ≠ 제곱근을 구한다
정리해보면 어떤 수를 제곱해서 근호를 씌웠을 때, 어떤 수가 양수면 원래 수 그대로, 어떤 수가 음수면 원래 수에서 부호만 바뀐 수가 나와요.
근호 풀기
근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때를 보죠. 위 제곱근의 성질을 이용하면 근호와 제곱을 지울 수 있어요. 마치 약분하는 것처럼요.
일단 제곱과 근호를 지우고 나면 숫자는 그대로 쓰니까 상관없어요. 문제는 부호에요. 부호는 위의 성질을 이용해서 구하는데 이게 정말 헷갈리거든요.
하나만 기억하세요. 근호 앞의 부호와 같게 만들어 주면 돼요. 근호 앞에 부호가 (+) 또는 생략이면 근호를 없앤 결과도 (+), 근호 앞의 부호가 (-)면 근호를 없앤 결과도 (-)에요.
위에서 a > 0일 때 
b < 0일 때 
근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때 근호 풀기 → 숫자는 그대로, 부호는 근호 앞의 부호
다음을 간단히 하여라.
근호 안에 제곱인 수가 있을 때 일단 숫자는 그대로 쓰고, 근호 앞의 부호가 양수이면 결과도 양수, 근호 앞의 부호가 음수이면 결과도 음수에요.
(1) 근호 앞의 부호가 양수네요. 25 = 52이므로
(2) 근호 앞의 부호가 음수네요.
(3) 근호 앞의 부호가 양수예요.
(4) 근호 앞의 부호가 음수예요.
다음을 간단히 하여라.
각 항을 하나씩 따라 떼서 생각하면 쉬워요.
(1)에서는 두 항 모두 근호 앞의 부호가 양수네요.
(2)에서는 근호 앞의 부호가 하나는 양수, 하나는 음수네요.
제곱근의 뜻과 표현
3학년 첫단원이네요. 첫시간부터 정말 중요한 걸 배울거에요. 제곱근이라는 용어와 이를 나타내는 새로운 기호죠. 이 기호는 1학기 내내 사용할 거에요.
제곱근이라는 용어는 언뜻 이해한 것 같기도 한데, 막상 문제를 풀려고 하면 이해가 안되는 참 이상한 내용이에요. 숫자가 앞에 있는 지 제곱근이라는 단어가 앞에 있는 지에 따라서 뜻이 달라지는데, 이게 참 헷갈리거든요.
언제나 그렇듯 첫시간에 공부하는 개념 정리가 잘 되어있어야 다음 내용으로 넘어갈 수 있으니까 정독해서 잘 이해하셔야 해요.
제곱근의 뜻
12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25.....에요.
(-1)2 = 1, (-2)2 = 4, (-3)2 = 9, (-4)2 = 16, (-5)2 = 25고요.
이걸 거듭제곱이라고 하죠? 이번에는 거꾸로 생각해볼까요? 어떤 수 a를 제곱했더니 9가 됐어요. 그럼 a는 얼마일까요? 위에서 보면 a = 3 또는 a = -3이에요. 제곱해서 16이 되는 수는 4, -4고요.
이처럼 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 해요. 제곱해서 9가 되는 수는 9의 제곱근, 제곱해서 16이 되는 수는 16의 제곱근이요.
위의 경우에서 보면 하나의 수에 대해서 절댓값은 같고 부호가 다른 제곱근이 2개씩 있어요. 양수인 제곱근을 양의 제곱근, 음수인 제곱근을 음의 제곱근이라고 해요. 3은 9의 양의 제곱근, -3은 9의 음의 제곱근이 되는 거지요. 4는 16의 양의 제곱근이고, -4는 16의 음의 제곱근이에요.
0은 제곱근이 몇 개일까요? 제곱해서 0이 되는 수는 0밖에 없어요. 그런데 0은 부호가 없지요. 따라서 0의 제곱근은 그냥 0이에요. 이 때는 다른 경우와 달리 제곱근이 하나밖에 없어요.
이번에는 제곱해서 -9가 되는 수를 찾아볼까요? 제곱해서 -9가 되는 수가 뭐가 있나요? -3이면 될까요? -3을 제곱하면 9가 되는데요. 어떤 수를 제곱하면 0이거나 양수가 되지 음수가 될 수는 없어요. 따라서 음수의 제곱근은 생각하지 마세요.
제곱근: 제곱의 반대
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수, a ≥ 0
a > 0 이면 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개. 양의 제곱근과 음의 제곱근은 절댓값 같고 부호 반대.
a = 0 이면 제곱근은 0 하나
a < 0 이면 생각하지 않음.
다음 수의 제곱근을 구하여라.
(1) 25 (2) (-3)2
(3) 0.01 (4)
제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있는데, 이 둘은 절댓값이 같고 부호만 반대에요.
(1) 25의 제곱근은 5, -5
(2) 거듭제곱이 있는데, 이럴 때는 계산을 모두 한 결과에서 제곱근을 구해요. (-3)2 = 9 이므로 9의 제곱근은 3, -3
(3) 0.01의 제곱근은 0.1, -0.1
(4) 분수도 다르지 않아요. 
제곱근의 표현
수학은 말을 기호로 나타내야 해요. 따라서 제곱근도 기호로 나타내죠. 제곱근을 나타낼 때는 근호(
근호 안에 들어가는 a는 제곱이 된 수니까 무조건 0보다 크거나 같아야 해요.
제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근이 있잖아요. 그래서 양의 제곱근 앞에는 +를, 음의 제곱근 앞에는 -를 붙이는데, 양수에서 +는 생략하죠? 그래서 양의 제곱근 앞의 +로 생략해요. 결국 음의 제곱근에만 -만 붙여요.
a의 양의 제곱근 =
a의 음의 제곱근 =
a의 양의 제곱근과 음의 제곱근을 한번에 
어떤 수의 제곱근을 나타낼 때는 루트를 씌워주는데, 부호도 꼭 함께 써줘야 해요. 9의 제곱근을 나타내라고 하면 
부호없이 그냥 쓴 
이 둘보다 더 헷갈리는 게 바로 제곱근 a와 a의 제곱근이라는 표현인데 잘 구별하세요.
제곱근 a: a에 루트 기호를 씌운 것 =
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수 =
다음을 구하여라.
(1) 5의 제곱근
(2) 제곱근 5
a의 제곱근과 제곱근 a의 차이를 제대로 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제에요.
(1) 5의 제곱근은 제곱해서 5가 되는 수로 양수와 음수 2개가 있어요.
(2) 제곱근 5는 5에 제곱근 기호를 씌운 것으로 5의 양의 제곱근과 같지요.
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두 원에서 접선과 할선의 비례관계
중3 수학 마지막입니다. ㅎㅎ 지긋지긋한 수학 끝났다고 좋아할 수만은 없어요. 이제부터는 고등학생이니까요. 그냥 중학 수학 계속하는 게 나을지도……… 중3 수학 마지막은 비교적 쉬운 내용을 할거예요.
두 원에서 접선과 할선의 비례관계는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계의 내용을 재탕합니다. 하나의 원에서 사용하던 걸 두 원에서 사용하는 거지요. 원과 비례, 원과 비례 증명, 두 원에서 원과 비례에서 했던 것처럼요.
각각의 원에서 접선과 할선의 비례관계를 적용한 다음에 두 개를 하나로 합치는 과정만 거치면 돼요.
두 원에서 접선과 할선의 비례관계
절대 어렵지 않아요. 그림이 약간 달라졌을 뿐이에요.
두 개의 할선과 하나의 접선
두 원이 외접할 때에요. 이때는 공통접선은 하나고 할선이 두 개 있어요.
증명은 쉬워요.
먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 
오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 
두 식의 좌변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 
다음 그림을 보고 x를 구하여라.
두 원이 접할 때 할선과 접선 사이에는
5 × (5 + 4) = 4 × x
4x = 45
x = 
두 개의 접선과 하나의 할선
이번에는 두 원이 두 점에서 만날 때에요. 접선이 두 개고, 할선은 하나에요. 이때 두 접선의 길이는 같아요.
먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라
오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 
두 식의 우변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 
다음 그림을 보고
두 원에서 할선과 접선의 관계에 따라 
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원의 할선과 접선, 접점에서 공부웠던 접선과 할선이 또 나와요. 물론 원의 접선의 길이를 구할 때도 했고요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선이에요. 할선은 현을 연장한 선이기도 하지요.
이 글에서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 대해서 알아볼 거예요. 할선과 접선이 한 점에서 만나서 교점이 생기면 교점과 접점, 현의 양 끝점 사이의 거리에 특별한 관계가 있거든요.
원과 비례와 아주 비슷하므로 원과 비례에 대해서 잘 이해하고 있으면 내용을 이해하기 쉬울 거예요.
할선과 접선의 성질
원 위의 한 점 T를 지나는 접선과 현 AB를 연장한 할선이 한 점 P에서 만날 때, 교점에서 접점까지의 거리의 제곱이 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.
그림으로 외우세요.
왜 그런지 증명해보죠.
원 위의 접점 T와 현의 양 끝점 A, B를 선분으로 연결하면 삼각형이 세 개가 생겨요. △PAT, △ABT와 큰 삼각형 △PTB에요.
여기서는 △PAT와 큰 삼각형 △PTB 두 개를 볼게요.
∠APT는 공통이에요.
∠ATP = ∠TBP (접선과 현이 이루는 각 - 호 AT가 포함된 각과 호 AT에 대한 원주각)
두 각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △PAT ∽ △PTB
닮은 도형의 성질에서 닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같으므로 
정리하면
증명이 조금 어렵다면 이렇게 생각해보세요.
원과 비례에서 
다음 그림에서 
할선과 접선의 교점에서 접점까지의 거리의 제곱은 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.
x2 = 5 × (5 + 5)
x2 = 50
x = 
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두 원에서 접선과 할선의 비례관계
원과 비례, 원과 비례 증명
두 원에서 원과 비례
네 점이 한 원 위에 있을 조건 - 두 번째
네 점이 한 원 위에 있을 조건 - 두 번째
네 점이 한 원 위에 있을 조건은 전에 한 번 공부했어요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건에서 원주각과 대각의 합, 내대각을 이용한 조건을 공부했었죠.
이 글에서 할 건 했던 게 또 나오는 게 아니라 새로운 방법을 공부하는 거에요. 정확히 말해서 새로운 방법이라고 하는 것도 맞는 건 아니에요. 이미 배운 것이죠.
이미 배웠던 걸 네 점이 한 원 위에 있을 조건에 적용하는 것뿐이에요. 바로 원과 비례를 이용해서 네 점이 한 원 위에 있는지 알아볼 수 있어요. 그러니까 원과 비례에 대해서 알고 있어야겠죠?
네 점이 한 원 위에 있을 조건
원과 비례에서 두 가지를 공부했죠?
하나는 원의 두 현의 교점에서 각 현의 양쪽 끝점까지의 거리의 곱이 서로 같다는 것이었고요. 다른 하나는 현의 연장선(할선)의 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱이 같다는 거였어요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건 두 번째의 핵심은 바로 네 점이 현의 양 끝점이 되는 거예요.
네 점을 두 대각선으로 잇고 그 교점을 이용
아래 그림을 보세요.
네 점이 있는데, 대각선으로 이었더니 교점이 생겼죠? 원만 없다 뿐이지 원과 비례에서 했던 공식을 그대로 적용할 수 있어요.
왜 그럴까요? 원만 그려보면 간단히 알 수 있어요.
네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보세요. 그러면 네 점은 현의 양 끝점이 되고, 교점이 있는 그림으로 바뀌었어요. 이건 원과 비례에서 봤던 그림과 완전히 같은 그림이에요.
이 유형의 문제를 풀 때는 원을 그려서 풀어야 해요. 원이 있으면 훨씬 유리하거든요.
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.
네 점을 선분으로 이었을 때 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면
4 × x = 3 × 7
x = 
네 점을 두 선분으로 잇고 그 연장선의 교점을 이용
이번에는네 점을 두 개의 선분으로 잇고, 그 연장선의 교점이 나와 있을 때에요.
마찬가지로 네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보자고요.
원과 비례 두 번째에서 봤던 그림과 똑같죠?
똑같은 그림인데, 원이 그려져 있으면 원과 비례, 원이 빠져있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건이에요.
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있고, 
연장선의 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면,
(9 + 3) × 3 = (5 + x) × x
36 = 5x + x2
x2 + 5x - 36 = 0
(x + 9)(x - 4) = 0
x = 4 (x > 0)
네 점이 한 원 위에 있을 조건 총정리
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 두 가지 공부했어요. 원 위에 있는 네 점을 선으로 연결하면 사각형이 되잖아요. 따라서 사각형이 원에 내접할 조건과 같다고 할 수도 있어요. 전에 공부했던 두 가지와 이 글에서 공부한 한 가지를 한 번에 정리해보죠.
- 네 점을 선분으로 연결하고 교점과 네 점 사이의 거리가 나와 있으면 원과 비례 이용합니다.
- 네 점과 이웃한 두 각의 크기가 나와 있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용.
두 점을 선분으로 잇고, 선분을 이루는 두 점과 나머지 한 점으로 각을 만들어서 두 각의 크기가 서로 같을 때 - 원주각 이용 - 사각형이 그려져 있고, 대각의 크기나 외각의 크기가 나와 있으면 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 이용
한 쌍의 대각의 합 = 180°
한 외각 = 내대각
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두 원에서 원과 비례
두 원에서 원과 비례
원과 비례 두 번째로 두 원에서 원과 비례에요. 앞서 원과 비례, 원과 비례 증명에서는 하나의 원에서 원과 비례에 대해서 알아봤고 증명도 해봤어요. 이 글에서는 원이 하나가 아니라 두 개예요. 다른 건 없어요.
앞의 내용을 잘 이해했다면 이 글에서 할 내용은 정말 쉽게 이해할 수 있어요. 원이 한 개 있을 때의 내용을 두 번 적용하면 되는 거니까요. 서로 다른 두 원에서 각각 원과 비례를 적용한 다음에 그 둘을 잘 연결하기만 하면 됩니다.
총 세 가지 경우가 나오는데 결과는 같아요. 그림에 어떤 차이가 있는지만 잘 확인하세요.
두 원에서 원과 비례
원과 비례, 원과 비례 증명에서 원에서 두 현이 접할 때, 접점에서 한 현의 양쪽 끝까지의 거리의 곱은 접점에서 다른 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같다고 했지요? 그림이 바로 떠올라야 해요.
두 원에서 원과 비례는 위 내용을 바탕으로 해서, 두 원에 포함되는 공통현과 각 원의 현 또는 할선이 한 점에서 만날 때 그 거리의 관계를 식으로 나타낸 거예요.
총 세 가지 경우가 있는데, 첫 번째는 두 원의 현이 하나의 직선일 때에요.
왼쪽의 작은 원을 보세요. 작은 원에는 
오른쪽의 큰 원은
(1)과 (2)에 같은 부분이 있으므로 하나로 정리해보면
두 번째는 각 원의 서로 다른 두 현과 공통현이 원 안에서 만날 때고, 세 번째는 두 원의 할선과 공통현의 연장선이 원 밖의 한 점에서 만날 때에요.
첫 번째와 그림만 다를 뿐 증명하는 방법이 똑같아요. 작은 원과 큰 원에 따로 원과 비례 공식을 적용하고 같은 부분을 하나로 합치는 거지요.
여기서 중요한 게
내용이 어렵지 않으니까 예제는 생략해도 되겠죠?
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제목에 나와 있듯이 원에서 비례식을 이용하는 거에요. 원의 현, 할선 등의 길이를 비례식을 이용해서 구하는 거지요.
설명은 되게 복잡한데요, 실제 결론을 보면 어렵지는 않아요. 이런 과정을 거쳐서 결론을 얻었구나 하고 바로 이해할 수 있죠. 하지만 이해한 결론을 실제 주어진 문제에 적용하기가 약간 까다로워요. 그림에 선이 여러 개인데다 길이도 여러 개 나오거든요.
원과 비례에서는 결론을 공식이 아닌 그림으로 외워야해요. 그림을 짚어가면서 "여기 여기 곱한 값과 여기 여기 곱한 값이 같다." 처럼요. 그래야 문제에서 주어진 선과 길이를 우리가 외우고 있는 그림에 맞게 변형할 수 있어요.
원과 비례
원과 비례에서 사용하는 비례식의 기본이 되는 건 닮음비에요. 매번 닮음비를 이용하는 게 아니라 공식을 유도하는 과정에서 닮음비를 이용합니다.
두 현과 교점
원에 현을 두 개 그었을 때, 교점이 생기죠. 그 교점에서 현에 이르는 거리를 곱한 값들이 서로 같다는 걸 알 수 있어요.
언제나처럼 그림으로 외우세요. 먼저 현을 하나 고르고, 그 현에서 교점 P에서 출발해서 현의 양쪽으로 거리의 곱을 구하고, 다른 현에서도 점 P에서 양쪽으로 거리의 곱을 구하면 두 값이 서로 같아요.
왜 그런지 증명해 보죠.
△PAC와 △PDB에서
∠PAC = ∠PDB (호 CB의 원주각)
∠PCA = ∠PBD (호 AD의 원주각)
두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB
닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로
다음 그림에서
4 × x = (5 - 2) × 7
4x = 21
x =
원에서 현의 교점 사이에는 대각선 방향의 길이를 그냥 곱한 것이 같고, 피타고라스 정리의 활용 - 사각형에서는 대각선에 이르는 거리의 제곱의 합이 서로 같아요. 헷갈리면 안 돼요.
두 할선과 교점
이번에는 원의 할선의 교점과 거리의 관계에요.
역시 마찬가지로 할선 하나를 선택하여 교점 P에서 출발해서 현의 양 끝점까지의 거리를 곱한 값과 다른 할선에서 점 P에서 양 끝점까지의 거리를 곱한 값이 같아요.
△PDB와 △PAC에서
∠PDB = ∠PAC (□ACDB에서 외각과 내대각)
∠PBD = ∠PCA (□ACDB에서 외각과 내대각)
두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB
닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로
다음 그림을 보고 x를 구하여라.
(3 + 9) × 3 = x × 4
4x = 36
x = 9(cm)
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이번에는 원이 두 개일 때, 두 원의 접선과 현이 이루는 각에 대해서 알아볼 거예요.
두 원과 접선의 관계부터 따져보죠. 두 원의 위치관계는 총 여섯 가지가 있어요. 여기서 다룰 내용은 그중에서도 내접과 외접 두 경우입니다. 접선은 두 원의 접점을 지나는 공통접선이에요. 두 원의 접점이 아닌 다른 곳을 지나는 접선은 다루지 않아요.
두 원과 접선의 세 도형이 한 점에서 만날 때, 접선과 현이 이루는 각의 특징에 대해서 알아보죠. 도형을 많이 그리기 때문에 조금 복잡할 수 있어요. 주의해서 잘 보세요.
두 원에서 접선과 현이 이루는 각
두 원이 외접할 때
두 원이 외접할 때, 접점을 지나는 접선과 현이 이루는 각들을 표시한 그림이에요.
위 그림에서 총 세 가지를 알 수 있어요. 첫 번째는 크기가 같은 각들이에요. 각의 수가 많은데 헷갈리지 않도록 주의하세요. 그다음은 평행한 직선이고, 세 번째는 닮은 삼각형이에요. 크기가 같은 각들의 위치만 정확히 알면 되는데요. 혹시 외우기가 어려우면 두 번째, 세 번째 내용을 이용해서 찾을 수도 있어요.
위 세 가지를 증명해보죠. 공통접선, 현이 만나서 생기는 각에 번호를 붙여봤어요.
가운데 복잡한 부분에서 크기가 같은 각들을 찾아보죠.
② = ⑤ (
① = ④ (
③ = ⑥ (
이번에는 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각을 찾아볼까요?
① = ⑧ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(4)
③ = ⑦ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(5)
④ = ⑨ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(6)
⑥ = ⑩ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(7)
(1)에 의해 ② = ⑤
(2)와 (4), (6)에 의해서 ① = ④ = ⑧ = ⑨
(3)과 (5), (7)에 의해서 ③ = ⑥ = ⑦ = ⑩
크기가 같은 모든 각을 찾았어요.
마지막으로 중요한 건 아닌데 그래도 알고 넘어가면 좋은 것 하나 추가 하자면요. △TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △TAB ∽ △TCD
다음 그림을 보고, x°, y°의 값을 구하여라.
△TCD에서 삼각형 내각의 합 = 180°이므로 ∠TDC = 180° - (67.5° + 45°) = 67.5°
두 원이 내접할 때
두 원이 내접할 때, 두 원의 접점을 지나는 접선과 원의 현이 이루는 각이에요. 여기서도 역시 크기가 같은 각들의 위치가 중요해요. 두 원이 외접할 때보다는 각의 개수도 적고 위치도 알기 쉽게 되어 있네요.
그리고 평행한 현이 있다는 것과 닮은 삼각형이 있다는 것도 알 수 있어요.
접선과 현이 이루는 각에 번호를 매겼어요.
여기는 맞꼭지각이 없으니 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각부터 찾아보죠.
① = ⑥ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(1)
② = ⑤ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(2)
① = ④ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(3)
② = ③ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(4)
(1), (3)에 의해서 ① = ④ = ⑥
(2), (4)에 의해서 ② = ③ = ⑤
총 여섯 개의 각 중에서 크기가 같은 각이 세 개씩 있네요.
△TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이지요. △TAB ∽ △TCD
다음 그림을 보고, x, y의 값을 구하여라.
접선과 현이 이루는 각에 의해 ∠PTA = ∠x이므로 x = y = 67.5(°)
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접선과 현이 이루는 각
접선이 다시 나왔네요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 만나는 한 점을 접점이라고 하죠. (원의 접선, 원의 접선의 길이)
이 글에서는 내용을 정리하기는 하겠지만 이게 글만 읽어서는 무슨 소리인지 이해하기가 힘들 거에요. 그 단어 하나하나를 그림에서 짚어가면서 이해해야 무슨 말인지 알아들을 수 있으니까 천천히 읽고 따라오세요.
접선과 현이 이루는 각은 원주각을 이용해서 구할 수 있어요. 어떤 방법으로 원주각을 이용해서 구하는지 알아보죠.
접선과 현이 이루는 각
원에 접선을 그으면 접점이 생겨요. 그 접점에서 원 위의 다른 한 점에 현을 그으면 현과 접선 사이에 각이 생기겠죠? 이 각은 현의 양 끝점(접점과 원 위의 한 점)으로 이루어진 호에 대한 원주각과 같아요.
말로 하면 어렵죠? 그림을 보세요.
원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각
= 각에 포함된 호의 원주각
원의 접선은 직선 AP, 접점은 점 A, 접점을 지나는 현은 현 AB이고, 이들이 이루는 각은 ∠BAP에요. ∠BAP 안에 호 AB가 들어있죠? ∠BAP와 호 AB에 대한 원주각이 같다는 얘기예요.
윗글을 잘 읽으면서 어떤 각과 어떤 각이 같은지 이해해야 해요. 그냥 읽어보면 뭐랑 뭐가 같다는 말인지 금방 알아듣기가 어렵거든요. 두세 번 계속해서 읽어보세요.
접선과 현이 이루는 각이 예각, 둔각, 직각일 때 세 경우로 나눠서 증명해보죠.
접선과 현이 이루는 각이 예각일 때
접선과 현이 이루는 각(∠BAP)가 예각일 때에요.
원의 중심 O와 점 A를 지나는 현을 그려보죠. 이 현은 지름이에요. 그리고 이 현의 끝점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 하나 더 그어요.
∠DAP를 보세요. ∠DAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP
원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP = 90° ... ①
∠ACD를 볼까요? ∠ACD는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD
∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = 90° ... ②
①, ②의 두 각이 모두 90°로 같아요. 식을 바꿔 쓰면 아래처럼 되겠죠?
∠DAB + ∠BAP = ∠ACB + ∠BCD = 90°
∴ ∠BAP = ∠ACB (∵ ∠DAB = ∠BCD, 호 BD의 원주각)
접선과 현이 이루는 각이 둔각일 때
이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 둔각일 때에요. 이때도 마찬가지로 원의 중심 O와 접점 A를 지나는 현, 지름을 그어요. 그리고 지름의 반대쪽 점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 그어요.
∠BAP를 보세요. ∠BAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠BAP = ∠BAD + ∠DAP
원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = 90°
두 식을 정리하면 ∠BAP = ∠BAD + 90° ... ①
호 AB에 대한 원주각인 ∠ACB를 볼까요? ∠ACB는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACB = ∠ACD + ∠BCD
∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = 90°
두 식을 정리하면 ∠ACB = ∠BCD + 90° ... ②
①의 ∠BAD와 ②의 ∠BCD는 호 BD의 원주각으로 그 크기가 같아요. 따라서 ①, ②식을 정리하면 ∠BAP = ∠ACB임을 알 수 있어요.
접선과 현이 이루는 각이 직각일 때
이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 직각일 때에요.
원의 접선에 본 것처럼 접선과 현이 이루는 ∠BAP = 90°라는 말은 현에 반지름이 포함되어 있다는 말이에요. 즉 현 AB가 지름이므로 원주각의 성질에 따라 호 AB의 원주각 ∠ACB = 90°라서 두 각은 크기가 같죠.
∠BAP = ∠ACB = 90°
결국, 접선과 현이 만나서 생기는 각이 예각이든 직각이든 둔각이든 상관없이 각에 포함된 호에 대한 원주각의 크기와 같다는 것을 알 수 있어요.
다음 그림을 보고 x°, y°의 값을 구하여라.
원주각의 성질에서 지름의 원주각은 90°라고 했어요. 따라서 호 BC의 원주각인 ∠BAC = 90°에요. 삼각형 내각의 합에 따라서 ∠ACB = 180° - (22.5° + 90°) = 67.5°가 됩니다.
원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같아요.
∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각과 같아요. x° = 67.5°
∠y는 호 AC를 포함하고 있으므로 호 AC의 원주각 22.5°가 됩니다.
두 접선과 현이 이루는 각
원 밖의 한 점에서는 원에 두 개의 접선을 그을 수 있어요. 점 P에서 원에 접선을 긋고 접점을 점 A, 점 B라고 하고, 호 AB의 원주각을 ∠ACB라고 해보죠.
원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같죠. 접선과 현이 만나서 생기는 ∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같아요. 또, ∠ABP도 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같고요.
∠BAP = ∠ACB = ∠ABP
두 각의 크기가 같은 건 다른 방법으로도 알 수 있어요.
원의 접선에서 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다고 했으니까 △PAB는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 ∠BAP = ∠ABP이죠.
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원에 내접하는 사각형의 성질을 두 가지 공부했어요. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°라는 것과 한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다는 거지요. 그러면서 이 두 가지 성질의 역이 성립한다고 했죠? 바로 이 성질의 역이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건이에요. 따라서 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 따로 공부할 게 없어요.
한가지 추가해야 할 게 있는데 그것도 이미 공부한 내용이에요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건이죠.
이 글은 새로운 걸 공부한다기보다는 이전에 공부했던 걸 한 번 더 정리하고 넘어간다고 생각하세요.
사각형이 원에 내접하기 위한 조건
사각형의 네 점이 원 위에 있을 때
사각형은 각이 네 개 또는 점이 네 개인 도형이죠? 사각형이 원에 내접한다는 말을 다르게 하면, 네 꼭짓점이 한 원 위에 있다고 얘기할 수 있겠죠?
네 점이 한 원 위에 있을 조건은 이미 공부했잖아요. 바로 그 조건을 만족시키는 네 점을 연결하면 원에 내접하는 사각형을 그릴 수 있어요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 다시 한 번 정리해 보죠.
네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가
∠ACB = ∠ADB 일 때
한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°
원에 내접하는 사각형의 성질 첫 번째에요. 한 쌍의 대각의 합이 180°라는 거죠.
한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.
원에 내접하는 사각형의 성질 두 번째에요.
항상 원에 내접하는 사각형
원에 내접하는 사각형은 위에서 말한 특별한 조건을 갖춰야만 해요. 사각형 중에서 위의 조건을 항상 만족시키는 사각형들이 있어요. 바로 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴이에요.
정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 90°에요. 따라서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이므로 원에 내접하는 사각형이죠.
등변사다리꼴은 두 밑각의 크기가 같고, 위에 있는 각의 크기도 서로 같아요. 위에 있는 각의 크기를 a, 밑각의 크기를 b라고 한다면 내각의 크기의 합은 2a + 2b = 360°에서 a + b = 180°가 되죠. 즉 등변사다리꼴도 대각의 크기의 합이 180°로 항상 원에 내접하는 사각형이에요.
사각형이 원에 내접하는지 확인하기
네 점이 한 원 위에 있는지 확인 - 한 변을 기준으로 하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같은지 확인
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원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각
사각형에는 외접원이나 내접원이 항상 있는 게 아니라서 사각형의 외접원, 내접원이라는 표현은 잘 쓰지 않아요. 대신 원에 내접하는 사각형, 원에 외접하는 사각형 이렇게 쓰죠.
원의 외접사각형의 성질에서는 대변의 길이의 합이 같다는 걸 공부했어요. 그리고 그 역도 성립한다고 했죠. 이 글에서 공부할 원에 내접하는 사각형의 성질도 그 역이 성립하니까 잘 알아두면 좋아요.
원에 내접하는 사각형의 성질은 다음에 공부할 사각형이 원에 내접하기 위한 조건과 똑같으니까 여기서 잘 해놓으면 다음 글은 식은 죽 먹기에요.
원에 내접하는 사각형의 성질
한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°
원에 내접하는 사각형은 그 모양에 상관없이 한 쌍의 대각의 합은 항상 180°예요.
원의 중심 O에서 점 B와 점 D에 반지름을 그어볼까요?
그런 다음 호BCD를 보세요. 이 호에 대한 원주각은 ∠A예요. 원주각과 중심각의 크기에 따라 중심각 ∠BOD = 2∠A가 되겠죠?
호BAD에 대한 원주각은 ∠C예요. 마찬가지로 중심각 ∠BOD = 2∠C고요. ∠A의 중심각과 똑같은 ∠BOD지만 방향이 반대죠?
두 중심각을 더하면 360°가 돼요. 2∠A + 2∠C = 360°
∠A + ∠C = 180°
점 O에서 점 A와 점 C에 반지름을 그어서 같은 방법을 이용하면 ∠B + ∠D = 180°가 되는 것도 알 수 있어요.
한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.
삼각형에서는 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각의 크기)의 합이었는데, 원에 내접하는 사각형에서도 비슷한 성질이 있어요.
여기서는 한 외각의 크기가 다른 내각의 크기의 합과 같은 게 아니라 내각의 대각의 크기와 같아요. 내각의 대각이라서 그 외각의 내대각이라고 합니다. 헷갈리기 쉬운데 대내각이 아니라 내대각이에요.
∠DCE를 한 외각이라고 하면, ∠DCB는 내각이죠. 그리고 ∠DCB의 대각인 ∠A가 내대각이에요.
∠A + ∠DCB = 180° (∵ 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°) ……… ①
∠DCB + ∠DCE = 180° (∵ 평각) ……… ②
① - ② 하면
∠A - ∠DCE = 0
∠A = ∠DCE
한 외각과 그 내대각의 크기가 같음을 알 수 있어요.
원에 내접하는 사각형의 성질
한 쌍의 대각의 크기의 합 = 180°
한 외각의 크기 = 내대각의 크기
다음 그림을 보고 x° + y°를 구하여라.
원에 내접하는 성질을 이용한 문제에요. 첫 번째 성질은 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°라는 것, 두 번째는 한 외각과 그 내대각의 크기가 같다는 거지요.
∠B + ∠D = 180°에서 ∠B = 90°이므로 ∠D = y° = 90°
∠DCB를 기준으로 외각인 ∠DCE와 내대각인 ∠A가 같으므로 x° = 70°
x° + y° = 90° + 70° = 160°
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네 점이 한 원 위에 있을 조건
세 점은 무조건 같은 원 위에 있어요. 세 점을 연결해서 삼각형을 그리면 이 삼각형의 외접원을 그릴 수 있잖아요. 따라서 세 점은 바로 이 외접원 위에 있는 거죠.
사각형도 그럴까요? 사각형에서는 외접원을 그리지 못하는 경우도 있어요. 원의 외접사각형에서 사각형의 내접원을 항상 그릴 수 있는 게 아닌 것처럼요.
사각형의 외접원에 대해서는 뒤에서 더 자세히 공부할 테지만 그 전단계로 네 점이 한 원 위에 있을 수 있는 조건이 무엇인지 알아보죠. 네 점이 원 위에 있다면 그 원은 네 점을 연결해서 그린 사각형의 외접원이 될 테니까요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건
네 점이 한 원 위에 있으려면 어떤 조건이 필요할까요?
두 가지 조건을 동시에 만족해야 해요.
첫 번째는 네 점 중 두 점이 다른 두 점을 연결한 직선에 대해 같은 쪽에 있어야 해요. 위 그림에서
두 번째는 위와 같은 상태에서 직선을 이루는 두 점과 다른 두 점으로 이루어진 각의 크기가 같아야 해요. ∠ACB = ∠ADB
첫 번째 조건은 원의 일부인 호와 원주각을 만들기 위한 과정이에요.
두 번째 조건은 호AB의 원주각이 될 수 있는지를 보는 거예요. 원주각의 성질에서 원주각의 위치와 관계없이 크기가 같다고 했으니까 호AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같은 다른 각이 있다면 이 각 역시 호AB의 원주각이 될 수 있는 거죠. 원주각은 원 위에 있는 각이니까 결국 점 D도 점 C와 같은 원 위에 있다는 뜻이에요.
네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가
∠ACB = ∠ADB 일 때
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.
원래 문제에서는 원을 그려주지 않지만 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으니까 원을 그렸어요.
네 점이 원 위에 있으니까 호BC에 대하여 원주각이 두 개 있죠? 원주각의 성질에서 같은 호에 대해서 원주각의 위치와 상관없이 원주각의 크기는 같다고 했으니까 ∠BAC = ∠BDC = 45°가 됩니다.
(삼각형 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이므로 오른쪽의 작은 삼각형 △CDE에서 112.5° = 45° + x°
x = 67.5°
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