내접원은 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질에서 공부했어요. 여기서는 내접원의 성질이나 내심과 관련된 내용이 중요한 건 아니니까 내심이 잘 기억나지 않는다고 해서 겁내지 마세요. 이 글에서 필요한 건 내접원은 그냥 삼각형의 안쪽에 접한다는 것과 내심에서 각 변에 이르는 거리가 같다는 정도니까요.
하지만 삼각형의 외심과 내심은 아주 중요한 내용이니까 나중에라도 꼭 확인하고 이해할 수 있도록 하세요.
삼각형의 내접원과 접선의 길이를 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 알아보죠.
삼각형의 내접원
삼각형의 내접원을 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 넓이를 구할 수 있어요.
삼각형의 둘레의 길이 = a + b + c = 2(x + y + z)
삼각형 세 변의 길이가 a, b, c라면 둘레의 길이는 a + b + c에요.
원의 접선의 길이에서 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다고 했죠? 위 그림에서는 삼각형의 각 꼭짓점이 원 밖의 한 점에 해당해요. 각 꼭짓점에서 원에 접선을 그었을 때 접점이 바로 점 D, 점 E, 점 F가 되는 거죠.
접선의 길이를 각각 x, y, z라고 했을 때
a = y + z
b = z + x
c = x + y
a + b + c = 2(x + y + z)입니다.
삼각형의 넓이 =
r(a + b + c)
원의 중심 O에서 세 꼭짓점으로 선을 그으면 세 개의 삼각형으로 나뉘어요. △OAB, △OBC, △OCA
△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
각각의 삼각형 넓이는 각 변을 밑변으로 하고, 내접원의 반지름을 높이로 하면 구할 수 있죠? 원의 중심에서 접점에 내린 반지름은 각 변에 수직이니까요. (원의 접선의 성질)
△OAB = cr
△OBC = ar
△OCA = br
△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
= cr +
ar +
br
= r(a + b + c)
다음 그림에서 △ABC는 ∠B = 90°인 직각삼각형이고, 원 O는 △ABC의 내접원, 각 변의 접점이 D, E, F일 때 물음에 답하여라.
(1) 의 길이를 구하여라.
(2) 원의 넓이를 구하여라.
(1) = x라고 해보죠. 원 밖의 한 점에서 내린 두 접선의 길이는 같기 때문에, 꼭짓점과 접점 사이의 거리는 아래처럼 표현할 수 있어요.
빗변 = (12 - x) + (9 - x) = 15
2x = 6
x = 3(cm)
(2) □ODBE를 보세요(원의 중심이 O입니다.) 이 사각형은 이웃한 두 각의 크기의 합이 180° (∠DBE + ∠OEB)이므로 평행사변형이에요. 평행사변형은 대변의 길이가 같으니까 x = 3cm이면 대변인 반지름 r = 3cm가 되지요.
사실 이 □ODBE는 정사각형이에요. 자세한 건 사각형의 정의와 성질, 조건를 참고하세요.
내접원의 반지름의 길이가 3cm이니까 넓이는 πr2 = 9π(cm2)
함께 보면 좋은 글
현의 수직이등분선
현의 길이
원의 접선, 원의 접선의 길이
[중등수학/중2 수학] - 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
[중등수학/중2 수학] - 삼각형 내심의 활용
[중등수학/중2 수학] - 삼각형의 외심과 내심, 삼각형의 내심과 외심 비교
맨마지막 정리해볼까요에서 오타났네요
ABC둘레를 구할때
a+b+c=2(x+y+c) (x)
a+b+c=2(x+y+z) (o)
그러네요.
삼각형 내접원 구할떄요 (12-x)+(9-x)= 15일떄
2x=6 x=3 어떻게 이 아래 두식이 바로 나오나요? 문의 드립니다
괄호 풀어서 계산하고 이항한 거예요. 중간과정을 생략했을 뿐입니다.
비밀댓글입니다
마지막 공식에 그냥 대입하면 됩니다.
(12-x)+(9-x)=15
2x=6 이 식을 어떻게 푸는건지 모르겠어요
일차방정식의 풀이(http://mathbang.net/232) 참고하세요.
올해 수능을 준비하는 수험생인데 수학공부 중 모자란 기초를
수학방님의 게시물덕분에 탄탄하게 공부하고 있습니다^.^
시중 문제집보다 간결하면서 이해하기 쉬운 설명을 보면서 재밌게
공부하고 있습니다ㅎㅎ
제 인생의 터닝포인트라고 봐도 과언이 아닌 수학방님의 강의 항상 감사하게 생각합니다!
아무쪼록 항상 건강하시길 기도하며 또 한번 감사드리면서 이만 글을 줄이겠습니다^.^
과찬이시네요. 그래도 시중에 판매되는 여러 책도 함께 보셔야 해요. 열심히 공부해서 좋은 결과 얻으시길 바라겠습니다. 화이팅^.^
이런 대단한 블로그를 만드신 계기가 뭔가요?
대단하시네요
그냥 많은 사람들과 같이 볼려고 만든 거예요.
우왕 감사합니다.
우왕 고맙습니다.
너무 요약,정리를 잘하시네요.ㅎㅎ
아니에요. 잘 못해요. 더 잘할 거예요. 더 잘하고 싶어요. ㅎㅎ
대단하시네요
너무 도움이 되요 감사합니다!
공식 까먹거나 이해가안될때 보는데 너무 도움이 많이됩니다!
시험공부하는데 도움 많이 되었어요
감사합니다 ㅎㅎ
좋은 결과 얻기를 바랄게요. ㅎㅎ