30°, 45°, 60°의 삼각비를 알아봤어요. 특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°
이제는 위 세 각이 아닌 다른 각의 삼각비를 알아볼꺼에요. 0° ~ 90°까지의 각이요. 그 이상의 각은 여기서 다루지 않아요.
예각의 삼각비는 외울 필요도 없고 외울 수도 없지만 구하는 방법은 알고 있어야해요. 예각의 삼각비를 구하는 방법을 살짝 응용해서 0°와 90°의 삼각비를 구하거든요.
그리고, 0°와 90°의 삼각비값은 외워야 해요. 이해가 되지 않으면 외울 수도 없겠죠? 설명을 잘 보세요.
예각의 삼각비
예각의 삼각비를 구할 때 제일 중요한 건 바로 반지름의 길이가 1인 원을 그려서 생각하는 거에요.
반지름이 1인 원의 중심과 원 위의 한 점, x축을 연결해서 삼각형을 만들었어요.
위 그림에서 ∠x를 기준각으로 하고 삼각비를 구해보죠. sin, cos은 △OAB에서 구하고 tan는 △OCD에서 구해요. 크기가 다른 직각삼각형이라도 기준각의 크기가 같으면 삼각비는 같잖아요.
그러니까 예각의 삼각비를 구할 때는 분모가 되는 변의 길이가 1인 삼각형을 찾고 그 삼각형에서 삼각비를 찾으면 돼요. sin과 cos인 빗변이 분모가 되니까 빗변의 길이가 1인 △OAB에서 구했어요. tan는 밑변이 분모가 되므로 밑변의 길이가 1인 △OCD에서 구했고요.
0°와 90°의 삼각비
0°와 90°의 삼각비도 예각의 삼각비와 마찬가지로 반지름이 1인 원을 그려서 확인할 수 있어요.
0°의 삼각비 - sin0°, cos0°, tan0°
왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은 
즉 sin0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요.
△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은 
cos0° = 1이 되는 걸 알 수 있지요.
이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은 
즉, tan0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요.
90°의 삼각비 - sin90°, cos90°, tan90°
왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은
즉 sin90° = 1이 되는 걸 알 수 있어요.
△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은
cos90° = 0이 되는 걸 알 수 있지요.
이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은
다음을 계산하여라.
(1) sin0° + cos0° + tan0°
(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°)
sin0° = 0, cos0° = 1, tan0° = 0, sin90° = 1, cos90° = 1을 위 식에 대입해서 풀면 돼요.
(1) sin0° + cos0° + tan0° = 0 + 1 + 0 = 1
(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°) = (0 + 0) × (1 + 1) = 0 × 2 = 0
0° ~ 90°의 삼각비
0°에서 90°까지 각의 크기가 변화할 때, 삼각비는 어떻게 되는지 알아볼까요?
sin은 0°에서 90°로 갈수록 값이 커져요. sin0° = 0으로 가장 작고, sin90° = 1로 가장 큽니다.
cos은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 작아지고요. cos0° = 1으로 가장 크고, cos90° = 0으로 가장 작아요.
tan은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 커져요. tan0° = 0으로 가장 작고, 계속 커져서 그 끝은 정할 수 없어요.
| 0° | ~ | 90° | |
|---|---|---|---|
| sin | 0 | ↗ (증가) |
1 |
| cos | 1 | ↘ (감소) | 0 |
| tan | 0 | ↗ (증가) | 정의할 수 없다. |
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감사^^! 이해가 안됬는데 도움이되네요
ㅎㅎ, 그림과 함께 기억하시면 더 오래 기억에 남을 거에요.
90도의 삼각비에서 코사인 90도 설명할 때 각 BOA는 0도가 아니라 90도에요
네, 90도네요.
지금까지 수학방을 통해 공부한걸 보면
0 × a 또는 0 ÷ a 가 나오면 결과 0으로 계산을 해주고
a × 0 또는 a ÷ 0 은 결과 알수없음으로 계산하지 않는것 같습니다
왜 그런것이죠? 이것이 정의나 공리같은것으로 정해져 있는건가요?
0 × a, 0 ÷ a, a × 0은 모두 0이죠.
다만, a ÷ 0은 조금 다른데, 단순히 계산으로 그 값을 구할 수 없으므로 그래프나 도형을 이용해서 설명하지요. 사실 무한이라는 개념을 알면 설명하기 쉬운데, 그건 고등학교 2학년이 되어야 공부하는 거라 그냥 "계속 커지면" 혹은 "계속 길어지면" 등으로 단순하게 설명할 수 밖에 없어요.
임의의 예각의 삼각비 값에서요
반지름의 길이가1인경우가 없으면 어떻게 문제를 푸나요?
그런 문제 절대 안나오니까 걱정마세요. ㅎ
이건 삼각비값의 변화를 보는 것이지 삼각비값 자체를 구하는 것이 아니에요.
탄젠트 90도가 없다는 글도 있구요. 양의 무한대라는 말도 있는데 뭐가 맞어요???ㅜㅜㅠㅠㅠㅜㅜㅠㅜㅜㅠㅠㅜㅜ
자세한 건 고등 과정을 공부하셔야 이해할 수 있습니다.
중3 과정에서는 그냥 정할 수 없다 정도돌만 알고 계셔도 됩니다.
감사합니다.
헷갈려서 인터넷 뒤지다가 바로 이해됬어요.
이제 헷갈릴 때는 인터넷 뒤지지 말고, 이 블로그를 뒤져주세요. ㅎㅎ
그럼 tan 90 - sin 90 일 때 답은 정할 수 없다가 되나요?
tan 90의 값을 구할 수 없으니 그렇게 하는 게 맞죠.
하지만, 그런 문제는 안 나올거예요. ㅎ
정말 큰 도움이 됐습니다! 감사합니다ㅠㅠ
으어어 어렵다아
사인 54°는 (1+√5)/4이고 코사인 54°는 √(10-2√5)/4입니다.