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순환소수와 유리수, 순환소수의 대소비교와 사칙연산
24

2012.12.27
유한소수와 무한소수
83

2012.12.24
중2 수학 목차
191

2012.05.20

현재 우리가 공부했던 가장 큰 수 체계는 유리수예요. 자연수, 정수, 유리수로 그 영역을 넓혀왔죠. 그렇다면 순환소수는 자연수, 정수, 유리수 중에 어느 영역에 속할까요?

순환소수는 기본적으로 소수예요. 그러니까 순환소수가 유한소수인지 무한소수인지도 알아봐야겠죠.

순환소수도 숫자니까 대소를 비교할 수 있어야 하고, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산도 할 수 있어야 해요. 다만, 순환소수는 그 상태 그대로 사칙연산을 하지 않고 변형을 시켜서 사칙연산을 하는데 그 방법을 알아보죠.

순환소수와 유리수

소수에는 유한소수와 무한소수가 있다고 했어요. 순환소수는 같은 부분이 끝도 없이 계속 반복되니까 무한소수예요. 순환소수를 분수로 바꿨더니 아주 잘 바뀌었어요. 분수로 나타낼 수 있는 수는 유리수이므로 순환소수는 유리수지요.

그에 반해 어떤 소수는 특정 부분이 반복되지 않으면서 끝없이 이어지는 소수도 있겠죠? 이 소수도 끝이 없이 계속되니까 무한소수인데, 순환하는 부분이 없어서 순환하지 않는 무한소수라고 합니다. 3.141592…인 원주율 π가 대표적인 순환하지 않는 무한소수예요. 순환하지 않는 무한소수는 분수 꼴로 바꿀 수 없어요. 유리수가 아니에요.

순환소수와 유리수

모든 유한소수는 유리수
무한소수 중에서 순환소수는 유리수
무한소수 중에서 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
→ 무한소수 중에는 유리수도 있고, 유리수가 아닌 것도 있다.

순환소수의 대소비교

소수의 대소비교는 자연수 부분부터 비교하는 거 알고 있죠? 자연수 부분이 같다면 소수점 이하 자릿수를 하나씩 비교하고요. 순환소수도 소수의 한 종류니까 그 방법 그대로 합니다.

순환소수는 순환마디를 그냥 쭉 풀어서 둘을 비교하면 돼요.

순환소수의 대소비교 예제

세 순환소수에서 소수 셋째 자리까지는 같고, 소수 넷째 자리의 숫자를 보니 순서네요.

순환마디를 풀어서 쓰지 않고 분수로 바꿔서 통분한 다음에 크기를 비교할 수도 있어요.

순환소수의 사칙계산

순환소수의 계산을 할 때는 분수로 바꿔서 계산해요. 순환마디를 쭉 풀어서 계산할 수도 있지만 받아 올림이 생기는 경우라면 계산이 틀리게 될 수 있거든요. 순환소수를 분수로 바꾼 다음에는 통상적인 분수의 계산대로 통분하고, 계산, 약분하면 돼요.

분수로 바꿔서 계산한 다음에 답은 그냥 분수로 둬도 돼요. 굳이 다시 소수로 바꿀 필요는 없어요.

순환소수를 분수로
통분
계산
약분

순환소수의 사칙연산

다음을 계산하여라.

순환소수가 포함된 계산에서는 순환소수를 분수로 바꿔서 계산합니다.

순환소수의 사칙연산 예제 풀이 1

순환소수의 사칙연산 예제 풀이 2

순환소수의 사칙연산 예제 풀이 3

정리해볼까요

순환소수와 유리수

무한소수 중 순환소수는 유리수
무한소수 중 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.

순환소수의 대소비교: 순환마디를 풀어서 소수 비교

순환소수의 사칙연산: 분수로 바꿔서 계산

순환소수를 분수로 나타내기

<< 중2 수학 목차 >>

지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱

그리드형

새로운 학년이 되었네요. 1학년 수학은 기초편이고, 이제부터 진짜 수학이 시작되는 거예요. 재밌겠죠? 조금 어렵긴 하지만 1학년 때보다는 덜 지루할 거예요.

처음으로 공부할 내용은 유리수의 확장판인데요, 유리수를 조금 더 세분화해서 나눌 거예요. 유한소수와 무한소수입니다. 우리가 알고 있던 유리수를 조금 더 자세히 공부하는 거죠.

유한소수와 무한소수의 뜻과 차이점을 알아봐요. 첫 시간인 만큼 조금만 할게요. 하지만 수의 체계와 관계있는 내용이니까 꼭 기억하고 있어야 해요.

유리수

일단 1학년 때 배웠던 유리수에 대해서 한 번 정리해볼까요?

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수라고 했어요. 부호에 따라 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있지요. 유리수를 다른 방법으로 분류하면, 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있다고도 했어요.

유리수의 분류

유한소수와 무한소수

정수 아닌 유리수를 조금 더 자세히 나눠보죠.

유리수는 분수꼴로 나타냈었는데, 이걸 소수로 바꿔보는 거예요. 여기서 소수는 소수와 합성수에서의 소수가 아니라 0.1, 0.2처럼 소수점이 있는 숫자를 말해요.

는 소수점 아래 숫자가 어느 정도 이어지다가 멈추는 소수지만 는 0.6666…처럼 소수점 아래에서 숫자가 멈추지 않고 계속되죠? 이렇게 분수를 소수로 바꿨을 때 숫자가 계속되지 않고 멈추는 소수를 유한소수, 멈추지 않고 계속해서 이어지는 소수를 무한소수라고 해요.

0.5000…처럼 0이 계속되는 건 무한소수가 아니라 유한소수입니다. 0은 취급하지 않아요.

유한소수와 무한소수를 조금 더 정확하게 정의하면 아래와 같아요.

유한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수
무한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수

유한소수의 유한은 한계가 있다는 뜻으로 소수점 아래의 숫자들이 끝나는 지점이 있다는 얘기에요. 무한소수의 무한은 소수점 아래에 숫자들이 끝도 없이 계속된다는 뜻이고요.

유한소수와 무한소수 구별법

어떤 분수가 유한소수인지 무한소수인지를 구별하려면 실제로 분자를 분모로 나눠봐야 할까요? 소수점 아래 100번째 자리에서 끝날 수도 있고, 1,000번째 자리에서 끝날 수도 있는데 직접 나눠보는 건 정말 귀찮은 방법이죠. 그래서 분수를 나눠보지 않고, 유한소수인지 무한소수인지 구별하는 방법이 있는데, 이걸 알아보죠.