순환소수
순환소수와 유리수, 순환소수의 대소비교와 사칙연산
현재 우리가 공부했던 가장 큰 수 체계는 유리수예요. 자연수, 정수, 유리수로 그 영역을 넓혀왔죠. 그렇다면 순환소수는 자연수, 정수, 유리수 중에 어느 영역에 속할까요?
순환소수는 기본적으로 소수예요. 그러니까 순환소수가 유한소수인지 무한소수인지도 알아봐야겠죠.
순환소수도 숫자니까 대소를 비교할 수 있어야 하고, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산도 할 수 있어야 해요. 다만, 순환소수는 그 상태 그대로 사칙연산을 하지 않고 변형을 시켜서 사칙연산을 하는데 그 방법을 알아보죠.
순환소수와 유리수
소수에는 유한소수와 무한소수가 있다고 했어요. 순환소수는 같은 부분이 끝도 없이 계속 반복되니까 무한소수예요. 순환소수를 분수로 바꿨더니 아주 잘 바뀌었어요. 분수로 나타낼 수 있는 수는 유리수이므로 순환소수는 유리수지요.
그에 반해 어떤 소수는 특정 부분이 반복되지 않으면서 끝없이 이어지는 소수도 있겠죠? 이 소수도 끝이 없이 계속되니까 무한소수인데, 순환하는 부분이 없어서 순환하지 않는 무한소수라고 합니다. 3.141592…인 원주율 π가 대표적인 순환하지 않는 무한소수예요. 순환하지 않는 무한소수는 분수 꼴로 바꿀 수 없어요. 유리수가 아니에요.
모든 유한소수는 유리수
무한소수 중에서 순환소수는 유리수
무한소수 중에서 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
→ 무한소수 중에는 유리수도 있고, 유리수가 아닌 것도 있다.
순환소수의 대소비교
소수의 대소비교는 자연수 부분부터 비교하는 거 알고 있죠? 자연수 부분이 같다면 소수점 이하 자릿수를 하나씩 비교하고요. 순환소수도 소수의 한 종류니까 그 방법 그대로 합니다.
순환소수는 순환마디를 그냥 쭉 풀어서 둘을 비교하면 돼요.
세 순환소수에서 소수 셋째 자리까지는 같고, 소수 넷째 자리의 숫자를 보니 
순환마디를 풀어서 쓰지 않고 분수로 바꿔서 통분한 다음에 크기를 비교할 수도 있어요.
순환소수의 사칙계산
순환소수의 계산을 할 때는 분수로 바꿔서 계산해요. 순환마디를 쭉 풀어서 계산할 수도 있지만 받아 올림이 생기는 경우라면 계산이 틀리게 될 수 있거든요. 순환소수를 분수로 바꾼 다음에는 통상적인 분수의 계산대로 통분하고, 계산, 약분하면 돼요.
분수로 바꿔서 계산한 다음에 답은 그냥 분수로 둬도 돼요. 굳이 다시 소수로 바꿀 필요는 없어요.
- 순환소수를 분수로
- 통분
- 계산
- 약분
다음을 계산하여라.
순환소수가 포함된 계산에서는 순환소수를 분수로 바꿔서 계산합니다.
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순환소수를 분수로 나타내기
순환소수를 분수로 나타내기
순환소수는 분수로 나타낼 수 있어요. 분수로 나타낼 수 있다는 얘기는 유리수라는 얘기죠. 반대로 순환소수 아닌 무한소수는 분수로 나타낼 수 없어요. 따라서 순환소수 아닌 무한소수는 유리수가 아니에요……
이 글에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 공부할 거예요. 그냥 글만 보고 이해하기에는 너무 어려운 내용이라서 여러 번 반복해서 읽어봐야 이해가 될 겁니다. 어렵긴 하지만 원리를 이해하면 답을 바로 구할 수 있는 공식도 있으니까 끝까지 집중해서 잘 보세요.
글로 된 설명과 그림을 잘 비교하면서 읽어보세요.
순환소수를 분수로 나타내는 방법
순환소수를 분수로 나타낼 때 가장 중요한 건 10의 거듭제곱을 곱해주는 거예요. 10의 거듭제곱을 곱해서 소수점 이하 자리를 같게 만들어준 다음 없애주는 거지요.
순환소수 
x = 0.33333… 이걸 ①식이라고 하고, ①의 양변에 10을 곱해보죠.
10x = 3.33333…이에요. 이걸 ②식이라고 할게요.
①과 ②의 소수점 이하 부분이 같아요. ②식에서 ①을 빼보죠. 식을 뺄 때는 좌변끼리 빼고, 우변끼리 빼는 거예요.
방법이 정말 복잡해서 이해하기 어려운 내용이에요. 잘 봐야 해요.
순환소수를 분수로 나타내기
- 주어진 순환소수를 x로 놓는다. - ①식
- 소수점이 순환마디 뒤에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. - ②식
- 소수점이 순환마디 앞에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. - ③식
- ② - ③
- 좌변, 우변을 정리 후 x의 계수로 양변을 나눠준다.
- 약분
약분하면 
다음 순환소수를 분수로 나타낼 때, 가장 편리한 식을 <보기>에서 찾으시오..
<보기> 10x - x, 100x - x, 1000x – x
100x - 10x, 1000x – 10x
1000x – 100x
소수점을 옮길 때 얼마를 곱해줘야 하는지 찾는 문제입니다. 소수점이 (순환마디 뒤에 있을 때) - (순환마디 앞에 있을 때)가 되어야 해요.
(1)은 순환마디가 2이므로 2 뒤에 소수점이 오려면 10을 곱해서 10x, 2 앞에 소수점이 있으니까 그냥 그대로 x로 하면 되겠네요. 이 둘을 뺀 10x - x가 가장 편리한 식입니다.
(2)는 순환마디가 34이므로 소수점이 34 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 34 앞에 오려면 10을 곱해서 10x가 되므로 1000x - 10x가 되어야 하고요.
(3)은 순환마디가 3으로 소수점이 3 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 3 앞에 오려면 100을 곱해서 100x가 되므로 1000x - 100x가 되겠네요..
순환소수를 분수로 나타내는 공식
위의 과정으로 순환소수를 분수로 나타내다 보니 너무 복잡해요. 그래서 결과로 바로 갈 수 있는 공식이 있는데, 이걸 외워야 합니다. 그런데 위 내용을 모르면 공식을 외울 수 없어요.
공식이라고 해서 딱 줄여서 쓸 수 있는 표현법이 마땅히 없어요. 설명을 잘 보고 이해하세요.
순환소수를 분수로 나타내는 거니까 분모, 분자가 있겠죠?
분모는 순환마디의 숫자만큼 9를 써줘요. 순환마디가 두 자리면 99, 세 자리면 999를 쓰는 거죠. 그리고 소수점 이하 자리에서 순환마디가 아닌 자리의 개수만큼 9 뒤에 0을 써줘요.
위 그림의
분자는 소수점을 고려하지 않은 전체 수에서 순환하지 않는 부분의 수를 그냥 빼주세요.
순환소수를 분수로 나타내는 공식
- 분모는 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 써주고, 9 뒤에 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자의 개수만큼 0을 붙여준다.
- 분자 = (소수점을 고려하지 않은 전체 수) - (순환하지 않는 부분의 수)
- 분자, 분모를 약분
0.2353535………를 공식을 이용해서 분수로 바꾸는 과정이에요.
다음 순환소수를 분수로 나타내어라.
(1) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 2개이므로 분모는 900
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 1235, 순환하지 않는 부분의 숫자는 123이므로 분자는 1235 - 123
(2) 순환마디는 3자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자가 없어서 0을 붙일 필요가 없으므로 분모는 999
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 123, 순환하지 않는 부분은 0이므로 분자는 123 - 0
(3) 순환마디는 2자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 1개이므로 분모는 990
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 12345, 순환하지 않는 부분은 123이므로 분자는 12345 - 123
(4) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 0개이므로 분모는 9
소수점을 고려하지 않는 전체수는 9, 순환하지 않는 숫자는 0이므로 분자는 9 - 0
0.9999999999………라서 절대로 1은 안될 것 같은데, 1하고 같아요. 0.99990.9999999999……… 가 1과 같은 이유
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소수에 대해서 공부하고 있어요.
이번 글에서는 소수 중에서 순환소수에 대해서 공부할 거예요. 순환소수의 특징과 순환소수를 표시하는 방법까지요. 순환소수는 순환마디라는 걸 이용한 특별한 표시 방법이 있거든요.
또 순환소수는 유한소수와 무한소수 중 어디에 속하는지도 알아볼 거예요. 정의만 알면 금방 알 수 있는 부분이긴 하죠.
나눗셈을 많이 해야 하기 때문에 조금은 귀찮은 내용일 수도 있지만 잘 참고 해봐요.
순환소수와 순환마디
순환이라는 단어는 주기적으로 반복되는 걸 말해요. 그러니까 순환소수는 어떤 게 주기적으로 반복되는 소수를 말하죠. 소수점 아래의 일정한 숫자의 배열이 반복되는 소수를 순환소수라고 해요.
예를 들어 0.3333…은 3이 계속 반복되죠? 0.121212…는 12가 계속 반복돼요. 이런 걸 순환소수라고 합니다. 참고로 0.123124125126…은 12O가 반복되는 특징이 있지만 이건 순환소수가 아니에요. 똑같은 게 계속 반복되어야 해요.
순환소수에서 소수점 아래의 반복되는 부분을 순환마디라고 해요. 0.3333…에서는 3, 0.121212…에서는 12가 순환마디가 되는 거죠.
0.1212121…에서 소수 둘째 자리부터 21이 계속 반복된다고 볼 수도 있어요. 순환마디가 21이 아니냐고 할 수도 있겠죠? 하지만 무조건 처음 반복되는 것부터 순환마디를 정해야 해요.
순환소수를 쓸 때는 …을 찍어서 쓸 수도 있지만 좀 더 정확한 표현법이 있어요. 순환마디의 첫 번째와 마지막 숫자의 바로 위에 점을 찍어서 표시해요. 순환마디가 한 자리일 때는 점을 한 번만 찍고요.
0.123123…에서는 순환마디가 123이죠? 첫 번째 1과 마지막 3의 위에 점을 찍어서 나타냈어요.
다음 분수를 순환소수로 나타내어라.
분수를 순환소수로 나타내려면 실제로 나누기를 해봐야 해요. 그래서 반복되는 부분을 찾아야 하죠. 반복되는 부분이 순환마디이고, 순환마디의 첫 번째와 마지막 숫자 위에 점을 찍어서 나타냅니다.
(1) 
(2) 
(3)
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순환소수와 유리수, 순환소수의 대소비교와 사칙연산
중2 수학 목차
중학교 2학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 유리수
- 식의 계산
- 연립방정식
- 부등식
- 일차함수
- 도형의 성질
- 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
- 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건
- 각의 이등분선의 성질 - 직각삼각형의 합동조건 이용
- 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
- 삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
- 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
- 삼각형 내심의 활용
- 삼각형의 외심과 내심 비교, 차이
- 평행사변형의 정의 평행사변형의 성질
- 평행사변형이 되는 조건
- 평행사변형과 넓이
- 직사각형의 성질과 직사각형이 되는 조건
- 마름모의 성질과 마름모가 되는 조건
- 정사각형의 성질과 정사각형이 되는 조건
- 사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 성질
- 여러가지 사각형의 정의와 성질
- 여러가지 사각형 사이의 관계
- 사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형
- 평행선과 넓이, 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비
- 도형의 닮음
- 피타고라스의 정리
- 확률