수학방

앞에서는 항의 개수가 3개 이하일 때를 해봤는데, 이제는 항의 개수가 4개 이상인 복잡한 식의 인수분해입니다.

항의 개수가 늘어나면 늘어난 만큼 식도 복잡해지고 계산 방법도 복잡해져요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환에서는 식의 모양을 바꾸서 인수분해를 했었는데, 이 글에서는 두 번의 인수분해 과정을 거쳐야 답이 나오는 경우에요.

그리고, 앞에서 공부했던 인수분해의 공식과 원리가 총 동원된 문제들이 나옵니다. 제법 어려운 문제들이니 틀리지 않게 주의해서 잘 보세요.

항이 4개 일 때

항이 네 개일 때, 모든 항에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶으세요. 4개의 항에 공통인수가 없을 때는 다른 방법을 사용해야 해요.

2-2로 짝짓기

4개 모두에 해당하는 공통인수가 없다면 2개씩 짝을 짓고, 각 쌍을 공통인수로 묶어요. 각각을 공통인수로 묶어서 두 개의 항으로 만들면 다시 공통인수가 생기는데, 그때 다시 공통인수로 묶어주면 돼요.

xy - x - y + 1을 보죠. 항은 4개인데, 4개 항에 모두 공통으로 들어있는 인수가 없어요. 2개씩 묶어보죠.
xy - x - y + 1
= (xy - x) + (-y + 1)
= x(y - 1) - (y - 1)

앞 두 개의 항에는 x라는 공통인수가 있고, 뒤 두 개의 항에는 (-1)이라는 공통인수가 있어요. 각각을 따로 인수분해했더니 양쪽 모두에 (y - 1)이라는 항이 있네요. y - 1 = t로 치환해보죠.

= xt - t
= (x - 1)t
= (x - 1)(y - 1)

y - 1 = t이므로 마지막 줄에서 원래 값을 대입했더니 인수분해가 끝났어요. 계산에 익숙해지면 이 정도 식은 따로 치환하는 식을 넣지 않고도 바로 계산할 수 있을 거예요.

1. 4개의 항을 2개씩 2쌍으로 짝짓기
2. 각 쌍에서 공통인수를 찾아서 각각을 인수분해
3. 두 쌍에서 공통인수를 찾아서 한 번 더 인수분해

3-1로 짝짓기

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x) + 9 - y²
= x(x - 6) + (3 + y)(3 - y)

4개의 항이 있어서 앞의 두 개, 뒤의 두 개의 항으로 묶어서 해봤는데, 인수분해가 안 돼요. 방법이 틀렸다는 얘기예요. 이때는 2개씩 짝을 짓는 것 말고 다른 방법을 써야 해요.

앞의 3개와 뒤의 1개를 따로 짝을 지어보죠.

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x + 9) - y²
= (x - 3)² - y²
= (x - 3 + y)(x - 3 - y)
= (x + y - 3)(x - y - 3)

앞의 세 개와 뒤의 하나로 짝을 지었더니 인수분해가 되네요. 경우에 따라서는 앞의 한 개와 뒤의 3개를 짝 지어야 하는 경우도 있어요. 이런 경우는 대부분 한 개짜리가 제곱이고, 세 개짜리는 완전제곱식이며 이 둘은 (제곱 - 제곱)의 형태가 될 때가 많아요.

3 - 1로 할 건지, 1 - 3으로 할 건지는 일차항을 보면 쉽게 판단할 수 있어요. 예를 들어 x, y의 문자가 모두 들어있는 식에서 x의 일차항이 있으면 x², x, 상수항의 3개를 묶고, 남은 y항을 하나로 해요.

x² - 2x - 8 - y² 에서는 일차항이 -2x이므로 x², -2x, -8을 묶어요.
x² - y² + 2y + 8에서는 일차항이 2y이므로 -y², 2y, 8을 묶으세요.

1. 3 - 1 로 짝짓기
2. 3 개짜리 항을 완전제곱식으로 인수분해
3. 1개짜리 항과 ②의 완전제곱식을 합차공식으로 인수분해

항이 5개 이상일 때

항이 5개 이상인 경우는 많이 나오는 경우는 아닌데, 그래도 알아 두면 좋아요. 이때는 문자의 차수가 가장 낮은 한 문자를 선택해서 그 문자에 대해 차수가 높은 순에서 낮은 순서로 항들의 위치를 바꾼 다음에 인수분해를 합니다. 차수가 높은 순에서 낮은 순으로 쓰는 걸 내림차순으로 정리한다고 표현해요.

이때, 선택한 문자가 들어있지 않은 항은 모두 상수항 취급하세요. 예를 들어 y라는 문자를 선택했다면 x²항도 상수항이에요.

x² + xy - 5x - 2y + 6를 볼까요?

항이 5개, 문자는 x, y의 2개예요. 복잡하네요. x는 2차, y는 1차죠? 그렇다면 차수가 낮은 y를 선택하고 차수가 높은 것에서 낮은 순서대로 항의 위치를 바꿔요. 우선 y의 1차인 xy, -2y를 먼저 쓰고 나머지를 그 뒤에 쓰죠.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6

순서를 바꾸고 보니까 앞의 두 항에는 y라는 공통인수가 들어있고, 뒤의 세 항은 인수분해가 되네요. 정리해보죠.
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)

정리하고 보니까 (x - 2)라는 부분이 양쪽 모두에 들어있죠? x - 2 = t라고 치환하죠.
= yt + t(x - 3)
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)

한꺼번에 모아서 다시 써볼게요.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6         ∵ y에 대해서 내림차순 정리
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)    ∵ 공통인수로 묶기, 인수분해
= yt + t(x - 3)                    ∵ x - 2 = t로 치환
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)              ∵ t = x - 2 대입

복잡한 과정을 거쳐서 인수분해를 할 수 있었어요.

항이 5개 이상일 때: 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리 후 인수분해

참고로 항이 4개인데, 2 - 2, 3 - 1로 묶이지 않을 때에도 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리해보면 묶을 수 있는 경우가 있어요. 이 점도 기억해두세요.

다음을 인수분해 하여라.
(1) 3xy - 6y² - x + 2y
(2) 9x² - 4y² + 16y - 16
(3) x² + xy - x - 2y - 2

(1)은 네 개의 항으로 되어있어요. 네 항 모두에 들어있는 공통인수가 없기때문에 앞의 두 개와 뒤의 두 개를 따로 따로 인수분해해보죠.
3xy - 6y² - x + 2y
= 3y(x - 2y) - (x - 2y)
= (3y - 1)(x - 2y)

(2)는 앞의 두 개, 뒤의 두 개로 나누어도 공통인수가 없어요. 다른 방법을 해야한다는 뜻이에요. 3 - 1로 묶어보죠. 그런데, 뒤에 2, 3번째 항에 y라는 문자가 들어있으니까 앞의 하나와 뒤의 세 항으로 나누어 묶어보죠.
9x² - 4y² + 16y - 16
= (3x)² - 4(y² -4y + 4)
= (3x)² -4(y - 2)²
= (3x)² - {2(y - 2)}²
= {3x + 2(y - 2)}{3x - 2(y - 2)}
= (3x + 2y - 4)(3x - 2y + 4)

(3)번은 항이 다섯개나 있네요. 이 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리를 해요. x는 이차, y는 일차이므로 y의 내림차순으로 정리해보죠.
x² + xy - x - 2y - 2
= xy - 2y + x² - x - 2
= (x - 2)y + (x - 2)(x + 1)
= (x - 2)(y + x + 1)

인수분해는 곱셈공식의 반대과정이니까 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그렇다고 해서 인수분해 공식만 외우고 문제는 풀지 못하는 상황에 빠지면 안돼요. 공식을 외우는 건 계산을 쉽고 빠르게 하기 위해서니까요. 공식을 외우는 게 목적이 되어서는 안돼요.

이 글은 복잡한 식의 인수분해 방법 첫번째에요. 문제 자체에 공식을 바로 적용할 수 없으니 공식을 적용할 수 있도록 식의 모양을 바꾸는 방법을 공부할 겁니다. 처음 보면 복잡해보이지만 몇 가지 방법만 알면 기존에 외우고 있는 공식을 바로 써먹을 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.

복잡한 식의 인수분해

공통인수로 묶기

복잡한 식을 인수분해를 할 때 가장 먼저 해야할 일은 모든 항에 들어있는 공통인수로 묶는 것이에요. 일단 공통인수로 묶으면 남은 것들끼리 인수분해 공식을 이용해서 인수분해 할 수 있어요. 공통인수는 숫자일 수도 있고, 문자일 수도 있고, 숫자와 문자가 함께 있을 수도 있어요.

2x³y + 4x²y² + 2xy³을 해보죠. 모든 항에 2xy가 들어있어요. 2xy로 묶어보죠.

2x³y + 4x²y² + 2xy³
= 2xy(x² + 2xy + y²)
= 2xy(x + y)²                 ∵괄호안이 완전제곱식

2xy로 묶지않고 인수분해를 하려 했다면 할 수가 없었겠죠?

복잡한 식의 인수분해 1
공통인수로 묶기 → 인수분해 공식 사용

치환

치환은 바꾸는 걸 말해요. 식 안에 길이가 긴 내용을 짧은 다른 문자로 바꾸는 거죠. 치환은 2학년 곱셈공식 - 다항식 × 다항식을 공부할 때 이미 한 번 본 적이 있어요. 치환이라는 용어를 사용하지 않았을 뿐이에요.

a(a + b) - b(a + b)라는 식이 있다고 해보죠. 괄호를 전개해서 해볼까요?
a(a + b) - b(a + b)
= a² + ab - ab - b²
= a² - b²
= (a + b)(a - b)

복잡하죠? 문제에서 (a + b)라는 괄호로 묶어진 항을 t라는 문자로 바꿔보죠. (a + b) = t
a(a + b) - b(a + b)
= at - bt
= (a - b)t            ∵t는 공통인수
= (a - b)(a + b)    ∵a + b = t 이므로

두 번째 줄에서 (a + b) = t라고 놓으니까 두 항에 모두 t라는 공통인수가 들어있네요. 인수분해가 훨씬 쉬워졌죠? 그리고 t라는 문자에 원래 값인 (a + b)를 넣어줬더니 괄호를 전개해서 정리하고 인수분해한 것과 같죠?

치환을 하면 식의 길이도 짧아지고 차수도 낮아지는 장점이 있어서 계산할 때 많이 사용하는 방법이에요. 주의해야할 건 치환을 한 후에 답을 쓸 때는 대신 썼던 문자를 원래 값으로 바꿔줘야 한다는 거에요. 위에서도 마지막 줄에 t = (a + b)를 넣는 것까지 해야 계산이 끝나는 거에요. (a - b)t 라고 쓰면 틀립니다.

그리고 치환을 할 때 사용하는 문자는 t뿐 아니라 A, B 등 아무거나 상관없어요. 문제에 나와있지 않은 문자면 돼요.

(2a - b)² - 2(2a - b) - 8을 인수분해 해볼까요? 이 식도 마찬가지로 전개하지 않고 (2a - b) = t라고 치환해보죠.
(2a - b)² - 2(2a - b) - 8
= t² - 2t - 8
= (t - 4)(t + 2)
= (2a - b - 4)(2a - b + 2)

2a - b를 t라는 문자로 치환한 다음에 계산을 하고, 마지막에 t에 원래 값인 2a - b를 대입했더니 인수분해가 됐네요.

이번에는 (x + 1)² - (y - 1)²을 해보죠. 괄호로 묶어진 (x + 1) = A, (y - 1) = B라고 치환해보죠. 괄호 안의 내용이 서로 다르니까 다른 문자로 치환했어요.

(x + 1)² - (y - 1)²
= A² - B²
= (A + B)(A - B)
= {(x + 1) + (y - 1)}{(x + 1) - (y - 1)}
= (x + y)(x - y + 2)

복잡한 식의 인수분해 2 - 치환
식의 일부를 다른 문자로 바꾸어 계산 → 계산 후 바꾼 문자에 원래 값 대입
여러 항에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶어진 곳을 치환

다음 식을 인수분해 하여라.
(1) a³b - 3a²b - 18ab
(2) (3a + 2)² + 4(3a + 2) + 3
(3) xy(x + 2)² - xy(y + 2)²

인수분해의 시작은 공통인수로 묶는 거에요. 공통인수로 묶은 후에 인수분해 공식을 사용해요. 공통인수로 묶어지지 않는다면 바로 인수분해 공식을 사용하거나 치환 등을 이용해서 인수분해 합니다.

(1) a³b - 3a²b - 18ab
ab(a² - 3a - 18)        ∵ ab가 공통인수
= ab(a - 6)(a + 3)

(2) (3a + 2)² + 4(3a + 2) + 3
= t² + 4t + 3                     ∵ 3a + 2 = t로 치환
= (t + 1)(t + 3)
= (3a + 2 + 1)(3a + 2 + 3)  ∵ 원래 값 대입. t = 3a + 2
= (3a + 3)(3a + 5)
= 3(a + 1)(3a + 5)            ∵ 3이 공통인수

(3) xy(x + 2)² - xy(y + 2)²
= xy{(x + 2)² - (y + 2)²}    ∵ xy가 공통인수
= xy(A² - B²)                  ∵ A, B로 치환
= xy(A + B)(A - B)
= xy{(x + 2) + (y + 2)}{(x + 2) - (y + 2)}
= xy(x + y + 4)(x - y)

곱셈공식은 다섯개가 있었어요. 인수분해 공식도 다섯개가 있어요. 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식에서 세 개 공부했으니까 남은 두 개를 해보죠. 곱셈공식에서도 4, 5번 공식이 좀 어려웠죠? 인수분해 공식도 4, 5번이 어려워요.

인수분해는 다음 단원인 이차방정식에서 꼭 해야하는 거라서 대충하고 넘어가면 안돼요. 그리고 고등학교 올라가면 또 나와요.

중학 과정에서 인수분해는 정수 범위 내에서 합니다. 아주 가끔 유리수가 나오기도 하는데, 그건 1년에 한 문제 볼까말까 하니까 신경 안써도 돼요.

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1일 때

인수분해 공식 네 번째는 이차항의 계수가 1이 아닐 때에요. 보통은 x에 관한 이차식이 나와요.

곱셈공식에서 계수가 1인 두 일차식의 곱셈은 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab 였죠? 이거를 거꾸로 하는 거에요.

x² + 합x + 곱으로 되어 있는 꼴이지요. 여기서 할 일은 합해서 일차항의 계수, 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 찾는 거에요.

x² + 3x + 2를 인수분해 해볼까요? 할 일이 뭐라고요? 더해서 3이 나오고 곱해서 2가 되는 수를 찾는 거에요. 대게 곱하서 상수항이 나오는 수를 먼저 찾아요. 곱해서 2가 나오는 두 수는 (1, 2), (-1, -2) 가 있지요? 이 두 개 중에 더해서 3이 되는 수는 (1, 2)에요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해가 제대로 됐는 지 확인하고 싶다면, 인수분해 결과를 곱셈공식으로 전개해서 문제의 식이 나오는지 보면 돼요.

간단한 인수분해는 숫자를 직접 찾아서 할 수 있는데, 대부분 이차식의 인수분해를 할 때는 X자 방법을 사용해요.

1. 먼저 이차식을 쓰고
2. 이차항의 아래에 x를 세로로 두 번 써요. 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 상수항 아래에 세로로 씁니다.
3. x와 상수항 아래의 숫자를 X 방향으로 곱해요.
4. 곱한 결과를 더해서 일차항이 나오는 지 확인합니다.
5. 일차항과 같다면 같은 줄에 있는 x와 숫자를 괄호로 묶어요.
   일차항과 다르다면 ②로 돌아가 곱해서 상수항이 나오는 다른 숫자를 쓰고 다시 반복합니다.
6. 괄호로 묶은 두 식을 곱셈으로 바꿔주면 인수분해가 끝납니다.

다음 식을 인수분해 하여라.
(1) x² + 6x + 8
(2) x² - 5x + 6

(1) x² + 6x + 8에서 곱해서 상수항 8이 되는 수는 (2, 4) (-2, -4), (1, 8), (-1, -8)이 있어요. 하나씩 해볼까요?

x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 4)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 4x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 6x가 됐죠? 더한 결과 6x는 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 2를 괄호로 묶고, 다음 줄에 있는 x와 4를 괄호로 묶어서 (x + 2)(x + 4)가 됩니다.

x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

(2) x² - 5x + 6에서 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)이 있어요.

x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 3)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 3x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 5x가 됐죠? 더한 결과 5x는 일차항과 다르죠? 일차항은 -5x에요.

다른 수를 대입해봐야 겠네요. (-2, -3)을 대입해보죠.

계산해봤더니 일차항과 같은 -5x가 나와요. 같은 줄에 있는 x와 -2를 묶어서 (x - 2), 다음 줄에 있는 x와 -3을 묶어서 (x - 3)을 구하고 이 둘을 곱해요.

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때

이차항의 계수가 1이 아닐 때 사용하는 인수분해 공식은 많이 복잡해요. 곱셈공식에서도 복잡했잖아요. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd 였어요.

이걸 인수분해할 때도 위와 같은 X자 방법을 써요. 순서도 다 똑같아요. 대신에 곱해서 x²의 계수가 되는 두 수와 곱해서 상수항이 되는 두 수, 이렇게 총 4개의 수를 찾아야 해요.

2x² + 7x + 3을 인수분해 해보죠. 이차항의 계수가 2네요.

먼저 곱해서 이차항의 계수 2가 나오는 수는 (1, 2), (2, 1)이 있어요. (-1, -2), (-2, -1)도 있지만 여기서는 생략해도 됩니다. 상수항에서 부호를 바꾸면 결과가 같아지니까 이차항에서는 반대 부호를 해보지 않아도 돼요. 이거는 계산을 몇 번 해보면 자연스럽게 이해가 될 거에요.

곱해서 상수항 3이 되는 두 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이 있어요.

이차항에는 (1, 2) 상수항에는 (1, 3)을 넣어서 X자 방법을 해보죠.

x × 3 = 3x, 2x × 1 = 2x. 이 둘을 더하면 5x가 되어서 일차항과 다르네요. 이건 답이 아니에요. 이번에는 이차항에 (1, 2), 상수항에는 (3, 1)을 넣어보죠.

x × 2 = 2x, 2x × 3 = 6x. 이 둘을 더한 게 7x가 되어 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 3을 괄호로 묶어서 (x + 3), 아랫줄에 있는 2x와 1을 괄호로 묶어서 (2x + 1). 이 둘을 곱하면 답이 돼요.

x² + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)

이차항의 계수가 1이 아닐 때는 경우의 수가 많이 나와요. 처음부터 바로 답이 나오는 경우가 많지는 않아요. 위 풀이에서는 두 번만에 답을 찾았지만 세 번, 네 번이 넘어가는 경우도 많이 나와요.

인수분해 공식 사용 팁

곱해서 상수항이 되는 두 수를 찾을 때 팁 한가지 알려드릴께요. 단, 위 X자 방법을 완전히 이해한 상태에서 보세요. 이해하지 않은 상태에서 보면 더 헷갈리니까요.

상수항의 부호와 일차항의 부호를 보고 경우의 수를 절반으로 줄이는 방법이에요. 이차항의 계수는 일단 보류하세요.

2x² + 7x + 3을 다시 볼까요? 곱해서 상수항 3이 되는 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이렇게 4개가 있어요. 그런데 일차항이 +7x이므로 둘 다 양수인 (1, 3), (3, 1) 중 하나가 답이 되는 거에요. 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)

x² - 5x + 6을 보세요. 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -5x 이므로 둘 다 음수인 (-2, -3), (-1, -6) 중 하나가 답이 되는 거죠. x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

2x² - 3x - 5를 볼까요? 곱해서 상수항 -5가 되는 수는 (-1, 5), (5, -1), (1, -5), (-5, 1)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -3x로 음수니까 음수의 절댓값이 더 큰 (1, -5), (-5, 1) 중 답이 있어요. 2x² - 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1)

다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.

인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 한 거니까 따로 외우지 않아도 돼요.

곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.

인수분해 공식 - 완전제곱식

완전제곱식이란

완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거예요. 숫자로 치면 제곱이랑 같아요.

완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (……………)²처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)²도 완전제곱식이고, 2(x + a)²도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)²이나 (x + a)(x + b)²처럼 말이죠.

완전제곱식: 같은 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)², k(a + b)²

어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.

일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A², B²이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 a, b를 곱하고 거기에 또 2를 곱한 항이에요.

A² + 2 × A × B + B²

첫 번째 항은 a의 제곱, 세 번째 항은 b의 제곱, 가운데 항은 a와 b를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.

다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a² + □ + 36
(2) 4a² + 4ab + □

(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a² + □ + 36
= a² + □ + 6²

□ = 2 × a × 6 = 12a

그런데, 36 = 6² = (-6)²이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a² + □ + (-6)²이라고 쓸 수도 있어요.

□ = 2 × a × (-6) = -12a

결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.

(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a² + 4ab + □
= (2a)² + 2 × 2a × b + □

□ = b²

여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.

완전제곱식으로 인수분해

일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보죠.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지 파악하면 되겠죠?

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a² + 4ab + 4b²
(2) 4a² + 12ab + 9b²
(3) 8a² + 8ab + 2b²

식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?

(1) 모양을 바꿔보면
a² + 4ab + 4b²
= a² + 2 × a × 2b + (2b)²
= (a + 2b)²

(2) 4a² + 12ab + 9b²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= (2a + 3b)²

(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a² + 8ab + 2b²
= 2(4a² + 4ab + b²)
= 2{(2a)² + 2 × 2a × b + b²}
= 2(2a + b)²

인수분해 공식 - 합차공식

곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?

a² - b² = (a + b)(a - b)

다음을 인수분해하여라.
(1) 4a² - 9b²
(2) 3a² - 27b²
(3) a² + 4b²

제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.

(1) 4a² - 9b²
= (2a)² - (3b)²
= (2a + 3b)(2a - 3b)

(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a² - 27b²
= 3(a² - 9b²)
= 3{a² - (3b)²}
= 3(a + 3b)(a - 3b)

(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.

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인수분해 어디서 들어본 것 같죠? 소인수분해 들어봤잖아요. 글자 하나만 다르죠? 그 원리나 용어의 뜻도 비슷해요. 소인수분해와 같은 점, 다른 점을 함께 공부하면 더 쉽게 이해할 수 있어요.

다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 분배법칙과 그 분배법칙을 활용한 곱셈공식이 있어요. 인수분해는 다항식의 곱셈에서 했던 곱셈공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그러니까 이번에 곱셈공식을 잊고 있었다면 다시 한번 외우세요. 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식

이 글에서는 인수분해와 인수의 뜻을 알아보고, 간단한 인수분해도 공부할거예요.

인수분해

약수와 인수

약수와 인수는 같은 것 같지만 서로 달라요.

어떤 수를 다른 수로 나누었을 때, 나머지가 0이면 나누는 수를 나눠지는 수의 약수라고 해요.

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지는 0)
(나눠지는 수) ÷ (약수) = (몫) + 0

반면에 인수는 어떤 수나 식들을 곱해서 다른 수나 식이 될 때 곱해지는 식 또는 수를 말해요.

(인수) × (인수) = (식 또는 수)

그러니까 약수는 나누기를 기준으로 하고, 인수는 곱하기를 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

인수분해

소인수분해는 어떤 숫자를 소수인 인수 즉, 소인수들의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거죠? 숫자를 소인수들의 곱으로 분해하는 거잖아요. 인수분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식 또는 수의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거예요. 소수뿐 아니라 다항식으로 분해라는 거라서 앞에 "소"자가 빠지고 그냥 인수분해예요.

소인수분해: 12 = 2² × 3
인수분해: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해는 (하나의 다항식) -> (식의 곱)으로 표시하는 거예요. (식의 곱) → (하나의 다항식)으로 하는 반대과정을 생각해볼 수 있겠죠? 이 반대과정이 전개예요. 즉 인수분해와 전개는 서로 반대 과정인거죠.

다항식의 곱을 전개할 때 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 하죠. 전개와 인수분해가 반대과정이니까 인수분해 공식도 곱셈공식의 반대공식이에요.

인수 구하기

그러면 인수분해된 걸 보고 인수를 구하는 방법을 알아보죠.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

우변에서 곱해져 있는 것들이 바로 인수예요. (x + 1)과 (x + 2)가 인수죠. 그리고 이들을 곱한 게 또 인수입니다. 마지막으로 모든 수의 약수에 1이 포함되듯이 모든 식의 인수로도 1이 포함돼요.

인수 1개: (x + 1), (x + 2)
인수 2개를 곱한 것: (x + 1)(x + 2)
모든 식의 인수: 1

총 4개의 인수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기에서 각 소수의 지수에 1씩 더해서 곱하면 약수의 개수만 바로 구하는 방법이 있었죠?

소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

12 = 2² × 3 → 약수의 개수는 (2 + 1)(1 + 1) = 6

인수분해에서도 같은 방법으로 인수의 개수를 구할 수 있어요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
→ 인수 (x + 1)의 지수는 1, 인수 (x + 2)의 지수가 1
→ (1 + 1)(1 + 1) = 4

인수: ① 인수분해가 된 상태에서 괄호로 묶인 것, 괄호 밖의 숫자와 문자
        ② ①의 인수들을 서로 곱한 것
        ③ 모든 식의 인수 1
인수의 개수 = 각 인수의 (지수 + 1)의 곱

2x² + 6x + 4가 2(x + 1)(x + 2)로 인수분해될 때, 2x² + 6x + 4의 인수를 모두 구하여라.

인수분해가 이미 다 되어있네요. 인수분해가 된 상태에서 괄호 쳐진 각각의 것들이 모두 인수예요. 이때, 괄호 밖에 있는 것들은 숫자, 문자 모두 하나의 인수예요. 각 인수를 서로 곱한 게 인수고 마지막으로 1도 인수고요.

1개짜리 인수: 2, (x + 1), (x + 2)
2개를 곱한 인수: 2(x + 1), 2(x + 2), (x + 1)(x + 2)
3개를 곱한 인수: 2(x + 1)(x + 2)
모든 수의 인수: 1

총 8개의 인수가 있네요.

인수가 8개 맞는지 확인해보죠. 2의 지수 1, (x + 1)의 지수 1, (x + 2)의 지수 1이므로 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8이네요. 8개가 맞네요.

공통인수로 인수분해

이제 직접 인수분해를 해볼까요? 인수분해를 할 때, 가장 먼저 하는 게 공통인수로 묶는 거예요. 이건 분배법칙을 거꾸로 하면 돼요

여러 개의 항도 인수로 되어 있겠죠? 그중에서 서로 똑같은 인수가 있을 때, 그걸 공통인수라고 하고 분배법칙을 이용해서 공통인수로 묶어요. 이때 공통인수는 1은 제외해요. 숫자는 최대공약수를 사용하고, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 공통인수로 사용합니다.

공통인수: 모든 항에 들어있는 인수.
              1은 제외. 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 높은 것
공통인수로 인수분해: 각 항을 공통인수로 묶고, 공통인수로 나눈 몫은 괄호로
                              ma + mb = m(a + b)

x² + 3x을 볼까요? x²은 x와 x²을 인수로 가져요. 3x는 3과 x가 인수죠? 공통으로 들어있는 인수는 x네요. x²에서 x로 나누면 x예요. 3x를 x로 나누면 3이고요. x라는 공통인수로 나누고, 몫을 그대로 써주면 돼요.
x² + 3x = x(x + 3)

12a + 16a²를 공통인수로 인수분해해보죠. 숫자는 최대공약수를 사용하니까 12와 16의 최대공약수 4이고 공통으로 들어있는 문자는 a예요. 그러니까 공통인수는 4a입니다. 12a를 4a로 나누면 3이죠? 16a²에서 4a로 나누면 4a고요.
12a + 16a² = 4a(3 + 4a)

다음 식을 인수분해하여라.
(1) x² - 3x
(2) 4a² + 8a
(3) 2xy + 3yz

공통인수로 묶어서 인수분해를 하는데, 공통인수는 각 항에 들어있는 인수 중 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 찾아요.

(1) 공통인수는 x네요. x로 묶고, 나머지는 괄호 안에 써주면
x² - 3x = x(x - 3)

(2) 공통인수는 숫자는 4, 문자는 a예요.
4a² + 8a = 4a(a + 2)

(3) 숫자는 최대공약수가 1이니까 제외하고요. 문자는 둘 다 y가 들어있어요.
2xy + 3yz = y(2x + 3z)

이차방정식에서 근을 구하는 방법을 모두 배웠어요. 간단하게 정리해보자면 먼저 인수분해를 해서 구하고, 인수분해가 안되면 근의 공식을 사용하는 거죠.

이제는 거꾸로 생각해볼까요?

이차방정식을 주고 그 해를 구하는 게 아니라 해를 알려주고 이차방정식을 구하는 경우요.

이번 글에서는 이차방정식의 두 근을 알려주었을 때와 두 근 대신 두 근의 합과 곱을 알려주었을 때 이차방정식을 구하는 방법을 공부해보죠.

두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기

방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거에요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.

x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, x = 2

두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.
x = α, β
(x - α)(x - β) = 0
x² - (α + β)x + αβ = 0

두 근이 2, 3이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

거꾸로 주어진 두 근을 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 이 식을 전개해서 이차방정식을 구하는 거예요.

두 근이 2, 3이므로
(x - 2)(x - 3) = 0
x² - 5x + 6 = 0

두 근이 4, 5이고 이차항의 계수가 3인 이차방정식을 구하여라.

위 문제와 다른 점은 이차항의 계수가 1이 아닌 3이라는 거예요.

(x - 4)(x - 5) = 0
x² - 9x + 20 = 0

여기에 이차항의 계수가 3이라고 했으니 3x² - 9x + 20 = 0이라고 쓰면 될까요? 절대 안돼요. 3x² - 9x + 20 = 0에 x = 4를 넣으면 식이 성립하지 않아요. 그러니까 이 식은 4를 근으로 갖지 않는 거죠.

이차항의 계수가 1이 아닐 때는 인수분해로 만든 식에 이차항의 계수 곱해줍니다. 위에서 만든 식이 (x - 4)(x - 5) = 0였으니까 여기에 이차항의 계수 3을 곱하면 3(x - 4)(x - 5) = 0이 되는 거죠.

이 식을 전개하면 3x² - 27x + 60 = 0가 되는데 이게 문제에서 구하는 이차방정식이에요.

두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기

두 근이 아니라 합과 곱이 주어졌을 때입니다. 이 때는 근을 구할 필요가 없어요.

위에서 사용했던 공식 a(x - α)(x - β) = 0의 괄호 부분을 전개해보세요. 식이 어떻게 되나요?

a(x - α)(x - β) = 0
a{x² - (α + β) x + αβ} = 0

이 전개식에 합과 곱을 집어넣으면 돼요.

두 근의 합이 2이고 곱이 -8인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2)

두 근의 합과, 곱, 이차항의 계수를 알려주었네요.

a(x² - 합x + 곱) = 0
2(x²  - 2x - 8) = 0
2x²  - 4x - 16 = 0

이차방정식을 풀기 위해서는 이차방정식의 기본형인 ax² + bx + c = 0꼴로 바꿔주는 것이 좋아요. 기본형으로 바꾼다음 인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하고 인수분해가 되지 않는다면 근의 공식으로 푸세요.

이번 글에서는 복잡한 이차방정식의 풀이에 대해서 알아볼 거예요. 복잡한 식이라는 거 많이 해봤잖아요. 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이, 복잡한 부등식, 복잡한 인수분해.. 모두 원리는 하나에요.

복잡한 건 복잡하지 않게 계산하기 쉽게 바꾸면 된다. 복잡한 이차방정식은 복잡하지 않게 바꾼 다음에 인수분해 or 근의 공식 입니다.

복잡한 이차방정식 푸는 법

괄호가 있을 때

괄호가 있으면 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 계산을 해야해요. 괄호를 전개하지 않거나 동류항 계산을 다 끝내야 일반형으로 바꿀 수 있어요.

x(1 - x) = (x + 2)(x - 3)

괄호가 있으니까 전개해서 동류항 계산을 하세요. 물론 기본형으로 바꾸는 작업까지요.

x - x² = x² - x - 6
2x² - 2x - 6 = 0
x² - x - 3 = 0

일반형으로 바꿨더니 위처럼 됐어요. 근데 인수분해가 안되니까 근의 공식을 써야겠죠.

계수가 소수일 때

계수가 소수이면 계산이 복잡합니다. 그래서 계수를 정수로 바꿔줘야해요. 정수로 바꿀려면 10의 제곱인 수 즉, 10, 100, 1000을 식에 곱해줍니다. 계수를 정수로 바꾼 다음에 인수분해나 근의 공식을 이용하세요.

0.3x² - x + 0.1 = 0

계수가 소수 첫째자리까지 있으니까 10을 곱해줘야 겠네요.

3x² - 10x + 1 = 0

인수분해가 안되네요. 근의 공식을 써야하는데 x의 계수가 짝수니까 짝수 공식을 써볼까요?

계수가 분수일 때

계수가 분수일 때에도 역시 계수를 정수로 바꿔줘야 해요. 정수로 바꾸려면 각 계수의 분모의 최소공배수를 식에 곱해주면 돼요.

계수가 분수이고, 각 계수의 분모인 5, 2, 10의 최소공배수가 10이니까 식에 10을 곱해줄께요.

2x² + 5x - 3 = 0
(x + 3)(2x - 1) = 0
x = -3 or x = 

공통인 식이 있을 때

공통인 식이 있을 때는 다른 문자로 치환을 해요. 치환하는 거 인수분해할 때 연습 많이 해봤죠? 식에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶여져 있는 부분을 치환합니다.

일단 식을 치환하는 경우에는 대부분 인수분해가 돼요. 인수분해가 되면 치환했던 걸 다시 원래 식으로 바꿔주고 그 다음에 해를 구할 수 있어요.

(x - 1)² + 6(x - 1) - 27 = 0

x - 1이라는 부분이 있으니까 이 걸 A라는 문자로 치환해볼께요.

A² + 6A - 27 = 0라는 식이 돼요. 이 식은 A에 관한 이차방정식입니다. 따라서 인수분해나 근의 공식으로 A 값을 구할 수 있겠죠. 인수분해가 되는 군요. A를 구해볼까요?

(A + 9)(A - 3) = 0
A = -9 or A = 3

A를 구했어요. 하지만 문제에서 구하는 건 A가 아니라 x 라는 걸 명심하세요. 원래 A = x - 1였으니까 x를 구해보죠.

x - 1이라는 식을 A라는 문자로 치환한 후에 다시 원래 식으로 되돌아와서 x를 구할 수 있었어요.

괄호가 있으니까 괄호를 전개해서 계산해도 되지만 전개하지 않고 치환하는 게 훨씬 쉬워요.

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복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때

중학교 3학년 수학 목차입니다.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중1 수학 목차
중2 수학 목차

1. 실수와 식의 계산
   • 제곱근의 뜻과 표현
   • 제곱근의 성질, 제곱수의 근호 풀기
   • 제곱근의 대소관계
   • 무리수와 실수, 실수체계
   • 무리수를 수직선 위에 나타내기
   • 실수의 대소관계
   • 제곱근의 곱셈과 나눗셈
   • 분모의 유리화
   • 제곱근의 덧셈과 뺄셈
   • 제곱근의 근삿값, 제곱근표 보는 방법
   • 무리수의 정수부분과 소수부분
2. 인수분해
   • 곱셈공식 - 완전제곱식
   • 곱셈공식 2 - 합차공식 외
   • 등식의 변형
   • 곱셈공식의 변형
   • 인수분해 뜻, 공통인수로 인수분해
   • 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
   • 인수분해 공식 - 이차식의 인수분해
   • 복잡한 식의 인수분해 - 공통인수로 묶기, 치환
   • 복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때
   • 인수분해의 활용 - 수의 계산, 식의 값
3. 이차방정식
   • 이차방정식의 뜻과 이차방정식의 해
   • 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
   • 이차방정식이 중근을 가질 조건
   • 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
   • 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
   • 근의 공식과 유도, 짝수 공식
   • 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
   • 복잡한 이차방정식의 풀이
   • 근과 계수와의 관계
   • 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
   • 한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
   • 이차방정식의 활용
4. 이차함수
   • 이차함수의 뜻, 이차함수란?
   • 이차함수 그래프 그리기
   • 이차함수 그래프의 특징
   • 이차함수 그래프의 평행이동 - y = ax² + q
   • 이차함수 그래프의 평행이동 - y = a(x - p)²
   • 이차함수 그래프 - y = a(x - p)² + q
   • 이차함수 그래프의 대칭이동
   • y = ax² + bx + c, 이차함수의 일반형
   • 이차함수 식 구하기
   • y = ax² + bx + c에서 a, b, c의 부호 구하기
   • 이차함수의 최댓값과 최솟값
   • 이차함수의 활용

1. 통계
   • 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값
   • 산포도와 편차
   • 분산과 표준편차
   • 도수분포표에서의 분산과 표준편차
   • 산점도
2. 삼각비
   • 삼각비, sin, cos, tan
   • 특수한 각의 삼각비, 30°, 45°, 60°
   • 예각의 삼각비, 0°와 90°의 삼각비
   • 삼각비표, 삼각비표 보는 법
   • 직각삼각형 변의 길이
   • 일반삼각형 변의 길이
   • 예각삼각형의 높이
   • 둔각삼각형의 높이
   • 삼각형의 넓이
   • 사각형의 넓이
3. 원의 성질
   • 현의 수직이등분선
   • 현의 길이
   • 원과 접선, 접선의 길이
   • 삼각형의 내접원, 삼각형 둘레의 길이와 넓이
   • 원의 외접사각형, 외접사각형의 성질
   • 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질
   • 원주각의 크기와 호의 길이
   • 네 점이 한 원 위에 있을 조건
   • 원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각
   • 사각형이 원에 내접하기 위한 조건
   • 원의 접선과 현이 이루는 각
   • 두 원에서 접선과 현이 이루는 각

이차방정식의 풀이법 중 가장 쉬운 방법은 인수분해를 이용한 방법이에요. 이전 단원에서 인수분해 연습을 많이 해봤으니 이번에 공부할 내용은 그리 어렵지 않을 거예요.

AB = 0

어떤 두 수 a, b를 곱했더니 0이 되었어요. 이게 의미하는 게 뭘까요? 두 수 중의 하나는 반드시 0이라는 뜻이에요. 물론 두 수 모두가 0일 수도 있어요.

마찬가지로 두 다항식을 곱했더니 0이 되었다는 건 두 식 중 하나는 0이라는 거죠. 두 식 모두가 0일 수도 있고요.

AB = 0 은 A = 0 이거나 B = 0이라는 얘기입니다.

AB = 0       <=>     A = 0 or B = 0

이 성질(?)을 이용해서 이차방정식을 풀 수 있어요.

이차방정식 ax²+ bx + c = 0의 좌변을 인수분해해서 다항식의 곱으로 표시하면 AB = 0 의 꼴로 바뀌겠죠. 여기에서 다항식 A = 0일 때의 x 값, B = 0일 때의 x값이 이차방정식의 해가 되는 거예요.

x² - 5x + 6 = 0의 해를 구하여라.

이차방정식의 좌변인 x² – 5x + 6을 인수분해하면 (x – 2)(x – 3) = 0이죠. 두 다항식을 곱했더니 0이 되었단 말은 x – 2 = 0이거나 x – 3 = 0이라는 뜻이에요. 즉, x = 2이거나 x = 3 이라는 거죠. 그래서 위 이차방정식의 해는 x = 2 또는 x = 3입니다.

2x² + 8x + 8 = 0의 해를 구하여라.

좌변을 인수분해하면

2x²+ 8x + 8 = 0
2(x² + 4x + 4) = 0
2(x + 2)² = 0

2(x + 2)² = 0은 2 × (x + 2) × (x + 2) = 0이죠. 제일 앞에 있는 2는 0이 될 수 없어요. 그래서 상수 부분은 그냥 넘어갑니다. x + 2 = 0 이거나 x + 2 = 0인데, 어차피 둘이 똑같으니까 한 번만 써주면 돼요. 그래서 위 문제에서 이차방정식의 해는 x = -2예요.

이처럼 이차방정식의 해 두 개가 같아서 결과적으로 해가 하나만 있을 때 이 해를 중근이라고 합니다. 이차방정식이 중근을 가지려면 완전제곱식 형태가 되어야하는 데 자세한 건 다음에서 알아보죠.