확률
연속하여 뽑는 확률의 계산
확률 마지막 편이에요.
이번 글은 조금 어려울 수 있어요. 개념에 대한 이해가 중요합니다. 조금은 천천히 읽어와야 이해가 될 거예요.
초등학교 때 이런 문제 많이 봤을 거예요.
1 ~ 5까지 숫자가 적힌 카드가 있다. 여기서 카드를 세 장 꺼내어 만들 수 있는 수 중 가장 큰 수를 구하여라.
카드를 세 장 꺼내서 만들 수 있는 수 중 가장 큰 수는 543이잖아요.
그런데 카드를 꺼내서 사용하고 다시 넣어서 또 뽑을 수 있다면 어떻게 되나요? 중복해서 뽑는다면 말이죠? 가장 큰 수는 555가 되죠?
이렇게 뽑기를 하는데, 꺼낸 다음에 다시 넣는 경우와 넣지 않는 경우에 확률이 달라져요. 어떻게 달라지는지 알아보죠.
연속하여 뽑는 경우의 확률
뽑은 것을 다시 넣는 경우
뽑기를 하는데, 한 번 뽑았던 걸 다시 넣어서 뽑는 경우예요.
주머니에 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있어요. 이 주머니에서 공을 하나 뽑아서 색을 확인한 다음에 공을 주머니에 다시 넣고 공을 하나 더 뽑는다고 하죠. 뽑은 공의 색이 둘 다 빨간색일 확률을 구해볼까요?
문제에서 제일 중요한 부분은 뽑은 공의 색을 확인하고 다시 넣는 거예요. 공은 총 다섯 개예요. 두 번째 공을 뽑을 때도 마찬가지고요.
처음으로 공을 뽑을 때 빨간색 공을 뽑을 확률은 3 ÷ 5 =
두 번째 공을 뽑을 때 빨간색 공을 뽑을 확률도 마찬가지로 3 ÷ 5 =
처음도 빨간색이고 두 번째고 빨간색이어야 하므로 두 확률을 곱해야 해요. 
뽑기를 하는데, 뽑았단 걸 다시 넣으면 처음이나 나중이나 조건이 똑같아요. 위에서는 공의 총 개수와 빨간색, 파란색 공의 개수라는 조건이 같죠.
그래서 처음 뽑나 나중에 뽑나 그 확률이 같아집니다.
뽑은 것을 다시 넣지 않는 경우
이번에는 한 번 뽑은 건 다시 넣지 않을 때 어떻게 되는지 알아보죠.
주머니에 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있어요. 이 주머니에서 공을 두 개 뽑을 때 뽑은 공의 색이 둘 다 빨간색일 확률을 구해볼까요?
위에서 했던 문제와 같은 데 딱 하나가 달라요. 위에서는 처음에 뽑은 공의 색을 확인하고 다시 넣었잖아요. 이번에는 뽑은 공을 넣지 않고 바로 새 공을 뽑는 거예요.
일단 처음에 공을 뽑을 때는 전체 공의 수가 5개고, 빨간색 공은 3개에요. 따라서 빨간색 공을 뽑을 확률은 3 ÷ 5 =
두 번째 공을 뽑을 때는 앞에서 공을 하나 뺐으니까 전체 공의 수가 4개예요. 여기서 중요해요.
만약에 첫 번째 공이 파란색이라면 주머니 속에는 빨간색 공 3개, 파란색 공 1개가 남아있겠죠? 따라서 두 번째 뽑은 공이 빨간색일 확률은 3 ÷ 4 = 
이번에는 반대로 첫 번째 공이 빨간색이라면 주머니 속에는 빨간색 공 2개, 파란색 공 2개가 남아있겠죠? 그래서 두 번째 뽑은 공이 빨간색일 확률은 2 ÷ 4 = 
문제에서 구하는 건 둘 다 빨간색이어야 하니까 첫 번째 공이 빨간색이었다는 가정 하에 구한
결국, 첫 번째 공이 빨간색일 확률 
뽑은 것을 다시 넣지 않은 경우에는 처음의 조건과 그다음 조건이 달라져요. 위에서는 공의 총 개수가 달라졌지요.
그리고 앞선 순서에서 뽑은 게 어떤 것인지에 따라서 다음 순서에서의 확률이 달라져요. 위에서는 첫 번째 공이 빨간색인지 파란색인지에 따라서 두 가지 경우가 나왔잖아요. 이건 문제에 따라 어떤 경우가 맞는 건지 잘 골라야 해요.
연속하여 뽑는 경우의 확률
뽑은 것을 다시 넣을 때: 처음과 나중의 조건이 같다.
뽑은 것을 다시 넣지 않을 때: 처음과 나중의 조건이 다르다. → 앞선 순서에 뽑은 것이 다음 순서의 확률에 영향을 줌.
1 ~ 5까지의 자연수가 적힌 카드가 있다. 이 중에서 2장의 카드를 뽑을 때 다음을 구하여라.
(1) 첫 번째 카드를 뽑아 숫자를 확인한 다음 카드를 넣고 다시 한 장을 뽑을 때 둘 다 홀수일 확률
(2) 첫 번째 카드를 뽑고 바로 두 번째 카드를 뽑을 때 둘 다 홀수일 확률
(1)은 뽑은 카드를 다시 넣고 (2)번은 뽑은 카드를 다시 넣지 않는군요.
(1)은 카드를 다시 넣기 때문에 첫 번째 카드와 두 번째 카드에서의 조건이 달라지지 않아요. 즉 카드의 총 개수가 5장으로 같지요. 홀수인 카드도 1, 3, 5로 같아요. 따라서 첫 번째 카드가 홀수일 확률과 두 번째 카드가 홀수일 확률이 3 ÷ 5 =
둘 다 홀수여야 하므로 "동시에"라는 개념이 들어있죠? 따라서 두 확률을 곱하면 답이 되겠네요.
(2)는 카드를 넣지 않고 다음 카드를 또 뽑아요. 그래서 조건이 달라지죠.
첫 번째 카드는 총 5장의 카드 중에서 1, 3, 5의 세 장의 홀수 카드가 있으므로 3 ÷ 5 =
첫 번째 카드가 홀수라면 두 번째 카드를 뽑을 때 카드 총 수는 4장이 되고, 홀수인 카드는 2장이 되겠죠. 따라서 두 번째 카드가 홀수일 확률은 2 ÷ 4 = 
두 카드가 모두 홀수일 확률은 
함께 보면 좋은 글
확률, 확률의 뜻, 확률 공식
확률의 성질, 여사건의 확률
확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
확률의 계산에서는 확률의 덧셈과 확률의 곱셈에 대해서 배워요.
먼저 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 봤던 경우의 수의 합과 곱에 대해서 알고 있어야 해요.
확률의 계산에서도 덧셈과 곱셈을 하는데, 경우의 수에서 봤던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙이 그대로 사용되거든요.
우리가 알고 있는 공식에서 경우의 수라는 단어를 확률이라는 단어로 바꾸면 끝이에요.
경우의 수에서 했던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙을 정리해보죠. 두 사건이 동시에 일어날 때는 경우의 수를 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더했죠?
- 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지) - 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
사건 A와 사건 B가 동시에(모두) 일어날 경우의 수 = a × b(가지)
확률의 덧셈과 곱셈에서도 똑같아요.
두 사건이 동시에 일어나면 확률을 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 더하는 거죠.
확률의 덧셈
1 ~ 10까지의 자연수가 적힌 카드가 있어요. 이 중에서 한 장의 카드를 뽑을 때 3 또는 5의 배수가 나올 확률을 구해보죠.
카드가 1 ~ 10까지 있으니까 전체 경우의 수는 10이에요. 3 또는 5의 배수를 뽑는 경우는 3, 5, 6, 9, 10 이렇게 5 가지 경우가 있네요.
(3 또는 5의 배수가 나올 확률) = 
그럼 이번에는 각각의 확률을 구해보죠.
전체 경우의 수는 마찬가지로 10이에요. 3의 배수가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9의 3가지 경우이고, 5의 배수가 나오는 경우는 5, 10의 2가지 경우가 있어요. 두 확률을 더해볼까요
(3의 배수가 나올 확률) + (5의 배수가 나올 확률) = 
사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) + (사건 B가 일어날 확률)
사건이 동시에 일어나지 않을 때는 각각의 확률을 더해주면 돼요. 보통은 문제에서 "또는" 이라는 단어가 보일 때에요.
서로 다른 주사위 2개를 던질 때, 나오는 눈금의 합이 3 또는 6일 확률을 구하여라.
눈금이 3 또는 6일 확률이니까 각각의 확률을 구해서 더해주면 되겠죠? 물론 경우의 수를 한꺼번에 구해서 확률을 계산할 수도 있고요. 한 번 더해보죠.
주사위를 2개를 동시에 던져서 눈금의 합을 구할 수 있는 경우의 수는 6 × 6 = 36
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 3이 되는 경우: (1, 2), (2, 1)
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 6이 되는 경우: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
(합이 3이 될 확률) + (합이 6이 될 확률) =
확률의 곱셈
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 두 사건이 동시에 일어나면 경우의 수를 곱한다고 했어요. 마찬가지로 확률에서도 두 사건이 동시에 일어나면 각각의 확률을 곱해서 계산하면 돼요.
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) × (사건 B가 일어날 확률)
A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 주사위 A는 짝수가, 주사위 B는 3의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?
이때는 주사위 두 개를 던지지만 두 주사위가 서로 영향을 미치지 않죠? 따라서 각각을 별개의 사건으로 봐야 해요. 또 동시에 일어나는(둘 다 일어나야 하는) 사건이니까 확률을 구할 때는 곱해서 구해야 하죠.
A 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 짝수가 나올 경우의 수는 2, 4, 6 이렇게 3이에요.
B 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 3의 배수가 나올 경우의 수는 3, 6의 2이네요.
(A 주사위에서 짝수가 나올 확률) × (B 주사위에서 3의 배수가 나올 확률)
=
A 주머니에 파란 공 2개와 빨간 공 3개가, B 주머니에는 빨간 공 4개와 파란 공 2개가 들어있다. 양쪽 주머니에서 공을 한 개씩 꺼낼 때 둘 다 파란 공일 확률을 구하여라.
양쪽 모두에서 한 개씩 꺼낸다고 했네요.
A주머니에는 총 5개의 공이 있고 그 중 파란색은 2개
B주머니의 6개 공 중에 파란색은 2개
(A 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률) × (B 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률)
=
함께 보면 좋은 글
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
경우의 수 공식 - 한 줄 세우기
경우의 수 공식 - 대표 뽑기
확률, 확률의 뜻, 확률 공식
확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
확률의 성질, 여사건의 확률
확률을 구하는 방법에 대해서 알아봤어요.
솔직히 말해서 우리는 확률을 모르는 건 아니에요. 방법은 모르지만 결과는 구할 수 있었어요. 다만 정확한 의미를 몰랐던 거고, 어떻게 구해지는지 그 과정을 자세히 알지 못했을 뿐이죠.
이 글에서 설명할 내용도 모르는 건 아니에요. 문제는 바로 풀 수 있어요. 원리를 모를 뿐이죠.
좀 더 정확한 원리, 좀 더 정확한 계산법을 배워보세요.
확률의 성질
이런 확률에도 몇 가지 성질이 있어요. 어떤 성질이 있는지, 이 성질을 이용해서 어떻게 문제를 푸는지 알아보죠.
확률을 구하는 방법은 여러 가지가 있는데 그중에 경우의 수를 이용해서 구하는 방법이 있었어요. 경우의 수는 어떤 사건이 몇 번 일어나느냐를 말하죠? 즉, 개수에요. 그래서 경우의 수는 음수가 없어요. 0이거나 자연수여야 하죠.
확률은 이 경우의 수를 이용해서 구해요. 따라서 확률도 음수가 나올 수 없어요.
주사위를 던져서 6보다 큰 수가 나올 확률을 구해볼까요?
주사위를 던지면 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6가지에요. 그리고 6보다 큰 눈금이 나오는 경우의 수는 0이죠. 따라서 확률은 0 ÷ 6 = 0이 돼요.
그럼 이번에는 6 이하의 수가 나오는 확률을 구해보죠. 6 이하니까 6보다 작거나 같은 수네요.
마찬가지로 모든 경우의 수는 6이고, 6 이하의 수가 나오는 경우의 수는 6이에요. 확률은 6 ÷ 6 = 1이 되네요.
확률 구하는 공식을 다시 한 번 보죠.
확률에서 어떤 사건 A가 일어나는 경우의 수는 모든 경우의 수보다 절대로 클 수 없잖아요. 따라서 확률은 1보다 클 수 없어요. 비가 올 확률 120%라는 말은 없잖아요.
사건 A가 일어나지 않는 경우도 있어요. 그때는 공식에서 분자가 0이 돼서 확률도 0이 되죠.
확률의 최댓값은 1, 최솟값은 0이라고 할 수 있겠죠.
어떤 경우에 확률이 0이 될까요? 위 주사위에서 봤듯이 어떤 사건이 절대로 일어나지 않을 때의 확률이 0이에요. 어떤 사건이 반드시 일어날 경우에는 확률이 1이 되죠. 이때는 사건 A가 일어나는 경우의 수가 모든 경우의 수와 같을 때에요.
확률이 0 (0%)면 일어나지 않을 일이고, 확률이 1 (100%)는 무조건 일어나는 일인 건 다 알잖아요.
여사건의 확률
사건 A가 일어나지 않을 사건을 여사건이라고 해요. 그러니까 딱 두 가지죠? 사건 A가 일어날 경우와 사건 A가 일어나지 않을 경우요. 두 경우가 아닌 경우도 있나요? 없죠. 따라서 (사건 A가 일어날 경우의 수) + (사건 A가 일어나지 않을 경우의 수) = (모든 경우의 수)가 되고, (사건 A가 일어날 확률) + (사건 A가 일어나지 않을 확률) = 1이 돼요.
사건 A가 일어날 확률이 p라면 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1 - p
어떤 사건이 일어날 확률을 알려주고, 사건이 일어나지 않을 확률을 계산할 때 여사건을 이용해요. 비가 올 확률이 40%면, 비가 안 올 확률은 60%라는 걸 알 수 있어요.
어떤 사건의 확률을 구하려는데, 구하기 복잡할 때, 반대의 경우의 확률을 구한 다음 1에서 빼주는 방법을 이용할 수도 있고요.
서로 다른 주사위 2개를 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 홀수가 나올 확률을 구하여라.
여사건을 이용해서 푸는 문제에요. 여사건의 확률은 1 - p 에요. 이걸 어떻게 이용하느냐
문제를 잘 읽어보세요. 적어도 한 개는 홀수가 나오는 사건이에요. 적어도 한 개가 홀수인 경우라면 한 개만 홀수여도 되고, 두 개다 홀수여도 돼요. 주사위 두 개를 던졌을 때 한 개만 홀수일 때, 두 개다 홀수일 때 말고 또 어떤 경우가 있나요? 둘 다 홀수가 아닐 때(둘 다 짝수일 때)가 있죠?
하나만 홀수일 때의 확률과 두 개 다 홀수일 때의 확률을 더할 수도 있지만 여사건을 이용하면 전체 확률 1에서 둘 다 홀수가 아닐 때의 확률을 빼서 바로 구할 수 있어요.
두 개의 주사위를 던져서 나올 수 있는 경우의 수는 36가지예요. 한 주사위에서 짝수가 나오는 경우의 수는 3가지이고 다른 주사위에서 짝수가 나오는 경우의 수도 3가지예요. 두 주사위 모두에서 짝수가 되는 경우의 수를 곱의 법칙을 이용해서 구하면 9가지예요.
둘 다 홀수가 아닐 때는 둘 다 짝수일 때로, 확률은 
문제에서 구하는 답은 1 - 
함께 보면 좋은 글
확률, 확률의 뜻, 확률 공식
확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
연속하여 뽑는 확률의 계산
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
확률, 확률의 뜻, 확률 공식
확률이라는 말은 많이 들어봤죠? 비 올 확률, 병에 걸릴 확률 등 뭔가의 가능성을 비율로 나타낼 때 확률이라는 표현을 많이 쓰잖아요.
이번 글에서는 확률에 대해서 배울 거예요. 확률이란 무엇인지 확률을 어떻게 구하는지에 대해서요.
물론 확률을 구하는 공식도 알아볼 거고요.
확률, 확률 공식
일정한 조건 아래에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, 어떤 사건이 일어나는 경우의 수의 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 이 일정한 값을 그 사건이 일어날 확률이라고 해요. 말이 어렵죠? 그냥 수학적으로 정의하자면 그렇다는 얘기고 그냥 무슨 일이 생길 가능성을 비율로 나타낸 걸 확률이라고 해요.
확률은 영어 단어 Probability의 첫 글자를 따서 P라고 써요. 사건 A가 일어날 확률을 P(A)라고 쓰지요.
확률은 비율이라서 백분율로 표현하기도 하고, 소수나 분수로도 표현해요. 10%나 0.1이나 
경우의 수를 이용한 확률
확률을 구하는 방법을 모르지만 우리는 확률을 구할 수 있어요.
동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 얼마인가요? 50%에요. 다 알고 있잖아요? 어떻게 구했죠? 동전은 앞, 뒤가 있는데, 둘 중 하나가 나올 거니까 50%에요.
동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 앞, 뒤 이렇게 두 가지예요. 그리고 앞면이 나오는 경우의 수는 1이죠. 경우의 수를 비교해봤더니 
사건 A가 일어날 확률은 사건 A가 일어날 수 있는 경우의 수를 전체 사건이 일어날 수 있는 경우의 수로 나눠서 구해요.
주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?
주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6이고, 이 중에서 2의 배수가 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 세 가지예요. 그래서 주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률은 3 ÷ 6 =
상대도수를 이용한 확률
확률을 구할 때 경우의 수를 이용해서 구하기도 하지만 실제 관찰이나 실험을 통해서 구하기도 해요. 예를 들어 "비만인 사람은 정상인 사람보다 OO병에 걸릴 확률이 50% 높다". 이런 종류의 얘기들을 해요. 하지만 실제로 비만인 사람이 OO병에 걸리는 경우의 수를 구할 수 없죠. 수십억 명의 세계 인구 중에 비만인 사람의 수를 모두 셀 수는 없으니까요. 또 정상인 사람이 병에 걸렸는지의 경우의 수도 구할 수 없고요.
이처럼 실험이나 관찰을 통해서 확률을 구하기도 하는데요. 이때는 관찰의 개수가 적으면 확률을 제대로 구할 수 없어요. 가능한 한 많이 실험하고 많이 관찰해야 해요.
동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은
실제로 여러분이 동전을 던졌다고 해보세요. 한 번 던졌는데, 앞면이 나왔다 치죠. 그럼 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 100%잖아요. 앞서 구한 확률과 차이가 엄청나게 많이 나죠? 동전 던지기를 한 번이 아니라 100번, 1000번 해보면 앞면이 나올 확률이
이 때 "실제 실험을 100번 해봤더니 앞면이 49번 나왔다"고 한다면 앞면이 나올 확률은 49 ÷ 100 = 0.49가 되는 거예요.
확률의 정의에서 사용했던 상대도수라든가 일정한 값에 가까워지는 등의 이야기는 바로 여기에 해당하는 내용이에요.
주사위 2개를 동시에 던질 때, 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률을 구하여라.
먼저 주사위 2개를 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수를 구해야겠네요. 각각의 주사위가 6가지 경우의 수를 가지니까 두 개의 주사위를 동시에 던지면 36가지 경우의 수가 생겨요.
두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우를 찾아볼까요? 4, 8, 12가 될 수 있겠네요.
두 주사위 눈금의 합이 4가 되는 경우를 순서쌍으로 표시해보죠. (1, 3), (2, 2) (3, 1)의 세 가지 경우가 있네요.
눈금의 합이 8이 되는 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 다섯 가지 경우가 있고요.
눈금의 합이 12가 되는 경우는 (6, 6) 하나밖에 없네요.
따라서 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우는 총 9가지 경우가 있어요.
주사위 2개를 동시에 던질 때 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률 p = 9 ÷ 36 = 
함께 보면 좋은 글
확률의 성질, 여사건의 확률
확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
연속하여 뽑는 확률의 계산
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
방학이 다 끝나고, 2학기가 시작되었어요.
2학기에는 확률과 도형에 대해서 공부해요. 1학기 때 배웠던 연립방정식이나 함수와 다른 새로운 내용이니까 "기초가 부족해" 이런 생각하지 마세요. 처음 보는 단원이다 생각하고 열심히 하시면 됩니다.
처음으로 배울 내용은 확률인데 그 중에서도 경우는 수예요. 경우의 수는 간단히 말해서 주사위를 던지거나 동전을 던졌을 때 어느 면이 나오는지 그 수를 세보는 거예요.
경우의 수는 상식적인 선에서 생각해야 해요. 동전을 던졌을 때 세로로 서 있는 경우, 침대 밑으로 굴러가서 확인할 수 없는 경우 등은 전혀 고려하지 않아요.
경우의 수
사건은 같은 조건에서 여러 번 할 수 있는 실험이나 관찰로 얻어진 결과를 말해요. "동전을 던졌더니 앞면이 나왔다." 같은 거요.
시행은 실험이나 관찰을 하는 행위를 말하고요.
경우는 수는 사건에서 일어날 수 있는 경우의 가짓수에요.
동전을 던지면 앞면이 나오는 경우가 있겠죠? 뒷면이 나오는 경우도 있을 거예요. 두 가지 경우가 있지요? 동전을 던질 때는 앞면 또는 뒷면이 나오는 두 가지 경우가 있어요. 따라서 이때의 경우의 수는 2에요.
주사위를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나올 수 있어요. 총 6가지죠. 따라서 이때의 경우의 수는 6이에요.
합의 법칙
경우의 수를 구하는 방법은 크게 두 가지에요. 그중에 첫 번째는 합의 법칙인데요.
한 개의 주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우의 수를 구한다고 해보죠.
주사위를 던져서 2의 배수가 나오는 경우는 2, 4, 6의 세 경우가 있어요. 경우의 수는 3이죠.
주사위를 던져서 5의 배수가 나오는 경우는 5 한 가지뿐이에요.
주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우는 3 + 1 = 4예요.
주사위를 던졌을 때 어떤 수가 나오는데, 2의 배수이면서 5의 배수인 경우가 있나요? 없죠? 그래서 각각의 경우의 수를 구해서 더해주는 거예요.
합의 법칙은 각 사건이 동시에 일어나지 않을 때 사용해요. 문제에서 " 또는 ", "~ 이거나" 하는 표현들이 나올 때죠.
사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지)
1 ~ 30까지의 자연수가 적힌 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?
상자에서 카드를 꺼낼 때 5의 배수인 카드가 나오는 경우는 5, 10, 15, 20, 25, 30으로 6가지에요.
7의 배수인 카드가 나오는 경우는 7, 14, 21, 28로 4가지고요.
문제에서 "5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드"라고 했으니까 두 경우의 수를 더해서 6 + 4 = 10, 총 10가지 경우가 되겠네요.
1 ~ 30까지의 자연수가 적혀있는 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?
위의 예제와 같은 문제인데 숫자만 바꿨어요. 풀이가 어떻게 달라지는지 보죠.
상자에서 카드를 꺼낼 때 3의 배수인 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 총 10가지에요.
4의 배수인 카드가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 총 7가지고요.
이 문제에서도 "3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드"라고 했으니까 그냥 10 + 7 = 17하면 될까요?
안됩니다. 12가 적힌 카드를 뽑았다고 해보죠. 12는 3의 배수이면서 4의 배수예요. 12를 뽑은 건 하나의 사건인데 3의 배수인 카드를 뽑은 사건과 4의 배수를 뽑은 사건 양쪽에서 각각 더해주면 두 번을 세는 거예요. 그래서 한 번은 빼줘야 해요. 24도 마찬가지고요.
10 + 7 - 2 = 15, 이때의 경우의 수는 15가 돼요.
합의 법칙은 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없을 때 각 사건이 일어나는 경우의 수를 더해줘요. 하지만 두 사건이 모두 일어나는(중복되는) 경우가 생기면 그만큼을 빼줘요.
곱의 법칙
1, 2, 3, 4가 적힌 카드 네 장이 있어요. 이 네 장의 카드를 이용해서 두 자리 자연수를 만드는 경우의 수는 몇 가지인지 알아보죠.
두 자리 자연수를 만든다고 했으니까 십의 자리 숫자 하나, 일의 자리 숫자 하나를 뽑아야 해요.
십의 자리 숫자로 1을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 2, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 2를 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 3을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 4을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 3이 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
각각의 경우를 수를 다 더하면 3 + 3 + 3 + 3 = 12가 나와요.
이 문제를 쉽게 풀어볼까요?
십의 자리 숫자에 올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4 해서 총 4개에요. 그리고 어떤 한 수를 십의 자리에 놓았을 때 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 나머지 3개죠?
(십의 자리를 뽑는 경우의 수 4) × (일의 자리를 뽑는 경우의 수 3) = 12 하면 쉽게 구할 수 있죠?
곱의 법칙은 합의 법칙과 달리 사건이 동시에 일어나는 경우에 사용해요. 동시라는 같은 시각을 의미하는 게 아니에요. 경우의 수를 구하는 과정에서 두 사건이 모두 일어나야 한다는 뜻이에요.
십의 자리를 뽑는 것과 일의 자리를 뽑는 두 사건이 모두 일어나야 하죠? 십의 자리를 뽑는 사건과 일의 자리를 뽑는 사건 중 하나만 일어나서는 경우의 수를 구할 수 없어요. "동시에"라는 말은 여러 사건이 모두 일어나는 경우를 말해요.
이처럼 두 개 이상의 사건이 동시에 일어나면 각각의 경우의 수를 곱해요.
사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 경우의 수 = a × b(가지)
3종류의 티셔츠와 2종류의 바지가 있다. 티셔츠와 바지를 하나씩 골라 입을 수 있는 경우의 수를 구하여라.
여기서는 3종류의 티셔츠 중 하나를 고르는 사건과 2종류의 바지 중에서 하나씩 골라 입는 경우의 수를 구하라고 했어요. 티셔츠를 고르는 사건과 바지를 고르는 사건은 동시에 일어나야 하는 하죠?
티셔츠를 고를 수 있는 경우의 수는 3, 바지를 고를 수 있는 경우의 수는 2에요.
따라서 옷을 입을 수 있는 경우의 수는 3 × 2 = 6(가지)가 되는 거죠.
합의 법칙과 곱의 법칙의 선택
어떤 두 사건이 있을 때 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으면 합의 법칙, 두 사건이 모두 일어나야 하면 곱의 법칙을 사용해요.
위의 1 ~ 30까지 자연수가 적힌 카드가 들어있는 상자에서 5의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우의 수 예제를 보죠. 이때는 5의 배수가 적힌 카드가 나와도 괜찮죠. 그리고 7의 배수가 적힌 카드를 뽑아도 괜찮아요. 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으니까 합의 법칙이에요.
3종류의 티셔츠와 2종류의 바지에서 하나를 고르는 예제를 보죠. 티셔츠를 고르는 사건만 일어나거나 바지만 고르는 사건만 일어나서는 안 돼요. 두 사건 모두가 일어나야 해요. 그래서 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.
합의 법칙: 여러 사건 중 하나만 일어나도 괜찮은 경우
곱의 법칙: 여러 사건이 모두 일어나야 하는 경우
함께 보면 좋은 글
[중등수학/중2 수학] - 경우의 수 공식 - 한 줄 세우기
[중등수학/중2 수학] - 경우의 수 공식 - 대표 뽑기
[중등수학/중2 수학] - 확률, 확률의 뜻, 확률 공식
[중등수학/중2 수학] - 확률의 성질, 여사건의 확률
중2 수학 목차
중학교 2학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 유리수
- 식의 계산
- 연립방정식
- 부등식
- 일차함수
- 도형의 성질
- 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
- 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건
- 각의 이등분선의 성질 - 직각삼각형의 합동조건 이용
- 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
- 삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
- 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
- 삼각형 내심의 활용
- 삼각형의 외심과 내심 비교, 차이
- 평행사변형의 정의 평행사변형의 성질
- 평행사변형이 되는 조건
- 평행사변형과 넓이
- 직사각형의 성질과 직사각형이 되는 조건
- 마름모의 성질과 마름모가 되는 조건
- 정사각형의 성질과 정사각형이 되는 조건
- 사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 성질
- 여러가지 사각형의 정의와 성질
- 여러가지 사각형 사이의 관계
- 사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형
- 평행선과 넓이, 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비
- 도형의 닮음
- 피타고라스의 정리
- 확률