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중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중2 수학 목차
중3 수학 목차

1. 자연수
   • 거듭제곱
   • 소수와 합성수
   • 에라토스테네스의 체
   • 소인수분해
   • 소인수분해를 이용하여 약수 개수구하기
   • 최대공약수의 뜻과 최대공약수 구하는 방법
   • 최소공배수의 뜻과 최소공배수 구하는 방법
   • 최대공약수와 최소공배수의 관계
2. 정수와 유리수
   • 양수와 음수, 정수
   • 절댓값과 수직선
   • 정수의 대소관계
   • 부등호의 사용
   • 정수의 덧셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 뺄셈
   • 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산
   • 정수의 곱셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 나눗셈과 혼합계산
   • 분배법칙
   • 유리수와 유리수의 분류
   • 유리수와 수직선, 유리수의 대소관계
   • 유리수의 덧셈과 뺄셈
   • 유리수의 곱셈과 나눗셈
3. 문자와 식, 일차방정식의 풀이
   • 문자와 식, 문자를 포함하는 식
   • 곱셈기호와 나눗셈 기호의 생략
   • 대입, 식의 값
   • 항, 계수, 차수, 단항식과 다항식, 일차식
   • 단항식의 곱셈과 나눗셈, 일차식의 곱셈과 나눗셈
   • 동류항, 일차식의 덧셈과 뺄셈
   • 방정식과 항등식
   • 등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 풀이
   • 복잡한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 활용 1 - 숫자, 나이
   • 일차방정식의 활용 2 - 거리, 속력, 시간, 농도
4. 그래프와 비례관계
   • 순서쌍과 좌표평면
   • 그래프의 뜻과 표현
   • 정비례와 그래프
   • 반비례와 그래프

1. 도형의 기초
   • 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분
   • 두 점 사이의 거리와 중점
   • 평각, 직각, 예각, 둔각
   • 맞꼭지각, 동위각, 엇각
   • 직교와 수직, 수선과 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리
   • 점, 직선, 평면의 위치 관계
   • 평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 직선의 위치관계, 공간에서 평면과 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 평면의 위치관계
   • 평행선의 성질, 평행선에서의 동위각과 엇각
   • 작도, 길이가 같은 선분의 작도, 크기가 같은 각의 작도
   • 삼각형의 정의, 삼각형의 대변, 대각
   • 삼각형의 작도
   • 도형의 합동, 삼각형의 합동 조건
2. 평면도형
   • 다각형, 내각, 외각, 정다각형
   • 대각선의 개수 구하기, 대각선 개수 공식
   • 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
   • 다각형 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합
   • 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각
   • 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴의 둘레, 부채꼴의 넓이
3. 입체도형
   • 다면체, 각뿔, 각기둥, 각뿔대
   • 정다면체의 뜻, 정다면체의 종류
   • 회전체와 원뿔대, 회전체의 성질
   • 각기둥의 겉넓이와 부피, 원기둥의 겉넓이와 부피
   • 각뿔의 겉넓이와 부피, 원뿔의 겉넓이와 부피
   • 구의 겉넓이와 부피
4. 통계
   • 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값
   • 줄기와 잎 그림
   • 도수분포표, 변량, 계급, 도수의 뜻
   • 도수분포표 만드는 방법
   • 히스토그램
   • 도수분포다각형
   • 상대도수와 상대도수의 분포표
   • 상대도수의 그래프

자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.

이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.

지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.

자연수 거듭제곱의 합

자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.

이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²

그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니에요. 그래서 공식을 바로 적용할 수가 없죠. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.

항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.

(x + 1)³ - x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ = 3x² + 3x + 1

이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, n을 대입해보죠.

x = 1 → 2³ - 1³ = 3 × 1² + 3 × 1 + 1
x = 2 → 3³ - 2³ = 3 × 2² + 3 × 2 + 1
x = 3 → 4³ - 3³ = 3 × 3² + 3 × 3 + 1
x = 4 → 5³ - 4³ = 3 × 4² + 3 × 4 + 1
x = n → (n + 1)³ - n³ = 3 × n² + 3 × n + 1

위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 - 1³과 마지막 식의 (n + 1)³만 남게 되죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.

(n + 1)³ - 1³ = 3(1² + 2² + 3² + 4² + … + n²) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n

우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 ∑를 이용해서 나타내고 을 대입해보죠.

자연수 제곱의 합 공식을 얻었어요.

자연수 세제곱의 합 공식

자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 항등식을 이용해요. (x + 1)⁴ - x⁴

(x + 1)⁴ - x⁴ = 4x³ + 6x² + 4x + 1

위에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.

자연수 거듭제곱의 합 공식

을 간단히 하여라.

시그마(∑)의 기본 성질을 이용해서 각 항을 나눠보죠. 그리고 위에서 유도한 자연수 거듭제곱의 합 공식을 대입해요.

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중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 다 기억하고 있죠? 지수가 자연수일 때 성립하는 법칙이었죠.

이 글에서는 중학교 때 공부했던 지수법칙을 조금 더 확장해보죠. 지수가 0이나 음의 정수일 때는 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

지수가 양의 정수(자연수)에서 정수 전체로 넓혀지지만, 지수법칙의 방법이 달라지거나 새로운 법칙이 나오는 게 아니니까 생각보다 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

공식으로 외우는 건 어려울 수 있어도 실제 계산을 해보면 훨씬 더 쉽다는 걸 느낄 거예요.

지수의 확장 - 정수 지수

중학교 때 공부했던 지수법칙부터 정리해보죠. 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

m, n이 자연수일 때

a^m × aⁿ = a^{m + n}

(a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m

(ab)^m = a^mb^m

지수 m, n이 자연수일 때였어요. 이제는 m, n이 자연수가 아니라 0이거나 음의 정수일 때는 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요.

지수법칙 첫 번째 a^m × aⁿ = a^{m + n}에서 a ≠ 0이고 m = 0이라고 해보죠.

a⁰ × aⁿ = a^{0 + n} = aⁿ

양변을 aⁿ로 나눠볼까요?

a⁰ × aⁿ = aⁿ
a⁰ = 1                  (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0일 때, a⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요.

이번에는 m = -n일 때를 보죠.

a^m × aⁿ = a^-n × aⁿ = a^{-n + n} = a⁰ = 1

이번에도 양변을 aⁿ로 나눠요.

a^-n × aⁿ = 1
a^-n =          (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0이고, n이 양의 정수일 때
a⁰ = 1, a^-n =

0은 0이고 -n은 음의 정수죠? 그러니까 이제부터는 지수가 양의 정수(자연수)뿐 아니라 0, 음의 정수일 때도 지수법칙을 활용할 수 있어요.

0이 아닌 수의 0제곱은 1이에요. 계산할 때 지수가 음의 정수면 숫자는 역수로 바꾸고 지수는 양의 정수로 바꿔서 하면 쉬워요. a^-n =

(-1)⁰ = 1, 2⁰ = 1,

지금까지는 a^m ÷ aⁿ에서 나눗셈 기호 앞, 뒤에 있는 수에서 어느 쪽이 지수가 더 크냐 작으냐를 따져서 계산했잖아요. 앞으로는 그럴 필요가 없어요.

a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}로 바로 계산해서 지수에 맞게 값을 고쳐주면 되는 거예요.

지수가 자연수일 때, 0일 때, 음수일 때를 한 번에 합쳐서 지수가 정수일 때로 정리해보죠.

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

참고로 a = 0이고 지수 m이 자연수인 경우인 0², 0³등은 정의할 수 있어요. 0 × 0 = 0, 0 × 0 × 0 = 0이죠. 하지만 지수 m이 0이거나 음수인 경우인 0⁰, 0^-1, 0^-2 등은 정의하지 않아요. 네이버캐스트 - 0의 0제곱은?

다음을 간단히 하여라.
(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
(2) (a²b^-3)⁴

(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
= a⁶ × a⁴ ÷ a^-5
= a^{6 + 4 - (-5)}
= a¹⁵

(2) (a²b^-3)⁴
= (a²)⁴(b^-3)⁴
= a⁸b^-12
=

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에라토스테네스라는 사람은 그리스 사람인데, 지구의 둘레를 계산하기도 한 과학자이자 소수를 찾는 방법을 생각해낸 수학자이기도 해요. 지구 둘레 계산한 것도 나중에 과학 시간에 공부할 거예요.

에라토스테네스가 소수를 찾은 방법을 에라토스테네스의 체라고 해요. 체는 물건을 걸러낼 때 쓰죠? 이 체를 통해서 소수를 걸러내는 거예요.

에라토스테네스의 체를 이용해서 소수를 찾는 방법에 대해서 알아보죠.

에라토스테네스의 체

에라토스테네스의 체는 소수를 찾는 방법이니까 먼저 소수가 뭔지는 알아야 해요. 소수와 합성수에서 소수가 어떤 수인지 공부했어요.

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

에라토스테네스의 체는 소수를 하나 찾고, 그 배수를 지워서 소수를 찾아내는 방법이에요. 어떤 소수의 배수는 최소한 1과 소수, 자기 자신의 3개를 약수로 가지니까 합성수잖아요.

에라토스테네스의 체는 아래 순서대로 해요.

1. 숫자를 차례대로 쓴다.
2. 1은 소수가 아니므로 지운다.
3. 2는 두고 2의 배수는 모두 지운다.
4. 남은 숫자 중 가장 작은 수인 3은 두고 3의 배수는 모두 지운다.
5. 4는 2의 배수로 지웠으니 통과
6. 남은 숫자 중 가장 작은 5는 두고 5의 배수는 모두 지운다.
7. 6, 7, 8…… 도 반복 ……
8. 남은 수는 소수, 지운 수는 합성수, 1은 그냥 1

에라토스테네스의 체를 이용하여 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수를 찾아라.

위의 방법대로 해보죠.

첫 번째 그림에서는 소수가 아닌 1을 지웠어요.

두 번째 그림에서는 2에 동그라미를 치고, 2의 배수는 지웠어요.

세 번째 그림에서는 3에 동그라미를 치고, 3의 배수는 지웠고요.

네 번째 그림에서는 5에 동그라미를 치고, 5의 배수는 지웠고요.

다섯 번째 그림은 6, 7, 8……을 계속 같은 방법으로 반복한 결과에요.

동그라미 쳐진 숫자가 소수니까 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29네요.

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수학에서 사용하는 가장 기초적인 부분이 바로 숫자에요. 이 글에서는 숫자의 체계에 대해서 한 번 더 정리합니다. 이미 알고 있는 거니까 간단하게 보고 넘어가죠.

연산에 대해서 닫혀있다는 용어에 대해서 공부할 거예요. 사실 아주 중요한 내용은 아닌데요, 다음에 공부할 항등원과 역원의 전제조건이 되는 내용이기 때문에 이해는 하고 있어야 해요.

복잡하지는 않으니까 가볍게 읽는다는 생각으로 공부하세요.

실수 체계, 실수의 분류

실수 체계는 [중등수학/중3 수학] - 무리수와 실수, 실수체계에서 공부한 적이 있어요. 한 번 정리해보죠.

이 두 그림이면 실수체계에 대해서는 완전히 설명할 수 있으니까 잘 익혀두세요. 앞으로 실수 범위를 넘어선 수의 체계를 공부할 건데 그것과 헷갈리면 안 되니까요.

문제에서 수에 대해서 아무런 언급이 없다면 실수 범위의 수를 사용한다고 생각하세요.

연산에 대하여 닫혀있다

공집합이 아닌 어떤 집합 S에서 임의의 원소 2개를 뽑아서 어떤 연산을 한 결과가 항상 집합 S의 원소일 때, 집합 S는 그 연산에 대해서 닫혀있다고 합니다.

예를 들면 자연수의 집합에서 임의의 두 수를 뽑아서 더하면 그 결과인 수는 다시 자연수 집합의 원소가 되잖아요. 이때, 자연수 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있다고 하는 거지요.

임의의 원소 2개는 같을 수도 있고 다를 수도 있어요. 그리고 최소한 1개의 원소를 선택해야 하니까 원소가 하나도 없는 공집합은 제외합니다. 닫혀있다의 반대는 "열려있다"가 아니라 "닫혀있지 않다."에요.

아래 표는 수의 체계와 사칙연산에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 표에요. 이 표를 잘 이해하세요. 객관식 문제로 자주 나옵니다. 나눗셈에서 0으로 나누는 건 제외해요.

어떤 수 집합이 닫혀있지 않다는 것을 증명하려면 명제의 참, 거짓에서 사용했던 것처럼 반례를 하나만 찾으면 돼요.

자연수에서 1 - 2 = -1로 결과가 자연수가 아니에요. 따라서 자연수는 뺄셈에 대해서 닫혀있지 않죠. 마찬가지로 1 ÷ 2 = ½로 자연수가 아니어서 나눗셈에 대해서도 닫혀있지 않아요. 덧셈과 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

정수는 1 ÷ 2 = ½로 정수가 아니라서 정수는 나눗셈에 대해서 닫혀있지 않아요. 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

무리수는 사칙연산 모두에 대하여 닫혀있지 않아요.  + (-) = 0으로 유리수고요.  -  = 0으로 유리수, × = 2로 유리수, ÷ = 1로 유리수잖아요.

유리수와 실수는 어떤 수를 사용해도 사칙연산한 결과가 유리수, 실수가 나와요. 따라서 유리수와 실수는 사칙연산에 대해서 닫혀있어요.

집합 S = {-1, 0, 1}일 때, 사칙연산 중 어느 연산에 대하여 닫혀있는가? (단, 0으로 나누는 것은 제외)

연산에 대하여 닫혀있으려면 집합의 임의의 원소 두 개를 선택해서 연산한 결과가 다시 집합의 원소여야 돼요.

원소가 몇 개 안 되니까 직접 연산을 해서 결과를 찾아보죠.

덧셈과 뺄셈의 연산 결과에서는 집합 S의 원소가 아닌 -2, 2가 있어서 집합 S는 덧셈과 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않네요. 곱셈과 나눗셈은 연산 결과가 모두 집합 S = {-1, 0, 1}에 포함되어 있어요. 따라서 집합 S는 곱셈과 나눗셈에 대하여 닫혀있어요.

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오늘 공부할 건 매우 중요한 내용이에요. 수학의 기본이 되는 수의 체계에 대한 내용이거든요.

이제까지 알고 있던 모든 수 자연수, 정수, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수에 더해서 무리수라는 새로운 이름의 수를 공부할 거예요. 무리수는 새로운 수가 아니라 이미 알고 있는 수에요. 다만 어떤 수를 무리수라고 하는지 몰랐을 뿐이에요.

또 실수라는 것도 공부할 건데, 이게 앞으로 수학 시간에 계속 사용할 거니까 잘 알고 있어야 해요.

이 글에서는 각 수의 뜻과 특징, 서로를 구별하는 방법, 수의 관계를 이해해야 합니다.

무리수와 실수

이제까지 공부했던 수의 체계를 정리해볼까요? 일단 1, 2, 3, …… 같은 자연수가 있어요. 자연수(양의 정수)와 0, 자연수에 (-) 부호를 붙인 음의 정수로 나눠지는 정수도 있고요. 분수 꼴로 나타낼 수 있는 유리수도 있지요. 자연수는 정수에 포함되고, 정수는 유리수에 포함돼요. 결국, 자연수는 유리수에 포함되는 거죠.

유한소수와 무한소수도 공부했어요. 무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수로 나눌 수 있었죠? 유한소수와 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으니 유리수에요. 그러니까 유한소수와 순환소수는 유리수에 속해요.

그럼 분수 꼴로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수는 어떤 수에 속할까요? 바로 무리수에 속해요.

무리수는 유리수가 아닌 수예요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수니까 그 반대인 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수예요. 순환하지 않는 무한소수 중 가장 대표적인 게 뭐죠? 바로 π죠. 그 외에도 처럼 근호가 씌워진 수를 무리수라고 할 수 있어요. 단 처럼 근호를 없앨 수 있는 수는 유리수에요. 이름만 처음 들었다 뿐이지 이미 다 알고 있는 수들이죠?

유리수와 무리수의 뜻을 잘 생각해보세요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 없을 거고요. 따라서 모든 수는 유리수와 무리수로 나눌 수 있는데 이 두 가지를 합쳐서 실수라고 합니다. 실수는 실제 수를 말하고 영어로는 Real Number라고 해요.

앞으로 특별한 언급 없이 그냥 수라고 한다면 모두 실수라고 생각하면 돼요.

무리수: 유리수가 아닌 수
         꼴의 분수로 나타낼 수 없는 수
          순환하지 않는 무한소수, π
          근호를 못 없애는 제곱근
실수: 유리수 + 무리수

그림에서 가장 주의깊게 봐야할 건 무한소수에요. 무한소수 중 순환소수는 유리수고, 순환하지 않는 무한소수는 무리수에요.

아래는 위 그림을 벤다이어그램으로 나타낸 건데, 꼭 기억하세요. 수의 체계를 아주 잘 나타내고 있어서 문제에서 자주 나오는 그림이거든요. 이 글에서는 이 그림하나만 기억하면 돼요.

다음 설명 중 틀린 것을 모두 고르시오.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 된다.
(2) 정수는 무리수에 속한다.
(3) 정수는 자연수에 속한다.
(4) 유리수가 아니면 무리수이다.
(5) 유리수면서 동시에 무리수인 수는 없다.

위의 그림을 잘 보세요. 자연수는 정수에 속하고, 정수는 유리수에 속해요. 그러니까 자연수는 유리수에 속하죠. 또, 유리수와 무리수 모두 실수에 속하고요. 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되네요.

(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되므로 맞아요.
(2) 정수는 무리수에 속하는 게 아니라 유리수에 속하니까 틀렸어요.
(3) 자연수가 정수에 속하니까 거꾸로 됐네요. 틀렸어요.
(4) 유리수가 아니면 무리수에요. 반대로 무리수가 아니면 유리수지요.
(5) 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 맞아요. 반대로 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수는 없어요.

따라서 틀린 건 (2), (3)입니다.

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지금까지 우리가 알고 있는 수는 1, 2, 3, 4 같은 자연수, ½, ¼같은 분수, 0.1, 0.01 같은 소수예요.

이 글에서는 새로운 수의 개념을 공부할 거예요. 위 세 가지 수가 아닌 다른 수를 공부하는 게 아니고, 짝수와 홀수처럼 자연수를 어떤 특징에 의해서 구별하는 거예요.

뒤에 이어질 내용에서 사용할 수와 단어의 개념이니까 잘 이해하고 있어야 해요. 이 글에서 설명하는 단어의 뜻을 모르면 다음 단원으로 넘어갈 수 없어요.

소수와 합성수가 뭔지 알아보죠.

소수와 합성수

소수가 뭐죠? 1의 자리보다 작은 자릿수를 가진 수들 예를 들면 0.1, 0.01처럼 소수점이 있는 수를 소수라고 하죠? 여기서 공부하는 소수는 다른 소수예요.

여기서 다루는 소수와 합성수는 모두 자연수예요. 분수나 우리가 기존에 알고 있는 소수는 다루지 않아요. 문제나 설명에서 따로 얘기하지 않더라도 모두 자연수입니다.

소수

1은 약수가 몇 개 있나요? 1은 약수가 1 하나밖에 없어요.
2는 1, 2
3은 1, 3
4는 1, 2, 4
5는 1, 5
6은 1, 2, 3, 6

2, 3, 5처럼 약수가 1과 자기 자신만 있는 자연수를 소수라고 해요. 약수가 1하고 자기 자신 밖에 없으니 약수의 개수가 2개죠? 그래서 소수를 약수가 2개밖에 없는 자연수라고 말하기도 해요. 또는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수라고도 하고요. 표현은 다르지만 결국 다 같은 얘기예요.

2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수예요. 2가 아닌 짝수는 적어도 1과 2, 자기 자신은 무조건 약수로 갖으니까 소수가 될 수 없어요. 2를 제외한 소수가 모두 홀수라고 해서 모든 홀수가 다 소수인 건 아니에요. 9는 홀수지만 1, 3, 9라는 세 약수를 갖고 있어서 소수가 아니에요.

• 2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수 → ○
• 모든 홀수는 소수 → ×

소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … 등이 있어요.

합성수

합성수는 약수의 개수가 3개 이상인 자연수예요. 4는 약수가 1, 2, 4로 세 개고요, 6은 1, 2, 3, 6으로 네 개예요. 두 수는 약수의 개수가 3개 이상이니까 합성수죠.

합성수를 다른 말로 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수라고도 해요. 1은 약수가 1개고, 소수는 약수가 2개니까 결국 약수가 1, 2개가 아닌 수라는 뜻이죠.

2가 아닌 모든 짝수도 합성수예요. 짝수는 최소한 1, 2, 자기 자신의 세 수를 약수로 갖거든요. 홀수는 숫자마다 다르고요.

합성수는 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, … 등이 있어요.

그러면 1은 뭘까요? 약수의 개수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수인데, 1은 약수의 개수가 1개잖아요. 그래서 1은 소수도 아니고 합성수도 아니에요. 그냥 1이에요.

자연수를 종류별로 나눈다면 1, 소수, 합성수의 세 가지로 나눌 수 있겠죠?

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

다음 수를 소수와 합성수로 나누어라.
1, 2, 9, 11, 24, 36, 40, 57, 63, 71

소수와 합성수를 구분할 때는 약수의 개수를 세면 돼요. 약수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수니까요. 대신 약수를 모두 구할 필요는 없어요. 3개까지만 구하고 그 이상은 구하지 않아도 돼요. 또 2보다 큰 짝수는 약수의 개수를 구할 필요도 없이 무조건 합성수예요.

1은 약수의 개수가 1개라서 소수도 아니고 합성수도 아니에요.
2는 약수가 1, 2로 두 개뿐이니까 소수고요.
9는 약수가 1, 3, 9로 세 개여서 합성수네요.
11은 약수가 1, 11로 2개여서 소수네요.
24, 36, 40은 2보다 큰 짝수니까 약수의 개수를 구할 필요없이 합성수고요.
57은 1, 57, 3, 19로 약수의 개수가 4개여서 합성수예요.
63은 1, 63, 7, 9, … 약수를 벌써 네 개나 찾았어요. 약수를 더 찾을 필요없이 합성수네요.
71은 1, 71뿐이라서 소수고요.

1
소수: 2, 11, 71
합성수: 9, 24, 36, 40, 57, 63

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