원주각
사인법칙, 사인법칙 증명
사인법칙은 공식이에요. 공식이니까 당연히 외워야겠죠? 그리고 사인법칙이 어떻게 유도되었는지 증명할 수 있어야 하고요.
사인법칙 증명 과정에 중학교 때 공부했던 원주각과 원에 내접하는 사각형, 외접, 외접원 등의 내용이 계속 나와요. 증명 자체는 어렵지 않지만 이미 잊어버린 내용일테니까 미리 한 번씩 읽어두세요.
[중등수학/중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질
[중등수학/중3 수학] - 원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각
사인법칙을 외워두면 중학교 때 삼각비를 이용해서 구했던 것들을 조금 더 쉬운 방법으로 구할 수 있어요.
사인법칙, 사인법칙 증명
삼각형 세 각의 크기에 대한 사인과 대변의 길이, 외접원의 반지름 사이의 관계를 정리해놓은 걸 사인법칙이라고 해요.
아래 그림에서 △ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고 그 대변의 길이를 a, b, c라고 하죠. 외접원의 길이를 R이라고 하면 다음과 같은 관계가 성립해요.
△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때
어떻게 이런 성질이 생기는지 증명해보죠. 일단 하나의 각에 대해서만 증명하면 다른 각에 대한 건 똑같은 방법으로 증명할 수 있어요.
사인 법칙 증명 - 예각일 때
∠A가 예각일 때에요.
점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는 BA'를 그었어요. 
중3 때 공부했던 원주각의 성질에 의하면 한 원에서 한 호의 원주각의 크기는 같아요. 호 BC의 원주각이므로 ∠A = ∠A'가 돼요. 또, 지름의 원주각은 90°니까 ∠A'CB = 90°죠.
sinA = sinA' = 
사인 법칙 증명 - 직각일 때
∠A = 90일 때는 쉽죠.
sinA = sin90° = 1이고, ∠A = 90°이면 대변 
사인 법칙 증명 - 둔각일 때
여기도 예각일 때와 마찬가지로 점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는
원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각에 따르면 원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 합은 180°예요. A + A' = 180°이므로 A = 180° - A'
sinA = sin(180° - A') = sinA' =
∠A가 예각, 직각, 둔각일 때 모두 
사인법칙의 사용
사인법칙은 삼각형의 세 각에서 각의 사인값과 길이의 비가 모두 같다는 거예요. 이를 이용해서 각의 크기와 변의 길이를 구할 수 있어요.
사인법칙의 사용
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때
두 번째 조건이 약간 특이하죠? 끼인각을 알려주는 게 아니라 끼인각이 아닌 각이 크기를 알려줄 때에요. 잘 보세요.
삼각비를 이용해서 일반 삼각형 변의 길이를 구할 때는 수선을 그어서 내려서 매우 복잡하게 구했잖아요. 이제부터는 그렇게 하지 않아도 삼각형 변의 길이와 각의 크기를 구할 수 있어요.
다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 3cm, b = 3cm, B = 60°일 때, A, C, c를 구하여라.
(1)번은 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬어요. C = 180° - (30° + 60°) = 90°
사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.
(2)번은 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.
A = 60° or A = 120°인데 A = 120°이면 △ABC는 삼각형이 아니죠? 따라서 A = 60°에요.
A = B = 60°이므로 C = 60°가 되겠네요.
사실 세 각의 크기가 60°로 모두 같으니까 정삼각형으로 c = 3cm라는 걸 알 수 있어요. 위의 과정을 굳이 해볼 필요는 없겠네요.
A = 60°, C = 60°, c = 3cm
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네 점이 한 원 위에 있을 조건 - 두 번째
네 점이 한 원 위에 있을 조건은 전에 한 번 공부했어요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건에서 원주각과 대각의 합, 내대각을 이용한 조건을 공부했었죠.
이 글에서 할 건 했던 게 또 나오는 게 아니라 새로운 방법을 공부하는 거에요. 정확히 말해서 새로운 방법이라고 하는 것도 맞는 건 아니에요. 이미 배운 것이죠.
이미 배웠던 걸 네 점이 한 원 위에 있을 조건에 적용하는 것뿐이에요. 바로 원과 비례를 이용해서 네 점이 한 원 위에 있는지 알아볼 수 있어요. 그러니까 원과 비례에 대해서 알고 있어야겠죠?
네 점이 한 원 위에 있을 조건
원과 비례에서 두 가지를 공부했죠?
하나는 원의 두 현의 교점에서 각 현의 양쪽 끝점까지의 거리의 곱이 서로 같다는 것이었고요. 다른 하나는 현의 연장선(할선)의 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱이 같다는 거였어요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건 두 번째의 핵심은 바로 네 점이 현의 양 끝점이 되는 거예요.
네 점을 두 대각선으로 잇고 그 교점을 이용
아래 그림을 보세요.
네 점이 있는데, 대각선으로 이었더니 교점이 생겼죠? 원만 없다 뿐이지 원과 비례에서 했던 공식을 그대로 적용할 수 있어요.
왜 그럴까요? 원만 그려보면 간단히 알 수 있어요.
네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보세요. 그러면 네 점은 현의 양 끝점이 되고, 교점이 있는 그림으로 바뀌었어요. 이건 원과 비례에서 봤던 그림과 완전히 같은 그림이에요.
이 유형의 문제를 풀 때는 원을 그려서 풀어야 해요. 원이 있으면 훨씬 유리하거든요.
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.
네 점을 선분으로 이었을 때 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면
4 × x = 3 × 7
x = 
네 점을 두 선분으로 잇고 그 연장선의 교점을 이용
이번에는네 점을 두 개의 선분으로 잇고, 그 연장선의 교점이 나와 있을 때에요.
마찬가지로 네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보자고요.
원과 비례 두 번째에서 봤던 그림과 똑같죠?
똑같은 그림인데, 원이 그려져 있으면 원과 비례, 원이 빠져있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건이에요.
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있고, 
연장선의 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면,
(9 + 3) × 3 = (5 + x) × x
36 = 5x + x2
x2 + 5x - 36 = 0
(x + 9)(x - 4) = 0
x = 4 (x > 0)
네 점이 한 원 위에 있을 조건 총정리
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 두 가지 공부했어요. 원 위에 있는 네 점을 선으로 연결하면 사각형이 되잖아요. 따라서 사각형이 원에 내접할 조건과 같다고 할 수도 있어요. 전에 공부했던 두 가지와 이 글에서 공부한 한 가지를 한 번에 정리해보죠.
- 네 점을 선분으로 연결하고 교점과 네 점 사이의 거리가 나와 있으면 원과 비례 이용합니다.
- 네 점과 이웃한 두 각의 크기가 나와 있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용.
두 점을 선분으로 잇고, 선분을 이루는 두 점과 나머지 한 점으로 각을 만들어서 두 각의 크기가 서로 같을 때 - 원주각 이용 - 사각형이 그려져 있고, 대각의 크기나 외각의 크기가 나와 있으면 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 이용
한 쌍의 대각의 합 = 180°
한 외각 = 내대각
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접선과 현이 이루는 각
접선이 다시 나왔네요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 만나는 한 점을 접점이라고 하죠. (원의 접선, 원의 접선의 길이)
이 글에서는 내용을 정리하기는 하겠지만 이게 글만 읽어서는 무슨 소리인지 이해하기가 힘들 거에요. 그 단어 하나하나를 그림에서 짚어가면서 이해해야 무슨 말인지 알아들을 수 있으니까 천천히 읽고 따라오세요.
접선과 현이 이루는 각은 원주각을 이용해서 구할 수 있어요. 어떤 방법으로 원주각을 이용해서 구하는지 알아보죠.
접선과 현이 이루는 각
원에 접선을 그으면 접점이 생겨요. 그 접점에서 원 위의 다른 한 점에 현을 그으면 현과 접선 사이에 각이 생기겠죠? 이 각은 현의 양 끝점(접점과 원 위의 한 점)으로 이루어진 호에 대한 원주각과 같아요.
말로 하면 어렵죠? 그림을 보세요.
원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각
= 각에 포함된 호의 원주각
원의 접선은 직선 AP, 접점은 점 A, 접점을 지나는 현은 현 AB이고, 이들이 이루는 각은 ∠BAP에요. ∠BAP 안에 호 AB가 들어있죠? ∠BAP와 호 AB에 대한 원주각이 같다는 얘기예요.
윗글을 잘 읽으면서 어떤 각과 어떤 각이 같은지 이해해야 해요. 그냥 읽어보면 뭐랑 뭐가 같다는 말인지 금방 알아듣기가 어렵거든요. 두세 번 계속해서 읽어보세요.
접선과 현이 이루는 각이 예각, 둔각, 직각일 때 세 경우로 나눠서 증명해보죠.
접선과 현이 이루는 각이 예각일 때
접선과 현이 이루는 각(∠BAP)가 예각일 때에요.
원의 중심 O와 점 A를 지나는 현을 그려보죠. 이 현은 지름이에요. 그리고 이 현의 끝점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 하나 더 그어요.
∠DAP를 보세요. ∠DAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP
원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP = 90° ... ①
∠ACD를 볼까요? ∠ACD는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD
∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = 90° ... ②
①, ②의 두 각이 모두 90°로 같아요. 식을 바꿔 쓰면 아래처럼 되겠죠?
∠DAB + ∠BAP = ∠ACB + ∠BCD = 90°
∴ ∠BAP = ∠ACB (∵ ∠DAB = ∠BCD, 호 BD의 원주각)
접선과 현이 이루는 각이 둔각일 때
이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 둔각일 때에요. 이때도 마찬가지로 원의 중심 O와 접점 A를 지나는 현, 지름을 그어요. 그리고 지름의 반대쪽 점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 그어요.
∠BAP를 보세요. ∠BAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠BAP = ∠BAD + ∠DAP
원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = 90°
두 식을 정리하면 ∠BAP = ∠BAD + 90° ... ①
호 AB에 대한 원주각인 ∠ACB를 볼까요? ∠ACB는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACB = ∠ACD + ∠BCD
∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = 90°
두 식을 정리하면 ∠ACB = ∠BCD + 90° ... ②
①의 ∠BAD와 ②의 ∠BCD는 호 BD의 원주각으로 그 크기가 같아요. 따라서 ①, ②식을 정리하면 ∠BAP = ∠ACB임을 알 수 있어요.
접선과 현이 이루는 각이 직각일 때
이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 직각일 때에요.
원의 접선에 본 것처럼 접선과 현이 이루는 ∠BAP = 90°라는 말은 현에 반지름이 포함되어 있다는 말이에요. 즉 현 AB가 지름이므로 원주각의 성질에 따라 호 AB의 원주각 ∠ACB = 90°라서 두 각은 크기가 같죠.
∠BAP = ∠ACB = 90°
결국, 접선과 현이 만나서 생기는 각이 예각이든 직각이든 둔각이든 상관없이 각에 포함된 호에 대한 원주각의 크기와 같다는 것을 알 수 있어요.
다음 그림을 보고 x°, y°의 값을 구하여라.
원주각의 성질에서 지름의 원주각은 90°라고 했어요. 따라서 호 BC의 원주각인 ∠BAC = 90°에요. 삼각형 내각의 합에 따라서 ∠ACB = 180° - (22.5° + 90°) = 67.5°가 됩니다.
원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같아요.
∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각과 같아요. x° = 67.5°
∠y는 호 AC를 포함하고 있으므로 호 AC의 원주각 22.5°가 됩니다.
두 접선과 현이 이루는 각
원 밖의 한 점에서는 원에 두 개의 접선을 그을 수 있어요. 점 P에서 원에 접선을 긋고 접점을 점 A, 점 B라고 하고, 호 AB의 원주각을 ∠ACB라고 해보죠.
원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같죠. 접선과 현이 만나서 생기는 ∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같아요. 또, ∠ABP도 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같고요.
∠BAP = ∠ACB = ∠ABP
두 각의 크기가 같은 건 다른 방법으로도 알 수 있어요.
원의 접선에서 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다고 했으니까 △PAB는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 ∠BAP = ∠ABP이죠.
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사각형이 원에 내접하기 위한 조건
원에 내접하는 사각형의 성질을 두 가지 공부했어요. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°라는 것과 한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다는 거지요. 그러면서 이 두 가지 성질의 역이 성립한다고 했죠? 바로 이 성질의 역이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건이에요. 따라서 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 따로 공부할 게 없어요.
한가지 추가해야 할 게 있는데 그것도 이미 공부한 내용이에요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건이죠.
이 글은 새로운 걸 공부한다기보다는 이전에 공부했던 걸 한 번 더 정리하고 넘어간다고 생각하세요.
사각형이 원에 내접하기 위한 조건
사각형의 네 점이 원 위에 있을 때
사각형은 각이 네 개 또는 점이 네 개인 도형이죠? 사각형이 원에 내접한다는 말을 다르게 하면, 네 꼭짓점이 한 원 위에 있다고 얘기할 수 있겠죠?
네 점이 한 원 위에 있을 조건은 이미 공부했잖아요. 바로 그 조건을 만족시키는 네 점을 연결하면 원에 내접하는 사각형을 그릴 수 있어요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 다시 한 번 정리해 보죠.
네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가
∠ACB = ∠ADB 일 때
한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°
원에 내접하는 사각형의 성질 첫 번째에요. 한 쌍의 대각의 합이 180°라는 거죠.
한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.
원에 내접하는 사각형의 성질 두 번째에요.
항상 원에 내접하는 사각형
원에 내접하는 사각형은 위에서 말한 특별한 조건을 갖춰야만 해요. 사각형 중에서 위의 조건을 항상 만족시키는 사각형들이 있어요. 바로 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴이에요.
정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 90°에요. 따라서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이므로 원에 내접하는 사각형이죠.
등변사다리꼴은 두 밑각의 크기가 같고, 위에 있는 각의 크기도 서로 같아요. 위에 있는 각의 크기를 a, 밑각의 크기를 b라고 한다면 내각의 크기의 합은 2a + 2b = 360°에서 a + b = 180°가 되죠. 즉 등변사다리꼴도 대각의 크기의 합이 180°로 항상 원에 내접하는 사각형이에요.
사각형이 원에 내접하는지 확인하기
네 점이 한 원 위에 있는지 확인 - 한 변을 기준으로 하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같은지 확인
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인지 확인
한 외각과 내대각의 크기가 같은지 확인
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네 점이 한 원 위에 있을 조건
세 점은 무조건 같은 원 위에 있어요. 세 점을 연결해서 삼각형을 그리면 이 삼각형의 외접원을 그릴 수 있잖아요. 따라서 세 점은 바로 이 외접원 위에 있는 거죠.
사각형도 그럴까요? 사각형에서는 외접원을 그리지 못하는 경우도 있어요. 원의 외접사각형에서 사각형의 내접원을 항상 그릴 수 있는 게 아닌 것처럼요.
사각형의 외접원에 대해서는 뒤에서 더 자세히 공부할 테지만 그 전단계로 네 점이 한 원 위에 있을 수 있는 조건이 무엇인지 알아보죠. 네 점이 원 위에 있다면 그 원은 네 점을 연결해서 그린 사각형의 외접원이 될 테니까요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건
네 점이 한 원 위에 있으려면 어떤 조건이 필요할까요?
두 가지 조건을 동시에 만족해야 해요.
첫 번째는 네 점 중 두 점이 다른 두 점을 연결한 직선에 대해 같은 쪽에 있어야 해요. 위 그림에서
두 번째는 위와 같은 상태에서 직선을 이루는 두 점과 다른 두 점으로 이루어진 각의 크기가 같아야 해요. ∠ACB = ∠ADB
첫 번째 조건은 원의 일부인 호와 원주각을 만들기 위한 과정이에요.
두 번째 조건은 호AB의 원주각이 될 수 있는지를 보는 거예요. 원주각의 성질에서 원주각의 위치와 관계없이 크기가 같다고 했으니까 호AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같은 다른 각이 있다면 이 각 역시 호AB의 원주각이 될 수 있는 거죠. 원주각은 원 위에 있는 각이니까 결국 점 D도 점 C와 같은 원 위에 있다는 뜻이에요.
네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가
∠ACB = ∠ADB 일 때
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.
원래 문제에서는 원을 그려주지 않지만 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으니까 원을 그렸어요.
네 점이 원 위에 있으니까 호BC에 대하여 원주각이 두 개 있죠? 원주각의 성질에서 같은 호에 대해서 원주각의 위치와 상관없이 원주각의 크기는 같다고 했으니까 ∠BAC = ∠BDC = 45°가 됩니다.
(삼각형 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이므로 오른쪽의 작은 삼각형 △CDE에서 112.5° = 45° + x°
x = 67.5°
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원주각의 크기와 호의 길이
앞서 원주각과 중심각의 크기에서는 원주각은 중심각의 절반이고, 중심각은 원주각의 두 배라는 걸 공부했어요.
1학년 때, 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이가 정비례한다는 걸 공부했어요. 현의 길이는 중심각의 크기와 전혀 상관이 없다는 것까지요.
이 글에서는 원주각과 중심각의 관계, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이는 정비례한다는 사실 두 가지를 하나로 합쳐서 원주각의 크기와 호의 길이는 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.
원주각의 크기와 호의 길이
원주각과 중심각의 크기에서 원주각의 크기는 중심각 크기의 절반이라고 했어요. 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각의 크기도 서로 같아져요. 1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이도 같다는 걸 공부했어요.
이 두 가지를 정리해보면, 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각이 같고, 중심각이 같으면 호의 길이가 같아요. 즉 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이가 같아지죠.
서로 다른 두 호에서 원주각의 크기가 같다. → 중심각의 크기가 같다. → 호의 길이가 같다.
∠APB = ∠CQD
→ ∠AOB = ∠COD (∵ 2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD = ∠COD)
→ 호AB = 호CD
이 명제의 역도 성립해요. 호의 길이가 같으면 이에 대한 원주각의 크기도 같아요.
한 원 또는 지름이 같은 원에서
크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다.
길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.
원주각의 크기와 호의 길이는 정비례
1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각과 호의 길이는 정비례한다는 걸 공부했어요. 호에 대한 중심각은 원주각의 두 배니까 중심각 자리에 원주각을 넣으면 역시 비례가 성립하지요.
∠AOB : ∠COD = 호AB : 호CD
→ 2∠APB : 2∠CQD = 호AB : 호CD ( ∵ 2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD = ∠COD)
→ ∠APB : ∠CQD = 호AB : 호CD
한 원 또는 지름이 같은 원에서
원주각의 크기 ∝ 호의 길이
중심각의 크기 ∝ 호의 길이
현의 길이는 중심각, 원주각의 크기와 비례하지 않는다.
그림처럼 원 위에 8개의 점이 있다. 이 점들 간의 거리가 모두 같을 때, 다음을 구하여라.
(1) 호EF의 중심각과 크기가 같은 원주각을 갖는 호를 모두 찾아라.
(2) ∠DBE와 같은 길이의 호를 갖는 원주각을 모두 찾아라.
우선 각 점들 간의 거리가 같다고 했으니 각 점들로 이루어진 호의 길이가 같겠죠? 이 호의 길이를 a라고 놓아보죠. 또 각 호의 길이가 같으니까 이 호의 길이에 대한 원주각의 크기도 같은데, 이 각을 x라고 놓아보죠.
(1) 호EF의 길이는 a이고, 원주각의 크기는 x에요. 중심각의 크기는 2x겠네요.
즉, 문제는 원주각의 크기가 2x인 호를 찾으라는 건데, 크기가 2x인 원주각은 ∠EAG, ∠DBF, ∠AGC이므로 호EG와 호DF, 호AC가 되겠네요.
(2) ∠DBE에 대한 호의 길이는 a이고 원주각의 크기는 x에요. 호의 길이가 같으면 원주각의 크기도 같아요. 각의 크기가 x인 원주각은 ∠EBF, ∠BEA네요.
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원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질
이 글에서는 원주각과 중심각에 대해서 공부합니다.
1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 중심각이 뭔지는 공부했어요. 중심각은 부채꼴에서 호와 반지름 두 개로 이루어진 각을 말했는데요.
이 글에서는 부채꼴이 아니라 호에 관해서 배우기 때문에 호의 중심각이라고 합니다. 호의 중심각과 부채꼴의 중심각은 그림이 똑같아요. 다만 기준을 어디에 두고 보느냐에 따라 이름이 달라지는 것 뿐이죠.
원주각의 뜻과 성질, 그리고 원주각과 중심각의 관계에 대해서 알아보죠.
원주각과 중심각의 크기
원주각은 이름 그대로 원주에 있는 각 이에요. 원주는 원의 둘레를 말하죠? 그러니까 원 위에 있는 각인데, 그냥 원 위에 있는 게 아니에요. 원 위에 
중심각은
2 × 원주각 = 중심각
원주각 = ½ 중심각
중심각은 원주각의 두 배에요. 증명해볼까요? 세 가지 경우로 나누어서 증명해보죠.
원의 중심 O가 ∠APB 내부에 있을 때
점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 그어보죠. 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.
△OAP와 △OBP가 생기는데요.
△OAP에서 
삼각형 외각의 크기에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이라는 걸 공부했죠? ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA
△OBP에서 
한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB
중심각 ∠AOB = ∠AOQ + ∠BOQ = 2∠OPA + 2∠OPB = 2(∠OPA + ∠OPB) = 2∠APB입니다.
따라서 ∠AOB = 2∠APB. (증명 끝.)
원의 중심 O가 ∠APB 외부에 있을 때
점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 긋고 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.
△OAP와 △OBP가 생기는데요.
△OAP에서
삼각형 외각의 크기에서 한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA
△OBP에서
한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB
중심각 ∠AOB = ∠BOQ - ∠AOQ = 2∠OPB - 2∠OPA = 2(∠OPB - ∠OPA) = 2∠APB입니다.
따라서 ∠AOB = 2∠APB. (증명 끝.)
원의 중심 O가 
위에 있을 때
증명이 제일 쉬운데요.
△OBP에서
한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOB = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB = 2∠APB
∠AOB = 2∠APB (증명 끝.)
원주각의 성질
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 같다.
위 증명에서 세 가지 경우를 봤는데, 모두 원주각의 크기는 중심각의 절반이었어요. 세 원주각이 같다는 얘기잖아요. 원주각의 위치에 상관없이 원과 호가 같으면 원주각의 크기도 같아요.
지름에 대한 원주각의 크기는 90°
이번에는 중심각이 평각인 180°일 경우를 보죠.
중심각이 평각이 되는 경우는 지름일 때 또는 반원일 때에요. 원주각은 중심각 크기의 절반이니까 이때의 원주각은 90°가 되겠죠?
원주각의 크기가 90°라는 건 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어진다는 거예요. 삼각비, sin, cos, tan, 피타고라스의 정리와 연관된 문제가 출제된다는 것도 예상할 수 있겠죠?
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중3 수학 목차
중학교 3학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 실수와 식의 계산
- 인수분해
- 이차방정식
- 이차함수
- 통계
- 삼각비
- 원의 성질