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신문 기사에 [취재파일] 세계적 수준 이르렀던 조선 시대 수학자들이라는 제목의 기사가 있어서 클릭해서 봤습니다. 그중에서 홍길주라는 분이 쓰신 숙수념이라는 책에 나오는 제곱근을 구하는 방법에 대한 소개가 있더군요.

나눗셈과 뺄셈만으로 제곱근을 구하는 방법인데, 실제로 해봤더니 정말 재미있어요. 그리고 정확하고요. 그래서 이 글을 보는 학생들도 실제로 해보면 재미있을 것 같아서 소개합니다.

숙수념에 나오는 제곱근 구하는 방법

방법은 아주 간단해요.

제곱근을 구하려고 하는 수를 2로 나눈 다음에 그 수에서 1부터 2, 3, 4의 오름차순으로 계속 빼주는 거예요. 그러다 더는 뺄 수 없을 때(음수가 나올 때) 앞에서 뺀 결과로 나온 수와 빼야 하는 수를 비교하는 거지요.

글로 써서 잘 이해가 안 될 수 있는데, 실제로 제곱근을 구해보면 쉽게 이해가 될 거예요.

36의 제곱근을 구해보죠.

1. 36을 2로 나눈다. 36 ÷ 2 = 18
2. 18에서 1을 뺀다. 18 - 1 = 17
3. 17에서 2를 뺀다. 17 - 2 = 15
4. 15에서 3을 뺀다. 15 - 3 = 12
5. 12에서 4를 뺀다. 12 - 4 = 8
6. 8에서 5를 뺀다. 8 - 5 = 3
7. 3에서 6을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 대신 3을 2배 한 것이 빼야 하는 수 6과 같으므로 36의 제곱근은 6이다.

제곱근이야 양수와 음수의 절댓값이 같고 부호만 다르니까 양의 제곱근이 6이면 음의 제곱근은 -6이죠?

다른 수를 한 번 해볼까요?

1. 49를 2로 나눈다. 49 ÷ 2 = 24.5
2. 24.5에서 1을 뺀다. 24.5 - 1 = 23.5
3. 23.5에서 2를 뺀다. 23.5 - 2 = 21.5
4. 21.5에서 3을 뺀다. 21.5 - 3 = 18.5
5. 18.5에서 4를 뺀다. 18.5 - 4 = 14.5
6. 14.5에서 5를 뺀다. 14.5 - 5 = 9.5
7. 9.5에서 6을 뺀다. 9.5 - 6 = 3.5
8. 3.5에서 7을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 대신 3.5를 2배 한 것이 빼야 하는 수 7과 같으므로 49의 제곱근은 7이다.

어때요? 신기하죠?

36과 49는 제곱수니까 제곱수가 아닌 수의 제곱근을 구하는 방법을 알아보죠. 50의 제곱근을 구하는 과정이에요.

1. 50을 2로 나눈다. 50 ÷ 2 = 25
2. 25에서 1을 뺀다. 25 - 1 = 24
3. 24에서 2를 뺀다. 24 - 2 = 22
4. 22에서 3을 뺀다. 22 - 3 = 19
5. 19에서 4를 뺀다. 19 - 4 = 15
6. 15에서 5를 뺀다. 15 - 5 = 10
7. 10에서 6을 뺀다. 10 - 6 = 4
8. 4에서 7을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 4를 2배 한 것과 빼야 하는 수 7이 같지 않으니까 이 방법으로는 50의 제곱근을 구할 수 없다.

이럴 때는 어떻게 하느냐면 50에 100을 곱한 5,000의 제곱근을 구하는 거예요.

• 50에 100을 곱한다. 50 × 100 = 5000
• 5000을 2로 나눈다. 5000 ÷ 2 = 2500
• 2500에서 1을 뺀다. 2500 - 1 = 2499
• 2499에서 2를 뺀다. 2499 - 2 = 2497
• 2497에서 3을 뺀다. 2497 - 3 = 2494
• 2494에서 4를 뺀다. 2494 - 4 = 2490
• …
• 85에서 70를 뺀다. 85 - 70 = 15
• 15에서 71을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다.

여기서도 마찬가지로 15의 2배인 30과 빼야 하는 수 71이 같지 않으므로 제곱근을 구할 수 없어요. 그렇다고 이 71을 그냥 무시할 수 없는 게 71이 5,000의 제곱근은 아니지만 그것과 비슷한 값이라는 걸 유추할 수 있어요. 실제로 5,000의 제곱근은 70.71이에요. 별로 차이가 안 나죠?

근데 왜 100을 곱해서 구할까요? 그건 제곱근의 근삿값, 제곱근표 보는 방법에서 제곱근표에 없는 제곱근의 근삿값을 구했던 것과 비슷해요. 제곱근표에 없는 제곱근의 근삿값을 구할 때 10의 짝수 거듭제곱과 제곱근표에 있는 근삿값을 이용해서 구했었죠? 바로 이와 같은 원리로 10의 거듭제곱인 100을 곱해서 제곱근을 구하는 거지요.

10의 거듭제곱인 100을 곱해서 5,000의 제곱근의 근삿값인 71을 얻었어요. 그럼 100을 곱한 5,000의 제곱근의 근삿값이니까 100으로 나눈 0.71이 50의 제곱근의 근삿값일까요? 그렇지는 않아요.

다음 식을 보세요. 50의 양의 제곱근을 x라고 해보죠.

x =
x² = 50
100x² = 5000          (∵ 양변 × 100)
(10x)² ≒ (71)²
10x ≒ 71
x ≒ 7.1

어떤가요? 마지막에 나누는 수는 처음에 곱했던 100이 아니라 10이죠? 바로 제곱근을 구하는 거니까 100의 제곱근인 10으로 나눠주는 거예요. 이해가 되나요?

이 과정을 통해서 50의 제곱근은 약 7.1이라는 걸 알 수 있어요.

그럼 50에 100을 곱하지 않고 (10)⁴ = 10000을 곱해보죠. 같은 방법으로 500,000을 2로 나눈 다음 1부터 오름차순으로 빼보면 마지막에 429가 나오고 여기에서 707을 빼야 해요. 이 말은 707이 500,000의 제곱근의 근삿값이라는 얘기에요. 실제로 500,000의 제곱근의 근삿값은 707.106이에요.

x =
x² = 50
10000x² = 500000          (∵ 양변 × 10000)
(100x)² ≒ (707)²
100x ≒ 707
x ≒ 7.07

50의 제곱근의 근삿값이 7.07이라는 걸 구했어요. 곱하는 숫자가 크니까 조금 더 자세히 구했죠?

이렇게 100, 10000, 1000000씩 곱해서 1부터 오름차순으로 빼고, 위 식처럼 근삿값을 구하다 보면 실제 50의 양의 제곱근의 근삿값인 7.0710을 구할 수 있어요.

단순히 나눗셈과 뺄셈만으로 제곱근 또는 제곱근의 근삿값을 구할 수 있다는 것도 재미있지만 그것도 18C 조선에서 고안해낸 독창적인 방법이라는 것도 재미있네요.

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거듭제곱근의 성질에 대해서 알아볼 거예요. 여기서 공부할 거듭제곱근의 성질은 앞으로 계속 공부할 거듭제곱근의 기본이 되는 성질이에요.

내용이 복잡해서 조금 어려울 수도 있지만, 꼭 이해하고 넘어가야 하는 내용이에요. 한 번 읽어서는 이해가 안될수도 있으니 여러 번 꼼꼼히 읽어보세요.

중3 때 공부했던 제곱근의 성질과 비슷한 점도 있고, 중2 때 공부했던 지수법칙을 확장했다고 생각하면 조금 쉽게 공부할 수 있을 거예요.

거듭제곱근의 성질

n이 2 이상의 정수일 때, 은 n 제곱해서 a가 되는 실수예요. 그러니까 를 n번 곱한 는 a가 되겠죠?

 = a

 = 2죠? 제곱근 안에 있는 제곱인 수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있어요. 그럼 처럼 n 제곱근호 안에 있는 n 제곱인 수도 거듭제곱근 밖으로 꺼낼 수 있겠죠? 어떻게 꺼내는지 알아볼까요?

aⁿ에 n 제곱근호를 씌운 을 구해보죠. a의 n 거듭제곱근과 a에 n 거듭제곱근호을 씌운 것의 차이는 이해하죠? 2의 제곱근은 ±고, 2에 근호를 씌운 건 그냥 예요.

실수인 거듭제곱근에서 a가 양수인지 음수인지, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 실수 a의 n 제곱근을 구했었어요.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수		0	없다.
n이 홀수

저 표를 말로 정리해보면 다음과 같아요.

• 양수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 양수, 음수 2개)
• 음수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 없음
• 양수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 1개)
• 음수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 음수 (n 제곱근은 1개)

여기서는 a가 aⁿ으로 바뀌었어요. 그러니까 a의 부호와 n에 따라 aⁿ의 부호가 어떻게 바뀌는지가 중요하죠.

• a > 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
• a < 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = -a
• a > 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
• a < 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 음수 → 음수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 음수 → < 0이므로  = a

되게 복잡해 보이는데 간단히 말해서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 결과는 원래 수와 같은 부호라는 거예요. 한 가지 덧붙이자면 n이 짝수든 음수든 0은 그냥 0이고요.

• 에서 a = 3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 3이에요.  = 3
• 에서 a = -3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 a 앞에 (-)를 붙여야 해요.  = -(-3) = 3
• 에서 a = 3이고 n = 5로 홀수예요. 원래 수와 부호가 같으니까 결과는 3이에요.  = 3
• 에서 a = -3으로 음수고 n = 5로 홀수예요. 결과는 원래 수와 부호가 같은 음수인 -3이에요.  = -3

n이 짝수일 때 는 무조건 양수예요. a > 0이면  = a라는 거죠. n이 홀수일 때는 원래 부호 그대로니까 a > 0이면  = a예요. 그러니까 a > 0이면 n이 짝수이든 홀수이든 상관없이 은 무조건 양수 a라는 거예요.

• 
• a > 0이면  =  a

거듭제곱의 성질 - 지수법칙 이용

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 기억나죠? 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

중학교 3학년 때는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부했었고요.

이었어요. 제곱근을 곱할 때는 그냥 숫자끼리 곱하고 근호를 씌워주면 됐었죠? 제곱근의 나눗셈도 마찬가지로 숫자끼리 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었어요. 거듭제곱근에서도 같은 성질이 있는지 알아보죠.

a > 0, b > 0, n이 2 이상의 정수일 때를 n 제곱해보죠.

지수법칙과 위에서 했던  = a 두 가지를 이용했어요. a > 0, b > 0이니까  > 0, > 0으로  > 0이에요.

이번에는 ab에 n제곱근을 씌운 를 보죠. a > 0, b > 0이니까 ab > 0이에요. 양수에 n 제곱근호을 씌우면 그 결과는 양수예요. 따라서 는 양수 ab의 양의 n 제곱근이죠.

는 양수고, n 제곱하면 ab가 돼요. ab의 양의 n 제곱근은 이니까 결국 둘은 같은 거죠.

 =

이와 비슷한 방법으로 아래 공식들을 증명할 수 있어요.

a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

(1) 에서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 원래 수의 부호예요.

= 3 + 4 - 5 - (-6)
= 8

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거듭제곱근에 대해서 공부할 거예요. 거듭제곱근은 이름에서 알 수 있듯이 거듭제곱과 관련된 내용이에요. 거듭제곱이 나오면 당연히 지수법칙이 따라오고요. 또, 이름 뒷부분에 제곱근이라는 게 있으니까 제곱근과도 관련된 내용도 나와요. 따라서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미 등 중학교에서 공부했던 내용에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

반대로 말해서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미를 잘 이해하고 있다면 쉽게 공부할 수 있는 내용이에요.

거듭제곱근

거듭제곱과 지수법칙

거듭제곱과 지수법칙에 대해서 간단히 정리해보죠.

거듭제곱은 어떤 수를 반복해서 곱하는 것을 말해요.

2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, …

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑, 오른쪽 위에 잇는 (곱한 횟수)를 지수라고 하죠.

(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

이런 지수에는 특별한 법칙이 성립하고 이를 지수법칙이라고 해요.

m, n이 자연수일 때
a^m × aⁿ = a^{m + n}
(a^m)ⁿ = a^mn

거듭제곱근

제곱근은 뭔가요? 제곱해서 실수 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 하죠?

x² = a ⇔ x =

그럼 세제곱해서 a가 되는 수도 있겠죠? 그런 수를 바로 a의 세제곱근이라고 해요.

y³ = a

2² = (-2)² = 4이므로 4의 제곱근은 ±2죠.
2³ = 8이므로 8의 실수인 세제곱근은 2에요.
2⁴ = (-2)⁴ = 16이므로 16의 실수인 네제곱근은 ±2죠.

이처럼 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …이 있는데, 이를 통틀어서 거듭제곱근이라고 해요.

삼차방정식의 허근 ω 오메가의 성질에서 ω는 x³ = 1의 한 허근이었죠? 여기서 x는 세제곱해서 1이 되는 수니까 x는 1의 세제곱근이에요.

xⁿ = a일 때
x는 a의 n 제곱근
(a는 실수, n은 2 이상의 자연수)

다음을 구하여라.
(1) -1의 세제곱근     (2) 81의 네제곱근

(1) x³ = -1
x³ + 1 = 0
(x + 1)(x² - x + 1) = 0
-1의 세제곱근은 -1,

(2) x⁴ = 81
x⁴ - 81 = 0
(x² + 9)(x² - 9) = 0
(x + 3i)(x - 3i)(x + 3)(x - 3) = 0

81의 네제곱근은 ±3, ±3i

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무리수는 제곱근만 있는 경우도 있고, 제곱근과 유리수가 더해진 형태도 있어요. 도 무리수지만 2 + 도 무리수지요.

여러 형태로 되어 있는 무리수 중에서 서로 같은 무리수를 찾는 방법에 대해서 공부해보죠.

무리수가 서로 같을 조건은 복소수가 같을 조건과 비슷하니까 별로 어렵지는 않아요. 복소수를 실수 부분과 허수 부분으로 나눴던 것처럼 무리수를 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠서 생각하면 돼요.

무리수가 서로 같을 조건

a + b(a, b는 유리수)이라는 수가 있다고 해보죠.

b = 0이면 a만 남는데, a + b = a가 돼서 유리수예요. a = 0이면 a + b = 0이 되고요. 반대로 얘기하면 a + b = 0이 되려면 a = 0, b = 0이 되어야 하죠. b ≠ 0이면 제곱근이 남아서 전체적으로는 무리수가 되고요.

a + b = c + d을 볼까요. 제곱근의 덧셈에 따르면 근호 안의 문자나 숫자가 같은 제곱근끼리만 덧셈, 뺄셈을 할 수 있으니까 이항해서 동류항 정리를 하면 아래처럼 돼요.

a + b = c + d
(a - c) + (b - d) = 0

우변이 0이 되려면 a - c = 0이어야 하고, b - d = 0이 되어야 해요. 따라서 a = c, b = d입니다. 유리수 부분은 유리수 부분끼리 같고, 무리수 부분은 무리수 부분끼리 같아야 해요. 복소수가 같을 조건에서도 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 같아야 했었죠?

a, b, c, d가 유리수이고, , 이 무리수일 때
a + b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
a + b = c + d ⇔ a = c, b = d
a + b = c + d ⇔ a = c, b = d

마지막에는 근호 속의 문자가 같은 것끼리 이항해서 계산해보면 돼요.

제곱근의 덧셈과 뺄셈을 이용해서 증명해봤는데, 항등식의 성질을 이용해도 증명할 수 있어요. 양변이 같다는 건 항등식이니까요. 을 하나의 문자처럼 생각하고 문자의 계수가 같은 것끼리 같으면 양변이 같아요.

x³ + x² - 4x + 8 - 12가 0이 아닌 유리수일 때, 정수 x의 값을 구하여라.

a + b 꼴이 유리수가 되려면 무리수 앞의 숫자 b = 0이어야 해요. 그런데 전체가 0이 아니라고 했으니까 a ≠ 0이 아니어야 하죠. 유리수 부분과 무리수 부분을 따로 인수분해해보죠.

x³ + x² - 4x + 8 - 12
x³ + 8 + (x² - 4x - 12)
= (x + 2)(x² - 2x + 4) + (x - 6)(x + 2)

일단 유리수가 되려면 (x - 6)(x + 2) = 0이어야 하므로 x = -2, 6이에요. 그런데 그냥 유리수가 아니라 0이 아닌 유리수라고 했으니까 (x + 2)(x² - 2x + 4) ≠ 0이어야 해서 x ≠ -2입니다.

따라서 답은 x = 6이네요.

만약에 x³ + 8 + (x² - 4x - 12)가 0이라면 답은 어떻게 바뀔까요? a + b이 0이 되려면 a = 0, b = 0이에요. 따라서 (x - 6)(x + 2) = 0, (x + 2)(x² - 2x + 4) = 0을 만족하는 x = -2가 되어야 하죠.

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숫자에 근호가 있으면 무리수, 식에 근호가 있으면 무리식이에요. 무리수와 무리식에는 숫자나 식에 하나의 근호만 씌워져 있었죠? 이번에는 근호가 두 개 씌워져 있는 식을 공부할 거예요. 근호가 하나만 씌워져 있어도 복잡한데, 두 개가 있으면 얼마나 더 복잡할까요?

근호가 두 개 씌워져 있는 걸 이중근호라고 하는데, 이중근호는 곧바로 계산할 수 없으니 두 개 중 하나를 풀어서 없애야 해요. 이 글에서는 이중근호 중 하나를 풀어내는 것도 공부할 거예요.

이중근호를 포함하고 있는 식들을 어떻게 계산하는지도 알아보죠.

이중근호

는 무리수예요. 는 무리식이고요. 는 뭘까요? 가 근호 안에 들어있어요. 이처럼 근호 안에 근호가 들어있는 식을 이중근호라고 해요.

이중근호의 형태를 잘 보면, 의 꼴이에요. 이때는 두 가지를 이용해서 이중근호를 풉니다.

첫 번째는 인수분해의 완전제곱식인데, a² + 2ab + b² = (a + b)²이에요. 여기서 a, b가 로 바뀌었다고 생각해보세요. 이 되겠죠?

또 a + b ≥ 0일 때, 예요. 여기서도 a, b가 로 바뀌었다고 생각하세요.

이 두 가지를 합치면 아래처럼 됩니다.

곱 앞에 2가 없을 때

이중근호 중에서 의 꼴이 아닌 게 있어요. 곱에 해당하는 근호 앞에 2가 없을 때죠. 이때는 공식을 사용할 수 있도록 2가 오게 해야 해요. 방법은 두 가지예요. 근호 안에 있는 곱에서 2를 꺼내는 게 첫 번째예요.

근호 안의 12 = 2² × 3이니까 2를 꺼낼 수 있어서 꺼냈어요. 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀 수 있게 되었어요. 곱해서 3, 더해서 4가 되는 수는 1과 3이에요.

2를 꺼낼 수 없으면 분자, 분모에 2를 곱해줘서 근호 앞에 2가 생기도록 하는 거예요. 이때는 분모가 니까 계산 마지막에 분모의 유리화까지 해야 해요.

근호 안의 숫자가 3이라서 2를 꺼낼 수가 없어서 분자, 분모에 2를 곱했어요. 그랬더니 분자가  의 꼴이 되어서 이중근호를 풀었습니다. 대신 분모에 가 있어서 유리화까지 해줬고요.

이중근호 풀기 2
근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

다음을 간단히 하여라.

(1)번은 곱 앞에 2가 있으니까 공식을 바로 적용해서 쓸 수 있어요.

(2)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수 있어요. 꺼내서 계산하죠.

(3)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수도 없으니 분자, 분모에 2를 곱해야겠네요. 마지막에는 분모의 유리화도 해야 하고요.

이중근호가 있는 무리식의 계산

이중근호가 있는 식들의 사칙연산은 일단 이중근호를 풀고 계산해요. 이중근호를 풀어도 근호는 남아있죠? 이후에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈, 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 따라 근호 안의 숫자가 같은 것끼리 더하고 빼고, 근호 안의 숫자끼리 곱하고 나눠요.

이중근호가 있는 식을 조건식으로 주고 다른 식의 값을 구하는 문제도 자주 나오는데, 풀이법이 약간 달라요.

1. 이중근호를 푼다
2. 상수항을 이항하여 제곱근만 남긴다
3. 양변을 제곱하여 제곱근을 없앤다

x = 일 때, 2x² + 4x + 5의 값을 구하여라.

일단 이중근호가 있으니까 이중근호를 풀어야겠네요.

x =
x =  - 1

이중근호를 풀고 x를 구했는데, 이걸 식에 바로 대입하면 가 되는데, 이걸 직접 계산하기에는 너무 복잡하니까 계산하지 말고 x를 변형시켜보죠. 유리수인 상수항을 이항해서 우변에 무리수만 남긴 후 양변을 제곱해요.

x + 1 =
(x + 1)² = ()²
x² + 2x + 1 = 2

x² + 2x + 1 = 2를 이용해서 좌변을 2x² + 4x + 5로 변형해보죠.

x² + 2x + 1 = 2
2x² + 4x + 2 = 4    (∵ 양변 × 2)
2x² + 4x + 5 = 7    (∵ 양변 + 3)

x =  - 1까지 구하고 식에 대입하기보다 쉽죠? 차수가 높다든가 항의 개수가 많으면 대입하는 것보다 식을 변형시키는 게 더 쉬운 방법이라는 걸 기억하세요.

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무리수가 서로 같을 조건
[중등수학/중3 수학] - 분모의 유리화
[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 덧셈과 뺄셈
[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 곱셈과 나눗셈

두 실수가 있을 때, 크기를 비교하는 방법이에요.

실수의 크기비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해본 적이 있어요. 여기에서 했던 방법에 하나만 더 추가하는 거예요.

두 수의 부호를 이용해서 두 수의 합과 곱, 다른 수와의 합, 차, 곱의 부호를 알 수 있는 성질을 공부할 거예요. 그리고 둘의 크기비교도 해볼거고요. 너무 당연한 성질이라서 읽어보면 왜 그런지 금방 이해할 수 있을 정도로 매우 쉬운 내용이에요.

실수의 대소관계에 대한 기본 성질

실수가 있다면 이 실수는 양수, 0, 음수 중 하나에요. 세 가지가 아닌 실수는 없어요. 실수는 아래와 같은 성질을 가져요.

a는 a > 0, a = 0, a < 0중 하나
a > 0 ⇔ -a < 0
a > 0, b > 0 ⇔ a + b > 0, ab > 0
a² ≥ 0

두 번째는 부등식의 성질에서 공부했던 거죠? 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다. a를 이항했다고 생각해도 되고요.

세 번째, 양수와 양수를 더했으니 결과는 당연히 양수죠. 곱한 것도 물론 양수고요.

네 번째, 양수와 음수는 제곱하면 양수가 되고, 0은 제곱해도 0이니까 어떤 실수든 제곱하면 0보다 크거나 같아요.

이번에는 세 실수에 관한 성질을 알아보죠.

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b, c > 0 ⇔ ac > bc
a > b, c < 0 ⇔ ac < bc

두 번째, 세 번째, 네 번째는 부등식의 성질을 그대로 옮겨놓은 거네요.

a - b < 0, ab < 0일 때, a, b의 부호를 구하여라.

a - b < 0에서 a < b에요. ab < 0이라는 말은 하나는 양수고 하나는 음수라는 얘기죠.

따라서 크기가 큰 b > 0, 크기가 작은 a < 0이에요.

실수의 대소비교

위 성질을 이용해서 실제로 두 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠.

실수의 대소비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해봤어요. 두 수의 차를 이용했었죠?

a - b > 0 ⇔ a > b
a - b = 0 ⇔ a = b
a - b < 0 ⇔ a < b

한 수에서 다른 수를 빼서, 결과의 부호에 따라 두 수의 크기를 비교할 수 있었어요.

제곱근이나 절댓값처럼 양수인 경우에 제곱의 차를 이용해서 크기를 비교해요. 한 개라도 음수면 사용할 수 없어요.

a > 0, b > 0일 때
a² - b² > 0 ⇔ a > b
a² - b² = 0 ⇔ a = b
a² - b² < 0 ⇔ a < b

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 대소관계에서 제곱근 밖의 숫자를 제곱해서 제곱근 안으로 넣어서 크기를 비교했죠? 이번에는 제곱근 안으로 넣지 않고, 그냥 전체를 제곱하는 거예요.

다음 두 수의 크기를 비교하여라.
(1) 4, 2

제곱근이 있긴 한데, 둘 다 양수죠? 이럴 때는 제곱을 구해서 뺀 결과의 부호로 크기 비교를 해요.

4² - (2)²
= 16 - 12
= 4 > 0

제곱의 차가 양수이므로 앞에 있는 4가 더 커요. 4 > 2

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제곱근을 표시할 때 근호를 써서 표시하는데, 이 값은 우리가 아는 십진법의 숫자가 아니라서 사용하는데 불편해요. 그래서 일반적으로 우리가 아는 소수 모양의 숫자로 구하고 싶을 때가 있어요. 그런데 제곱근 중에는 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수가 있어서 딱 떨어지는 소수로 쓰지 못할 때가 많아서 정확한 값이 아니라 대략적인 값으로 표시해요. 이 값을 제곱근의 값이라고 합니다.

이 글에서는 제곱근의 값을 미리 구해서 정리해 놓은 제곱근표라는 게 있는데, 이걸 보는 방법과 이 표를 이용해서 다른 제곱근의 값을 구하는 방법을 알아볼거예요.

제곱근의 근삿값

실수의 대소관계할 때, 몇 가지 제곱근은 그 값을 알아두면 좋다고 했어요. 제일 많이 사용하는 것 3개는 외워두세요.

이 세 가지 외에 다른 제곱근의 값을 어떻게 구하는 지 알아보죠.

제곱근표에서 근삿값을 읽는 법

여러분들 가지고 있는 교과서 제일 뒤를 보세요. 제곱근표는 게 나와요. 거기에 보면 숫자들이 엄청나게 많이 쓰여 있지요? 바로 제곱근의 값을 미리 구해서 표로 만들어놓은 거예요.

그럼 표에 나오는 숫자들을 외워야 할까요? 그거 다 외우려면 머리가 좋아야겠죠? 그런데 그거 다 외우는 사람은 머리가 좋은 게 아니라 머리가 아주 멍청한 사람이에요. 외울 필요가 없는 걸 외우는 거니까요.

저 표를 보는 방법만 알고 있으면 돼요. 필요한 값이 있으면 표에서 찾아서 쓰면 되죠.

제곱근표의 가로줄에는 0 ~ 9까지, 세로줄에는 1.0 ~ 99의 숫자가 있고, 그 안에는 엄청나게 많은 소수들이 쓰여 있어요.

예를 들어, 의 값을 제곱근표에서 구해보죠. 5.73에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리인 5.7은 세로에서, 소수점 아래 두 번째 자리인 3은 가로에서 찾아서 둘이 만나는 곳의 숫자를 읽는 거예요. 2.394네요

위 그림에는 없지만 같은 건 세로줄 88, 가로줄 7이 만나는 곳의 숫자가 그 값이에요.

위 제곱근표를 보고 다음을 구하여라.

(1) 5.62에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리는 5,6이고 소수점 아래 두 번째 자리는 2이므로 표에서 둘이 만나는 곳의 숫자는 2.371

(2) 5……5 = 5.50에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리는 5.5고, 소수점 아래 두 번째 자리는 0이므로 표에서 둘이 만나는 곳의 숫자는 2.345

제곱근표에 없는 제곱근의 값

제곱근표의 가로축에는 0 ~ 9까지, 세로축에는 1.0 ~ 99의 숫자가 쓰여 있어요. 그러니까 제곱근표로 제곱근을 구할 수 있는 수는 1.00 ~ 99.9까지 에요. 그러면 이 범위 바깥에 있는 숫자의 제곱근의 값은 어떻게 구할까요?

제곱근의 성질, 제곱수의 근호풀기를 이용해서 구해요. 제곱근 안의 숫자를 제곱근표에 나와 있는 숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 표시해서, 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내는 거예요. 특히, 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내야 하니까 10의 지수가 짝수여야 해요.

의 값을 구해보죠. 제곱근표에는 120.00은 없으니까 제곱근표를 읽어서는 구할 수 없어요. 대신 120의 숫자를 일의 자리와 소수점 이하 두 자리를 가진 수로 바꿔요.
120 = 1.20  × 10²

에서 1.20의 값은 제곱근표에 나와 있으니까 거기에 10을 곱해서 120의 제곱근의 값을 구할 수 있어요.

을 해볼까요? 이 되겠네요.

숫자가 99.0보다 크면 10의 거듭제곱을, 1보다 작으면 의 거듭제곱을 곱해요.

일 때, 다음을 구하여라.

근호 안의 숫자를 소수와 10의 거듭제곱으로 바꿔서 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내야 해요.

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제곱근의 곱셈과 나눗셈에 이어 제곱근의 사칙연산 두 번째 제곱근의 덧셈과 뺄셈이에요.

일차방정식에서 공부했던 동류항이라는 거 기억하죠? 제곱근의 덧셈과 뺄셈의 기본적인 원리는 동류항의 계산과 비슷해요. 이걸 살짝 응용하면 돼요. 동류항 계산은 할 수 있잖아요.

덧셈, 뺄셈만 바로 하면 참 쉬운데, 앞에서 봤던 분모의 유리화, 제곱근 풀기 등의 과정이 복잡하게 들어있어요. 이런 과정들을 먼저 거친 이후에야 덧셈, 뺄셈할 수 있도록 식의 모양이 바뀌어요. 그러니까 이들도 소홀히 해서는 안 돼요.

또, 제곱근에서도 분배법칙이 성립하는지도 알아보죠.

제곱근의 덧셈과 뺄셈

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서는 근호 안의 숫자끼리 곱하거나 나누면 됐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 숫자끼리 더하거나 빼면 될까요? 가 되면 좋겠죠? 1 <  = 1.414로 가 1보다 커요. 를 2개 더하면 2보다 크니까 위 계산법은 틀렸어요. 단순히 숫자만 더해서는 결과를 알 수 없다는 거죠.

똑같은 수 2개를 더하니까 곱셈으로 바꿔서 계산할 수 있죠?

다른 걸 한번 해보죠.

곱셈을 덧셈으로 바꾼 다음에, 덧셈을 곱셈으로 바꿨어요. 처음과 끝만 보면 인데, 앞의 숫자만 더해주고, 제곱근 부분은 바뀐 게 없어요.

동류항의 덧셈과 뺄셈에서 문자와 차수가 같은 항을 동류항이라고 하고, 이 동류항끼리만 덧셈, 뺄셈할 수 있다고 했어요. 이와 비슷하게 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 하나의 문자로 취급해버리세요.

제곱근을 문자 취급하고, 제곱근 앞의 정수를 계수 취급하면 위 그림처럼 간단히 계산할 수 있어요.

은 어떻게 계산할까요? 제곱근을 문자 취급하면, 서로 다른 제곱근이므로 2a + 3b라는 식으로 생각할 수 있겠죠? 이 식에서는 문자가 다르니까 더는 계산할 수가 없지요. 제곱근의 계산에서도 제곱근이 다르면 계산을 할 수가 없어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근 부분이 같은 항끼리만 덧셈, 뺄셈할 수 있어요. 는 더는 계산할 수 없어요.

다음을 간단히 하여라.

제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 문자 취급해서 마치 동류항 계산하는 것처럼 계산하면 됩니다.

(2)에서는 제곱근 부분이 같은 항만 덧셈, 뺄셈을 할 수 있어요.

(3)은 얼핏 보면 근호 안의 숫자가 다르니까 계산할 수 없는 것처럼 보이죠. 그런데 근호 안에 제곱인 수가 있으면 제곱근의 성질을 이용해서 제곱인 수를 꺼낼 수 있어요. 제곱인 수를 꺼낸 다음에 근호 안에 남는 숫자를 비교해야 해요.

(4)는 뒤에 있는 항의 분모에 제곱근이 있네요. 이때는 분모의 유리화를 한 다음에 계산합니다.

제곱근의 분배법칙

제곱근에서도 분배법칙이 성립해요. 분배법칙은 어디에서나 다 성립합니다.

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제곱근의 나눗셈을 하다보면 필연적으로 나오는 게 분수에요. 분수에서 분모에 제곱근이 들어있을 때 제곱근을 처리하는 방법을 분모의 유리화라고 하고 이 글에서는 그 방법을 알아볼 거예요.

분모의 유리화는 분모에 제곱근이 하나만 있을 때와 두 개의 제곱근의 합/차로 되어 있을 때의 두 가지가 있어요. 두 가지에서 사용하는 방법을 다 알아야합니다.

분모의 유리화는 분수꼴의 제곱근 계산에서 필수 과정으로 유리수의 덧셈과 뺄셈에서 분모를 통분하고 약분하는 것처럼 아주 기본적인 과정이에요. 이걸 못하면 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 못한다고 봐야죠. 꼭 이해하고 넘어가야 해요.

분모의 유리화

분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모를 유리수로 바꾸는 걸 분모의 유리화라고 해요. 일반적인 분수를 더하거나 뺄 때 분모를 통분해서 계산하죠? 그런데 분모가 무리수라면 통분하기가 어려워요. 그래서 분모를 유리수로 바꾸고, 그 다음에 통분해서 계산을 하는 거죠.

분모에 근호를 포함한 분수는 무리수에요. 무리수인 분수에서 분모가 유리화됐다고 해서 분수가 유리수가 되는 건 아니에요. 분수는 그대로 무리수고, 분모만 유리수가 되는 거예요.

분모의 유리화에서 분자는 아무런 영향을 미치지 않아요. 분자가 유리수든 무리수든 1이든 아니든 상관없어요. 전혀 고려하지 마세요.

이라는 분수가 있다고 해보죠. 분모가 근호를 포함한 무리수에요. 제곱근을 유리수로 바꾸는 가장 쉬운 작업은 제곱하는 거예요. 이 때도 제곱을 합니다.  전체를 제곱해서 하면 안돼요. 이니까요.

분모를 제곱하는 거예요. 통분할 때, 분모에 어떤 수를 곱해주면 같은 수를 분자에도 곱해주죠? 분모는 제곱, 분모에 곱해지는 수를 분자에도 곱해주는 거예요.

분자, 분모에 분모인 를 똑같이 곱해주고 계산을 했더니 분모가 유리수 2가 되었어요. 이게 분모의 유리화에요.

을 한 번 볼까요? 분모가 제곱근이므로 분자, 분모에 을 곱해주면 되겠죠?

이게 끝이 아니에요. 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 근호안에 제곱인 수가 있으면 근호 앞으로 꺼내는 걸 했어요. 요. 이렇게 2를 꺼내놓으면 분모 8과 약분이 되죠? 약분까지 끝내야 계산이 끝나는 거에요.

분자의 근호 안에 제곱인 수가 있어서 꺼냈는데, 이걸 분모에 있을 때 미리 꺼내면 어떻게 되는 지 해보죠.

분모에 정수와 제곱근이 곱해져있을 때는 제곱근만 곱해주면 돼요. 정수는 이미 유리수니까 유리화할 필요가 없잖아요. 계산이 조금 더 간단해 졌죠? 순서를 잘 기억하세요.

제일 마지막 과정에서 약분을 했는데, 두 번째 줄에 보면 분자의 3과 분모의 6을 약분할 수 있어요. 약분은 계산 중에 아무데서나 해도 상관없어요.

분모의 유리화: 분모에 근호를 포함한 수가 들어있을 때, 분자, 분모에 같은 수를 곱해서 분모를 유리수로 만드는 것
분모가 제곱근: 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱
분모가 정수와 제곱근의 곱: 분모의 제곱근 부분을 분자, 분모에 곱

분모가 무리수의 합과 차로 되어있을 때

분모가 두 무리수의 합과 차로 되어 있을 때는 방법이 조금 달라져요.

을 해보죠. 위에서는 분모를 유리화하기 위해서 분모를 제곱한다고 했어요. 분모만 따로 떼서 제곱을 해보죠. 제곱이니까 곱셈공식 - 완전제곱식을 이용해야 해요.

분모의 유리화는 분모의 제곱근을 없애려고 하는 건데, 없어지지 않았죠? 그래서 이 때는 분모를 제곱해도 소용이 없다는 걸 알 수 있어요. 완전제곱식이 아니라 곱셈공식의 합차공식을 이용해볼까요?

합차공식을 이용했더니 분모가 유리수가 되었죠? 합차공식은 숫자는 같지만 둘 사이의 부호만 다른 걸 곱하는 공식이에요.

정리해보죠. 분모에서 제곱근은 그대로 두고, 부호만 반대인 수를 분자, 분모에 곱해요.

다음 분수의 분모를 유리화하여라.

(1)은 분모에 제곱근이 하나만 있네요. 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱해서 유리화를 하죠.

(2)도 분모에 제곱근 하나만 있으니 이걸 분자, 분모에 곱해주면 되겠네요. 

마지막에 3이 약분이 되네요. 분수니까 약분까지 하셔야 해요.

(3) 분모의 근호 안에 제곱인 수가 들어있으니까 이걸 근호 앞으로 꺼내고, 근호 안의 숫자만 분자, 분모에 곱해줘요. 

두 번째에서 세 번째로 갈 때 근호 앞의 2와 분자의 2를 약분했어요. 약분을 미리하면 계산이 편리해져요.

(4) 분모에 근호를 포함한 수가 2개 있어요. 이럴 때는 부호를 반대로 해서 분자, 분모에 곱해야 하죠. 

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제곱근의 사칙연산 첫번째에요. 사칙연산에서는 보통 덧셈과 뺄셈을 먼저하는데, 여기서는 곱셈과 나눗셈을 먼저할께요. 왜냐고요? 더 쉬우니까요.

제곱근의 곱셈과 나눗셈은 제곱과 제곱근의 관계를 잘 알고 있다면 이해하기 쉬워요. 계산은 더 쉽고요. 규칙이라고 하기에도 좀 민망하죠.

또, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있어요. 따라서 곱셈만 할 줄 알면 나눗셈은 그냥 덤으로 할 수 있게돼요.

블로그에 쓰려다보니 기호가 너무 많아져서 복잡하네요. 예제는 생략하도록 할께요. 교과서의 예제 문제쯤은 그냥 간단히 풀 수 있을 거예요.

제곱근의 곱셈

제곱근끼리의 곱셈

은 얼마일까요? 숫자만 곱해서 이면 좋겠지요? 실제로 얼마인지 해볼까요?

을 제곱해보죠.

이죠. 제곱근의 뜻에 따르면 제곱과 제곱근은 서로 반대의 의미이므로 은 2 × 3의 양의 제곱근이에요.

그런데 2 × 3 = 6으로 6의 양의 제곱근은 이에요. 결국  = 이 되는 거죠.

제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근 기호를 씌워주면 돼요.

정수와 제곱근의 곱셈

제곱근과 정수의 곱은 더 쉬워요.곱셈기호는 생략할 수 있어요. 그래서 그냥 생략해서 쓰면 돼요.  2 × =

이번에는 풀어서 계산해보죠.

이 되는 걸 알 수 있죠? 즉, 근호 앞의 정수는 제곱해서 근호안에 넣고, 원래 근호 안에 있던 숫자와 곱해주면 되는 거지요. 반대로 근호 안에 제곱인 수가 곱해져 있다면 근호 앞으로 빼낼 수 있어요.

제곱근의 곱셈

이번에는 조금 더 복잡한 거에요.를 해보죠.

근호 앞의 정수는 정수끼리, 제곱근은 제곱근끼리 곱하는 걸 알 수 있죠?

위 세 가지를 정리해보죠.

제곱근의 나눗셈

기본적으로 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있으니까 곱셈에서 했던 세 가지 성질이 똑같이 적용됩니다.

를 해보죠. 마찬가지로 제곱을 합니다. 

제곱과 제곱근의 관계에 따라서 의 양의 제곱근으로 가 돼요. 제곱근의 나눗셈은 근호 안의 숫자끼리 나누고 근호를 씌워주면 되는 거죠.

근호 앞의 분수는 제곱을 해서 근호 안에 넣고, 반대로 근호 안의 분수의 제곱을 근호 밖으로 뺄 수도 있죠.

근호 앞에 정수가 있다면 정수끼리 나누고, 제곱근끼리 나눌 수 있어요. 

실수라는 수를 알아봈으니까 두 실수중에 어떤 것이 더 큰지 알수도 있어야겠죠? 기본적으로 실수 = 유리수 + 무리수이므로 실수의 대소관계 = 유리수의 대소관계 + 무리수의 대소관계에요. 여기까지는 알고있죠?

거기에 새로운 걸 하나 추가할꺼에요. 새로운 방법이긴 하지만 그게 별로 어렵지는 않아요. 아주 간단히 뺄셈을 하면 되거든요.

어떻게 하면 뺄셈으로 실수의 대소관계를 알 수 있는 지와 뺄셈으로 안될 때는 또 어떤 방법을 이용하는지도 공부해보죠. 참고로 뺄셈으로 할 수는 있는데, 현재 단계에서는 뺄셈 자체가 안되는 경우가 있어서 다른 방법을 사용하는 거에요.

실수의 대소관계

실수의 대소관계는 유리수의 대소관계 + 제곱근의 대소관계에요.

실수의 대소관계에서 제일 먼저 해야할 일은 부호를 비교하는 거예요. 음수 < 0 < 양수의 순서죠. 숫자를 볼 필요도 없이 부호만 가지고도 대소를 알 수 있어요.

만약에 부호가 양수라면 숫자가 큰 게 커요. 무리수라면 근호안의 숫자가 큰 게 크죠. 부호가 모두 음수라면 숫자가 작은 게 크죠. 무리수는 근호안의 숫자가 작은 음수가 더 커요.

이게 우리가 알고 있는 수의 크기 비교죠.

이번에는 다른 방식으로 접근해 볼꺼에요.

a, b가 실수일 때
a - b > 0 이면 a > b
a - b = 0 이면 a = b
a - b < 0 이면 a < b

간단한 내용이에요. a - b > 0 은 부등호가 있는 부등식이잖아요. -b를 이항하면 a > b가 되죠?  반대로 a > b에서 b를 좌변으로 이항하며 a - b > 0이 되고요. 둘이 왜 같은 뜻인지 알겠죠?

두 수의 차를 이용해서 실수의 대소관계를 알아볼 수 있어요. 어떤 두 수가 있다면 한 수에서 다른 수를 빼서 결과의 부호를 보는 거죠. 결과가 양수이면 앞의 수가 크고, 0이면 둘이 같고, 음수이면 뒤의 수가 더 커요.

5와 3이 있어요. 5 - 3 > 0이므로 앞에 있는 5가 뒤에 있는 3보다 큰 걸 알 수 있지요. 5와 8에서는 5 - 8 < 0이므로 뒤에 있는 8이 더 크죠.

제곱근의 근삿값을 이용하는 방법도 있어요. 다른 근삿값은 상관없지만 가장 많이 사용하는 아래 세 가지 경우는 외워두는 게 편리해요. 

1 + 와 의 크기를 비교해볼까요? 차를 이용하면 (1 + ) - 이 되는데 이거는 0보다 큰 지 작은 지 알 수가 없어요. 이 때 근삿값을 이용하세요.
1 +  ≒ 1 + 1.414 = 2. 414
 ≒ 2.236
따라서 1 + 가 더 크네요.

한 실수에서 다른 실수를 뺏을 때, 실수의 유리수 부분이 없어지거나 무리수 부분(제곱근)이 없어질 때는 차를 이용하면 좋고, 그렇지 않은 경우에는 근삿값을 대입해서 대소관계를 알아보는 게 좋아요. 제곱근의 뺄셈은 나중에 공부할 텐데, 그 때까지 덮어두죠.

실수의 대소관계
실수의 부호를 보고 판단
두 실수의 차의 부호를 이용
제곱근의 근삿값을 대입

다음 괄호 안에 알맞는 부등호를 넣어라.
(1) 3 - (  )   - 3
(2) 2 +  (  )  + 2
(3) 5 (  ) 3 +

실수의 대소관계를 파악할 때 첫번째는 두 실수의 부호를 먼저 살펴보는 거에요. 두 번째는 한 실수에서 다른 실수를 빼서 그 결과의 부호를 보고 실수의 대소관계를 알 수 있어요. 결과가 양수이면 앞에 게 큰 거, 결과가 음수이면 뒤에 것이 큰 거에요. 세번째는 근삿값을 직접 대입해서 그 결과를 보고 알 수도 있고요.

(1)번은 두 실수를 빼도 유리수 부분이 없어지지않으니까 대신 근삿값을 대입해보죠.

3 -  ≒ 3 - 1.732 = 1.268
 - 3 ≒ 1.732 - 3 = -1.268

3 -  >  - 3

(2)번은 차를 이용해보죠.

2 + - ( + 2)
= 2 +  -  - 2
=  -
≒ 1.732 - 1.414
= 0.318 > 0

따라서 2 + >  + 2

(3)번도 빼보죠.

5 - (3 + )
= 5 - 3 -
= 2 -
≒ 2 - 1.414
= 0.586 > 0

따라서 5 > 3 +

제곱근의 뜻과 표현, 성질을 알아봤어요.

이번 글에서는 제곱근의 크기를 비교하는 걸 해볼꺼에요. 제곱근끼리의 크기비교도 해볼꺼고요. 제곱근과 제곱근이 아닌 수와의 크기 비교도 해볼꺼에요.

제곱근도 하나의 수이므로 대소비교를 하는데, 기존에 해봤던 정수의 대소관계나 유리수의 대소관계의 성질과 별로 다르지 않아요. 정수와 유리수는 음수, 0, 양수의 세 수로 나눌 수 있었어요. 음수는 숫자가 작을수록 크고, 양수는 숫자가 클수록 크죠? 이것만 기억하고 있으면 돼요.

제곱근의 대소관계

넓이가 3cm², 5cm², 7cm²인 정사각형이 세 개가 있어요. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱해서 구하니까 정사각형 한 변의 길이는 각각 에요.

정사각형 한 변의 길이의 순서는 넓이의 순서와 같죠? 따라서 작은 것부터 순서대로 쓰면 에요.

정수의 대소관계나 유리수의 대소관계에서 수직선에서 오른쪽에 있을수록 크기가 크다고 했죠? 제곱근도 마찬가지로 수직선으로 나타냈을 때 오른쪽에 있을수록 크기가 더 커요. 음수, 0, 양수의 순서죠.

정수, 유리수에서 대소비교할 때 양수는 숫자가 크면 크고, 음수는 숫자가 작아야 크잖아요. 제곱근의 대소관계에서는 그냥 숫자가 아니라 근호 안의 숫자의 크기를 가지고 얘기해요.

제곱근이 양수일 때는 근호 안의 숫자가 클수록 크고
제곱근이 음수일 때는 근호 안의 숫자가 작을수록 커요.

제곱근과 유리수의 대소관계

제곱근끼리의 대소비교는 근호 밖의 부호(음수, 0, 양수)와 근호안의 숫자 크기를 비교하면 알 수 있어요. 그러면 제곱근과 유리수의 크기 비교는 어떻게 할까요? 유리수는 근호가 없어서 바로 비교할 수가 없잖아요.

제곱근의 근호를 없앨 수 있으면 근호를 없애서 유리수와 비교하면 되는데, 제곱근을 없애고싶다고 없앨 수 있는 건 아니에요.

그래서 반대로 유리수를 근호안에 넣어서 제곱근으로 모양을 바꾼 다음 비교를 해요. 근호 밖의 유리수를 제곱해서 근호 안으로 넣는 거죠. 이렇게 하면 모두 제곱근이 되고, 위에서 했던 것처럼 근호 안의 숫자의 크기를 비교해서 제곱근과 유리수의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 크기가 작은 순서대로 나열하여라.

몇 개는 정수로 되어있네요. 정수로 되어있는 건 근호 안에 넣어줘야 해요. 근호 안에 넣어줄 때는 숫자를 제곱해서 넣어야 하죠.

정수든 유리수든 제곱근이든 대소비교를 할 때 가장 먼저 해야할 건 부호에 따라서 크기를 나누는 거예요. 음수, 0, 양수로 나눠볼까요?

음수는 근호 안의 숫자가 큰 게 작아요. 양수는 근호 안의 숫자가 큰 게 크지요. 16 < 5, ½ < 3 < 4 이므로

순서대로 배열했으니까 처음 문제에서 줬던 숫자로 다시 써보면

을 만족하는 자연수 x를 모두 구하여라.

2, 3이 근호 밖에 있으니까 근호 안에 넣어서 크기를 비교해야 해요.

따라서 x가 될 수 있는 자연수는 5, 6, 7, 8 네 개네요.

이런 문제를 조금 더 쉽게 풀기 위해서는 2, 3을 근호 안에 넣는 것도 좋지만 각 항을 모두 제곱해버리는 게 좋아요. 각 항을 제곱하면 4 < x < 9가 바로 나오지요?

제곱근의 뜻과 표현에서 새로운 용어와 새로운 기호를 공부했어요. 의미가 헷갈리니까 잘 이해할 수 있도록 하시고요.

이 글에서는 제곱근의 성질과 근호를 없애는 방법에 대해서 공부할 거예요. 제곱근의 성질을 알아야만 제곱근 기호(근호)를 없앨 수 있어요. 그러니까 처음부터 차분히 잘 따라오세요.

무작정 근호를 없애려고 하면 안 돼요. 원리와 방법이 어렵지 않으니까 잘 읽어보면 쉽게 계산할 수 있어요. 근호를 없애는 건 나중에 제곱근의 사칙연산할 때 아주 중요하니까 연습을 많이 해두세요.

제곱근의 성질

제곱근과 제곱은 서로 반대의 의미를 지녀요.

어떤 수의 제곱근을 제곱하면 원래 수가 돼요. 4의 제곱근은 ±2인데 이걸 제곱하면 2² = (-2)² = 4가 되잖아요.

이때 어떤 수는 제곱근을 구할 수 있는 수니까 양수거나 0이에요. 제곱근의 뜻과 표현에서 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 했었죠?

반대의 경우를 생각해보죠.

어떤 양수를 제곱해서 근호를 씌우면 원래 수가 돼요. 2² = 4에 근호를 씌우면 잖아요.

어떤 음수를 제곱해도 같은지 해볼까요? (-2)를 제곱해서 근호를 씌워보면 (-2)² = 4고, 에요. 원래 수와 다르네요.

근호를 씌우는 건 그냥 제곱근을 구하는 게 아니라 양의 제곱근을 구하는 거예요. 그러니까 결과는 무조건 양수로 나올 수밖에 없어요. 음수를 제곱해서 양의 제곱근을 구하니까 원래 수와 부호가 다른 건 당연하지요.

근호를 씌운다 = 양의 제곱근을 구한다.
근호를 씌운다 ≠ 제곱근을 구한다

정리해보면 어떤 수를 제곱해서 근호를 씌웠을 때, 어떤 수가 양수면 원래 수 그대로, 어떤 수가 음수면 원래 수에서 부호만 바뀐 수가 나와요.

근호 풀기

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때를 보죠. 위 제곱근의 성질을 이용하면 근호와 제곱을 지울 수 있어요. 마치 약분하는 것처럼요.

일단 제곱과 근호를 지우고 나면 숫자는 그대로 쓰니까 상관없어요. 문제는 부호에요. 부호는 위의 성질을 이용해서 구하는데 이게 정말 헷갈리거든요.

하나만 기억하세요. 근호 앞의 부호와 같게 만들어 주면 돼요. 근호 앞에 부호가 (+) 또는 생략이면 근호를 없앤 결과도 (+), 근호 앞의 부호가 (-)면 근호를 없앤 결과도 (-)에요.

위에서 a > 0일 때 에서 근호 앞의 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 그래서 근호를 없앤 결과도 양수인 a가 되는 거고요.

b < 0일 때 의 근호 앞에도 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 근호를 없앤 결과도 양수가 되어야 하는데, b < 0이니까 -b가 되는 거예요.

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때 근호 풀기 → 숫자는 그대로, 부호는 근호 앞의 부호

다음을 간단히 하여라.

근호 안에 제곱인 수가 있을 때 일단 숫자는 그대로 쓰고, 근호 앞의 부호가 양수이면 결과도 양수, 근호 앞의 부호가 음수이면 결과도 음수에요.

(1) 근호 앞의 부호가 양수네요. 25 = 5²이므로 

(2) 근호 앞의 부호가 음수네요.

(3) 근호 앞의 부호가 양수예요.

(4) 근호 앞의 부호가 음수예요.

다음을 간단히 하여라.

각 항을 하나씩 따라 떼서 생각하면 쉬워요.

(1)에서는 두 항 모두 근호 앞의 부호가 양수네요.

(2)에서는 근호 앞의 부호가 하나는 양수, 하나는 음수네요.

3학년 첫단원이네요. 첫시간부터 정말 중요한 걸 배울거에요. 제곱근이라는 용어와 이를 나타내는 새로운 기호죠. 이 기호는 1학기 내내 사용할 거에요.

제곱근이라는 용어는 언뜻 이해한 것 같기도 한데, 막상 문제를 풀려고 하면 이해가 안되는 참 이상한 내용이에요. 숫자가 앞에 있는 지 제곱근이라는 단어가 앞에 있는 지에 따라서 뜻이 달라지는데, 이게 참 헷갈리거든요.

언제나 그렇듯 첫시간에 공부하는 개념 정리가 잘 되어있어야 다음 내용으로 넘어갈 수 있으니까 정독해서 잘 이해하셔야 해요.

제곱근의 뜻

1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25.....에요.
(-1)² = 1, (-2)² = 4, (-3)² = 9, (-4)² = 16, (-5)² = 25고요.

이걸 거듭제곱이라고 하죠? 이번에는 거꾸로 생각해볼까요? 어떤 수 a를 제곱했더니 9가 됐어요. 그럼 a는 얼마일까요? 위에서 보면 a = 3 또는 a = -3이에요. 제곱해서 16이 되는 수는 4, -4고요.

이처럼 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 해요. 제곱해서 9가 되는 수는 9의 제곱근, 제곱해서 16이 되는 수는 16의 제곱근이요.

위의 경우에서 보면 하나의 수에 대해서 절댓값은 같고 부호가 다른 제곱근이 2개씩 있어요. 양수인 제곱근을 양의 제곱근, 음수인 제곱근을 음의 제곱근이라고 해요. 3은 9의 양의 제곱근, -3은 9의 음의 제곱근이 되는 거지요. 4는 16의 양의 제곱근이고, -4는 16의 음의 제곱근이에요.

0은 제곱근이 몇 개일까요? 제곱해서 0이 되는 수는 0밖에 없어요. 그런데 0은 부호가 없지요. 따라서 0의 제곱근은 그냥 0이에요. 이 때는 다른 경우와 달리 제곱근이 하나밖에 없어요.

이번에는 제곱해서 -9가 되는 수를 찾아볼까요? 제곱해서 -9가 되는 수가 뭐가 있나요? -3이면 될까요? -3을 제곱하면 9가 되는데요. 어떤 수를 제곱하면 0이거나 양수가 되지 음수가 될 수는 없어요. 따라서 음수의 제곱근은 생각하지 마세요.

제곱근: 제곱의 반대
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수, a ≥ 0
a > 0 이면 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개. 양의 제곱근과 음의 제곱근은 절댓값 같고 부호 반대.
a = 0 이면 제곱근은 0 하나
a < 0 이면 생각하지 않음.

다음 수의 제곱근을 구하여라.
(1) 25      (2)  (-3)²
(3) 0.01    (4)

제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있는데, 이 둘은 절댓값이 같고 부호만 반대에요.

(1) 25의 제곱근은 5, -5

(2) 거듭제곱이 있는데, 이럴 때는 계산을 모두 한 결과에서 제곱근을 구해요. (-3)² = 9 이므로 9의 제곱근은 3, -3

(3) 0.01의 제곱근은 0.1, -0.1

(4) 분수도 다르지 않아요. 의 제곱근은

제곱근의 표현

수학은 말을 기호로 나타내야 해요. 따라서 제곱근도 기호로 나타내죠. 제곱근을 나타낼 때는 근호()를 사용하고 제곱근 또는 루트라고 읽어요.

근호 안에 들어가는 a는 제곱이 된 수니까 무조건 0보다 크거나 같아야 해요.

제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근이 있잖아요. 그래서 양의 제곱근 앞에는 +를, 음의 제곱근 앞에는 -를 붙이는데, 양수에서 +는 생략하죠? 그래서 양의 제곱근 앞의 +로 생략해요. 결국 음의 제곱근에만 -만 붙여요.

a의 양의 제곱근 =
a의 음의 제곱근 =

a의 양의 제곱근과 음의 제곱근을 한번에 라고 쓰기도 하는데, "플러스 마이너스 루트 a"라고 읽어요.

어떤 수의 제곱근을 나타낼 때는 루트를 씌워주는데, 부호도 꼭 함께 써줘야 해요. 9의 제곱근을 나타내라고 하면 로만 쓰기 쉬운데, 그러면 안돼요. 9 제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있으니까 처럼 부호와 함께 써줘야 합니다.

부호없이 그냥 쓴 는 제곱근 a(루트 a)에요. a의 양의 제곱근도 같은 모양이죠? 문제에 제곱근 a와 a의 양의 제곱근이라는 표현이 나오는데, 결국 같은 거니까 헷갈리지 마세요.

 = 제곱근 a = a의 양의 제곱근

이 둘보다 더 헷갈리는 게 바로 제곱근 a와 a의 제곱근이라는 표현인데 잘 구별하세요.
제곱근 a: a에 루트 기호를 씌운 것 = = a의 양의 제곱근
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수 = = a의 양의 제곱근과 음의 제곱근

다음을 구하여라.
(1) 5의 제곱근
(2) 제곱근 5

a의 제곱근과 제곱근 a의 차이를 제대로 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제에요.

(1) 5의 제곱근은 제곱해서 5가 되는 수로 양수와 음수 2개가 있어요.

(2) 제곱근 5는 5에 제곱근 기호를 씌운 것으로 5의 양의 제곱근과 같지요.

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이차방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있어요. 앞에서는 인수분해를 이용해서 이차방정식을 풀었는데, 이번에는 다른 방법 이용해서 풀어보죠.

바로 제곱근을 이용하는 방법인데요.제곱근이 뭐죠?

위처럼 되어 있을 때 x를 a의 제곱근이라고 하죠.

제곱근을 구하는 것처럼 이차방정식에서도 좌변을 제곱, 우변을 상수항으로 모양을 바꿔서 미지수의 값을 구할 수 있어요.

a(x + p)² = k    (a, k는 상수, k ≠ 0)

x² - 4 = 0

상수인 4를 우변으로 이항해보세요. x² = 4가 돼요. 제곱근을 구할 때 많이 봤던 형태네요. x가 얼마인가요? x = ±2입니다.

제곱근의 성질을 이용해서 이차방정식을 풀었어요. 어렵지 않죠?

(x + 3)² - 16 = 0

마찬가지로 상수인 16를 우변으로 이항해보세요. (x + 3)² = 16가 됐어요.

제곱근의 성질을 이용하면 x + 3 = ± 4가 돼요. 식이 두 개가 나오네요. x + 3 = 4, x + 3 = -4라는 식에서 각각 x의 값을 구할 수 있어요.

3(2 x + 5)² - 75 = 0

이번에는 제곱된 식 앞에 3이 곱해져 있군요. 상수인 75를 이항한 후 양변을 3으로 나눠주면 돼요.

3(2x + 5)² = 75
(2x + 5)² = 25
2x + 5 = ±5

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