수학방

정비례

한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.

x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요

$$\frac{y}{x}\quad=\quad\frac{1000}{1}\quad=\quad\frac{2000}{2}\quad=\quad\frac{3000}{3}\quad =\quad … =\quad=\quad 1000$$

$\frac{y}{x}$= 1000이니까 y = 1000x라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.

일반적으로 x, y가 정비례할 때 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요.

정비례의 그래프

y = 2x가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 그래프를 그릴 수 있어요.

y = 2x에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 끝없이 계속 이어지는 그래프예요.

앞에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요. (-3, 6), (-2, 4), (-1, 2), (0, 0), (1, -2), (2, -4), (3, -6)

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.

y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 직선을 그으면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, … 이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 직선으로 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

변수와 상수

"한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀다"고 했을 때, x는 1이 될 수도 있고, 2가 될 수도 있고 100이 될 수도 있죠. 이처럼 딱 정해진 값을 갖는 게 아니라 변하는 값을 변수라고 해요. 이런 변수들은 문자로 나타내니까 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고하기도 해요.

문자와 식에서 식에 문자를 사용하는 걸 공부했었죠? 거기서 사용했던 문자들이 모두 변수예요.

이와 반대로 1은 언제나 1이고 10은 언제나 10이에요. 어떤 경우라도 바뀌지 않고 그대로죠. 이처럼 변하지 않는 값을 상수라고 해요. 항, 상수항, 계수, 차수에서 상수항 들어봤죠? 숫자만 있는 항을 상수항이라고 한다고 했어요. 숫자만 있는 항은 바뀌지 않으니까 상수항인 거예요.

• 변수: 변하는 값, 변하는 값을 나타내는 문자
• 상수: 변하지 않는 값

그래프

여러 자료를 좌표를 이용해서 좌표평면에 점, 직선, 곡선 등으로 나타낸 것을 그래프라고 해요. 그래프를 보면 표로 볼 때보다 변화나 상태를 더 직관적으로 알아볼 수 있어요.

아래 그래프는 지민이가 집에서 슈퍼에 가서 물건을 사올 때, 시간에 따른 집과 지민이 사이의 거리를 나타낸 그래프예요. 가로축(x축)은 시간, 세로축(y축)은 집과 지민이 사이의 거리예요.

처음에 집에서 마트로 갈 때는 집과 지민이 사이의 거리가 멀어지다가 마트에 도착해서 물건을 고르고 계산하는 중에는 거리의 변화가 없죠. 물건을 사고 다시 집으로 돌아올 때는 거리가 줄어들고요.

이 그래프를 보면 지민이 집에서 마트는 5분 거리에 있고, 마트에서 3분 머물렀다는 걸 알 수 있어요.

마트로 가는 길, 마트에서 집으로 돌아오는 길의 그래프가 직선이에요. 이건 거리가 일정하게 늘어나고 줄어들었다는 뜻으로 걷는 속력이 일정했다는 말이에요.

다음 그래프는 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따른 속력의 그래프예요. 마트에 갈 때와 마트에서 올 때는 속력이 일정하고, 마트에 있는 동안은 속력이 0이에요.

직선이 아닌 곡선이 포함된 그래프는 어떨까요?

0 ~ 5 사이의 구간에서 곡선이 처음에는 가파르게 올라가다 점점 완만하게 오르죠? 가파르게 오른다는 건 변화가 빠르다는 거고, 완만하게 오른다는 건 변화가 느리다는 거예요.

이 그래프는 거리의 변화를 나타내는 그래프니까 곡선이 가파르다는 건 거리의 변화가 빠르다는 거고, 거리의 변화가 빠르다는 건 이동하는 속력이 빠르다는 얘기죠. 즉, 지민이가 빨리 걸었다는 뜻이에요. 반대로 곡선이 완만한 건 변화가 느리다는 거고 이건 이동 속력, 걷는 속력이 느려졌다는 뜻이에요.

즉, 곡선이 가파르다 완만하게 바뀐 그래프를 보면 지민이가 출발할 때는 빨리 걷다가 점점 느리게 걸어서 마트에 도착했다는 걸 알 수 있어요.

올 때(8 ~ 13 구간)는 반대로 완만하던 곡선이 가파르게 바뀌죠? 천천히 걷다가 점점 빨리 걸어서 왔다는 뜻이에요.

이것도 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따를 속력 그래프로 그려보면 아래처럼 될 거예요. 처음에는 빨랐다가 느려지더니 마트에 도착해서는 0이 되었죠? 그리고 다시 마트에서 출발할 때는 느렸다가 점점 빨라져요.

그래프와 행렬의 관계에 대해서 알아보죠.

그래프를 행렬로 바꿔볼 거예요. 그래프를 행렬로 바꿨을 때 행렬이 그래프의 특징들을 잘 드러내는지도 알아볼 거예요. 행렬이 나타내는 그래프의 특징을 보고 그래프를 예상할 수 있어야 해요.

정말 어려울 것 같지만 따지고 보면 별거 아닌 내용이에요.

행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기

다음과 같은 그래프가 있다고 해보죠.

한 점이 다른 점과 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0이라고 써서 표로 나타내 보죠. 예를 들어 A는 B와 변으로 연결되어 있으니까 1, D와는 변으로 연결되어 있지 않으니까 0이라고 쓰는 거예요.

이번에는 이 표를 행렬로 나타내보죠.

4차 정사각형렬이네요. (꼭짓점의 개수) × (꼭짓점의 개수) 행렬이죠.

이 행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 그어지는 대각선에 대해서 대칭이에요. A와 B가 변으로 연결되어 있으면 B와 A도 연결되어 있어서 같은 값을 가지니까요.

행렬의 성분으로 표현하자면 (i, j)의 성분 = (j, i)의 성분이 되는 거예요.

반대로 행렬만 보고 그래프의 특징을 알아낼 수 있나요?

예를 들어 이 행렬은 4차 정사각행렬이에요. 꼭짓점이 4개 있다는 뜻이에요.

변의 개수를 알 수 있을까요? 변은 꼭짓점과 꼭짓점을 연결한 선이에요. 행렬에서 1이 의미하는 건 두 꼭짓점 사이가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠? 그래서 행렬에 있는 1을 모두 더하면 돼요. 하지만 AB와 BA를 모두 1로 나타냈으니까 중복되는 걸 빼려면 행렬에서 1을 모두 더한 값을 2로 나눠줘야 하죠.

변의 개수 = (행렬의 모든 성분의 합) ÷ 2

한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점에 연결된 변의 개수도 구할 수 있어요. 행렬에서 1은 다른 꼭짓점과 연결되었는지를 나타내는 거니까 A에서 다른 꼭짓점으로 연결된 변의 개수는 A가 있는 제 1 행의 모든 성분을 다 더한 값과 같아요.

꼭짓점에 연결된 변의 개수 = 해당 꼭짓점이 나타내는 행(또는 열)의 모든 성분의 합

A에 연결된 변의 개수는 A를 나타내는 제 1 행 (또는 제 1 열)의 성분을 모두 더한 2가 되는 거죠.

행렬의 성분과 경우의 수

행렬을 P라고 해볼게요.

P =

p₁₂ = 1이 의미하는 건 A와 B가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠.

P를 제곱했더니 위와 같은 행렬이 만들어졌어요. P는 두 꼭짓점이 서로 변으로 연결되어 있는지 아닌지를 나타내요. 즉 1이면 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 하나만 지나는 된다는 걸 말하죠. P²은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 두 번 지나면 된다는 걸 의미해요. 여기서는 1이 아닌 2, 3이라는 숫자도 있죠? 이건 경우의 수를 말해요.

p₁₁ = 2죠? A에서 변을 두 개 지나서 A로 오는 방법이 두 가지가 있다는 얘기예요. A - B - A, A - C - A의 두 가지예요.

p₂₁ = 1이죠? B에서 변을 두 개 지나서 A로 가는 방법이 한 가지가 있다는 얘기예요. B - C - A뿐이네요.

Pⁿ의 p_ij = k (n, k는 자연수)
→ i에서 n개의 변을 지나서 j로 가는 방법은 k가지이다.

그래프와 행렬 1 - 그래프에서 경로에는 한 번 지나간 변은 다시 지나지 않는 것으로 한다고 했는데 행렬에서는 한 번 더 지나는 것도 포함된다는 차이가 있어요.

다음 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 그래프를 행렬로 나타내어라.
(2) A에서 변을 두 개 지나서 B까지 가는 방법의 수를 구하여라.

표 그리는 건 그냥 생략하고 바로 행렬를 나타내보죠. 두 점이 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0을 넣어요.

(2) A에서 B까지 변을 두 개 지난다고 했으니까 행렬을 제곱해야겠네요.

A에서 B까지 이동하는 걸 나타내는 성분은 1행 2열의 성분이니까 2이네요. A - C - B, A - D - B의 두 가지 방법이 있어요.

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그래프인데요. 이제까지 우리가 봤던 함수의 그래프와는 조금 다른 형태의 그래프예요. 오히려 일반적인 도형과 더 비슷해요. 모양뿐 아니라 용어도 같고 부르는 이름도 같고요. 그래프와 도형은 비슷하니까 둘을 잘 비교해서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

내용을 이해하는 데 도움을 받을 수 있지만 일단 이해하고 나면 서로 헷갈릴 수 있으니까 그 차이점을 분명히 알아야 해요. 분명히 도형과 그래프는 다른 영역의 내용이니까 그래프의 내용을 도형에 적용하거나 도형의 성질을 그래프에 적용하면 안 돼요.

그래프와 행렬 1 - 그래프

함수에서의 그래프는 함수식을 만족하는 점들의 순서쌍은 좌표평면 위에 나타낸 것을 말하죠? 여기에서 그래프는 그냥 점과 선으로 이루어진 그림을 말해요. 아래 그림처럼 생긴 게 그래프예요.

점 A, B, C, …가 있는데 그래프에서 점을 꼭짓점이라고 하고 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 해요.

도형에서 점을 A, B, … 부르듯이 그래프에서도 꼭짓점을 A, B, … 라고 불러요. 도형에서 변을 부를 때 양쪽 점의 이름을 이용해서 AB, BC, … 부르듯이 그래프에서도 변을 부를 때는 AB, BC, …라고 부르고요. 또 도형에서 AB와 BA는 같죠? 그래프에서도 마찬가지예요.

다각형에서의 변은 직선이었죠? 그런데 그래프에서의 변은 곡선도 괜찮고 이상하게 생긴 찌그러진 선도 상관없어요. 그냥 꼭짓점을 연결한 선이면 모두 변이에요. 꼭짓점 E와 H를 연결한 선은 곡선이죠? 이 곡선도 변이에요.

다만 변에서 주의해야 할 건 두 꼭짓점을 연결하는 변이 하나만 있어야 해요. 아래 그림의 IJ처럼 서로 다른 선으로 연결되면 안 돼요.

서로 같은 그래프

꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘려서 두 그래프가 같은 그림으로 그려질 수 있으면 두 그래프는 같다고 해요.

두 번째 그림은 첫 번째 그림의 AD를 구부려서 그린 거예요.

세 번째 그림은 첫 번째 그림의 A의 위치를 바꿔서 그린 거고요.

네 번째는 첫 번째 그림에서 A의 위치를 바꾸고 BC를 구부려서 그린 거예요.

따라서 네 개의 그림이 모두 서로 같은 그래프죠.

네 그림 모두 꼭짓점이 A, B, C, D이고 변은 AB, BC, CD, DA예요. 이처럼 꼭짓점과 변이 같은지 비교해보면 서로 같은 그래프인지 알 수 있어요.

경로

경로는 지나가는 길을 말하죠. "집에서 출발해서 서점 들렀다가 버스를 타고 학교에 간다." 이때의 경로는 학교 → 서점 → 버스 정류장(승차) → 버스 정류장(하차) → 학교가 되겠죠?

수학에서 경로도 같아요. 그래프의 한 꼭짓점에서 출발해서 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 순서대로 꼭짓점을 나열한 것을 경로라고 해요. 차이가 있다면 한 번 지난 변을 다시 지나지 않는 거예요. AB를 지났으면 BA를 지나지 않고 가야 해요. AB = BA니까요.

그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로
(2) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로(단, 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나지 않는다.)

(1) 경로는 한 번 지난 변을 지나지 않고 꼭짓점을 이동할 때 이 꼭짓점들을 순서대로 나열한 것을 말해요. 한 번 지난 변을 또 지나지 않으면 되고, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나도 상관없어요. 꼭짓점 별로 세 가지 방향이 있네요.

모양이 좀 이상하긴 한데요. 경우의 수 구할 때처럼 <을 이용해서 구하면 쉽게 구할 수 있어요.

ABC, ABDAC, ABDC, AC, ADBAC, ADBC, ADC로 총 7가지 경로가 있네요.

(2) 똑같이 경로를 구하는 문제인데, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않는다고 했어요. (1)에서 구했던 경로 중에 같은 꼭짓점을 두 번 지나지 않는 걸 찾아보죠.

7개의 경로 중에서 ABDAC와 ADBAC는 꼭젓점 A가 반복되니까 제외해야 겠죠? 결국 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나는 않는 경로는 ABC, ABDC, AC, ADBC, ADC로 총 5가지 네요.

차수

다항식에서의 차수는 문자가 곱해진 횟수를 말하죠. 여기서의 차수는 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수를 말해요.

이 그림의 A에서는 AB, AC, AD의 세 변이 있으니까 3차예요. 다른 꼭짓점들도 모두 3차네요.

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원래 부등식은 방정식의 확장판이라고 생각하면 쉬워요. 따라서 삼각부등식을 풀 때는 삼각방정식을 풀 때와 같은 방법으로 푼다는 것만 잘 기억하고 있으면 돼요. 거꾸로 말해서 삼각부등식을 풀려면 삼각방정식을 풀 줄 알아야 한다는 얘기지요.

삼각부등식은 삼각함수 + 부등식이에요. 삼각부등식 문제를 풀 때는 그래프를 꼭 그려야 하는데, 이때 부등식의 영역을 응용하면 문제를 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

되게 복잡하고 어려울 것 같지만, 막상 풀어보면 그렇게 어려운 문제들은 나오지 않으니까 너무 걱정하지는 마세요.

삼각부등식

삼각방정식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 방정식이에요. 그럼 삼각부등식은 뭘까요? 삼각부등식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 부등식이지요.

이차방정식을 푸는 방법이나 이차부등식을 푸는 방법이나 별 차이가 없었죠? 인수분해해서 해를 구했잖아요. 이차방정식의 해는 x = α or x = β처럼 등호를 사용한다면 이차부등식은 α < x < β처럼 부등호를 사용한다는 차이뿐이었어요.

삼각부등식을 푸는 과정도 삼각방정식을 푸는 과정과 별로 차이가 없어요. 삼각방정식을 풀 때 사용했던 방법들을 그대로 사용합니다. 삼각부등식도 해가 무수히 많이 생길 수 있기 때문에 한 번의 주기(0 ≤ x < 2π)로 범위를 제한하고요.

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

여러 방법으로 삼각부등식을 풀어보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그린 다음 보다 y = sinx가 위에 있는 구간을 찾으면 돼요.

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점 , 에서 만나고 x가 이 둘 사이의 범위에 있을 때 y = sinx의 그래프가 더 위에 있어요. 따라서 의 해는  < x < 에요.

단위원을 이용하는 방법

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 두 개 있는데 이 두 동경 사이의 각이 바로 삼각부등식의 해에요.

점 P와 점 Q에서 만나네요. P일 때는 , Q일 때는 에요. 동경 사이의 각이 해가 되는데 둘 사이의 각이 두 종류가 있어요. 하나는 P에서 Q로 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각들이고요. 다른 하나는 Q에서 P까지 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각이에요.

어떤 부분이 해가 될지 모를 때에는 부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0에서 사용했던 방법을 이용하세요. 임의의 각을 하나 대입해보는 거죠. 를 대입해보면  = 1 > 로 문제의 부등식을 만족해요. 따라서 가 들어있는 P에서 Q까지 양의 방향의 각들이 문제의 해에요. 해는  < x < 이네요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 :  : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

두 개의 직각삼각형이 그려졌는데도 이 두 직각삼각형의 빗변 사이의 각이 해에요. 두 빗변은 단위원을 이용한 방법에서의 동경과 같은 거니까 나머지는 단위원에서 했던 방법을 그대로 사용하면 돼요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

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삼각방정식이에요. 삼각방정식은 삼각함수 + 방정식이에요. 삼각함수보다 어렵긴 하지만 그래도 이차, 삼차방정식보다는 조금 더 쉬운 단원입니다. 삼각방정식 푸는 법 자체가 어렵지도 않을뿐더러 문제도 비교적 쉽게 나오는 편이거든요.

또 풀이 방법도 여러 가지여서 가장 쉽고 편한 방법을 골라서 문제를 풀 수도 있으니 금상첨화죠. 그래프를 그릴 수 있으면 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

별로 어려운 내용은 아니니까 쭉 한 번 훑어보세요.

삼각방정식

삼각방정식은 삼각함수의 각 또는 각을 나타내는 식 중에 미지수를 포함하는 방정식을 말해요. 그냥 쉽게 삼각함수의 각에 미지수 x가 있는 방정식이라고 생각하세요.

삼각함수의 각 자리에 x가 있으니까 위와 같은 식이 삼각방정식이에요.

삼각함수는 주기함수라서 똑같은 값을 가지는 경우가 많아요. 그래서 보통은 범위를 한 번의 주기로 제한합니다. 0 ≤ x < 2π

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

삼각방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있는데 하나씩 알아보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그리면 그 교점의 x좌표가 해에요.

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점에서 만나요. 해가 두 개라는 걸 알 수 있어요.

교점의 x좌표는 , 에요. 따라서 의 해는 x =  또는 x = 에요.

단위원을 이용하는 방법

삼각함수 그래프 그리는 법에서 단위원 위에서 동경의 위치를 바꿔가면서 그래프를 그렸었죠? 그걸 이용하는 거예요.

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 바로 삼각방정식의 해에요.

점 P와 점 Q에서 만나네요. 이때 동경 가 나타내는 크기가 삼각방정식의 해니까 x =  또는 x = 에요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 :  : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

삼각형을 그렸더니 우리가 외우고 있던 직각삼각형이 됐죠? 제 1 사분면의 x는 ∠POH로 육십분법으로 하면 30°, 호도법으로 하면 에요. 제 2 사분면의 x는 ∠HOQ = π - ∠QOH' = π -  = 에요.

따라서 x =  또는 x = 이네요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

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삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.

그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x - p)² + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.

먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.

삼각함수 그래프의 이동

y = sinx 그래프의 이동

y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.

그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요.

y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요.

만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, -에요.

sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요.

이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠.

이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠.

y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠.

그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요.

x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다.

y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교

	y = sinx	y = sin(bx)
주기	2π
최댓값	1	1
최솟값	-1	-1

이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠.

이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)²을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)²은 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠.

그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요?

y = sin(x + c)
y = sin{x - (-c)}

x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요.

y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q의 그래프를 생각해보세요.

같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요.

위 내용을 한 번에 정리해보죠.

y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠.

y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교

	y = sinx	y = asin(bx + c) + d
주기	2π
최댓값	1	|a| + d
최솟값	-1	-|a| + d

a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다.

y = cosx 그래프의 이동

y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요.

y = tanx의 그래프의 이동

하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다.

y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠.

a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요.

b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요.

c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요.

d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요.

삼각함수 그래프의 이동

	y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d	y = atan(bx + c) + d
최댓값	|a| + d	없음
최솟값	-|a| + d	없음
주기
점근선	없음.	(n은 정수)

위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요.

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유리함수에 이어 무리함수예요. 무리함수는 유리함수보다 조금 더 쉬워요. 유리함수에서 했던 것 중에서 식만 무리함수에 맞게 바꾸면 되거든요. 기본적인 내용은 모두 같아요.

무리함수에는 x의 범위와 y의 범위를 파악하는 게 중요합니다. 이건 실수영역에서 제곱근의 정의를 잘 생각해보면 금방 알 수 있는 내용이니까 어렵게 생각하지는 마세요.

무리함수는 무리식을 이용한 함수니까 무리식에 관해서 잘 이해하고 있어야 해요. 생각나지 않는다면 한 번 읽어보세요.

무리함수

함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식이면 유리함수라고 해요. 그럼 f(x)가 x에 대한 무리식이면 뭐라고 부를까요? 바로 무리함수예요.

보통은 라고 써요.

함수는 실수 범위에서만 구해요. 근호 안이 0 또는 양수여야 합니다. ax ≥ 0이어야 하는데, a = 0이면 y = 0이 되어 무리함수가 아니죠? 따라서 별다른 언급이 없으면 무리함수 에서는 a ≠ 0이어야 하고, 근호 안이 0 또는 양수인 x의 범위를 정의역으로 해요.

다만, 이 글에서는 설명을 위해서 a > 0인 경우만 다루기로 하죠.

 (a > 0)의 역함수를 구해볼까요? ax ≥ 0이어야하는데 a > 0이니까 정의역은 x ≥ 0이네요. 치역도 y ≥ 0이죠?

어떤가요?  x ≥ 0일 때, 무리함수  (a > 0)와 이차함수  (a > 0)은 서로 역함수라는 걸 알 수 있어요. 이차함수와 무리함수의 관계에 대해서 얼추 이해가 되죠?

이번에는 a > 0이라고 할 때 와 여러 무리함수의 그래프를 그려보죠. 근호 안은 0 또는 양수가 되어야 해요.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≥ 0이므로 제 1 사분면에 그려져요.

의 그래프 a > 0, x ≤ 0, y ≥ 0이므로 제 2 사분면에 그려지고요. 의 그래프와 모양은 같은데 x의 부호가 반대니까 y축에 대하여 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≤ 0이므로 제 4 사분면에 그려지죠. 의 그래프와 모양은 같은데, y의 부호가 반대니까 x축 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≤ 0, y ≤ 0이므로 제 3 사분면에 그려져요. 의 그래프와 모양은 같은데, x, y의 부호가 반대니까 원점에 대하여 대칭이고요.

(a > 0)에서 a가 커지면 커질수록 그래프는 x축에서 멀어져요. a < 0일 때는 a가 작으면 작을수록 x축에서 멀어지기 때문에 이 둘을 합쳐 |a|가 커질수록 x축에서 멀어진다고 해요.

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유리함수 두 번째로 좀 더 어려운 분수함수를 공부해보죠. 분수함수는 분수식이 나오기 때문에 식이 복잡해요. 따라서 원리를 잘 이해해야 복잡한 식을 조금이라도 더 쉽게 파악할 수 있어요. 그리고 마지막에 나오는 결론을 공식처럼 외워두세요. 그래야 답을 구하기 편합니다.

그래프의 특징에 대해서 알아볼 건데, 이건 평행이동으로 이해하면 쉬워요. 평행이동, 점과 도형의 평행이동에서 했던 핵심을 잘 기억하고 있으면 좋지요.

분수함수

분수함수 의 그래프

점과 도형의 평행이동에서 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 대입한다고 했어요.

의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동해보죠. x대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하고 정리하면 가 돼요.

의 그래프는 어떤 특징이 있을까요?

중학교 때 공부했던 이차함수 그래프, y = (x-p)² + q에서 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y = ax²의 특징 중 x와 관련된 모든 항목은 p로, y와 관련된 모든 항목은 q로 바뀐다고 했어요. 여기서도 마찬가지예요.

의 그래프

점근선	x축 (y = 0), y축 (x = 0)	x = p, y = q
대칭점	(0, 0)	(p, q)
정의역	{x|x ≠ 0인 모든 실수}	{x|x ≠ p인 모든 실수}
치역	{y|y ≠ 0인 모든 실수}	{y|y ≠ q인 모든 실수}
	|k|가 커질수록 대칭점에서 멀어진다.

분모가 0이 되는 수를 제외한 모든 실수가 정의역이죠. k ≠ 0이니까 y = q가 될 수 없어요. 따라서 치역은 y ≠ q인 모든 실수가 되는 거고요.

분수함수 의 그래프

a = 0이면 가 되죠. 이건 분수함수가 아니라 다항함수예요. 그래서 a ≠ 0이라는 조건이 붙어요. 또 ad - bc = 0이 되면 분수함수가 아니라 그냥 상수함수가 되어버리기 때문에 ad - bc ≠ 0이라는 조건이 붙습니다.

의 그래프는 꼴로 바꿔서 풀어요.

의 모양을 바꿔보면 가 되는데, 의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 만큼 평행이동한 걸 알 수 있어요. 여기서 는 분모 = 0이 되게하는 x값이고, 는 일차항의 계수의 비예요.

의 점근선은 x = , y = 가 되죠. 대칭점은 (, )이에요. 

의 그래프
꼴로 바꾼다.
점근선: x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)
대칭점: (분모가 0이 되는 x값, 일차항의 계수비)

함수 의 점근선의 방정식을 구하여라.

의 점근선은 x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)에요.

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연립부등식의 영역은 부등식의 영역 두 개를 합쳐놓은 걸 말해요. 부등식을 두 개 이상 합쳐놓은 게 연립부등식이니까요.

연립부등식을 푸는 방법과 연립부등식의 영역을 구하는 방법은 근본적으로 같아요. 연립부등식에서는 수직선에 그렸다면 연립부등식의 영역에서는 좌표평면에 그림을 그린다는 차이가 있을 뿐이에요.

그래프를 그려야 해서 복잡해 보이지만 (연립부등식의 영역) = (부등식의 영역) + (연립부등식) 이라는 사실만 기억하고, 관련된 두 내용만 잘 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않을 거예요.

연립부등식의 영역

연립부등식의 풀이에서는 각각의 부등식의 해를 구하고 이를 수직선에 그려서 공통인 부분의 해를 찾았어요. 연립부등식의 영역도 똑같아요. 각각의 부등식의 영역을 그린 다음 공통인 부분을 구하면 됩니다.

f(x, y) = 0은 원의 방정식, g(x, y) = 0은 직선의 방정식이라고 한다면, f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 그래프는 아래와 같아요.

f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 공통부분을 칠한 오른쪽 그림이라는 연립부등식의 영역이 됩니다.

식과 부등호의 방향은 바뀌겠지만, 그 방법은 모두 같아요.

연립부등식의 영역
각각의 부등식의 영역을 그린다.
두 부등식의 영역의 공통부분(교집합)을 구한다.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역

이번에는 연립부등식이 조금 다른 형태인데요.

f(x, y)·g(x, y) < 0이라는 부등식이에요.

두 식을 곱해서 0보다 작다는 얘기는 부호가 서로 반대라는 얘기예요. 하나가 양수이면 다른 하나는 음수여야 하죠.

총 네 개의 부등식의 영역 그러니까 두 개의 연립부등식의 영역이 생겼어요. or이니까 연립부등식의 영역 두 개를 합한 거예요.

좀 복잡하지만, 집합으로 나타내보면 다음과 같아요.
[{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}] ∪ [{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}]

이번에는 f(x, y)·g(x, y) > 0을 보죠.

어떤 두 식을 곱해서 0보다 크다는 말은 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 하죠?

역시 마찬가지로 네 개의 부등식의 영역, 두 개의 연립부등식이 생겼어요. or이니까 역시 각각의 연립부등식의 영역을 구한 다음 서로 합쳐야 하죠.

부등식의 영역을 네 개가 구해야 하고, 어떤 건 교집합, 어떤 건 합집합이어서 상당히 복잡하죠? 쉽게 구하는 방법이 있어요.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역 구하는 순서

1. f(x, y) = 0, g(x, y) = 0의 도형의 방정식을 그린다.
2. 경계선 위에 있지 않은 임의의 점을 처음 부등식에 대입한다. 계산이 편리한 (0, 0), (1, 0) 등
3. 조건에 맞는 영역을 칠한다.
   • 대입한 점이 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역
   • 대입한 점이 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1)
(2) (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

x² + y² < 4의 영역은 왼쪽 그림이고 x + y - 1< 0의 영역은 가운데, 이 둘의 공통부분이 오른쪽 그림이에요.

(2) 번. (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

두 개의 연립부등식의 영역으로 나눠서 구해도 되고, 점을 대입해서 영역을 구해도 돼요. x + y - 1 = 0과 x² + y² - 4 = 0의 그래프를 좌표평면에 그렸더니 네 개의 영역으로 나뉘어졌어요.

(0, 0)은 경계선 위에 있지 않으므로 점을 대입해보면
(0 + 0 - 1)(0² + 0² - 4) < 0
4 < 0

부등식을 만족하지 않으므로 (0, 0)이 포함되어 있지 않은 ①번 영역과 ① 영역의 건너뛴(이웃하지 않은) ③ 영역이 구하는 영역이 되겠네요.

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직선의 방정식을 구해봤어요. 이제 직선의 방정식을 그래프로 그려볼 거예요. 웬만한 건 일차함수 그래프 그리기에서 해봤으니까 여기서는 새로운 것을 해보죠.

절댓값 기호가 들어있는 직선의 방정식 그래프를 그리는 거예요. 절댓값 기호의 위치가 여러 가지가 있고, 이 위치에 따라 그리는 방법이 달라져요. 매우 어렵고 상당히 헷갈리는 내용이죠.

헷갈리지 않게 잘 읽어보고 그래도 어려운 것 같으면 가장 기본적인 원리만이라도 익히도록 하세요.

절댓값 기호가 포함된 식의 그래프

가장 기본적인 y = x의 그래프를 그려보죠.

원점을 지나고 1, 3사분면을 지나는 그래프네요.

y = |x|의 그래프를 그려볼까요? 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서 절댓값 기호 안을 0이 되게 하는 숫자를 기준으로 구간을 나눠서 계산했죠? 여기서도 그렇게 해보죠.

y = |x|

x ≥ 0일 때, y = x
x < 0일 때 y = -x

그래프로 그려보면

이렇게 나옵니다. 모양이 어떤가요? y = x그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로이고, x < 0인 부분 즉 y < 0인 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양이에요.

이걸 다른 말로 표현해 보죠. 우변이 |x|로 양수이기 때문에 좌변 y도 항상 양수여야 해요. 따라서 y < 0인 부분을 꺾어버렸다고 생각하면 돼요.

이번에는 y = |x - 1|의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0이 되는 구간을 나누어 합니다.

y = |x - 1|

x - 1 ≥ 0 → x  ≥ 1일 때, y = x - 1
x - 1< 0 → x < 1일 때, y = -x + 1

y = x - 1 그래프에서 x ≥ 1인 곳은 그대로이고, 이 부분을 y축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이에요.

좌변 y는 항상 양수여야 하죠? 그래서 y < 0인 부분의 그래프를 꺾어버렸다고 생각하세요.

이번에는 y = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

y = |x| - 1

x ≥ 0일 때, y = x - 1
x < 0일 때 y = -x - 1

y = x - 1의 그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로, 이 부분을 y축에 대칭이동 시킨 모양이에요. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고 이걸 y축에 대칭 시킨 모양이죠.

-1을 좌변으로 이항하면 y + 1 = |x|가 돼요. 우변이 항상 양수이므로 좌변의 y + 1이 0보다 작은 부분(y < -1)을 꺾어버렸어요.

|y| = x의 그래프를 그려보죠. 이번에는 y에 절댓값 기호가 있네요.

y ≥ 0일 때, y = x
y < 0일 때, y = -x

y = x의 그래프에서 y ≥ 0인 곳은 그대로 두고 이 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양입니다. 좌변이 |y|이기 때문에 x는 항상 양수에요. 그러니까 x < 0인 부분을 꺾어버린 거죠.

|y| = x - 1의 그래프를 그려보죠.

|y| = x - 1

y ≥ 0일 때, y = x - 1
y < 0일 때, y = -x + 1

y = x - 1의 그래프에서 y ≥ 0인 부분은 그대로이고, 이 부분을 x축에 대칭이동 한 모양입니다. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(y ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고, 이걸 x축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이지요.

좌변이 |y|로 항상 양수입니다. 따라서 x - 1이 0보다 작은 부분을 꺾어버렸어요.

이번에는 x, y에 절댓값이 있는 |y| = |x|의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x
x < 0, y < 0일 때, y = x

|y| = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x - 1
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x + 1
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x - 1
x < 0, y < 0일 때, y = x + 1

(절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0, y ≥ 0)인 y = x - 1의 그래프를 그리고 이걸 x축, y축, 원점에 대칭이동 시킨 모양이죠.

절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 그리기

그래프를 두 가지 방법으로 표현합니다.

• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞는 그래프를 찾고, 그 그래프를 x축 또는 y축에 대칭이동 시켰다.
• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞지 않는 그래프를 찾고 그 그래프를 꺾어버렸다.

대부분은 대칭이동 했다는 표현을 많이 쓰는데, 일부 선생님이나 교재에서 꺾었다는 표현을 하기도 하니까 둘 다 알아두세요.

표현법에 따라 그래프를 그리는 방법이에요.

대칭이동을 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간의 그래프를 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프를 절댓값 기호가 없는 문자로 된 축 방향으로 대칭이동(x에 절댓값이 있으면 y축, y에 절댓값이 있으면 x축 방향으로 대칭이동)

꺾기를 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) < 0이 되는 구간을 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프가 양수가 되도록 절댓값 기호가 있는 문자 축 방향으로 그래프를 꺾는다.

절댓값 기호가 어디 있느냐에 따라서 그래프를 그리는 방법이 달라지죠? 어떻게 그리는지를 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않으면 외우지 마세요. 어설프고 헷갈리게 외우는 것보다는 외우지 않는 게 더 좋아요.

절댓값 기호 안이 0이 되게 하는 구간을 나눠서 식을 구하고 그래프를 그리더라도 시간이 오래 걸리지 않으니까 차근차근 그리는 것이 더 좋을 수 있어요.

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절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2

함수와 좌표평면에 대해서 알아봤어요. 이제 이 둘을 결합해보죠. 그게 바로 함수의 그래프에요.

함수별로 그래프를 그리는 방법과 특징이 달라요. 공통점과 차이점을 잘 이해하고 있어야 해요.

함수는 식으로 나타낼 수도 있고, 그래프로 나타낼 수도 있어요. 함수를 보고, 함수의 그래프를 그릴 수도 있어야 하고, 반대로 함수 그래프를 보고 함수식을 찾을 수도 있어야 해요.

이 글에서는 함수의 그래프가 뭔지, 함수 그래프는 어떻게 그리는 지, 함수별로 그래프는 어떻게 다른지를 비교해볼 거예요.

함수의 그래프

y = 2x라는 함수가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 점들이 모여서 선이 돼요. 이렇게 함수에서 만들 수 있는 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 해요.

y = 2x의 함수에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 함수의 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 계속 이어지는 그래프에요.

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프

위에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요.

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

함수 y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나는 거예요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

함수 y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 그리면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, …  이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

함수 (a ≠ 0)의 그래프

이번에는 (a ≠ 0)의 함수의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y =  그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

함수 (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

(a ≠ 0)의 그래프

a > 0	a < 0
x축, y축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선
제1사분면, 제3사분면	제2사분면, 제4사분면

함수 (a ≠ 0)의 그래프 그리기

는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 함수의 그래프를 보고, 함수를 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제3사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.
y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. 의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

의 그래프군요.

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이차함수의 그래프에 대해서 공부하고 있는데, y = a(x - p)² + q꼴 이었어요. 이런 형태를 이차함수의 표준형이라고 해요.

이차방정식에서는 ax² + bx + c = 0 꼴을 이차방정식의 일반형이라고 하는데, 이차함수에도 일반형이 있어요. 이차함수의 일반형은 이차방정식 우변의 0을 y로 바꾸고, 좌우변을 바꾼 y = ax2 + bx + c이에요.

이차함수의 일반형 y = ax² + bx + c

y = ax² + bx + c의 특징을 먼저 알아볼까요?

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프에서 그래프의 모양과 폭을 결정하는 건 뭐죠? 이차항의 계수인 a죠. 일반형에서도 이차항의 계수가 그래프의 폭과 모양을 결정합니다.

y = ax²+ bx + c에서 이차항의 계수는 a이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록이에요. 또 |a|가 클수록 그래프의 폭은 좁아집니다.

x절편은 y = 0일 때의 x좌표죠? y = 0을 넣어볼까요? 0 = ax² + bx + c가 되어서 이차방정식의 해가 x절편이 되는 걸 알 수 있어요.

y절편은 x = 0일 때의 y좌표죠? x = 0을 넣어보면 y = c가 나와요.

일반형은 표준형보다 x, y 절편 찾기가 쉬워요.

표준형은 꼭짓점이나 축의 방정식, y값의 범위를 알아보기가 쉽죠. y = a(x - p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)라는 걸 알 수 있잖아요.

그러니까 꼭짓점을 찾을 때는 표준형, y절편을 찾을 때는 일반형이 편하겠죠. 그래프의 모양이나 폭은 어떤 것이든 상관없고요.

그런데 함수식을 두 가지 형태로 다 주는 건 아니잖아요. 식이 표준형이면 x = 0, y = 0을 대입해서 x, y 절편을 찾을 수 있어요. 하지만 일반형일 때는 그 상태 그대로 꼭짓점이나 y값의 범위를 찾을 방법이 없죠.

그래서 일반형을 표준형으로 바꿔야 해요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

일반형은 x에 관해 내림차순으로 쓰인 식이고, 표준형은 완전제곱식을 포함하고 있는 식이에요. 그러니까 완전제곱식 + 상수항의 꼴이죠.

일반형을 완전제곱식으로 바꾸는 걸 우리는 이미 해봤어요. 바로 “완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이”에서요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 어떻게 했는지 보죠.

1. 이차항의 계수로 양변을 나눈다.
2. 상수항을 우변으로 이항
3. 을 양변에 더해준다.
4. 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x + p)² = k
5. 제곱근을 이용하여 해를 구한다.

x² - 2x - 6 = 0

기억나죠? 정말 많이 해봤던 문제잖아요.

y = ax² + bx + c를 y = a(x-p)² + q로 바꾸기 (일반형을 표준형으로)

이차방정식에서 완전제곱식을 만들었던 것과 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 80% 비슷해요.

다른 건 두 가지. 위의 순서에서 2번에 있는 상수항을 우변으로 이항하는 게 없어요. 그리고 해를 구하는 게 아니니까 5번 단계가 필요 없어요. 두 단계가 줄었으니까 더 편하겠죠?

그다음에는 이차항의 계수로 양변을 나눈다고 했는데, 이걸 “이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶는다.”로 바꾸면 돼요. 인수분해한다는 얘기예요. 을 양변에 더해주는 건 좌변에만 한 번 더해주고 빼주는 걸로 바꿔요. 그 외 나머지는 다 똑같아요.

연습을 한번 해보죠.

y = 2x² + 4x + 5의 꼭짓점의 좌표과 축의 방정식을 구하여라.

먼저 이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶어요.
y = 2(x² + 2x) + 5

을 더해줘야 하는데 어디에 더하냐면 괄호로 묶인 부분 안에 더해줘요. 그리고 원래 식에 없던 값을 더해줬으니까 한 번 빼줘야 원래 식과 같은 식이 되겠죠? 빼주는 것도 괄호 안에 빼줘요. 문제에서는 (2 / 2)² = 1을 더해주고 빼줘야겠네요.

y = 2(x² + 2x + 1 - 1) + 5

괄호 안에 있는 부분 중 앞의 세 항(x₂ + 2x + 1)을 완전제곱식으로 바꿔요.

y = 2{(x + 1)² - 1} + 5

괄호 안에는 완전제곱식과 상수항이 남아있는데, 이 상수항을 괄호 밖으로 빼네요. 이때 주의해야할 건 괄호 앞에 이차항의 계수였던 2가 있으니까 분배법칙을 이용해서 빼내야 한다는 거예요.

y = 2(x + 1)² - 2 + 5
y = 2(x + 1)² + 3

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이와 거의 비슷하죠? 이렇게 표준형으로 바꿨더니 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 구할 수 있겠네요. 꼭짓점은 (-1, 3), 축의 방정식은 x = -1이군요.

한 문제 더 해보죠.

y = -x² + 4x -2의 꼭짓점과 y절편을 구하여라.

꼭짓점은 표준형에서 y절편은 일반형에서 구하는 게 편해요.

문제의 식이 일반형이니까 y절편부터 구해보죠. 이차함수 y = ax² + bx + c에서 x = 0일 때 y 좌표가 y절편이니까 –2네요.

꼭짓점을 구하기 위해서 일반형을 표준형으로 바꿔보죠.

꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이고 y 절편은 -2네요.

일차함수 y = ax의 그래프의 특징에 대해서 이해했나요?

• 원점 (0, 0)을 지난다.
• 기울기의 절댓값이 커질수록 y축에 가깝다.
• a > 0 이면
  • 오른쪽 위로 향하는 직선
  • x 증가 → y 증가
  • 1, 3 사분면
• a < 0이면
  • 오른쪽 아래로 향하는 직선
  • x 증가 → y 감소
  • 2, 4 사분면

y = ax + b의 그래프는 y = ax 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평형이동한 그래프라는 것까지는 알고 있어야 해요.

오늘은 그래프를 읽는 법을 공부할 겁니다. 그래프는 통해서 무엇을 알 수 있는지요. 나중에는 반대로 특정한 정보를 주고, 그래프를 그리는 법도 공부할 거예요.

x절편

함수의 그래프에서 절편은 함수의 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 말해요. x축과 만나는 점의 x좌표를 x 절편, y축과 만나는 점의 y좌표를 y절편이라고 하지요.

x축의 y좌표는 0이니까 그래프가 x축과 만나는 점의 y 좌표도 0이죠. 이거는 그래프를 통해서 확인할 수 있어요. 그래서 x 절편을 다른 말로 y = 0일 때의 x값이라고도 해요. 어차피 같은 얘기예요. 중요한 건 x축과 만나는 점의 x좌표인데 이 점의 y 좌표가 0이니까 함수식에 y = 0을 대입해서 그때의 x값을 구하면 돼요

y = 2x + 2라는 함수가 있고 이 함수 그래프의 x절편을 구해보죠. y = 0을 대입하면,

0 = 2x + 2
2x = -2
x = -1

y = 0일 때의 x값이 -1이죠? 이 -1을 x 절편이라고 해요.

y절편

x절편이 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표라면 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 y 절편이에요. 그래프가 y축과 만나니까 x 좌표가 0이겠죠. 그래서 다른 말로 x = 0일 때의 y좌표라고도 해요.

함수식에 x = 0을 넣어서 y절편을 구해요.

y = 2x + 2
y = 2

x = 0을 대입했더니, y = 2라는 값이 나왔네요. 이 함수의 y절편은 2입니다.

다음 그래프를 보고, x절편과 y절편을 구하여라.

그래프가 x축과 만나는 점의 좌표는 (2, 0)이고, y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 2)이네요. 따라서 x절편은 2, y절편은 2입니다.

그래프를 통해서 구할 수도 있고, 아니면 앞에서 했던 방법처럼 x = 0, y = 0을 대입해서 값을 구할 수도 있어요.

y = ax+b의 x절편, y절편

일차함수 y = ax + b (a ≠ 0, a, b는 상수)에서의 x절편, y절편을 구해볼까요?

x절편을 구할 때는 y = 0을 대입한다고 했어요. 대입해 볼게요.
y = ax + b
0 = ax + b
-ax = b
x = 

x 절편은 네요. 그래서 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표는 (, 0)이고요.

y절편은 x = 0을 대입해서 구해요.
y = ax + b
y = a × 0 + b
y = b

y 절편은 b고, 그때 점의 좌표는 (0, b)예요. 사실 y 절편은 굳이 x = 0을 대입할 필요가 없어요. 왜냐하면 y = ax + b에서 b니까요. 식만 봐도 바로 알 수 있어요.

• x 절편
  • 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표
  • y = 0일 때의 x 값
  • y = ax + b에서는 x = 
  • 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표: (, 0)
• y절편
  • 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표
  • x = 0일 때의 y 값
  • y = ax + b에서는 b
  • 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표: (0, b)

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함수를 공부했으니까 그래프에 대해서 알아보죠.

함수 그래프를 그릴 때, x에 1, 2, 3, …을 넣어서 y를 구한 다음 좌표평면에 점을 찍고 그 점들을 이어서 그래프를 그렸어요. 여기까지가 1학년 때 했던 내용이에요.

이제는 그래프도 그려보고, 그래프가 어떤 특징이 있는지, 그래프와 함수식 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.

일차함수 y = ax의 그래프

일차함수 그래프에서 가장 기본이 되는 y = ax의 그래프부터 살펴보죠.

x = 0이면 y = 0이죠. 이 그래프는 (0, 0) 즉 원점을 지나요.

a 값에 따라 그래프가 어떻게 될까요? 아래 y = x와 y = 2x, y = 3x의 그래프를 보세요.

x의 앞의 숫자인 a가 커질수록 그래프는 y축에 더 가까워지죠?

아래는 y = -x, y = -2x, y = -3x의 그래프에요. 여기는 a가 작아질수록 y축에 더 가까워져요.

위 두 그림에서 알 수 있는 것, a > 0일 때는 a가 커질수록 그래프가 y축에 가까워지고, a < 0일 때는 a가 작아질수록 y축에 가까워지죠. 이거를 하나로 묶어서 표현해볼게요. a의 절댓값이 커질수록 그래프는 y축에 가까워진다.

a >0일 때는 x가 증가하면 y도 증가해요. 따라서 그래프의 모양은 오른쪽 위로 향하는 직선이죠. 그래프는 1, 3 사분면을 지나고요.

a < 0일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요. 그래프의 모양은 오른쪽 아래로 향하는 직선이요. 2, 4 사분면을 지나네요.

일차함수 y = ax + b의 그래프

y = ax + b는 y = ax의 그래프를 b만큼 평행이동한 그래프에요. 평행이동은 그래프를 일정한 값만큼 그 모양 그대로 옮기는 걸 말해요.

위 그림에서 보듯이 y = ax 그래프를 b만큼 평행이동했는데요, 어디로 이동했느냐면 y축 방향으로 이동했어요. ax였던 y에 b만큼 더해줬잖아요.

이 그래프는 원점이 아니라 (0, b)를 지나요. b의 값에 따라 지나가는 사분면이 달라지는 것을 빼면 y = ax 그래프와 특징이 같아요.

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