입체도형
중1 수학 목차
중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 자연수
- 정수와 유리수
- 문자와 식, 일차방정식의 풀이
- 그래프와 비례관계
- 도형의 기초
- 평면도형
- 입체도형
- 통계
닮은 도형의 성질
합동과 닮은 도형의 같은 점과 차이점에 대해서 이해하셨나요? 이제 닮은 도형의 성질에 대해서 알아볼 거예요.
합동에서는 대응변의 길이가 같고, 대응각의 크기도 같았어요. 닮은 도형에서도 대응변과 대응각의 크기가 어떻게 되는지 알아볼 거예요. 평면도형과 입체도형에서도 어떤 차이가 있는 지 알아볼 거고요.
닮은 도형은 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소해서 얻어진 도형을 말하니까 이것만 잘 기억하시면 이 글의 내용은 어렵지 않을 겁니다.
평면도형에서 닮은 도형의 성질
두 삼각형이 있는데, 서로 닮음 관계에 있어요. △ABC ∽ △DEF
도형을 확대했다는 얘기는 모든 변을 확대했다는 거예요. 키가 커지면 팔도 다리도 같이 길어져야 정상이죠? 
또 일정한 비율로 확대했다는 건 
이번에는 거꾸로 얘기해보죠. 
변의 길이가 아니라 각을 한 번 보죠. 도형을 2배 확대하면 변의 길이가 2배로 늘어나요. 그렇다면 각도 2배로 늘어날까요? 아니에요. 삼각형의 크기를 2배로 늘렸다고 해도 모양은 삼각형 그대로에요. 따라서 내각의 크기는 확대 전후에 모두 180°죠. 각의 크기는 변하지 않는 걸 알 수 있어요.
평면도형에서 닮은 도형의 성질
1. 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.
→ 닮음비
2. 대응각의 크기는 같다.
참고로, 원에는 변이 없는데, 닮음비를 어떻게 구할까요? 원에서는 반지름의 비를 닮음비로 합니다.
다음 그림에서 △ABC ∽ △DEF일 때, 물음에 답하여라.
(1) 두 도형의 닮음비를 구하여라.
(2) 
(3) x + y 의 값을 구하여라.
(1) 닮음비는 두 도형의 대응변 중 길이가 둘 다 나와 있는 변의 길이를 이용하므로
(2) 닮음비가 2 : 3인데, 이 닮음비는 모든 변에서 같으므로
(3) 닮은 도형에서 대응각의 크기는 같아요. ∠A = ∠D이므로 삼각형 내각의 합에 의해서 x + y + 50° = 180°
x + y = 130°
입체도형에서 닮은 도형의 성질
입체도형에는 변이 아니라 모서리라고 부르지요? 평면도형에서 대응변의 길이의 비는 일정해요. 마찬가지로 입체도형에서 대응하는 모서리의 비는 일정해요. 일정한 대응하는 모서리의 길이의 비를 닮음비라고 하지요.
입체도형에서 면 하나만 따로 떼서 볼까요? 대응하는 모서리의 길이의 비가 같으므로 
입체도형에서 닮은 도형의 성질
1. 대응하는 모서리의 비는 일정하다. → 닮음비
2. 대응하는 면은 닮은 도형이다.
원에서와 마찬가지로 구의 닮음비는 반지름의 비로 구합니다.
다음 그림에 두 직육면체가 서로 닮음 관계에 있을 때, 물음에 답하시오.
(1) 두 도형의 닮음비는 얼마인가?
(2) x와 y를 구하여라.
(1) 길이가 나와 있는 제일 아래 모서리의 길이의 비로 구해보죠. 6 : 9 = 2 : 3이네요.
(2) 2 : 3 = x : 6 이므로 x = 4(cm)
2 : 3 = 6 : y 이므로 y = 9(cm)
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입체도형에서의 최단거리
징글징글한 피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명 마지막입니다. 입체도형에서 최단거리 구하기에요.
입체도형에서의 최단거리는 입체도형 대각선의 길이 구하기와는 달라요. 대각선은 꼭짓점을 연결하는 선이 입체도형 내부를 지나가지만 최단거리는 입체도형의 표면 위를 지나는 선의 길이를 구하는 겁니다.
원뿔이나 원기둥에서는 시작점과 끝점이 같은 경우가 대부분입니다. 한 점에서 시작해서 한 바퀴를 돌고 원래 자리로 돌아오는 거죠.
입체도형에서 최단거리를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.
직육면체에서의 최단거리
직육면체에서 꼭짓점 C와 꼭짓점 E의 최단거리를 구하는 과정이에요. 두 점사이의 최단거리는 두 점을 연결하는 선분의 길이와 같기때문에 
입체도형에서 두 점을 잇는 최단거리를 구하는 것의 핵심은 전개도를 그리는 거예요. 전개도를 그린 다음 두 점을 선분으로 연결하고 거기에서 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 이용하는 거죠.
- 입체도형의 전개도를 그린다.
- 두 점을 선분으로 연결한다.
- 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.
전개도를 그려보면 오른쪽 그림처럼 그릴 수 있어요. 모든 전개도를 다 그리지 말고 필요한 부분만 그리자고요. 선분 CE는 △CEF의 빗변이 되는 걸 알 수 있어요.
피타고라스의 정리를 적용해보면
비교. 직육면체 대각선의 길이 =
원뿔에서의 최단거리
한 점에서 원뿔을 한 바퀴 돌아서 원래 자리로 돌아오는 최단거리를 구하는 예입니다.
원뿔에서의 최단거리도 마찬가지로 전개도를 그려서 선분을 긋고 피타고라스의 정리를 이용해요. 직육면체와 차이가 있다면 부채꼴의 중심각을 구하는 거지요.
- 입체도형의 전개도를 그린다.
- 두 점을 선분으로 연결한다.
- 부채꼴의 중심각을 구한다. 부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원의 둘레
- 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.
원뿔에서의 최단거리를 전개도로 펼쳐서 그어보면 오른쪽 그림처럼 돼요. 빨간 선과 모선(부채꼴의 반지름)으로 이루어진 삼각형은 이등변삼각형이죠.
부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같죠? 부채꼴의 중심각을 알려면 이 성질을 이용해요. 부채꼴 호의 길이는 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에 나온 공식으로 구할 수 있어요.
모선의 길이가 8cm, 밑면의 반지름이 2cm인 부채꼴에서 최단거리를 구하여라. (그림 생략)
그림은 위에 있는 그림과 같으니까 생략했어요.
모선의 길이가 8cm인 부채꼴 호의 길이와 반지름이 2cm인 원의 둘레 길이가 같아요. 중심각을 x라고 하죠.
x = 90도로 직각이등변삼각형이네요. 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 직각이등변삼각형에서 빗변의 길이는 1 : 1 : 
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다면체, 각기둥, 각뿔, 각뿔대
이제는 평면도형이 아니라 입체도형이에요.
지금까지는 점, 선, 면, 다각형, 원, 부채꼴 등에 대해서 알아봤잖아요.
이제는 각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔처럼 입체도형을 배울 거예요.
입체도형 중에서 첫 번째는 다면체에요. 초등학교에서 배웠던 각기둥, 각뿔이 바로 대표적인 다면체죠.
다면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 말해요. 다각형으로 둘러싸여 있어야 하니까 삼각기둥, 사각기둥, 삼각뿔, 사각뿔 등이 있지요.
원기둥과 원뿔도 다면체일까요? 원기둥과 원뿔의 밑면은 원이잖아요. 다각형이 아니죠? 그래서 원뿔과 원기둥은 다면체가 아니에요.
주의하세요. 다면체는 단순히 면이 여러 개 있는 도형이 아니라 다각형인 면이 여러 개 있는 도형이에요.
다면체에 사용하는 용어들은 꼭짓점, 모서리, 면이 있어요. 이거 다 해봤던 거죠? 그래도 한 번 정리해보고 넘어가죠.
면은 다면체를 이루고 있는 다각형이에요. 모서리는 면과 면이 만나는 곳으로 다각형의 변이고요. 꼭짓점은 모서리와 모서리가 만나는 곳이죠.
다면체의 분류
다면체는 두 가지 방법으로 분류해요.
첫 번째는 다면체의 면의 개수에 따라서 나누는 방법이 있어요. 다면체의 면이 4개이면 사면체, 5개면 오면체, 6개면 육면체, … 처럼이요. 다각형에서 각의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형으로 나누는 것과 마찬가지예요.
두 번째는 모양에 따라 나눠요. 우리가 알고 있는 각기둥, 각뿔 등으로 나누는 방법이죠.
각뿔대
각기둥과 각뿔 말고 각뿔대라는 게 있어요.
각뿔을 가로로 잘랐다고 생각해보세요. 그러니까 각뿔의 밑면과 평행한 평면으로 자르면 두 부분으로 나뉘겠죠? 윗부분은 그대로 각뿔이 될 거예요. 아랫부분은 각뿔도 아니고 각기둥도 아닌 게 되겠죠? 이 아랫부분을 각뿔대라고 불러요.
각뿔대에서도 각기둥과 마찬가지로 밑면, 옆면, 높이라는 용어를 사용해요. 각기둥과 각뿔대에서 사용하는 용어의 설명과 특징을 표로 정리해봤어요.
| 뜻 | 각기둥 | 각뿔대 | |
|---|---|---|---|
| 밑면 | 서로 평행한 두 면 | 평행, 합동 | 평행 (O), 합동 (X) |
| 옆면 | 밑면이 아닌 면 | 밑면에 수직 직사각형 |
밑면에 수직 X 사다리꼴 |
| 높이 | 두 밑면에 수직인 선분의 길이 |
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