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연립방정식을 행렬로 나타내고 역행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구해봤어요. 이제는 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구할 때 해가 한 개일 수도 있고 하나도 없을 수도 있고 무수히 많을 수도 있어요. 어떤 조건이 있을 때 해의 개수가 달라지는지 알아보죠.

연립방정식의 식을 하나씩 따로 떼 보면 직선의 방정식이기도 하니까 직선의 방정식과 두 직선의 방정식의 위치관계를 통해서 이를 설명해 볼게요. 혹시 기억이 나지 않는다면 아래 두 글을 먼저 읽어보세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직, 두 직선의 위치관계 - 일반형

연립일차방정식이 해를 가질 조건

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

일단 행렬식 D = ad - bc ≠ 0이면 해를 가져요. 역행렬을 이용해서 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

ad - bc = 0일 때는 해가 무수히 많거나 하나도 없다고 했어요. 해가 무수히 많을 때는 해가 있는 거죠. 그러면 무수히 많은 해를 가지려면 ad - bc = 0외에 어떤 추가 조건이 있어야 할까요?

두 직선의 위치관계 - 일반형에서 두 직선 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선의 교점은 두 직선이 나타내는 직선의 방정식의 공통근이니까 두 직선이 일치하면 두 직선의 방정식은 무수히 많은 해를 가지죠.

연립방정식 는 ax + by = p, cx + dy = q라는 두 직선의 방정식으로 나타낼 수 있으니까 여기에 위 내용을 그대로 적용해보죠.

에서 이면 이 연립방정식은 무수히 많은 해를 가져요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해

이번에는 p = q = 0인 을 보죠. 직선의 방정식으로 나타내면 ax + by = 0, cx + dy = 0이에요. 이 두 직선은 원점을 지나는 직선이에요. 따라서 x = y = 0이라는 공통근을 일단 무조건 한 개를 가져요.

행렬로 나타내면 이에요.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 을 해로 가져요. x = y = 0인 한 쌍의 해죠.

ad - bc = 0이고 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 무수히 많을 해를 가지고 x, y 계수비와 상수항의 비가 다르면 해가 하나도 없어요. 그런데 상수항의 비를 구하려고 했더니 분모가 0이 돼버리죠? 이 방법으로는 해가 무수히 많은지 하나도 없는지 알 수가 없다는 뜻이에요. 다른 방법을 찾아봐야겠네요.

ad - bc = 0
ad = bc

두 직선의 방정식의 기울기가 같아요. 그리고 두 직선은 모두 원점을 지나요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 기울기가 같고 y절편이 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선이 일치하니까 두 직선의 방정식의 공통근도 무수히 많아지겠죠?

일반적으로 ad - bc = 0일 때 해가 하나도 없을 수도 있어요. 하지만 위에서 본 것처럼 이 두 직선은 원점을 지나므로 무조건 x = y = 0이라는 해를 가져요. 따라서 해가 하나도 없는 경우는 생길 수가 없는 거예요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

가 x = y = 0 이외의 해를 가질 때 상수 k의 값을 구하여라.

우변이 모두 0이에요. 이런 연립방정식은 x = y = 0이라는 한 쌍의 해는 무조건 갖지요. 그리고 ad - bc = 0이면 x = y = 0 이외의 해를 가지는데 이 해는 무수히 많아요.

k(k - 2) - 3 = 0
k² - 2k - 3 =
(k - 3)(k + 1)
k = -1 or 3

k = -1 or 3이면 이 연립방정식은 x = y = 0이외의 해를 가져요.

정리해볼까요

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식

은 행렬

로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고

라는 한 쌍의 해

ad - bc = 0일 때,

이면 무수히 많은 해

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식

은 행렬

로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고

라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

역행렬과 연립일차방정식

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지금까지 가감법, 대입법, 두 직선의 위치관계 등 여러 가지 방법을 이용해서 연립일차방정식의 해를 구해 봤어요. 이 글에서는 연립일차방정식의 해를 구하는 새로운 방법으로 역행렬을 이용하는 방법을 알아볼 거예요.

역행렬을 이용해서 연립일차방정식의 해가 몇 개인지 알아보고 해를 구할 수 있다면 해를 구하는 것까지 해볼 거예요. 해를 구할 수 없다면 왜 그런지 어떤 특징 때문에 해를 구할 수 없는지도 알아볼 거예요 .

역행렬, 연립방정식, 직선의 위치관계 등 여러 내용이 섞여서 나오니까 주의해서 잘 보세요.

역행렬과 연립일차방정식

연립방정식 을 행렬로 나타낼 수 있어요.

좌변의 행렬을 곱셈해보면 연립방정식이 나오는 걸 확인할 수 있죠.

행렬이니까 역행렬을 이용해서 x, y를 구할 수 있겠죠? 물론 역행렬이 존재한다면 말이죠.

ⅰ) ad - bc ≠ 0일 때(역행렬이 존재할 때)

위 행렬을 계산해보면, x, y의 값을 구할 수 있겠죠? 따라서 연립방정식 는 ad - bc ≠ 0일 때 한 쌍의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

ⅱ) ad - bc = 0일 때(역행렬이 존재하지 않을 때)

역행렬이 없으면 위와 같은 방법으로 해를 구할 수 없어요.

ad - bc = 0
ad = bc

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?

(x의 계수비) = (y의 계수비) = (상수항의 비) → 해가 무수히 많다
(x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비) → 해가 하나도 없다.

에서는 (x의 계수비) = (y의 계수비)이니까 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우예요. p와 q의 비를 적용해보면 정확히 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해보죠. 연립방정식 에서 ax + by = p와 cx + dy = q는 직선의 방정식이에요. 두 직선의 방정식의 교점은 연립방정식의 해잖아요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 교점의 개수를 이용해서 연립일차방정식의 해를 구했어요.

기울기가 같고, y절편이 같다 → 두 직선은 일치 → 연립일차방정식의 해는 무수히 많다.
기울기가 같고, y절편이 다르다 → 두 직선은 평행 → 연립일차방정식의 해는 없다.

는 기울기가 같다는 뜻이고, y절편인 p, q의 값을 비교해보면 더 정확히 알 수 있겠죠.

정리해보면 연립일차방정식을 행렬로 나타냈을 때, 역행렬이 존재하면 한 쌍의 해를 갖고, 역행렬이 존재하지 않으면 해가 무수히 많거나 하나도 없을 수 있다는 거예요.

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

역행렬을 이용하여 연립방정식 의 해를 구하여라.

연립방정식을 행렬로 나타내보죠.

D = ad - bc = 5 × 3 - (-1) × 4 = 15 + 4 = 19 ≠ 0이므로 역행렬을 가져요. 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

x = 2, y = 2네요.

정리해볼까요

역행렬과 연립일차방정식

연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

역행렬의 성질

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연립일차방정식이 해를 가질 조건

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역행렬은 행렬에서 곱셈에 대한 역원의 역할을 해요. 이 글에서는 역행렬의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

공식이 몇 가지 나오는데 개수가 많고 식으로 쓰다 보니 길어져서 그렇지 유도과정 자체는 어렵지 않아요. 행렬과 역행렬의 관계를 이용해서 공식을 유도해요.

그리고 역행렬의 성질 공식이 우리가 알고 있던 지수법칙이나 다른 공식과 모양은 비슷하지만 적용하는 방법이 다르니까 헷갈리지 않게 잘 외워두세요.

역행렬의 성질

행렬 A의 역행렬을 A^-1이라고 해보죠.

행렬과 역행렬을 곱하면 단위행렬 E가 돼요. AA^-1 = A^-1A = E

여기서 A^-1의 역행렬은 뭔가요? A^-1와 A를 곱하면 단위행렬 E가 되니까 A^-1의 역행렬은 A에요. (A^-1)^-1 = A

두 정사각행렬 A, B에 대하여 A^-1, B^-1가 존재할 때 행렬 AB의 역행렬 X를 구해보죠.

(AB)X = E
A^-1(AB)X = A^-1E       (∵ 양변의 왼쪽에 A^-1를 곱)
(A^-1A)BX = A^-1         (∵ 결합법칙)
EBX = A^-1                (∵ AA^-1 = E)
BX = A^-1                  (∵ EB = B)
B^-1BX = B^-1A^-1        (∵ 양변의 왼쪽에 B^-1를 곱)
EX = B^-1A^-1             (∵ B^-1B = E)
X = B^-1A^-1               (∵ EX = X)

역행렬에는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지만, 일반적인 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 교환법칙이 성립하지 않아요. 그래서 행렬을 곱할 때 원래 있는 식의 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지가 중요해요. 위 유도에서는 원래 식의 왼쪽에 곱했어요.

(AB)(B^-1A^-1) = (B^-1A^-1)(AB) = E
(AB)^-1 = B^-1A^-1

AB의 역행렬을 구했더니 A^-1B^-1가 아니라 B^-1A^-1이에요. 우변을 보면 괄호를 풀 때 행렬의 순서가 바뀌었어요. 헷갈리면 안 돼요. A, B, C 세 개일 때도 똑같아요. (ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1

A = A^-1일 때를 보죠.

A = A^-1
AA = A^-1A (∵ 양변의 오른쪽에 A를 곱)
A² = E (∵ A^-1A = E)

k가 0이 아닌 실수일 때, (kA)^-1를 구해볼까요? 만약에 k가 행렬이었다면 (kA)^-1 = A^-1k^-1이었을 거예요. 하지만 k는 실수니까 그냥 원래 우리가 알고 있던 대로 풀면 돼요.

(kA^-1) = k^-1A^-1 = A^-1

행렬의 거듭제곱의 역행렬은 어떻게 구할까요?

우리가 알고 있는 지수법칙을 적용하면 (A²)^-1 = A^-2가 될 것 같죠? 그런데 그게 아니에요. 역행렬을 나타내는 ^-1은 일반적인 다른 지수와 하나로 합쳐지지 않아요.

(A²)^-1 = (AA)^-1 = A^-1A^-1 = (A^-1)²
(A³)^-1 = (AAA)^-1 = A^-1A^-1A^-1 = (A^-1)³
(Aⁿ)^-1 = (AAA…AAA)^-1 = A^-1A^-1…A^-1 = (A^-1)ⁿ

역행렬의 성질
AA^-1 = A^-1A = E
(A^-1)^-1 = A
(AB)^-1 = B^-1A^-1, (ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1
A = A^-1 이면 A² = E
(kA)^-1 = k^-1A^-1 = A^-1 (k ≠ 0인 실수)
(Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ

일 때, 다음을 구하여라.
(1) (A^-1B)^-1(B^-1A)^-1
(2) AX = B를 만족하는 X

(1) (A^-1B)^-1(B^-1A)^-1
= B^-1(A^-1)^-1A^-1(B^-1)^-1        (∵ (AB)^-1 = B^-1A^-1)
= B^-1AA^-1B                         (∵ (A^-1)^-1 = A)
= B^-1EB                              (∵ AA^-1 = E)
= B^-1B                                (∵ B^-1E = B^-1)
= E

(2) AX = B
A^-1AX = A^-1B (∵ 양변의 왼쪽에 A^-1를 곱)

정리해볼까요

역행렬의 성질

AA^-1 = A^-1A = E
(A^-1)^-1 = A
(AB)^-1 = B^-1A^-1, (ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1
A = A^-1 이면 A² = E
(kA)^-1 = k^-1A^-1 = A^-1 (k ≠ 0인 실수)
(Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ

역행렬, 역행렬 공식

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행렬과 연립일차방정식

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행렬의 역행렬은 숫자의 역수와 비슷한 거예요. 그러니까 역수와 역행렬을 비교하면서 역행렬의 뜻과 특징에 대해서 잘 이해해두세요.

또 역행렬 구하는 공식을 유도해보고 유도된 공식을 이용해서 역행렬을 구하는 연습도 해보죠.

역행렬 공식은 어려운 공식도 아니고 앞으로도 자주 사용하는 공식이니까 꼭 외워두세요.

역행렬

숫자에 역수라는 게 있어요. 간단히 말하면 분자, 분모를 뒤집은 거죠. 고등학생이라면 조금 더 세련되게 표현할 수 있어야겠죠? 어떤 수 a와 곱했을 때 계산 결과가 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오게 하는 수를 a의 역수라고 하지요. a의 역수는 a^-1이에요.

수에 역수가 있다면 행렬에는 역행렬이 있어요. 어떤 행렬 A와 곱했을 때 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬 E가 나오게 하는 행렬을 행렬 A의 역행렬이라고 해요. 행렬 A의 역행렬은 기호로 A^-1라고 쓰고 A inverse(A 인버스)라고 읽어요.

역원을 숫자에서는 역수, 행렬에서는 역행렬이라고 하는 거지요.

참고로 숫자에서 a^-1 = 인데, 행렬에서 A^-1는 이라고 하지 않아요.

일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 AB ≠ BA지만 행렬과 그 역행렬 사이에는 AA^-1= A^-1A = E가 성립해야 해요. 항등원과 역원에서 항등원과 역원을 가지려면 교환법칙이 성립해야 한다고 했죠?

행렬 A가 2 × 3 행렬이고, A^-1가 3 × 2 행렬이라면 AA^-1 = E가 되는데 이때 E는 2차 정사각행렬이에요. 교환법칙에 따라서 A^-1A = E가 될 텐데 이때의 E는 3차 정사각행렬이죠. AA^-1와 A^-1A 모두 단위행렬 E지만 서로 다른 행렬이에요. 따라서 곱셈 결과가 똑같은 n차 단위행렬이 되려면 A와 A^-1도 n차 정사각행렬로 같은 꼴이어야 해요.

역행렬: 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

역행렬 구하는 공식

라고 놓고 역행렬을 구해보죠.

ax + bu = 1 … ①
ay + bv = 0 … ②
cx + du = 0 … ③
cy + dv = 1 … ④

① × c - ③ × a
acx + bcu = c
acx + adu = 0

(bc - ad)u = c … ⑤

① × d - ③ × b
adx + bdu = d
bcx + bdu = 0

(ad - bc)x = d … ⑥

② × c - ④ × a
acy + bcv = 0
acy + adv = a

(bc - ad)v = -a … ⑦

② × d - ④ × b
ady + bdv = 0
bcy + bdv = b

(ad - bc)y = -b … ⑧

ⅰ) ad - bc = 0일 때

ad - bc = 0이면 bc - ad = 0이므로 ⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 a = b = c = d = 0이에요.

그런데 a = b = c = d = 0이면 ①에서 0x + 0u = 1이 되어 모순이 생기죠. 마찬가지로 ④에서 0y + 0v = 1로 모순이 생겨요. 따라서 ad - bc = 0이면 역행렬을 구할 수 없어요.

ⅱ) ad - bc ≠ 0일 때

⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 양변을 (ad - bc) 또는 (bc - ad)로 나눠보죠.

⑤ →

⑥ →

⑦ →

⑧ →

x, y, u, v를 A^-1에 대입하면 를 구할 수 있어요.

A^-1A = E는 여러분이 한 번 해보세요.

역행렬 공식
이차정사각형렬 에 대하여
ad - bc ≠ 0이면
ad - bc = 0이면 행렬 A의 역행렬은 없다.

공식을 보면 행렬에서 a, d는 자리를 바꿨고, b, c는 부호가 반대로 되었어요.

ad - bc를 행렬식(Determinant)이라고 하고 대문자 D = ad - bc로 나타내요. 이차방정식에서 근을 판별할 때 이차방정식의 판별식을 이용하죠? 이것과 비슷하게 행렬식을 이용해서 역행렬이 존재하는지 아닌지를 판단할 수 있어요. D ≠ 0이면 역행렬이 있고, D = 0이면 역행렬이 없어요.

다음 행렬의 역행렬이 있는지 보고, 역행렬이 있으면 역행렬을 구하여라.

역행렬이 존재하는지 아닌지는 행렬식 D를 보면 알 수 있어요.

(1) D = ad - bc = 1 × 4 - 2 × 3 = -2 ≠ 0으로 역행렬이 존재하네요.

(2) D = ad - bc = 2 × 6 - 3 × 4 = 0으로 역행렬이 존재하지 않아요.

정리해볼까요

역행렬

같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

이차정사각형렬 에 대하여

ad - bc ≠ 0 →

ad - bc = 0 → 행렬 A의 역행렬은 없다.

케일리-해밀턴 정리

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역행렬의 성질

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케일리-해밀턴 정리라는 것에 대해서 알아볼 건데요 꼭 알아야 하는 건 아니에요. 몰라도 상관없는데 알아두면 문제를 풀 때 도움을 받을 수 있어요. 케일리-해밀턴 공식 자체가 어렵지는 않은데요. 이 공식을 이용해서 풀어야하는 문제는 조금 어려운 문제예요. 그러니까 실제로 공식을 안다고 하더라도 문제에 적용하기가 만만치 않은 내용이죠. 이 내용이 너무 어렵다고 생각된다면 그냥 이런 게 있구나 하는 정도로 넘어가고 이해가 된다면 외워두고 문제 풀 때 활용하세요.

이왕 외워서 활용하기로 했다면 어떤 공식이고 어디에 사용하면 외워둔 보람을 느낄 수 있을지 잘 확인하세요.

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.

이상하게 생긴 공식이죠?

증명은 어렵지 않아요. 그냥 대입해서 전개해보세요.

이 공식은 행렬의 거듭제곱, 고차행렬, 다음에 공부할 역행렬 등과 관련된 문제를 풀 때 사용해요. 단순히 이 공식을 활용하는 문제라기보다는 어려운 문제를 풀 때 이 공식을 이용할 수 있도록 하는 문제들이에요. 그런데 이런 문제는 자주 나오는 문제도 아닐뿐더러 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않아도 풀 수 있는 수준의 문제가 나오죠. 하지만 이 공식을 알고 있다면 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.

2차 정사각행렬 가 A² - 4A + 3E = O를 만족할 때, 행렬 A를 구하여라.

행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

따라서 또는 이네요.

그런데 만약에 이라면 어떨까요? A를 문제에 나와 있는 식대로 계산해보죠.

은 A² - 4A + 3E = O라는 식도 만족하고 라는 기본꼴도 만족하죠. 그러니까 도 문제에서 원하는 답이 될 수 있어요.

그런데 케일리-해밀턴 정리를 적용해보세요.

-(3 + 3) ≠ -4
3² - 0 ≠ 3

어떤가요? 케일리-해밀턴 정리를 만족하지 않아요.

케일리-해밀턴 정리가 적용된 식을 이용해서 원래의 행렬을 구할 수 없다는 뜻으로 케일리-해밀턴 정리의 역은 성립하지 않는다는 얘기죠.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 원래를 행렬 A를 구하려면 다른 조건이 추가되어야 해요. 바로 행렬 A ≠ kE (k는 실수)라는 조건이요. 단위행렬 E의 실수배인 행렬이 아니라는 조건이요.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 문제를 풀려면 행렬 A ≠ kE인지 아닌지 확인하고 문제를 푸세요.

문제를 다시 풀어보죠.

ⅰ) A ≠ kE일 때: 케일리-해밀턴 정리를 이용해서 풀이

-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

또는

ⅱ) A = kE일 때: 행렬을 계산식에 직접 대입해서 풀이

a² - 4a + 3 = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
a = 3 or 1

또는

총 네 개의 행렬 A를 구했네요.

이 문제는 케일리-해밀턴 정리의 역이 성립하지 않는다는 것과 A = kE, A ≠ kE 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어야 한다는 걸 설명하기 위해서 낸 문제에요. 실제로는 이렇게 답이 여러 개인 문제는 나오지 않아요. 대게 행렬 A의 성분 중 한두 개 정도를 알려주는데 성분을 보면 A = kE인지 아닌지를 확인할 수 있어요.

이 문제를 풀었던 이유와 방법을 잘 이해하세요.

2차 정사각행렬 에 대하여 A⁴ - 5A³ - 2A² + A를 구하여라.

일단 행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
A² - 5A - 2E = O

A⁴ - 5A³ - 2A² + A
= A²(A² - 5A - 2E) + A
= A²O + A
= O + A
= A

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

정리해볼까요

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

행렬의 곱셈에 대한 항등원

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역행렬

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역행렬

연립일차방정식이 해를 가질 조건

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