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행렬의 곱셈 방법에 대해 알아봤으니 이제 행렬의 곱셈에 대한 성질을 알아볼 차례에요. 덧셈, 곱셈에 대한 성질은 자리를 바꿔도 되는 교환법칙, 연산 순서를 바꿔도 되는 결합법칙, 괄호를 풀 수 있는 분배법칙이 대표적이죠. 행렬의 곱셈에서 이 세 가지 법칙이 어떻게 적용되는지 알아볼 거예요.

그리고 일반적으로 수와 다항식에서 사용했던 곱셈에 대한 성질이 행렬의 곱셈에 대해서도 똑같이 성립하는지도 알아볼 거고요. 수와 다항식, 행렬에서의 곱셈에 대한 성질 중에 같은 것과 다른 것을 구별하고 왜 다른지도 이해할 수 있도록 하세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질

행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬의 덧셈에는 교환법칙, 결합법칙이 성립한다는 걸 공부했어요. 분배법칙은 곱셈과 덧셈을 함께 해야 하니까 여기서 다루기로 하죠.

세 행렬 A, B, C가 있어요. 행렬 A = 2 × 3 행렬, 행렬 B는 3 × 2 행렬, C는 2 × 2 행렬이라고 해보죠.

계산을 해보면 AB는 2 × 2 행렬이 될 거고, BA는 3 × 3 행렬이 돼요. AB ≠ BA죠? 즉 행렬의 곱셈에서는 교환법칙은 성립하지 않아요.

결합법칙은 성립해요. (AB)C = A(BC) 실제로 해보면 결과가 같다는 걸 알 수 있는데 너무 길어질 것 같으니까 생략할게요.

분배법칙도 성립해요. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 역시 생략하죠.

k가 실수이면 kAB = (kA)B = k(AB) = A(kB)도 성립해요. 행렬의 실수배에 대한 성질과 관련지어서 생각해보세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질과 수, 다항식에서의 곱셈에 대한 성질 비교

곱셈에 대한 성질이 행렬과 수, 다항식에서 모두 똑같이 적용되는 게 아니에요. 위에서 알아봤듯이 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.

곱셈공식에서 (a + b)² = a² + 2ab + b²가 될 수 있었던 건 ab = ba였기 때문이에요. 그런데 행렬에서 (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + AB + BA + B²이에요. AB ≠ BA이므로 A² + 2AB + B²이 될 수 없어요.

또, 실수나 다항식에서는 ab = 0이면 a = 0 or b = 0이에요. 하지만 행렬에서는 그렇지 않은 경우도 있어요. 행렬에서는 0이 아니라 영행렬 O를 사용하니까 AB = O이라도 A ≠ O, B ≠ O일 수 있어요.

일 때를 보죠.

AB = O이지만 A ≠ O, B ≠ O이죠?

또 실수와 다항식에서는 a ≠ 0 일 때, ab = ac이면 b = c죠? 행렬에서는 A ≠ O 일 때, AB = AC이더라도 B ≠ C일 수 있어요.

일 때를 보죠.

A ≠ O이고 AB = AC이지만 B ≠ C에요.

일반적인 곱셈에 대한 성질들이 행렬에서는 적용되지 않는다는 걸 알 수 있어요. 이 차이를 잘 알아두세요.

위 내용을 표로 정리해보죠.

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행렬의 곱셈에 대한 성질

행렬의 실수배는 이름 그대로 행렬에 실수를 곱한 거예요. 그냥 곱하기라서 굉장히 쉬워요. 이제까지 해왔던 다항식과 숫자의 곱과 아주 많이 비슷하니까 특별히 더 공부할 것도 없어요.

행렬의 실수배에 대한 성질에 대해서도 알아볼 거예요. 성질이라고 해서 외울 필요는 없고 그냥 계산하다 보면 자연스럽게 익히게 될 거예요.

행렬의 실수배는 그냥 숫자와 행렬을 곱하는 거라서 앞으로 공부할 행렬끼리 곱하는 것과 차이가 있으니 잘 구별하세요.

행렬의 실수배

행렬 A의 각 성분에 실수 k를 곱한 것을 각 성분으로 하는 행렬을 행렬 A의 k배라고 하고 기호로 kA로 나타내요. kA 사이에는 곱셈기호가 생략되어 있고요.

이고 k가 실수일 때 

행렬을 다항식이라고 생각하면 행렬 앞의 괄호를 그냥 다항식에서의 괄호라고 여기고 괄호 앞에 실수 k가 있다고 할 수 있어요. 그리고 마치 분배법칙처럼 괄호 앞의 k를 괄호 안의 모든 성분에 곱해주는 거죠.

행렬의 실수배에 대한 성질

행렬의 실수배는 다음과 같은 성질을 가져요.

행렬 A, B가 같은 꼴이고, k, l이 실수일 때
1A = A, (-1)A = -A
0A = O, kO = O
k(lA) = (kl)A
(k + l)A = kA + lA
k(A + B) = kA + kB

첫 번째는 1과 (-1)을 곱하는 거네요.

두 번째는 행렬 A의 모든 성분에 0을 곱하니까 모든 성분이 0이 되어 영행렬 O가 되는 거고요. 영행렬의 모든 성분은 0이니까 어떤 실수를 곱해도 그대로 0이라서 그 결과도 영행렬이 되지요.

세 번째는 실수의 결합법칙이 그대로 적용된다는 뜻이에요.

네 번째, 다섯 번째만 증명해볼까요? 이라고 해보죠.

∴ (k + l)A = kA + lA

∴ k(A + B) = kA + kB

일 때 다음을 구하여라.
(1) 2(A + B) - B
(2) 2(A - 2B) + 3(2A + B)

주어진 식을 먼저 간단히 한 후에 행렬을 대입해야 해요.

(1)

(2)

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단항식은 항이 하나만 있는 식이죠. 다항식은 항이 여러 개 있는 식을 말해요. 헷갈리면 안되는 게 단항식도 다항식의 한 종류에요. 다항식은 항이 한 개이상있는 식이니까요.

다항식의 덧셈과 뺄셈은 중학교 때 다항식의 계산에서 해봤어요. 동류항끼리 모아서 계산하는 거였죠? 그리고 다항식의 곱셈도 해봤는데, 분배법칙과 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 전개한 후에 동류항끼리 정리를 했어요.

이 글에서 공부하는 다항식의 계산은 중학교에서 공부했던 내용을 한 번 더 정리하고 복습하는 과정이에요.

다항식의 연산법칙

a + b = b + a, ab = ba가 성립하는 걸 교환법칙이라고 해요. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)가 되는 걸 결합법칙이라고 하고요. (a + b)c = ac + bc를 분배법칙이라고 하죠. 이 때, a, b, c는 숫자였어요.

다항식의 연산법칙에서는 A, B, C를 사용하는데, 이 A, B, C는 숫자가 아니라 다항식이에요. a, b, c가 숫자라고는 하지만 넓게 보면 상수항이고 단항식에 해당하니까 A, B, C 자리에 들어가도 상관없어요.

세 다항식 A, B, C에 대하여
교환법칙: A + B = B + A, AB = BA
결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C)
분배법칙: (A + B)C = AC + BC

A = 2x² + 3x + 1, B = x² - 2x - 8, C = 3x - 2라고 하죠.
(2x² + 3x + 1) + (x² - 2x - 8) = (x² - 2x - 8) + (2x² + 3x + 1)이 된다는 거예요.

새로운 얘기는 아니니까 굳이 전부 증명할 필요는 없겠죠?

다항식의 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항을 찾는 게 제일 중요해요. 문자와 차수가 같은 항을 찾아서 앞의 계수끼리 계산하는 거죠.

단, 계산에서 괄호가 있다면 괄호를 먼저 풀고 계산을 해야하고요. 그리고 마지막에는 한 문자를 정해서 내림차순으로 정리하면 끝이에요. 내림차순은 어떤 문자에 대해서 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서대로 쓰는 걸 말해요.

1. 괄호를 푼다. ( ) → { } → [ ]
2. 동류항을 찾아 계산
3. 내림차순으로 정리

다항식의 곱셈

다항식의 곱셈이 바로 곱셈공식이에요. 곱셈공식을 이용해서 전개를 하고, 동류항을 찾아서 계산을 하는 거죠. 물론 이 때도 내림차순으로 정리를 하세요.

A = 2x² + 3x + 1, B = x² - 2x - 8, C = 3x - 2일 때, 다음을 간단히 하여라.
(1) 2A - (B + C)
(2) AC - 3B

식의 값을 구하는 문제에요. 대입하죠.

(1) 2A - (B + C)
= 2(2x² + 3x + 1) - {(x² - 2x - 8) + (3x - 2)}
= 4x² + 6x + 2 - (x² + x - 10)
= 4x² + 6x + 2 - x² - x + 10
= 3x² + 5x + 12

(2) AC - 3B
= (2x² + 3x + 1)(3x - 2) - 3(x² - 2x - 8)
= 6x³ + 9x² + 3x - 4x² - 6x - 2 - 3x² + 6x + 24
= 6x³ + 2x² + 3x + 22

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복소수의 연산법칙과 실수의 연산법칙이 같고, 복소수의 항등원과 역원은 실수의 항등원과 역원하고 같아요. 하나도 새로울 게 없어요. 숫자만 실수에서 복소수로 바뀐 것뿐이에요. 항등원과 역원을 구하려면 연산에 대해 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야한다는 것도 같아요. 이 글을 통해서 복습하는 거로 생각하세요.

그냥 쭉 한 번 읽어보고 기억해두시면 됩니다.

실수 체계, 실수의 분류, 연산에 대하여 닫혀있다
항등원과 역원, 연산법칙

복소수의 연산법칙

실수는 사칙연산에 대하여 닫혀있다고 했어요. 그럼 복소수는 어떤 연산에 대해서 닫혀있을까요? 복소수 실수보다 더 큰 수의 체계이므로 실수와 마찬가지로 사칙연산에 대해서 모두 닫혀있어요. 그리고 실수에서 성립하는 연산법칙도 모두 성립합니다.

복소수 전체의 집합 C의 임의의 원소 z₁, z₂, z₃에 대하여
사칙연산에 대하여 닫혀있다: z₁ + z₂ ∈ C, z₁z₂ ∈ C
교환법칙: z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁z₂ = z₂z₁
결합법칙: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃), (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)
분배법칙: z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

교환법칙과 결합법칙은 덧셈, 곱셈에서만 성립하고 뺄셈, 나눗셈에서는 성립하지 않아요. 실수하고 다 똑같아요.

복소수의 항등원과 역원

연산에 대해서 닫혀있고, 교환법칙이 성립하니까 항등원을 구할 수 있겠죠? 실수에는 덧셈과 곱셈에서만 항등원이 존재합니다.

실수의 덧셈에 대한 항등원은 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이었지요? 복소수의 덧셈에 대한 항등원도 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.
복소수의 덧셈에 대한 항등원: z + 0 = z
복소수의 곱셈에 대한 항등원: z × 1 = z

실수의 덧셈에 대한 역원은 부호를 바꾼 것이였고, 곱셈에 대한 역원은 역수였어요. 복소수도 같습니다.
복소수의 덧셈에 대한 역원: z + (-z) = 0
복소수의 곱셈에 대한 역원: z ×  = 1

결론은 실수와 복소수에 대한 성질이 같다는 거예요. 실수에서 성립하는 연산법칙은 모두 복소수에서 성립하고, 실수의 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원도 복소수에서 똑같아요.

3 - 2i의 덧셈에 대한 역원과 곱셈에 대한 역원을 구하여라.

덧셈에 대한 역원은 부호를 반대로 하는 거고, 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

덧셈에 대한 역원: - (3 - 2i) = -3 + 2i

곱셈에 대한 역원:

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사칙연산이 아닌 새로운 연산을 공부할 겁니다. 공통으로 사용되는 연산이 아니라 특정한 문제에서만 사용되는 연산이 있는데, 이들 연산을 계산하는 방법과 중학교에서 공부했던 연산법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙) 사이의 관계를 공부할 거예요.

역수 알죠? 분자와 분모를 뒤집어서 쓰는 숫자잖아요. 오늘 이 글에서 항등원과 역원을 공부하면 왜 역수라고 하는지 이해할 수 있을 거예요. 항등원과 역원은 간단한 계산 문제니까 덧셈, 뺄셈만 잘 하면 맞출 수 있어요. 용어만 헷갈리지 않도록 주의하세요.

실수의 연산법칙

중학교 때 배웠던 연산법칙 세 가지가 있죠?

• 교환법칙: a + b = b + a, ab = ba
• 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
• 분배법칙: (a + b)c = ac + bc

교환법칙과 결합법칙은 덧셈과 곱셈에서만 성립해요. 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않습니다. 분배법칙은 괄호 안은 덧셈이나 뺄셈이어야 하고, 괄호 밖은 곱셈이나 나눗셈이어야 해요. 괄호 안이 곱셈이거나 괄호 바깥이 뺄셈이면 성립하지 않아요.

이제부터는 사칙연산뿐 아니라 새로운 연산들이 많이 나와요. 심지어는 해당 문제에서만 사용되는 새로운 연산을 만들 수 있어요. 예를 들어서 "a ⊙ b = 2a + b + 1로 정의할 때" 같은 문장을 넣을 수 있다는 거죠. 그러면 그 문제는 문장에 나온 그대로 계산을 해야 해요. 참고로 이 기호는 이름이 없으니까 "a 연산 b"라고 읽으세요.

이처럼 새로운 연산을 만든다 하더라도 위 법칙은 유효합니다.

임의의 세 수 a, b, c에 대하여
교환법칙 성립 ⇔ a ⊙ b = b ⊙ a
결합법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c)
분배법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) △ c = (a △ c) ⊙ (b △ c)

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + kb - 3
라고 정의할 때, 이 연산에 대해서 교환법칙이 성립한다고 한다. 상수 k의 값을 구하여라.

일단 연산 △은 (연산 기호 앞의 숫자) + k × (연산 기호 뒤의 숫자) - 3이라고 정의되어 있어요.

교환법칙이 성립한다면 두 실수 a, b에 대하여 a △ b = b △ a가 성립해요. 대입해보죠.

a △ b = b △ a
a + kb - 3 = b + ka - 3
k(b - a) = b - a
k = 1

항등원과 역원

항등원과 역원에 대해 설명을 하기 전에 알아야 할 게 있어요. 항등원과 역원을 구하려면 일단 그 연산에 대하여 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야 합니다. 이 두 가지 조건이 갖추어지지 않았으면 항등원과 역원을 구할 수 없어요.

항등원과 역원을 구하라는 문제는 이 두 조건을 만족한다는 전제가 깔렸으니까 따로 확인해볼 필요는 없어요. 단, 항등원을 구할 수 있는가를 물어보는 경우에는 이 두 가지를 확인하세요.

항등원

집합 S의 임의의 원소 a와 원소 e를 연산한 결과가 a가 될 때 e를 연산에 대한 항등원이라고 해요. 쉽게 말하면 연산을 한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 수지요.

10에 0을 더하면 원래 수인 10이 돼요. 100에 0을 더해도 100이 되죠. 덧셈에서는 어떤 수에 0을 더하더라도 원래 수가 나오잖아요. 이때 0을 덧셈에 대한 항등원이라고 해요.

곱셈에서는 어떤 수에 1을 곱하더라도 원래 수가 나와요. 따라서 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.

항등원: a ∈ S일 때 a ⊙ e = e ⊙ a = a를 만족하는 e (e ∈ S)

항등원은 그 연산에서 딱 하나만 있어요. 덧셈에는 0, 곱셈에는 1만 항등원이에요.

연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원이 없을 수도 있어요.

역원

집합 S의 임의의 원소 a와 x를 연산한 결과가 항등원 e가 될 때 x를 연산에 대한 a의 역원이라고 해요. 항등원이 나오게 하는 수지요.

10에 -10을 더하면 덧셈의 항등원인 0이 되죠? 그래서 덧셈에 대한 10의 역원은 -10이에요. 덧셈에 대한 20의 역원은 -20이죠.

10에 얼마를 곱해야 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오나요? 이에요. 20에 을 곱하면 1이 나오죠? 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

역원: a ∈ S일 때, a ⊙ x = x ⊙ a = e를 만족하는 x (x ∈ S)

역원은 하나의 연산에서 하나만 있는 게 아니에요. 같은 연산이라 하더라도 숫자마다 달라져요. 덧셈에 대한 10과 20의 역원이 달랐죠?

역원은 연산 결과가 항등원이 나오는 수에요. 따라서 역원을 구하려면 항등원을 미리 구해야 해요. 항등원이 없으면 역원도 없어요. 또, 연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원만 있고, 역원이 없는 경우도 있습니다.

항등원은 연산에 대해서 하나만 존재하기 때문에 문제에서도 그냥 항등원을 구하라고 나와요. 역원은 숫자마다 달라져요. 따라서 문제에서는 "3의 역원을 구하여라. 4의 역원을 구하여라."처럼 숫자를 하나 지정해주고 그 숫자의 역원을 구하게 됩니다.

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + b - 3
라고 정의할 때, 연산 △에 대한 항등원과 5의 역원을 구하여라.

항등원을 e, 5의 역원을 x라고 해보죠.

항등원은 a △ e = e △ a = a를 만족하는 e를 구하는 거니까 식에 대입해보면
a + e - 3 = a
e = 3

연산 △에 대한 항등원은 3이네요.

5의 역원은 연산한 결과가 항등원 3이 나오는 x에요.
5 △ x = x △ 5 = 3
5 + x - 3 = 3
x = 1

연산 △에 대한 5의 역원은 1이네요.

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집합의 연산법칙은 쉬우면서도 어려운 내용이에요. 연산법칙이라고 부르는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙은 숫자와 식의 계산에서 이미 다 들어본 용어들이에요. 그래서 집합에 적용해도 이해하기에 어렵지는 않을 거예요.

하지만 실제 문제에서 집합의 연산법칙들을 이용해서 계산하기는 어려울 거예요. 기호도 비슷하고 숫자가 아니라 알파벳으로 되어 있으니까요. 하지만 이미 알고 있는 법칙이고 수와 식에서 계산을 해봤다는 자신감을 느낀다면 충분히 해낼 수 있을 거로 생각합니다.

집합의 연산

집합의 연산에 대해서 정리해보죠. 교집합과 합집합, 전체집합, 여집합, 차집합

교집합은 A와 B 양쪽 모두에 속한 원소들로 이루어진 집합이에요. A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}
합집합은 A에 속하거나 B에 속하거나 A, B 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이고요. A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}
차집합은 A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이죠. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}
여집합은 전체집합 U에 속하는 원소 중 A에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이에요. A^C = {x|x ∈ U이고 x A}

집합의 연산법칙

숫자를 더하고 빼고 곱하고 나누는 걸 사칙연산이라고 하지요? 집합도 연산을 합니다. 덧셈, 뺄셈이 아니고 합집합(∪), 교집합(∩), 여집합(^C), 차집합(-)의 연산이요. 마치 숫자들을 계산하듯이 집합들도 식으로 풀어내는 거죠.

정수와 유리수의 덧셈, 곱셈에서 교환법칙이라는 게 성립해요. +, × 기호 양옆에 있는 숫자의 자리를 바꿔서 계산해도 값이 같은 걸 말하죠.
x + y = y + x
xy = yx

집합에서도 교환법칙이 성립해요. 단, 교집합과 합집합에서만 성립해요. 여집합과 차집합에서는 성립하지 않습니다.

결합법칙이라는 것도 있죠? 괄호를 쳐서 계산의 우선순위를 바꿔도 되는 거요. 집합에서도 성립합니다. 교환법칙과 마찬가지로 교집합과 합집합에서만 성립해요.

교환법칙, 결합법칙 말고 하나 더 있죠? 분배법칙이요.

위 그림에서 +, × 기호가 ∩, ∪으로 바뀐 것뿐이에요.

위에서 설명한 세 가지 법칙들을 잘 이해해야 해요. 다항식의 계산 보면 항이 여러 개 있는 식을 간단히 정리하는 문제가 나오죠? 고등학교에서는 집합이 그런 식으로 나와요. 집합 여러 개를 써놓고 연산법칙을 이용해서 간단하게 정리하는 문제가 나오죠.

아래 연산과정에서 사용된 연산법칙은 무엇인가?
A ∪ (B ∩ A)
= A ∪ (A ∩ B)            ∵ (1)
= (A ∪ A) ∩ (A ∪ B)   ∵ (2)
= A ∩ (A ∪ B)
= A                            ∵ A ⊂ (A ∪ B)

(1)에서는 괄호 안의 (B ∩ A)가 (A ∩ B)로 바뀌었네요. A와 B가 자리만 바꿨어요. 교환법칙이에요.

(2)에서는 괄호 밖의 A가 괄호 안의 (A ∩ B)에 각각 연산을 했네요. 분배법칙이 사용되었어요.

이어지는 집합의 연산법칙 2 - 드모르간의 법칙을 본 다음에 예제 문제를 풀어보죠.

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인수분해 어디서 들어본 것 같죠? 소인수분해 들어봤잖아요. 글자 하나만 다르죠? 그 원리나 용어의 뜻도 비슷해요. 소인수분해와 같은 점, 다른 점을 함께 공부하면 더 쉽게 이해할 수 있어요.

다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 분배법칙과 그 분배법칙을 활용한 곱셈공식이 있어요. 인수분해는 다항식의 곱셈에서 했던 곱셈공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그러니까 이번에 곱셈공식을 잊고 있었다면 다시 한번 외우세요. 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식

이 글에서는 인수분해와 인수의 뜻을 알아보고, 간단한 인수분해도 공부할거예요.

인수분해

약수와 인수

약수와 인수는 같은 것 같지만 서로 달라요.

어떤 수를 다른 수로 나누었을 때, 나머지가 0이면 나누는 수를 나눠지는 수의 약수라고 해요.

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지는 0)
(나눠지는 수) ÷ (약수) = (몫) + 0

반면에 인수는 어떤 수나 식들을 곱해서 다른 수나 식이 될 때 곱해지는 식 또는 수를 말해요.

(인수) × (인수) = (식 또는 수)

그러니까 약수는 나누기를 기준으로 하고, 인수는 곱하기를 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

인수분해

소인수분해는 어떤 숫자를 소수인 인수 즉, 소인수들의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거죠? 숫자를 소인수들의 곱으로 분해하는 거잖아요. 인수분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식 또는 수의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거예요. 소수뿐 아니라 다항식으로 분해라는 거라서 앞에 "소"자가 빠지고 그냥 인수분해예요.

소인수분해: 12 = 2² × 3
인수분해: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해는 (하나의 다항식) -> (식의 곱)으로 표시하는 거예요. (식의 곱) → (하나의 다항식)으로 하는 반대과정을 생각해볼 수 있겠죠? 이 반대과정이 전개예요. 즉 인수분해와 전개는 서로 반대 과정인거죠.

다항식의 곱을 전개할 때 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 하죠. 전개와 인수분해가 반대과정이니까 인수분해 공식도 곱셈공식의 반대공식이에요.

인수 구하기

그러면 인수분해된 걸 보고 인수를 구하는 방법을 알아보죠.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

우변에서 곱해져 있는 것들이 바로 인수예요. (x + 1)과 (x + 2)가 인수죠. 그리고 이들을 곱한 게 또 인수입니다. 마지막으로 모든 수의 약수에 1이 포함되듯이 모든 식의 인수로도 1이 포함돼요.

인수 1개: (x + 1), (x + 2)
인수 2개를 곱한 것: (x + 1)(x + 2)
모든 식의 인수: 1

총 4개의 인수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기에서 각 소수의 지수에 1씩 더해서 곱하면 약수의 개수만 바로 구하는 방법이 있었죠?

소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

12 = 2² × 3 → 약수의 개수는 (2 + 1)(1 + 1) = 6

인수분해에서도 같은 방법으로 인수의 개수를 구할 수 있어요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
→ 인수 (x + 1)의 지수는 1, 인수 (x + 2)의 지수가 1
→ (1 + 1)(1 + 1) = 4

인수: ① 인수분해가 된 상태에서 괄호로 묶인 것, 괄호 밖의 숫자와 문자
        ② ①의 인수들을 서로 곱한 것
        ③ 모든 식의 인수 1
인수의 개수 = 각 인수의 (지수 + 1)의 곱

2x² + 6x + 4가 2(x + 1)(x + 2)로 인수분해될 때, 2x² + 6x + 4의 인수를 모두 구하여라.

인수분해가 이미 다 되어있네요. 인수분해가 된 상태에서 괄호 쳐진 각각의 것들이 모두 인수예요. 이때, 괄호 밖에 있는 것들은 숫자, 문자 모두 하나의 인수예요. 각 인수를 서로 곱한 게 인수고 마지막으로 1도 인수고요.

1개짜리 인수: 2, (x + 1), (x + 2)
2개를 곱한 인수: 2(x + 1), 2(x + 2), (x + 1)(x + 2)
3개를 곱한 인수: 2(x + 1)(x + 2)
모든 수의 인수: 1

총 8개의 인수가 있네요.

인수가 8개 맞는지 확인해보죠. 2의 지수 1, (x + 1)의 지수 1, (x + 2)의 지수 1이므로 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8이네요. 8개가 맞네요.

공통인수로 인수분해

이제 직접 인수분해를 해볼까요? 인수분해를 할 때, 가장 먼저 하는 게 공통인수로 묶는 거예요. 이건 분배법칙을 거꾸로 하면 돼요

여러 개의 항도 인수로 되어 있겠죠? 그중에서 서로 똑같은 인수가 있을 때, 그걸 공통인수라고 하고 분배법칙을 이용해서 공통인수로 묶어요. 이때 공통인수는 1은 제외해요. 숫자는 최대공약수를 사용하고, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 공통인수로 사용합니다.

공통인수: 모든 항에 들어있는 인수.
              1은 제외. 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 높은 것
공통인수로 인수분해: 각 항을 공통인수로 묶고, 공통인수로 나눈 몫은 괄호로
                              ma + mb = m(a + b)

x² + 3x을 볼까요? x²은 x와 x²을 인수로 가져요. 3x는 3과 x가 인수죠? 공통으로 들어있는 인수는 x네요. x²에서 x로 나누면 x예요. 3x를 x로 나누면 3이고요. x라는 공통인수로 나누고, 몫을 그대로 써주면 돼요.
x² + 3x = x(x + 3)

12a + 16a²를 공통인수로 인수분해해보죠. 숫자는 최대공약수를 사용하니까 12와 16의 최대공약수 4이고 공통으로 들어있는 문자는 a예요. 그러니까 공통인수는 4a입니다. 12a를 4a로 나누면 3이죠? 16a²에서 4a로 나누면 4a고요.
12a + 16a² = 4a(3 + 4a)

다음 식을 인수분해하여라.
(1) x² - 3x
(2) 4a² + 8a
(3) 2xy + 3yz

공통인수로 묶어서 인수분해를 하는데, 공통인수는 각 항에 들어있는 인수 중 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 찾아요.

(1) 공통인수는 x네요. x로 묶고, 나머지는 괄호 안에 써주면
x² - 3x = x(x - 3)

(2) 공통인수는 숫자는 4, 문자는 a예요.
4a² + 8a = 4a(a + 2)

(3) 숫자는 최대공약수가 1이니까 제외하고요. 문자는 둘 다 y가 들어있어요.
2xy + 3yz = y(2x + 3z)

제곱근의 곱셈과 나눗셈에 이어 제곱근의 사칙연산 두 번째 제곱근의 덧셈과 뺄셈이에요.

일차방정식에서 공부했던 동류항이라는 거 기억하죠? 제곱근의 덧셈과 뺄셈의 기본적인 원리는 동류항의 계산과 비슷해요. 이걸 살짝 응용하면 돼요. 동류항 계산은 할 수 있잖아요.

덧셈, 뺄셈만 바로 하면 참 쉬운데, 앞에서 봤던 분모의 유리화, 제곱근 풀기 등의 과정이 복잡하게 들어있어요. 이런 과정들을 먼저 거친 이후에야 덧셈, 뺄셈할 수 있도록 식의 모양이 바뀌어요. 그러니까 이들도 소홀히 해서는 안 돼요.

또, 제곱근에서도 분배법칙이 성립하는지도 알아보죠.

제곱근의 덧셈과 뺄셈

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서는 근호 안의 숫자끼리 곱하거나 나누면 됐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 숫자끼리 더하거나 빼면 될까요? 가 되면 좋겠죠? 1 <  = 1.414로 가 1보다 커요. 를 2개 더하면 2보다 크니까 위 계산법은 틀렸어요. 단순히 숫자만 더해서는 결과를 알 수 없다는 거죠.

똑같은 수 2개를 더하니까 곱셈으로 바꿔서 계산할 수 있죠?

다른 걸 한번 해보죠.

곱셈을 덧셈으로 바꾼 다음에, 덧셈을 곱셈으로 바꿨어요. 처음과 끝만 보면 인데, 앞의 숫자만 더해주고, 제곱근 부분은 바뀐 게 없어요.

동류항의 덧셈과 뺄셈에서 문자와 차수가 같은 항을 동류항이라고 하고, 이 동류항끼리만 덧셈, 뺄셈할 수 있다고 했어요. 이와 비슷하게 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 하나의 문자로 취급해버리세요.

제곱근을 문자 취급하고, 제곱근 앞의 정수를 계수 취급하면 위 그림처럼 간단히 계산할 수 있어요.

은 어떻게 계산할까요? 제곱근을 문자 취급하면, 서로 다른 제곱근이므로 2a + 3b라는 식으로 생각할 수 있겠죠? 이 식에서는 문자가 다르니까 더는 계산할 수가 없지요. 제곱근의 계산에서도 제곱근이 다르면 계산을 할 수가 없어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근 부분이 같은 항끼리만 덧셈, 뺄셈할 수 있어요. 는 더는 계산할 수 없어요.

다음을 간단히 하여라.

제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 문자 취급해서 마치 동류항 계산하는 것처럼 계산하면 됩니다.

(2)에서는 제곱근 부분이 같은 항만 덧셈, 뺄셈을 할 수 있어요.

(3)은 얼핏 보면 근호 안의 숫자가 다르니까 계산할 수 없는 것처럼 보이죠. 그런데 근호 안에 제곱인 수가 있으면 제곱근의 성질을 이용해서 제곱인 수를 꺼낼 수 있어요. 제곱인 수를 꺼낸 다음에 근호 안에 남는 숫자를 비교해야 해요.

(4)는 뒤에 있는 항의 분모에 제곱근이 있네요. 이때는 분모의 유리화를 한 다음에 계산합니다.

제곱근의 분배법칙

제곱근에서도 분배법칙이 성립해요. 분배법칙은 어디에서나 다 성립합니다.

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곱셈공식 두 번째예요. 곱셈공식 - 완전제곱식에서 완전제곱식의 형태인 공식을 두 개 공부했어요.

이 글에서 공부할 곱셈공식은 조금 더 어려워요. 하지만 공식이 만들어지는 원리는 분배법칙으로 모두 같아요. 만들어지는 원리를 잘 이해하고, 그림을 통해서 한 번 더 확인해보면 공식을 외우는 데 도움이 될 거예요.

공식을 외우는 이유는 계산과정을 조금 더 쉽고 빨리하기 위해서예요. 그런데 공식을 외우라고 하면 공식은 잘 외우지만, 실제 계산에서 적용하지 못하는 학생들이 있어요. 단순히 외우지만 말고 실제 문제에서 바로바로 적용할 수 있도록 연습을 많이 하세요.

곱셈공식

곱셈공식 (3) - 합차공식

세 번째 곱셈공식은 합차공식이라는 이름으로 불러요. 왜 합차공식이냐면 두 항을 더한 것과 뺀 것을 곱하거든요.

(a + b)(a - b)는 a와 b를 한 번은 더하고, 한 번은 빼서 곱하는 거죠. 전개해서 정리해볼까요?

(a + b)(a - b)
= a(a - b) + b(a - b)
= a² - ab + ba - b²
= a² - b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼주는 거예요.

그림으로 확인해보죠.

한 변의 길이가 a인 정사각형에서 가로는 b만큼 늘려주고, 세로는 b만큼 줄이면 가로 길이는 (a + b), 세로 길이는 (a - b)예요. 넓이는 (a + b)(a - b)죠. 이게 가운데 그림이에요.

가운데 그림의 오른쪽에 있는 작은 사각형을 밑으로 돌리면 세 번째 그림처럼 돼요. 흰 사각형의 가로 길이는 a - (a - b) = b죠.

색칠한 부분의 넓이 = 전체 사각형의 넓이 - 흰 사각형
(a + b)(a - b) = a² - b²

합차공식은 두 개의 항을 한 번은 더하고, 한 번은 뺀 것을 곱할 때만 씁니다. (a + b)(a - c)는 +, -가 있지만 두 번째 항이 b와 c로 달라서 합차공식을 사용해서는 안 돼요.

(a + b)(a - c) ≠ a² - b²
(b + c)(d - c) ≠ b² - c²

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + b)(3a - b)
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
(3) (5a - 2b)(5a + 2b)

합차공식은 앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼면 돼요.

(1) (3a + b)(3a - b)
= (3a)² - b²
= 9a² - b²

(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
= (2a)² - (3b)²
= 4a² - 9b²

(3)은 두 항의 뺄셈이 앞에 있고, 덧셈이 뒤에 있죠. 곱셈에서는 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
(5a - 2b)(5a + 2b)
= (5a)² - (2b)²
= 25a² - 4b²

곱셈공식 (4) - x의 계수가 1일 때

이번 곱셈공식은 x가 있는 일차식 두 개를 곱하는 공식이에요. 이때 두 일차식의 x의 계수가 1이에요.

(x + a)(x + b)를 전개해서 정리해보죠. 여기서 a, b는 상수항이에요.

(x + a)(x + b)
= x(x + b) + a(x + b)
= x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab

세 번째 줄의 ax와 bx가 x가 있는 동류항이라서 서로 더해줬어요.

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

x는 제곱해주고, 두 상수항을 더한 것에 x붙여주고, 두 상수항을 곱한 것을 더해줘요.

역시 그림으로 확인해보죠.

가로가 (x + a)이고, 세로가 (x + b)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
                    = x² + (a + b)x + ab

다음을 간단히 하여라.
(1) (x + 2)(x + 3)
(2) (x + 3)(x - 5)
(3) (x - 2)(x - 3)

계수가 1인 두 일차식의 곱은 x는 제곱, 두 상수항의 합에 x를 붙여주고, 상수항의 곱을 더해주는 거예요.

(1) (x + 2)(x + 3)
= x² + (2 + 3)x + 2 × 3
= x² + 5x + 6

(2) (x + 3)(x - 5)
= x² + {3 + (- 5)}x + 3 × (-5)
= x² - 2x - 15

(3) (x - 2)(x - 3)
= x² + {(-2) + (-3)}x + (-2) × (-3)
= x² - 5x + 6

곱셈공식 (5) - x의 계수가 1이 아닐 때

이번 게 제일 어려운 곱셈공식이에요. 이번에도 일차식 두 개를 곱하는데 일차항의 계수가 1이 아니에요.

(ax + b)(cx + d)에서 a, c는 일차항의 계수이고, b, d는 상수항이에요.

(ax + b)(cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= acx² + adx + bcx + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

복잡하죠? 동류항이 있어서 더해주는 과정이 있어요.

그림을 보죠.

가로가 (ax + b)이고, 세로가 (cx + d)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(ax + b)(cx + d) = acx² + adx + bcx + bd
                       = acx² + (ad + bc)x + bd

다음을 간단히 하여라.
(1) (2x + 3)(3x + 1)
(2) (3x - 1)(2x + 1)
(3) (2x - 1)(4x + 3)

(1) (2x + 3)(3x + 1)
= 2x × 3x + (2 × 1 + 3 × 3)x + 3 × 1
= 6x² + 11x + 3

(2) (3x - 1)(2x + 1)
= 3x × 2x + {3 × 1 + (-1) × 2}x + (-1) × 1
= 6x² + x - 1

(3) (2x - 1)(4x + 3)
= 2x × 4x + {2 × 3 + (-1) × 4}x + (-1) × 3
= 8x² + 2x - 3

곱셈공식 - 완전제곱식에서 2개, 이 글에서 3개 해서 총 5개의 곱셈공식을 공부했어요. 무조건 외워야 합니다.

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² - b²
4. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
5. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

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곱셈공식 - 완전제곱식
단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
곱셈공식의 변형

단항식끼리의 사칙연산, 다항식끼리의 사칙연산을 공부했어요. 이제는 다항식과 단항식의 계산을 공부할 차례에요. 이 글에서는 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부합니다. 어차피 다항식의 계산은 분배법칙과 동류항 계산이라는 큰 틀 안에 있어요. 이 두 가지만 잘 잘 기억하고 있으면 돼요.

항도 많은데다가 지수 같은 건 글자도 작아서 헷갈리기도 쉬워서 제일 짜증 나는 단원이기도 해요. 하지만 복잡하다고 해서 어려운 건 아니에요. 하나씩 짚어가면서 계산하면 할 수 있어요. 몰라서 틀리는 경우보다 실수로 틀리는 게 많은 단원입니다. 연습을 많이 하셔야 해요.

단항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈

(다항식) × (단항식)

다항식에는 항이 두 개 이상이 들어있어요. 각각의 항에 단항식을 곱해줘야 합니다. 이걸 바로 분배법칙이라고 하죠?

분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리해서 하나의 다항식으로 바꾸는 걸 전개라고 하고, 이 과정을 거쳐 생긴 새로운 다항식을 전개식이라고 해요.

전개할 때는 다항식의 항과 단항식을 곱하게 되는데, 이때 단항식의 곱셈에서 했던 것처럼 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 곱해야 해요.

4a(2a - 3b)를 계산해보죠. 전개하려면 4a를 2a - 3b의 두 항에 모두 곱해요.

전개하는 과정에서 동류항이 있다면 동류항끼리 계산을 하면 됩니다. 위에서는 동류항이 없네요.

다항식과 단항식의 곱셈
분배법칙으로 괄호 풀기 → 단항식의 곱셈(숫자끼리, 문자끼리 곱) → 동류항 계산 → 결과(전개식)

다음을 간단히 하여라.
(1) (2a² + 3ab) × a
(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)

단항식과 다항식의 곱셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항 계산해서 정리합니다.

(1) (2a² + 3ab) × a
= 2a² × a + 3ab × a
= 2a³ + 3a²b

(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
= 2ab × 3a³b + 2ab × 2ab²
= 6a⁴b² + 4a²b³

(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)
= 4a × 2a + 4a × 3b - (2b × a + 2b × 3b)
= 8a² + 12ab - (2ab + 6b²)
= 8a² + 12ab - 2ab - 6b²
= 8a² + 10ab - 6b²
밑에서 두 번째 줄에 보면 동류항이 있어서 동류항 정리까지 했어요.

(다항식) ÷ (단항식)

유리수의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하는 게 편하죠? 다항식과 단항식도 나눗셈은 곱셈으로 고쳐서 계산합니다.

나누기를 곱하기로 바꾸고 역수를 취하면 모양이 바뀌는데, 위 곱셈에서 했던 것처럼 분배법칙을 이용해서 전개하는 거예요. 나눗셈을 계산하는 방법은 여러 가지가 있는데, 곱셈으로 바꿔서 하는 방법이 실수가 가장 적은 방법이에요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (15ab + 5ab²) ÷ 5b
(2) (4a²b - 6ab² + 3ab) ÷ 2ab
(3)

다항식과 단항식의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

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1학년 때 다항식의 계산을 공부했어요. 특히 일차식의 덧셈과 뺄셈을 많이 연습했었죠? 이번 글에서는 다항식 중에서도 이차식의 덧셈과 뺄셈을 공부할 거예요. 그리고 문자가 한 개가 아니라 여러 개 있는 식도 계산할 거예요.

큰 틀에서 보면 1학년 때 했던 동류항의 계산과 똑같으니까 어렵게 생각할 필요는 없어요. 다만 항의 개수가 늘어나다 보니 뭔가 더 복잡해 보이고 어려워 보이는 것뿐이에요.

계산과정에서 실수가 많이 나올 수 있으니까 집중해서 보세요. 계산을 한 항에는 줄을 긋는 등의 표시를 하는 것도 괜찮은 방법이니까 사용해 보시고요. 

다항식의 덧셈과 뺄셈

1학년 때의 다항식의 계산과 달라진 것이 있다면 문자의 개수와 차수가 늘어났다는 거예요. 1학년 때는 문자가 한 개였고, 차수는 1이었죠. 이제는 문자의 개수가 2개 이상이고, 차수도 2로 높아져요.

하지만 문자와 차수가 같은 동류항끼리 묶어서 계산한다는 원칙만 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않죠.

2a + b + 3a - 2b라는 식을 볼까요? a라는 문자와 b라는 문자가 있어요. 2a와 3a가 동류항이고, b와 -2b가 동류항이죠. 따로 계산하면 돼요.

2a + b + 3a - 2b
= 2a + 3a + b - 2b
= 5a - b

괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고 동류항끼리 묶어서 계산해요. 또, 괄호가 여러 개 있으면 소괄호(), 중괄호{}, 대괄호[] 순으로 풀어요.

3(5a - 2b) - (3a + b)
= 15a - 6b - 3a - b
= 15a - 3a - 6b - b
= 12a - 7b

다항식의 계산: 문자와 차수가 같은 동류항끼리 계산
괄호가 있으면 분배법칙을 이용
소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 괄호를 푼다.

다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + b) - 2(a - b)
(2) 3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]

괄호가 있으면 소괄호, 중괄호, 대괄호 순서로 분배법칙을 이용해서 풀고 동류항끼리 계산을 해요.

(1)은 분배법칙을 이용해서 풀어야겠네요.
3(a + b) - 2(a - b)
= 3a + 3b - 2a + 2b
= 3a - 2a + 3b + 2b
= a + 5b

(2)번은 괄호가 여러 개 있어요. 소괄호부터 차례로 하나씩 풀어보죠.
3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 3b - b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 2b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3a + 6b + 3a]
= 3a + 2[7b + 6a]
= 3a + 14b + 12a
= 15a + 14b

이차식의 덧셈과 뺄셈

일차식은 최고차항의 차수가 1인 식이에요. 그럼 이차식은 최고차항의 차수가 2인 식을 말하겠죠? 이차식은 차수가 2인 항이 하나 더 생기는 것뿐이에요.

3a² + 5a - 1 이런 식이 이차식이죠. 이때 일차항이나 상수항이 없어도 이차식이에요. 3a² + 5a도 이차식이고, 3a² - 1도 이차식, 3a²만 있어도 이차식이에요. 하지만 이차항은 꼭 있어야 해요.

이차식을 계산한 후에 답을 쓸 때는 차수가 높은 수부터 내림차순으로 정리해요. 이차항, 일차항, 상수항의 순서로 쓰는 거죠. 순서가 다르다고 해서 틀린 건 아니지만, 내림차순으로 쓰기로 약속했어요.

이차식: 최고차항의 차수가 2인 다항식
동류항 계산: 이차항끼리, 일차항끼리, 상수항끼리 계산
내림차순: 이차항, 일차항, 상수항의 순서로

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)을 계산해보죠. a²라는 이차항, a의 일차항, 상수항으로 되어 있어요. 두 번째 괄호 안에는 일차항이 없지만 상관없어요.

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)
= 2a² + a² + 3a + 1 + 3
= 3a² + 3a + 4

여기서도 괄호가 있다면 분배법칙을 이용해서 풀어서 동류항끼리 묶어서 계산합니다.

2(a² + 3a + 1) - 3(a² + a - 1)
= 2a² + 6a + 2 - 3a² - 3a + 3
= 2a² - 3a² + 6a - 3a + 2 + 3
= -a² + 3a + 5

다음을 간단히 하여라.
(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2

이차식에서는 동류항이 이차항, 일차항, 상수항의 세 항이 있으니까 따로 계산하면 돼요. 그리고 답을 쓸 때는 내림차순으로 쓰고요.

(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
= -3a² + 4a² - a + 2a + 2 - 2
= a² + a

(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2
= 3a² + 9a + 9 + 4a² - 12a - 2
= 3a² + 4a² + 9a - 12a + 9 - 2
= 7a² - 3a + 7

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일차방정식의 풀이에서 일차방정식의 해를 구하는 기본적인 방법을 알아봤어요. 이 글에서는 조금 더 복잡한 일차방정식의 풀이를 해볼 거예요. 방법은 똑같은데, 식이 조금 더 어렵게 나와요.

식이 복잡하고 어렵다고 해도 이항과 등식의 성질을 이용한 풀이라는 기본 원리는 똑같아요. 복잡한 식을 가능한 한 쉬운 식으로 모양을 바꾸면 다음에 우리가 알고 있는 방법으로 풀 수 있어요.

따라서 이 글에서는 공부할 내용은 복잡한 일차방정식을 덜 복잡한 일차방정식으로 바꾸는 방법이에요.

복잡한 일차방정식의 풀이

괄호가 있을 때

유리수의 사칙연산 혼합계산에서 거듭제곱과 괄호를 먼저 계산해야 한다고 했었죠? 괄호가 있는 일차방정식에서도 마찬가지로 괄호를 먼저 계산해야 해요. 거듭제곱은 안 나오니까 제외하고요. 괄호는 대부분이 분배법칙으로 풀어야 하는 경우에요. 분배법칙으로 괄호 푸는 법 알고 있죠?

2(4x + 2) = 6x + 2
8x + 4 = 6x + 2            분배법칙으로 괄호 풀기
8x - 6x = +2 - 4            x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
2x = -2                         계산
x = -1                           x의 계수로 양변 나누기

계수가 분수일 때

계수가 분수면 계산하기가 복잡하죠. 대신 계수를 정수로 바꿔서 계산하면 계산이 편해져요. 계수를 정수로 바꾸려면 분수의 분모를 없애줘야 하는데, 분모의 최소공배수를 이용해요. 모든 분모의 최소공배수를 방정식의 양변에 곱해서 분모와 최소공배수를 약분시켜 정수로 바꿔주는 거죠.

계수가 소수일 때

계수가 소수일 때도 분수일 때처럼 계수를 정수로 바꿔서 해요. 대신 이때는 10, 100, 1000, … 등 10의 거듭제곱을 곱해요. 계수가 0.1이면 10을, 계수가 0.01이면 100을 곱하고, 여러 소수가 섞여 있을 때는 소수점 이하 자리가 가장 많은 계수를 기준으로 10의 거듭제곱을 곱해요.

0.2x - 0.14 = 0.5x + 0.16
100(0.2x - 0.14) = 100(0.5x + 0.16)    상수항이 소수점이하 두 자리이므로 양변에 100을 곱.
20x - 14 = 50x + 16                            분배법칙으로 괄호 풀기
20x - 50x = 16 + 14                             x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
-30x = 30                                             동류항 계산
x = -1                                                   x의 계수로 양변을 나눔

비례식일 때

방정식이 비례식으로 나왔을 때는 (내항의 곱) = (외항의 곱)이라는 비례식의 성질을 이용해요. 내항의 곱과 외항의 곱을 이용하면 일반적으로 볼 수 있는 방정식으로 모양이 바뀝니다.

(x - 1) : 2 = (2x + 1) : 3
3(x - 1) = 2(2x + 1)          (내항의 곱) = (외항의 곱)으로 변형
3x - 3 = 4x + 2                 분배법칙을 이용하여 괄호 전개
3x - 4x = 2 + 3                 x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
-x = 5                              동류항 계산
x = -5                               x의 계수로 양변을 나눠줌

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이제까지 용어에 대해 공부했다면 앞으로는 본격적으로 계산을 공부할 거예요.

그 첫 번째로 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부할 겁니다. 다항식 중에서는 일차식만 다룹니다.

정수와 유리수에서는 덧셈과 뺄셈을 먼저 했는데, 여기는 순서가 좀 다르죠. 아주 쉬운 곱하기만 배울 거거든요. 어려운 곱하기는 중2 수학에서 배울 거예요.

단항식과 단항식을 곱하는 게 아니라 단항식과 숫자를 곱하는 것만 할 거니까 겁먹지 말고, 앞에서 공부했던 용어들에 대해서 잘 기억하세요.

단항식과 수의 곱셈과 나눗셈

2a × 3을 해볼까요? 2a × 3에서 2a에는 곱셈기호가 생략되어 있으니까 이걸 원래대로 살려보죠.
2a × 3
= 2 × a × 3      생략된 곱셈기호를 다시.
= 2 × 3 × a      곱셈에 대한 교환법칙
= 6 × a
= 6a                곱셈기호 생략

위 과정을 간단하게 정리해보면, 단항식과 숫자의 곱에서는 단항식의 계수와 숫자를 곱해주고 단항식 문자는 그대로 써주면 되는 걸 알 수 있어요.

단항식에서 숫자를 나누는 것도 단항식에 숫자를 곱하는 것과 같아요. 숫자끼리 계산하고 문자는 그대로 써주는 거죠.

6b ÷ 3 = (6 ÷ 3)b = 2b

수의 계산이 복잡한 경우에는 유리수의 나눗셈처럼 ÷를 ×로 바꾸고, 역수를 이용해서 계산해도 결과는 같아요.

다음을 계산하여라.
(1) 3a² × 5
(2) 10b ÷

단항식과 숫자를 곱하거나 나눌 때는 숫자끼리 계산한 거에 문자를 그대로 붙여주면 돼요.

(1) 3a² × 5 = (3 × 5)a² = 15a²

(2) 10b ÷ 은 분수꼴이니까 곱하기로 바꿔서 해보죠.

10b ÷  = 10b × 2 = (10 × 2)b = 20b

일차식과 수의 곱셈과 나눗셈

일차식과 숫자의 곱셈에서는 분배법칙을 이용해요. 사실은 항이 두 개 이상인 모든 다항식에서 분배법칙을 이용하지만, 중1 수학에서는 일차식만 공부하니까 일차식과 숫자의 곱이라고 이름을 붙였습니다.

분배법칙은 아래처럼 하죠.

분배법칙을 이용해서 일차식의 곱셈을 해보죠.

(2a + 4) × 3
= (2a × 3) + (4 × 3)          분배법칙
= (2 × 3)a + 12                 단항식과 숫자의 곱
= 6a + 12

3(2a + 4)처럼 곱셈기호가 생략된 경우도 있어요. 이때는 위치만 바뀌었을 뿐 모든 게 위와 같아요.

3(2a + 4)
= (3 × 2a) + (3 × 4)
= (3 × 2)a + 12
= 6a + 12

곱셈에 대한 교환법칙이 성립하니까 숫자를 일차식의 앞에 곱하든 뒤에 곱하든 계산 결과가 같은 거죠.

나눗셈도 마찬가지로 분배법칙을 이용해서 계산합니다.

(6a - 3) ÷ (-3)
= {6a ÷ (-3)} - {3 ÷ (-3)}    분배법칙
= {6 ÷ (-3)}a - (-1)             단항식과 숫자의 나누기
= -2a + 1

다음을 계산하여라.
(1) -(5a - 3)
(2) (-4a + 6b - 8) ÷ 2

항이 두 개 이상인 일차식과 숫자의 곱셈, 나눗셈에서는 일단 분배법칙을 이용해서 전개한 다음에 단항식의 계산을 이용해요.

(1)에서 괄호 앞에 -만 있는데, 이건 곱셈기호를 생략하면서 1도 함께 생략한 거예요. 원래는 (-1) × (5a - 3)인 거죠.
-(5a - 3)
= (-1) × 5a - {(-1) × 3}
= {(-1) × 5}a - (-3)
= -5a + 3

(2)에는 괄호 안에 항이 세 개 있는데요. 항이 두 개든 세 개든 천 개든 상관없어요. 일단 분배법칙을 해야 합니다.
(-4a + 6b - 8) ÷ 2
= (-4a ÷ 2) + (6b ÷ 2) - (8 ÷ 2)
= -2a + 3b - 4

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연산할 때 많이 사용하는 분배법칙이에요. 분배법칙의 뜻이 뭔지, 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

계산식에 분배법칙을 적용하는 걸 전개한다고 하는데, 분배법칙에서 제일 중요한 게 바로 식을 어떻게 전개하느냐에요. 이 점을 가장 중점적으로 보세요. 그리고 이름이 법칙이죠. 그러니까 당연히 공식처럼 외워야 해요.

또, 정수의 덧셈과 정수의 곱셈에서 공부했던 교환법칙, 결합법칙과 어떻게 다른지도 알고 있어야 해요.

분배법칙

사각형의 넓이는 (가로) × (세로)에요. 위 그림에서 왼쪽의 분홍색 사각형의 넓이는 a × c죠. 오른쪽 하늘색 사각형의 넓이는 b × c에요.

큰 사각형의 전체 넓이는 (a + b) × c잖아요. 그런데 전체 사각형은 분홍색, 하늘색 사각형으로 되어 있으니까 두 사각형의 넓이의 합과 같아요.

(a + b) × c = a × c + b × c

여기에서 얻은 공식이 바로 분배법칙이에요. 괄호 안에 a + b를 두 부분으로 나눠서 각각에 c를 곱해줘도 계산 결과가 같아요.

(6 + 9) × 3 = 15 × 3 = 45
(6 + 9) × 3 = (6 × 3) + (9 × 3) = 18 + 27 = 45

(6 + 9) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5
(6 + 9) ÷ 3 = (6 ÷ 3) + (9 ÷ 3) = 2 + 3 = 5

왼쪽에 있는 식을 오른쪽 식으로 모양을 바꾸는 걸 전개한다고 하는데요, 전개 방법을 잘 이해해야 해요.

1. 괄호 안의 앞쪽에 있는 수 a와 괄호 바깥에 있는 수 c를 곱하고
2. 괄호 안의 뒤쪽에 있는 수 b와 괄호 바깥쪽에 있는 수 c를 곱해요.
3. 마지막으로 ①, ②를 더해요. 원래 괄호 안에 두 수 a, b를 더하는 것이었으니까요.

(a + b) × c = a × c + b × c
c × (a + b) = c × a + c × b

그리고 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하죠? 위 두 식에서 (a + b)를 하나의 숫자라고 생각하면 (a + b) × c = c × (a + b)가 돼요. 결국, 네 가지가 모두 같아요.

다음을 계산하여라.
(1) (20 + 36) ÷ 4
(2) 5 × (40 – 15)
(3) 56 × 13 + 44 × 13

분배법칙은 괄호 안의 수를 하나 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산한 다음, 괄호 안에서 다른 수를 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산하죠. 그리고 이것들을 다시 모으는 거예요.

(20 + 36) ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14처럼 계산할 수도 있어요. 하지만 분배법칙을 이용해서 계산해보죠.
(20 + 36) ÷ 4 = (20 ÷ 4) + (36 ÷ 4) = 5 + 9 = 14

(2) 5 × (40 - 15) = (5 × 40) - (5 × 15) = 200 - 75 = 125

(3)번은 분배법칙을 거꾸로 하는 거예요. a × c + b × c = (a + b) × c
13이 공통으로 곱해져 있으니까 56 × 13 + 44 × 13 = (56 + 44) × 13 = 100 × 13 = 1300이 되는 거죠. 그냥 계산하는 것보다 분배법칙을 이용하니 계산이 훨씬 간단해졌죠?

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

교환법칙은 간단히 말해서 연산 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔서 계산해도 계산 결과가 같은 성질이에요. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립하죠.

결합법칙은 세 수 이상의 연산에서 연산의 순서를 바꿔도 계산 결과가 같다는 거고요. 연산의 순서는 괄호를 이용해서 나타내었죠. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립해요.

분배법칙은 괄호 안의 수들을 따로 나눠서 괄호 밖의 수와 연산을 하더라도 결과가 같은 거예요.

세 정수 a, b, c에 대하여
교환법칙: a + b = b + a, a × b = b × a
결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (a × b) × c = a × (b × c)
분배법칙: (a + b) × c = a × c + b × c

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이번에 공부할 여러 가지 일차부등식은 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이에서 배웠던 내용과 비슷해요.

복잡한 연립방정식에서 우리 어떻게 했죠? 괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 계수가 소수나 분수이면 적당한 수를 곱해서 정수로 바꿔줬었죠? 이번에 배울 내용도 바로 그거에요.

복잡한 식을 계산하기 쉽고 간단하게 방법을 공부할 거예요. 복잡한 식을 간단하게 바꾼 다음에 기존에 알고 있던 방법대로 일차부등식을 풀면 되지요.

괄호가 있는 일차부등식 - 분배법칙을 이용해서 전개

괄호가 있는 일차부등식은 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항끼리 계산해서 해를 구해요.

3(x + 2) < 2(x - 3) + 1의 해를 구하여라.

괄호가 있으니까 전개해보죠.

3(x + 2) < 2(x - 3) + 1
3x + 6 < 2x - 6 + 1
3x - 2x < -6 + 1 - 6
x < -11

계수가 분수인 일차부등식 - 분모의 최소공배수를 곱한다.

계수가 분수인 일차부등식에는 분수의 분모의 최소공배수를 양변에 곱해주세요. 계수를 정수로 만들어 계산하는 거예요.

의 해를 구하여라.

분수의 분모가 2, 3, 4, 3으로 최소공배수는 12네요. 양변에 12를 곱해보죠.

계수가 소수인 일차부등식 - 10의 거듭제곱을 곱한다.

계수가 소수이면 10의 거듭제곱(10, 100, 1000)을 곱하여 계수를 정수로 바꿔서 계산합니다.

0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5의 해를 구하여라.

소수 둘째 자리까지 있는 계수가 있으니까 100을 곱해줘야 소수가 없어지고 정수만 남겠네요. 양변에 100을 곱해보죠.

0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5
100(0.1x + 0.06) < 100(0.03x - 0.5)
10x + 6 < 3x - 50
10x - 3x < -50 - 6
7x < -56
x < -8

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