수학방

전에 애드센스 수입금을 웨스트 유니언으로 받을 때는 매번 은행에 가야 해서 불편했었죠. 이제는 송금으로 받으니까 귀찮은 건 없어졌는데, 수수료가 매달 빠져나가서 조금 아깝기도 하고요.

그래서 저처럼 수수료나 벌어보자는 생각으로 환율이 오를 때를 대비해서 외화로 받으시는 분들이 꽤 되는 거로 알고 있습니다. 그런데 환전을 했다는 분은 별로 보지 못했네요.

이번에 환율도 조금 오르고 해서 처음으로 환전을 해봤는데, 그 과정을 소개합니다. 스마트뱅킹으로 환전했으니 환전하실 분은 참고하세요.

기업은행 원화ㆍ외화 내맘대로통장 환전

저는 기업은행의 원화ㆍ외화 내맘대로통장을 사용하고 있어요. 부가서비스가 몇 가지 있거든요.

• ATM, 스마트폰, 인터넷을 이용한 환전, 내맘대로 통화 전환
  • 원화 ⇒ 외화, 외화 ⇒ 원화, 외화 ⇔ 외화
  • ATM기를 통해 외화계좌에서 원화로 현금인출 가능
  • 적용환율 : 대고객 전신환매매율
• 환율 및 외화송금수수료 우대
  • 기본우대 : 이 통장 외화예금 가입 고객이 환전, 통화전환, 해외송금 시 환율 및 외화송금수수료 30% 우대
  • 특별우대 : ATM, 인터넷뱅킹 등 비대면채널로 거래 시 환율 및 송금수수료 50% 우대
    (법인은 비대면 채널로 거래 시에만 30% 우대)

그런데 이게 원화ㆍ외화 내맘대로 통장이라고 해서 그 통장 안에서 원화와 외화를 바꾸는 게 아니더라고요. 외화끼리 바꾸는 건 되는데, 원화를 외화로 바꾸는 건 안되네요. 인터넷뱅킹에서도 통화전환(내맘대로 전용)이라는 메뉴가 있는데, 이건 외화 → 외화만 되는 것 같아요.

애드센스 수입을 환전하는 외화 → 원화는 외화송금(국내)을 이용해야 합니다. 그러니까 외화를 원화 통장으로 송금하는데 이때 환율에 맞게 자동으로 원화로 환전돼서 송금하는 거지요. 환전이 아니라 환전 후 송금이 맞는 표현이겠네요.

위 소개에 나온 것처럼 비대면채널로 거래하면 우대율이 더 높아서 스마트폰으로 환전했습니다.

원화ㆍ외화 내맘대로 통장 환전 방법

기업은행의 ONE 개인뱅킹 앱을 설치하고 로그인을 한 다음에 계좌조회에서 외환계좌를 선택하세요. 그러면 아래 그림이 나오는데 여기서 빨간 네모가 쳐진 것처럼 외화송금을 선택하세요.

외화송금(국내)이 나오는데 저는 전에 웨스트 유니온으로 애드센스 수입을 받던 기업은행 통장이 있어서 국내간이체-당행을 선택했습니다. 외화를 출금할 거니까 당연히 출금계좌는 외화계좌가 되어야겠죠? 그림에는 짤렸는데, 송금할 금액, 이름, 전화번호, 받을 계좌번호 등을 입력하는 칸이 있습니다. 다 입력을 합니다.

계좌번호와 이름 등을 다 입력하고 확인 단추를 누르면 아래 그림처럼 송금을 할 때 환율에 맞게 환전을 해서 입금을 한다는 알림창이 나옵니다. 확인을 누르세요.

일반적인 이체와 마찬가지로 출금계좌와 입금계좌 정보가 위에 나오고 중간에는 출금정보가 나와요. 여기에 송금금액(원화)과 적용환율이 나오니까 잘 보시기 바랍니다. 그런데 일반적인 이체에서는 계좌번호를 입력하면 입금계좌 정보를 자동으로 찾아서 알려주니까 이름을 비교해서 계좌번호 입력이 제대로 된 건지 확인할 수 있는데, 여기서는 제가 입력한 이름이 나오니 이게 제대로 입력한 건지 아닌지 확인할 수가 없네요. 입금계좌를 입력할 때 주의해야 할 것 같아요.

보안카드 비밀번호 넣고 확인 누르면 공인인증서 암호를 확인하는 창이 나옵니다. 공인인증서 암호 입력하면 끝입니다.

주의해야할 건 보안카드 번호, 공인인증서 암호는 60초 안에 입력해야 해요. 적용환율이 바뀐다고 60초 지나면 송금 과정을 처음부터 다시 해야 합니다.

스마트뱅킹이 아닌 인터넷뱅킹으로 할 때, 계좌이체 - 외화계좌이체(국내)를 선택하면 나머지 과정은 위와 같아요.

원화ㆍ외화 내맘대로통장은 비대면 채널로 거래할 때 환율과 수수료 50% 할인이 된다고 했는데, 일단 수수료는 0원이니까 할인을 받은 것 같아요.

환율은 얼마나 할인받았는지 모르겠어요. 적용환율일련번호라는게 어떤 힌트가 될 것 같긴한데 전혀 모르겠네요. 다만 송금을 하기 전에 기업은행에서 확인한 기준환율이 약 1130.XX원 정도였는데, 적용환율이 1125원으로 5원 차이밖에 나지 않는 걸 보면 환율 우대를 받은 것 같긴 한데 정확히 얼마나 받았는지는 모르겠어요.

그리고 실제로 들어온 돈으로 계산해보면 적용환율이 1124.5원이에요. 0.5원 차이가 무엇 때문인지도 궁금하네요.

환율이 오르는게 블로거 입장에서는 수입이 많아져서 좋은 것처럼 보이지만 광고주는 광고비가 부담스러워 광고를 줄일 수도 있으니까 장기적으로 마냥 좋다고만은 할 수 없네요.

함께 보면 좋은 글

티스토리에서 Google Analytics 사이트 검색 사용하기
애드센스 반응형 광고가 숨겨지지 않을 때 해결 방법
구글 애드센스 대체 광고 - 니트머스 AD
애드센스 수입 향상 팁 - 텍스트 광고 편

삼각함수는 기본적으로 sin, cos, tan의 세 가지예요. 거기에 각도 기본적인 θ에 -θ, 2nπ ± θ, π ± θ, ± θ로 7가지가 더 있어요. 그래서 기본 삼각함수 3개에 삼각함수 각의 변환 21개까지 총 24가지가 있어요.

물론 각의 변환 21가지를 다 외울 수 있으면 외우면 좋아요. 하지만 외우기에는 개수도 너무 많고 헷갈리죠. 그래서 이걸 한 번에 총정리하는 시간이 필요합니다. 특히 이 모든 걸 한 방에(?) 해결할 수 있는 공식이 있으니까 꼭 외웠다가 상황에 맞게 적용하세요.

삼각함수 각의 변환 총정리

삼각함수 각의 변환은 앞서 했던 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ, 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 그 이유와 결과를 공부했어요.

하지만 과정이 조금 복잡하고 개수도 많고 비슷비슷해서 헷갈리기가 쉽죠. 이 모든 경우에 한번에 적용할 수 있는 공식(?)이 있어요. 물론 공식을 안다고 해서 계산이 쉬워지는 건 아니지만 변환 과정은 조금 쉬워질 겁니다.

앞서 공부했던 내용들을 이용해서 이 과정이 나오게 된 이유를 생각해보는 것도 좋을 것 같아요.

1. 나오는 각을 + θ 또는 90°n + θ로 바꾼다.
   이때, n은 정수, 0 < θ <  또는 0 < θ < 90°
2. • n이 짝수이면 바꾸지 않는다.
     • sin → sin
     • cos → cos
     • tan → tan
   • n이 홀수이면 바뀐다.
     • sin → cos
     • cos → sin
     • tan →
3. + θ 또는 90°n + θ가 몇 사분면의 각이냐에 따라 +, -를 붙인다.
   올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos)

다음을 구하여라.
(1) sin120° × cos150° × tan210°
(2) sinθ = , cosθ = , tanθ = 일 때,
       (단, 0 < θ < )

(1) 삼각함수별로 따로 나눠서 생각해보죠.

sin120° = sin(90° × 1 + 30°)
n = 1로 홀수니까 sin → cos, 120°는 제 2 사분면의 각으로 sin은 (+)부호를 가져요.
sin120° = sin(90° × 1 + 30°) = cos30° = 

cos150° = cos(90° × 1 + 60°)
n = 1로 홀수이므로 cos → sin, 150°는 제 2 사분면의 각으로 cos은 (-) 부호를 가져요.
cos150° = cos(90° × 1 + 60°) = -sin60° = -

tan210° = tan(90° × 2 + 30°)
n = 2로 짝수니까 tan → tan, 210°는 제 3 사분면의 각으로 tan는 (+) 부호를 가져요.
tan210° = tan(90° × 2 + 30°) = tan30° =

sin120° × cos150° × tan210° =

(2)도 따로 나눠서 보죠.

n = 1로 홀수니까 sin → cos,  + θ는 제 2 사분면의 각으로 sin은 (+) 부호를 가져요.

n = 2로 짝수니까 cos → cos, π + θ는 제 3 사분면의 각으로 cos은 (-) 부호를 가져요.

n = 3으로 홀수니까 tan → ,  + θ는 제 4 사분면의 각으로 tan는 (-) 부호를 가져요.

하나로 다 모으면

함께 보면 좋은 글

삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ
삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ
삼각함수 사이의 관계
호도법, 라디안(radian)
일반각, 시초선, 동경, 양의 각, 음의 각, 사분면의 각

삼각함수 각의 변환 첫 번째예요. 여기서는 삼각함수에 사용되는 각이 일반각일 때와 사용된 각의 부호가 반대로 되었을 때 삼각함수의 값이 어떻게 바뀌는지를 알아볼 거예요. 또 이 두가지를 합쳤을 때의 삼각함수 값도 알아볼 거고요.

일반각을 호도법으로 표시하는 방법에 대해서 알고 있어야해요. 그리고 삼각함수를 구할 때 사용했던 그림있죠? 좌표평면 위에 원을 그리고 한 점에서 수선을 내렸던 그림도 잘 알고 있어야해요. 이 두 가지만 알고 있으면 이번 내용은 별로 어렵지 않을 거예요.

계산 문제가 살짝 어려울 수 있는데, 이때는 그림을 그려서 풀면 조금 더 쉬울 거예요.

삼각함수 각의 변환

일반각의 삼각함수, 2nπ + θ

삼각함수 sinθ, cosθ, tanθ의 각에서 θ는 0 ≤ θ < 2nπ의 범위를 가져요. 그런데 같은 동경에 위치한 θ라 하더라도 각이 다를 수 있어요. 우리는 이걸 호도법, 라디안(radian)에서 일반각으로 표현하는 걸 공부했었지요. 2nπ + θ (n은 정수, 0 ≤ θ < 2nπ)

각의 크기는 다르더라도 동경의 위치가 같으니까 x, y, r의 값이 같고 이들의 삼각함수 값도 같아요.

• sinθ = sin(2nπ + θ)
• cosθ = cos(2nπ + θ)
• tanθ = tan(2nπ + θ)

-θ의 삼각함수

이번에는 θ의 부호가 반대일 때를 보죠. 부호가 반대라는 건 시초선으로 부터 동경이 움직이는 방향이 반대라는 뜻으로 그림으로 나타내면 다음처럼 돼요.

-θ일 때는 점 P'(x', y')을 이용해서 삼각함수를 구해야겠네요. 점 P와 점 P'는 x축 대칭이므로 y의 부호가 반대예요. x와 r은 그대로이고요.

x' = x
y' = -y

θ가 -θ로 바뀌면 sin과 tan는 부호가 반대로 바뀌지만 cos은 부호가 바뀌지 않는 걸 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해볼까요? θ와 -θ는 x축 대칭이에요. θ가 제 1 사분면의 각이라면 -θ는 제 4 사분면의 각이 되고, θ가 제 2 사분면의 각이라면 -θ는 제 3 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 4 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 3 사분면

삼각함수 값의 부호에서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 있었죠? 여기에서 cos 함수는 제 1, 4 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 3 사분면의 부호는 (-)로 같아요. cos은 x축에 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 -θ가 되어도 cos의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 tan는 x축 대칭이 아니기 때문에 θ가 -θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ

2nπ - θ의 삼각함수

위에서 했던 2nπ + θ(n은 정수)와 -θ의 삼각함수 이 두 가지를 합쳐보면 2nπ - θ의 삼각함수를 구할 수 있어요. 2nπ - θ는 -θ와 동경의 위치가 같아요. 따라서 삼각함수 값도 같지요.

sin(2nπ - θ) = sin{2nπ + (-θ)} = sin(-θ) = -sinθ
cos(2nπ - θ) = cos{2nπ + (-θ)} = cos(-θ) = cosθ
tan(2nπ - θ) = tan{2nπ + (-θ)} = tan(-θ) = -tanθ

다음 삼각함수의 값을 구하여라.

예제에 있는 각이 2π보다 크니까 일단 일반각으로 나타내야겠네요.

함께 보면 좋은 글

일반각, 시초선, 동경, 양의 각, 음의 각, 사분면의 각
호도법, 라디안(radian)
삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의, sin, cos, tan, 삼각함수 값의 부호
삼각함수 사이의 관계

이제부터는 이차함수를 공부할 건데요. 이차함수뿐 아니라 이차함수를 중심으로 해서 이차방정식, 이차부등식 등 다른 이차식과의 관계를 공부할 거예요. 그래서 그 전에 공부했던 이차식들에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요. 이차방정식과 이차부등식은 고등학교에 올라와서 공부했으니까 이 글에서는 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수의 내용에 대해서 간단히 총정리를 해보죠.

중요한 내용만 요약할 건데, 생각나지 않는 내용이나 이런 결과가 나오는 이유를 모르겠다면 관련 글을 보면서 이해해보세요. 다음 단원을 공부하려면 이 내용이 필수니까 절대로 잊어버려서는 안 돼요.

이차함수

함수 y = f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때 이 함수를 이차함수라고 해요.(이차함수의 뜻)

• 일반형: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
• 표준형: y = a(x - p)² + q (a ≠ 0)

x의 이차항의 계수 a > 0이면 아래로 볼록한 그래프이고, a < 0이면 위로 볼록한 그래프죠. |a|가 커질수록 그래프의 폭이 좁아지고요. (이차함수 그래프의 특징)

표준형에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)예요. 축의 방정식은 x = p이고, y값의 범위는 y ≥ q이에요. (이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q)

일반형은 표준형으로 바꾼 후에 꼭짓점을 찾죠. 축의 방정식과 y값의 범위도 마찬가지고요. 일반형에서는 x, y절편을 찾기 쉬워요 x절편은 ax² + bx + c = 0의 해이고, y절편은 c예요. (y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형)

이차함수의 그래프를 보고 계수의 부호를 구하는 것도 했어요. (이차함수 계수 부호 찾기)

표준형 y = a(x - p)² + q에서

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• p와 q의 부호는 꼭짓점의 좌표를 보고 판단해요.
  • 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p > 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p < 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p < 0, q < 0
  • 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p > 0, q < 0
  
  

일반형 y = ax² + bx + c에서 a, b, c의 부호를 구하는 방법이에요.

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요. 표준형에서와 똑같아요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• b의 부호는 좌동우이
  • 그래프의 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고
  • 그래프의 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 달라요.
  
  
• c는 y절편의 위치를 보고 판단해요.
  • y절편이 x축 위에 있으면 c > 0
  • y절편이 x축 아래에 있으면 c < 0
  
  

이차함수의 식을 구하는 방법도 했어요. (이차함수 식 구하기)

• 꼭짓점의 좌표(p, q)와 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 (m, n) 대입
• 축이 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 두 점의 좌표 대입
• 세 점의 좌표(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)를 알려줬을 때: y = ax² + bx + c에 세 점의 좌표를 대입
• x축과의 교점(α, 0), (β, 0)과 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - α)(x - β)에 (m, n)을 대입

이차함수에서 최댓값과 최솟값은 꼭짓점의 y좌표에서 정해져요. 보통은 실수 전체에서 구하니까 최댓값과 최솟값 중 하나만 갖게 되지요. (이차함수의 최댓값과 최솟값)

• a > 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값
• a < 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최댓값

여기까지가 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수에요. 정리해놓으니까 양이 별로 안되네요. 그러니까 절대로 잊어버려서는 안돼요.

함께 보면 좋은 글

이차함수의 뜻, 이차함수란?
이차함수 그래프 그리기
이차함수 그래프의 특징
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q
이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)²
이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q
이차함수 그래프의 대칭이동
y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형
이차함수 식 구하기
y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호 구하기, 이차함수 계수 부호 찾기
이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대 최소
이차함수의 활용

애드센스에서 스코어카드를 제공한 이후로 걱정들을 많이 하시네요. 그 전에는 크롤러 오류에 대해서만 걱정을 많이 하셨는데, 이제는 그 범위가 넓어졌어요. 아마 크롤러 오류라는 걸 처음 접했기때문에 그 곳에 관심이 집중됐다가 이제 다른 쪽으로도 관심이 가는 모양입니다.

사실 스코어카드는 별개 아닌데, 왜 자꾸 신경쓰는 지 모르겠어요. 그래서 스코어카드에 대해서 오해하지 마시라고, 너무 크게 생각하지 마시라고 이 글을 씁니다.

앞으로는 스코어카드는 쳐다도보지 마세요.

애드센스 스코어카드

A, B 두 학생이 있어요.

먼저 A입니다.

• 집에가서 학교에서 배운 내용을 복습하고, 다음에 공부할 내용을 예습합니다.
• 숙제도 빼먹지 않고 직접 해결합니다.
• 수업시간에 선생님 말씀을 놓지지 않고 잘 들으며 필기도 열심히 합니다.
• 매일 아침 머리가 맑아지는 총명탕도 마시고요.

다음 B학생이에요.

• 집에서는 컴퓨터 게임만 합니다.
• 숙제는 다른 친구 걸 똑같이 베껴서 내고요.
• 수업시간에는 잠을 자거나 만화책을 봅니다.

여러분이 선생님이라면 A, B 두 학생의 학습태도를 어떻게 평가할까요? A는 양호, B는 불량이라고 평가하지 않을까요? 이 두 학생이 실제로 시험을 보면 점수가 어떻게 될까요? A는 좋은 점수를, B는 나쁜 점수를 받을 겁니다.

학습태도에 대한 평가도 시험 성적도 A, B 학생의 평소 생활에 따른 결과에요.

A학생은 매일 예습, 복습을 하니까 시험 점수를 잘 받는 것이지, 학습태도 평가에서 양호를 받았기때문에 시험 점수가 좋은 건 아니에요.

여기서 스코어카드는 학습태도에 대한 평가, 애드센스 수익은 시험 성적에 비교하면 됩니다.

스코어카드의 점수도 애드센스의 수입도 애드센스와 관련된 여러 환경(크롤러, 추천광고 등)의 설정에 따른 결과입니다. 스코어카드 점수와 애드센스 수익은 공통 원인에 따른 서로 다른 결과이지 둘 사이에 인과관계는 없어요. 스코어카드 점수가 높으면 수익을 많이 낼 수 있는 환경이라는 걸 예상할 수 있을 뿐, 스코어카드의 점수 자체가 수익을 많이 낼 수 있는 원인은 아니라는 거예요.

스코어카드 점수가 높다는 이유로 단가가 높고 타겟팅이 잘 되는 광고를 보여주는 건 아닙니다. 크롤러 오류가 없으니 스코어카드 점수가 높은 거고, 크롤러 오류가 없으니 타겟팅이 잘 된 광고가 나오는 거지요.

애드센스 수익을 높이기 위해서 크롤러 오류를 해결해야하는 건 맞지만, 스코어카드 점수를 높이기 위해서 크롤러 오류를 해결하려고 하지 마세요. 스코어카드 점수는 블로거가 할 수 있는 영역 밖의 내용도 평가항목에 들어가기때문에 일정한 점수를 넘기는 건 불가능합니다.

어떻게 하면 학습태도 평가를 잘 받을까를 고민할 필요가 없어요. 마찬가지로 스코어카드 점수를 잘 받으려고 노력할 필요도 없는 거예요. 스코어카드에서 지적한 문제들을 해결하면 되는 거지 녹색불 점수를 더 받아야하는데 하고 전전긍긍하지 마세요. 스코어카드 점수는 그 어떤 것에도 영향을 미치지 않으니까요.

함께 보면 좋은 글

애드센스 크롤러 오류 원인과 해결 방법 - 스코어카드
애드센스 타겟팅 - 문맥 vs 관심기반 vs 게재위치
애드센스 크기가 작은 광고가 나올 때
애드센스 광고 게재위치 정책 이해하기
애드센스 최적화 배치 도움되는 곳
애드센스를 본문 상단 오른쪽에 넣기
애드센스 수익 향상 팁 - A/B 테스트
애드센스 수익 계산 - 환율 적용하는 방법

블로그 운영하는 사람들에게 있어서 검색엔진 최적화는 매우 중요해요. 검색엔진에 검색이 잘 될수록 방문객이 많아지거든요. 아무리 좋을 글을 써도 보는 사람이 없으면 꽝이거든요. 그런 의미에서 검색엔진 최적화는 필수요소지요.

물론, 네이버나 다음같은 국내 검색엔진은 키워드 중심의 검색을 하니까 검색엔진 최적화에 대해서 크게 신경쓰지 않아도 되지만, 구글이나 빙같은 검색엔진에는 아주 중요한 요소입니다.

이 글에서는 검색엔진 최적화 정도를 측정하고, 부족한 부분을 최적화할 수 있도록 도와주는 사이트를 소개합니다.

검색엔진 최적화 측정 사이트

보통 검색엔진 최적화 정도는 측정하는 건 말 그대로 측정이고, 원론적인 결론만 내려주는데, 이 사이트는 사이트에 맞게 자세히 분석해줍니다.

SEOCert.net에 접속하기

접속하셔서 블로그 주소를 입력하고 엔터를 누르면 측정이 끝납니다.

결과는 크게 컨텐츠 분석, 서버 헤드 분석, 도메인 분석의 세 부분으로 나누어 지는데요. 컨텐츠 분석 이 곳이 주목해야 할 부분입니다.

메타태그, 페이지 크기, 로딩시간, 링크 수, 헤딩태그, 키워드 등 아주 많은 항목의 세부 분석 내용이 나와요. 색깔로 구별해서 알아보기도 쉬워요. 위 그림 오른쪽 $722 아래 보면, 녹색, 노란색, 빨간색으로 표시된 막대가 있지요? 녹색은 최적화가 잘 된 내용. 노란색은 수정해야할 부분, 빨간색은 문제있는 부분이라고 보시면 됩니다.

단순히 결과만 알려주는 게 아니라 해당 부분에 대해서 문제를 해결할 수 있는 팁이 있으니까 잘 읽어보면 문제를 해결하는데, 도움이 됩니다.

알려주는 정보가 너무 많아서 약간 혼란스러울 수 있는데, 한 번에 문제를 해결하려 하지 말고 시간을 두고 천천히 해결한다는 생각으로 접근하세요.

그리고, SEO Exam에서 간단한 퀴즈도 풀 수 있는데, 검색엔진 최적화에 대한 지식을 측정해 볼 수 있습니다.

함께 보면 좋은 글

검색엔진 최적화(SEO) 1탄 - meta, title, desciption, keywords 사용법
검색엔진 최적화(SEO) 2탄 - 로딩 속도를 빠르게
검색엔진 최적화(SEO) 3탄 - 도메인, 텍스트 편
웹접근성 검사, 웹접근성 평가 도구 N-WAX
블로그 로딩속도를 빠르게 - 이미지 용량 줄이기
블로그 로딩속도를 빠르게 - CSSTidy
블로그 로딩 속도 빠르게 하기 - javascript 압축

유리식에서 가장 많이 사용하는 공식이 바로 부분분수 공식이에요. 부분분수 공식 자체는 어렵게 느껴질 수 있겠지만, 이 공식을 이용하면 복잡한 계산식을 아주 아주 간단하게 바꿀 수 있어요. 효율이 좋은 공식이죠. 한 두 문제만 풀어보면 어떻게 간단해지는지 감을 잡을 거예요.

번분수는 가끔 보기는 했을 텐데, 이제 좀 더 정확하게 알아봐요. 번분수는 계산하기가 상당히 복잡하고 까다로워요. 그래서 집중해서 풀어야 하는 문제 유형이죠. 모든 계산을 한꺼번에 할 수 없으니까 필요한 부분만 찾아서 하나씩 하나씩 계산해야 합니다.

부분분수 공식

부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.

앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.

분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.

부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.

숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.

부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.

다음을 간단히 하여라.

유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구해야 하는데, 위 식을 통분해서 구하면 분모는 10차식이 되고 분자는 8차식이 될 거예요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용하는 겁니다.

각 항을 부분분수로 바꿔보죠.

우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.

제일 윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.

앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.

분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.

번분수

번분수는 분자나 분모가 분수식인 분수를 말해요. 둘 다 분수일 수도 있고, 하나만 분수일 수도 있어요. 계산하기 정말 번거로운 분수죠. 번분수를 그냥 분수로 나타낼 때는 번분수의 안쪽에 있는 것의 곱이 분모가 되고, 번분수의 바깥쪽에 있는 게 분자가 돼요.

번분수의 분자, 분모를 나눗셈으로 고쳐서 계산해보면 위의 성질을 증명할 수 있어요.

혹시 분수식에서 분자나 분모 하나만 분수일 때도 있는데, 이때는 분수의 분모가 1이라고 생각하면 돼요.

분자에도 분수가 있고, 분모에도 분수가 있으니까 번분수 문제를 풀 때는 분자, 분모를 잘 구별해야 해요. 이게 분자의 분모인지 분모의 분자인지 헷갈릴 수 있거든요. 문제를 풀 때는 가로로 선을 길게 그어서 차이를 분명하게 알 수 있도록 하세요.

다음을 간단히 하여라. (단, x ≠ 0, x ≠ 1)

분모가 되게 복잡하죠? 제일 밑에 있는 것부터 하나씩 순서대로 풀어보죠. 사각형으로 된 부분만 계산하고 나머지는 그냥 그대로 쓰는 거예요.

함께 보면 좋은 글

유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
가비의 리, 비례식 푸는 법
여러가지 유리식의 풀이
유리함수, 다항함수, 분수함수, 점근선

복소수의 연산법칙과 실수의 연산법칙이 같고, 복소수의 항등원과 역원은 실수의 항등원과 역원하고 같아요. 하나도 새로울 게 없어요. 숫자만 실수에서 복소수로 바뀐 것뿐이에요. 항등원과 역원을 구하려면 연산에 대해 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야한다는 것도 같아요. 이 글을 통해서 복습하는 거로 생각하세요.

그냥 쭉 한 번 읽어보고 기억해두시면 됩니다.

실수 체계, 실수의 분류, 연산에 대하여 닫혀있다
항등원과 역원, 연산법칙

복소수의 연산법칙

실수는 사칙연산에 대하여 닫혀있다고 했어요. 그럼 복소수는 어떤 연산에 대해서 닫혀있을까요? 복소수 실수보다 더 큰 수의 체계이므로 실수와 마찬가지로 사칙연산에 대해서 모두 닫혀있어요. 그리고 실수에서 성립하는 연산법칙도 모두 성립합니다.

복소수 전체의 집합 C의 임의의 원소 z₁, z₂, z₃에 대하여
사칙연산에 대하여 닫혀있다: z₁ + z₂ ∈ C, z₁z₂ ∈ C
교환법칙: z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁z₂ = z₂z₁
결합법칙: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃), (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)
분배법칙: z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

교환법칙과 결합법칙은 덧셈, 곱셈에서만 성립하고 뺄셈, 나눗셈에서는 성립하지 않아요. 실수하고 다 똑같아요.

복소수의 항등원과 역원

연산에 대해서 닫혀있고, 교환법칙이 성립하니까 항등원을 구할 수 있겠죠? 실수에는 덧셈과 곱셈에서만 항등원이 존재합니다.

실수의 덧셈에 대한 항등원은 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이었지요? 복소수의 덧셈에 대한 항등원도 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.
복소수의 덧셈에 대한 항등원: z + 0 = z
복소수의 곱셈에 대한 항등원: z × 1 = z

실수의 덧셈에 대한 역원은 부호를 바꾼 것이였고, 곱셈에 대한 역원은 역수였어요. 복소수도 같습니다.
복소수의 덧셈에 대한 역원: z + (-z) = 0
복소수의 곱셈에 대한 역원: z ×  = 1

결론은 실수와 복소수에 대한 성질이 같다는 거예요. 실수에서 성립하는 연산법칙은 모두 복소수에서 성립하고, 실수의 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원도 복소수에서 똑같아요.

3 - 2i의 덧셈에 대한 역원과 곱셈에 대한 역원을 구하여라.

덧셈에 대한 역원은 부호를 반대로 하는 거고, 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

덧셈에 대한 역원: - (3 - 2i) = -3 + 2i

곱셈에 대한 역원:

함께 보면 좋은 글

실수 체계, 실수의 분류, 연산에 대하여 닫혀있다
항등원과 역원, 연산법칙
복소수, 허수와 허수단위
켤레복소수, 켤레복소수의 성질
복소수의 사칙연산, 분모의 실수화

일부 사이트에서 사용하는 ActiveX를 설치해야하는데, 이런 경고창이 뜨면서 설치가 되지 않을 때가 있어요. 필요한 ActiveX를 설치하지 못하면 브라우저에서 여러 기능을 수행하는데 문제가 생기죠.

그래서 이 오류를 해결할 수 있는 방법을 알려드립니다.

하지만 이 방법은 정말 믿을 수 있는 사이트에서 배포하고, 꼭 필요하다고 생각되는 ActiveX를 설치할 때만 임시로 이 설정을 바꾸세요.

신뢰할 수 없는 사이트에서 배포하는 ActiveX를 설치한다든가 이 설정을 바꾸고 그냥 두는 경우에 컴퓨터의 보안을 장담할 수 없습니다. 꼭 주의하세요.

게시자를 확인할 수 없어서 이 소프트웨어를 Windows에서 차단했습니다.

아래처럼 "게시자를 확인할 수 없어서 이 소프트웨어를 Windows에서 차단했습니다."라는 경고 문구가 나올 때 해결방법입니다.

먼저 인터넷 익스플로어의 도구 - 인터넷 옵션을 선택하세요.

두 번째 탭인 보안 탭을 선택하고, 사용자 지정 수준을 클릭하세요.

서명 안 된 ActiveX 컨트롤 다운로드에서 확인을 선택하세요.

이 설정을 바꾸면 보안에 문제가 생길 수 있어요. 따라서 원하는 소프트웨어를 설치했다면 위 설정을 "사용 안 함"으로 바꾸는 것이 좋습니다.

함께 보면 좋은 글

현재의 보안 설정 때문에 이 파일을 다운로드 할 수 없습니다 해결방법
안전하게 제공된 콘텐츠만 보시겠습니까 해결방법

두 실수가 있을 때, 크기를 비교하는 방법이에요.

실수의 크기비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해본 적이 있어요. 여기에서 했던 방법에 하나만 더 추가하는 거예요.

두 수의 부호를 이용해서 두 수의 합과 곱, 다른 수와의 합, 차, 곱의 부호를 알 수 있는 성질을 공부할 거예요. 그리고 둘의 크기비교도 해볼거고요. 너무 당연한 성질이라서 읽어보면 왜 그런지 금방 이해할 수 있을 정도로 매우 쉬운 내용이에요.

실수의 대소관계에 대한 기본 성질

실수가 있다면 이 실수는 양수, 0, 음수 중 하나에요. 세 가지가 아닌 실수는 없어요. 실수는 아래와 같은 성질을 가져요.

a는 a > 0, a = 0, a < 0중 하나
a > 0 ⇔ -a < 0
a > 0, b > 0 ⇔ a + b > 0, ab > 0
a² ≥ 0

두 번째는 부등식의 성질에서 공부했던 거죠? 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다. a를 이항했다고 생각해도 되고요.

세 번째, 양수와 양수를 더했으니 결과는 당연히 양수죠. 곱한 것도 물론 양수고요.

네 번째, 양수와 음수는 제곱하면 양수가 되고, 0은 제곱해도 0이니까 어떤 실수든 제곱하면 0보다 크거나 같아요.

이번에는 세 실수에 관한 성질을 알아보죠.

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b, c > 0 ⇔ ac > bc
a > b, c < 0 ⇔ ac < bc

두 번째, 세 번째, 네 번째는 부등식의 성질을 그대로 옮겨놓은 거네요.

a - b < 0, ab < 0일 때, a, b의 부호를 구하여라.

a - b < 0에서 a < b에요. ab < 0이라는 말은 하나는 양수고 하나는 음수라는 얘기죠.

따라서 크기가 큰 b > 0, 크기가 작은 a < 0이에요.

실수의 대소비교

위 성질을 이용해서 실제로 두 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠.

실수의 대소비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해봤어요. 두 수의 차를 이용했었죠?

a - b > 0 ⇔ a > b
a - b = 0 ⇔ a = b
a - b < 0 ⇔ a < b

한 수에서 다른 수를 빼서, 결과의 부호에 따라 두 수의 크기를 비교할 수 있었어요.

제곱근이나 절댓값처럼 양수인 경우에 제곱의 차를 이용해서 크기를 비교해요. 한 개라도 음수면 사용할 수 없어요.

a > 0, b > 0일 때
a² - b² > 0 ⇔ a > b
a² - b² = 0 ⇔ a = b
a² - b² < 0 ⇔ a < b

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 대소관계에서 제곱근 밖의 숫자를 제곱해서 제곱근 안으로 넣어서 크기를 비교했죠? 이번에는 제곱근 안으로 넣지 않고, 그냥 전체를 제곱하는 거예요.

다음 두 수의 크기를 비교하여라.
(1) 4, 2

제곱근이 있긴 한데, 둘 다 양수죠? 이럴 때는 제곱을 구해서 뺀 결과의 부호로 크기 비교를 해요.

4² - (2)²
= 16 - 12
= 4 > 0

제곱의 차가 양수이므로 앞에 있는 4가 더 커요. 4 > 2

함께 보면 좋은 글

[중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교
[중등수학/중2 수학] - 부등식의 성질

수학에서 사용하는 가장 기초적인 부분이 바로 숫자에요. 이 글에서는 숫자의 체계에 대해서 한 번 더 정리합니다. 이미 알고 있는 거니까 간단하게 보고 넘어가죠.

연산에 대해서 닫혀있다는 용어에 대해서 공부할 거예요. 사실 아주 중요한 내용은 아닌데요, 다음에 공부할 항등원과 역원의 전제조건이 되는 내용이기 때문에 이해는 하고 있어야 해요.

복잡하지는 않으니까 가볍게 읽는다는 생각으로 공부하세요.

실수 체계, 실수의 분류

실수 체계는 [중등수학/중3 수학] - 무리수와 실수, 실수체계에서 공부한 적이 있어요. 한 번 정리해보죠.

이 두 그림이면 실수체계에 대해서는 완전히 설명할 수 있으니까 잘 익혀두세요. 앞으로 실수 범위를 넘어선 수의 체계를 공부할 건데 그것과 헷갈리면 안 되니까요.

문제에서 수에 대해서 아무런 언급이 없다면 실수 범위의 수를 사용한다고 생각하세요.

연산에 대하여 닫혀있다

공집합이 아닌 어떤 집합 S에서 임의의 원소 2개를 뽑아서 어떤 연산을 한 결과가 항상 집합 S의 원소일 때, 집합 S는 그 연산에 대해서 닫혀있다고 합니다.

예를 들면 자연수의 집합에서 임의의 두 수를 뽑아서 더하면 그 결과인 수는 다시 자연수 집합의 원소가 되잖아요. 이때, 자연수 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있다고 하는 거지요.

임의의 원소 2개는 같을 수도 있고 다를 수도 있어요. 그리고 최소한 1개의 원소를 선택해야 하니까 원소가 하나도 없는 공집합은 제외합니다. 닫혀있다의 반대는 "열려있다"가 아니라 "닫혀있지 않다."에요.

아래 표는 수의 체계와 사칙연산에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 표에요. 이 표를 잘 이해하세요. 객관식 문제로 자주 나옵니다. 나눗셈에서 0으로 나누는 건 제외해요.

어떤 수 집합이 닫혀있지 않다는 것을 증명하려면 명제의 참, 거짓에서 사용했던 것처럼 반례를 하나만 찾으면 돼요.

자연수에서 1 - 2 = -1로 결과가 자연수가 아니에요. 따라서 자연수는 뺄셈에 대해서 닫혀있지 않죠. 마찬가지로 1 ÷ 2 = ½로 자연수가 아니어서 나눗셈에 대해서도 닫혀있지 않아요. 덧셈과 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

정수는 1 ÷ 2 = ½로 정수가 아니라서 정수는 나눗셈에 대해서 닫혀있지 않아요. 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

무리수는 사칙연산 모두에 대하여 닫혀있지 않아요.  + (-) = 0으로 유리수고요.  -  = 0으로 유리수, × = 2로 유리수, ÷ = 1로 유리수잖아요.

유리수와 실수는 어떤 수를 사용해도 사칙연산한 결과가 유리수, 실수가 나와요. 따라서 유리수와 실수는 사칙연산에 대해서 닫혀있어요.

집합 S = {-1, 0, 1}일 때, 사칙연산 중 어느 연산에 대하여 닫혀있는가? (단, 0으로 나누는 것은 제외)

연산에 대하여 닫혀있으려면 집합의 임의의 원소 두 개를 선택해서 연산한 결과가 다시 집합의 원소여야 돼요.

원소가 몇 개 안 되니까 직접 연산을 해서 결과를 찾아보죠.

덧셈과 뺄셈의 연산 결과에서는 집합 S의 원소가 아닌 -2, 2가 있어서 집합 S는 덧셈과 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않네요. 곱셈과 나눗셈은 연산 결과가 모두 집합 S = {-1, 0, 1}에 포함되어 있어요. 따라서 집합 S는 곱셈과 나눗셈에 대하여 닫혀있어요.

함께 보면 좋은 글

명제의 참, 거짓, 반례
항등원과 역원, 연산법칙
실수의 대소관계, 실수의 대소관계에 대한 기본 성질
[중등수학/중3 수학] - 무리수와 실수, 실수체계
[중등수학/중1 수학] - 유리수, 유리수의 분류

함수와 좌표평면에 대해서 알아봤어요. 이제 이 둘을 결합해보죠. 그게 바로 함수의 그래프에요.

함수별로 그래프를 그리는 방법과 특징이 달라요. 공통점과 차이점을 잘 이해하고 있어야 해요.

함수는 식으로 나타낼 수도 있고, 그래프로 나타낼 수도 있어요. 함수를 보고, 함수의 그래프를 그릴 수도 있어야 하고, 반대로 함수 그래프를 보고 함수식을 찾을 수도 있어야 해요.

이 글에서는 함수의 그래프가 뭔지, 함수 그래프는 어떻게 그리는 지, 함수별로 그래프는 어떻게 다른지를 비교해볼 거예요.

함수의 그래프

y = 2x라는 함수가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 점들이 모여서 선이 돼요. 이렇게 함수에서 만들 수 있는 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 해요.

y = 2x의 함수에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 함수의 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 계속 이어지는 그래프에요.

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프

위에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요.

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

함수 y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나는 거예요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

함수 y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 그리면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, …  이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

함수 (a ≠ 0)의 그래프

이번에는 (a ≠ 0)의 함수의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y =  그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

함수 (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

(a ≠ 0)의 그래프

a > 0	a < 0
x축, y축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선
제1사분면, 제3사분면	제2사분면, 제4사분면

함수 (a ≠ 0)의 그래프 그리기

는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 함수의 그래프를 보고, 함수를 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제3사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.
y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. 의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

의 그래프군요.

함께 보면 좋은 글

함수의 뜻과 함숫값, 함수의 정의
정비례와 반비례 - 함수의 관계식
순서쌍과 좌표, 좌표평면
함수의 활용

인터넷 익스플로어에서 파일을 받다보면 여러가지 이유로 파일을 다운로드 받지 못하는 경우가 있어요. 그 중에서도 보안 설정때문에 파일을 다운로드 받을 수 없는 때가 있지요. 그럴 때는 당황하지 마시고 아래의 순서대로 잘 따라해보세요.

순서대로 따라한 다음에 다운로드 링크를 누르면 파일이 잘 다운로드 됩니다. 인터넷 익스플로어를 다시 시작할 필요가 없는 아주 간단한 방법이에요.

ActiveX와 관련된 게 아니라 파일을 직접 다운로드할 때 생긴 문제를 해결하는 방법입니다.

현재의 보안 설정 때문에 이 파일을 다운로드 할 수 없습니다.

아래처럼 "현재의 보안 설정 때문에 이 파일을 다운로드 할 수 없습니다"라는 경고 문구가 나오면서 파일 다운로드가 안 될 때 해결방법입니다.

먼저 인터넷 익스플로어의 도구 - 인터넷 옵션을 선택하세요.

두 번째 탭인 보안 탭을 선택하고, 사용자 지정 수준을 클릭하세요.

파일 다운로드에서 "사용"을 선택하세요. 일반적인 zip 파일이나, exe 파일이 다운되지 않을 때 이 설정을 바꾸면 다운로드 받을 수 있어요. 대부분의 문제는 이 설정을 바꾸면 해결이 돼요.

참고로 이 설정은 인터넷 익스플로어 기본 설정값이므로 이 값이 "사용안함"으로 되어 있다면 다른 프로그램에서 바꿨을 가능성이 높으니까 백신 프로그램으로 바이러스 검사를 한 번 해보세요.

위 설정을 바꿨어도 다운로드가 되지 않는다면 아래 설정을 바꿔보세요. 은행 사이트의 계좌조회 프로그램, 게임 사이트의 게임실행 프로그램이 다운되지 않을 때 아래 설정을 바꾸면 파일을 다운로드 할 수 있습니다. zip파일이나 exe 파일이 다운되지 않을 때는 별로 상관없는 설정이니 웬만하면 그냥 두세요.

응용 프로그램 및 안전하지 않은 파일 실행에서 "확인 (권장)"을 선택하세요.

마지막으로 확인을 누르고 파일 다운로드 링크를 누르면 파일을 다운받을 수 있어요.

인수분해 어디서 들어본 것 같죠? 소인수분해 들어봤잖아요. 글자 하나만 다르죠? 그 원리나 용어의 뜻도 비슷해요. 소인수분해와 같은 점, 다른 점을 함께 공부하면 더 쉽게 이해할 수 있어요.

다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 분배법칙과 그 분배법칙을 활용한 곱셈공식이 있어요. 인수분해는 다항식의 곱셈에서 했던 곱셈공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그러니까 이번에 곱셈공식을 잊고 있었다면 다시 한번 외우세요. 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식

이 글에서는 인수분해와 인수의 뜻을 알아보고, 간단한 인수분해도 공부할거예요.

인수분해

약수와 인수

약수와 인수는 같은 것 같지만 서로 달라요.

어떤 수를 다른 수로 나누었을 때, 나머지가 0이면 나누는 수를 나눠지는 수의 약수라고 해요.

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지는 0)
(나눠지는 수) ÷ (약수) = (몫) + 0

반면에 인수는 어떤 수나 식들을 곱해서 다른 수나 식이 될 때 곱해지는 식 또는 수를 말해요.

(인수) × (인수) = (식 또는 수)

그러니까 약수는 나누기를 기준으로 하고, 인수는 곱하기를 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

인수분해

소인수분해는 어떤 숫자를 소수인 인수 즉, 소인수들의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거죠? 숫자를 소인수들의 곱으로 분해하는 거잖아요. 인수분해는 어떤 다항식을 두 개 이상의 다항식 또는 수의 거듭제곱과 곱으로 나타내는 거예요. 소수뿐 아니라 다항식으로 분해라는 거라서 앞에 "소"자가 빠지고 그냥 인수분해예요.

소인수분해: 12 = 2² × 3
인수분해: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

인수분해는 (하나의 다항식) -> (식의 곱)으로 표시하는 거예요. (식의 곱) → (하나의 다항식)으로 하는 반대과정을 생각해볼 수 있겠죠? 이 반대과정이 전개예요. 즉 인수분해와 전개는 서로 반대 과정인거죠.

다항식의 곱을 전개할 때 분배법칙, 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 하죠. 전개와 인수분해가 반대과정이니까 인수분해 공식도 곱셈공식의 반대공식이에요.

인수 구하기

그러면 인수분해된 걸 보고 인수를 구하는 방법을 알아보죠.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

우변에서 곱해져 있는 것들이 바로 인수예요. (x + 1)과 (x + 2)가 인수죠. 그리고 이들을 곱한 게 또 인수입니다. 마지막으로 모든 수의 약수에 1이 포함되듯이 모든 식의 인수로도 1이 포함돼요.

인수 1개: (x + 1), (x + 2)
인수 2개를 곱한 것: (x + 1)(x + 2)
모든 식의 인수: 1

총 4개의 인수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기에서 각 소수의 지수에 1씩 더해서 곱하면 약수의 개수만 바로 구하는 방법이 있었죠?

소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

12 = 2² × 3 → 약수의 개수는 (2 + 1)(1 + 1) = 6

인수분해에서도 같은 방법으로 인수의 개수를 구할 수 있어요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
→ 인수 (x + 1)의 지수는 1, 인수 (x + 2)의 지수가 1
→ (1 + 1)(1 + 1) = 4

인수: ① 인수분해가 된 상태에서 괄호로 묶인 것, 괄호 밖의 숫자와 문자
        ② ①의 인수들을 서로 곱한 것
        ③ 모든 식의 인수 1
인수의 개수 = 각 인수의 (지수 + 1)의 곱

2x² + 6x + 4가 2(x + 1)(x + 2)로 인수분해될 때, 2x² + 6x + 4의 인수를 모두 구하여라.

인수분해가 이미 다 되어있네요. 인수분해가 된 상태에서 괄호 쳐진 각각의 것들이 모두 인수예요. 이때, 괄호 밖에 있는 것들은 숫자, 문자 모두 하나의 인수예요. 각 인수를 서로 곱한 게 인수고 마지막으로 1도 인수고요.

1개짜리 인수: 2, (x + 1), (x + 2)
2개를 곱한 인수: 2(x + 1), 2(x + 2), (x + 1)(x + 2)
3개를 곱한 인수: 2(x + 1)(x + 2)
모든 수의 인수: 1

총 8개의 인수가 있네요.

인수가 8개 맞는지 확인해보죠. 2의 지수 1, (x + 1)의 지수 1, (x + 2)의 지수 1이므로 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8이네요. 8개가 맞네요.

공통인수로 인수분해

이제 직접 인수분해를 해볼까요? 인수분해를 할 때, 가장 먼저 하는 게 공통인수로 묶는 거예요. 이건 분배법칙을 거꾸로 하면 돼요

여러 개의 항도 인수로 되어 있겠죠? 그중에서 서로 똑같은 인수가 있을 때, 그걸 공통인수라고 하고 분배법칙을 이용해서 공통인수로 묶어요. 이때 공통인수는 1은 제외해요. 숫자는 최대공약수를 사용하고, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 공통인수로 사용합니다.

공통인수: 모든 항에 들어있는 인수.
              1은 제외. 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 높은 것
공통인수로 인수분해: 각 항을 공통인수로 묶고, 공통인수로 나눈 몫은 괄호로
                              ma + mb = m(a + b)

x² + 3x을 볼까요? x²은 x와 x²을 인수로 가져요. 3x는 3과 x가 인수죠? 공통으로 들어있는 인수는 x네요. x²에서 x로 나누면 x예요. 3x를 x로 나누면 3이고요. x라는 공통인수로 나누고, 몫을 그대로 써주면 돼요.
x² + 3x = x(x + 3)

12a + 16a²를 공통인수로 인수분해해보죠. 숫자는 최대공약수를 사용하니까 12와 16의 최대공약수 4이고 공통으로 들어있는 문자는 a예요. 그러니까 공통인수는 4a입니다. 12a를 4a로 나누면 3이죠? 16a²에서 4a로 나누면 4a고요.
12a + 16a² = 4a(3 + 4a)

다음 식을 인수분해하여라.
(1) x² - 3x
(2) 4a² + 8a
(3) 2xy + 3yz

공통인수로 묶어서 인수분해를 하는데, 공통인수는 각 항에 들어있는 인수 중 숫자는 최대공약수, 문자와 식은 차수가 가장 높은 걸 찾아요.

(1) 공통인수는 x네요. x로 묶고, 나머지는 괄호 안에 써주면
x² - 3x = x(x - 3)

(2) 공통인수는 숫자는 4, 문자는 a예요.
4a² + 8a = 4a(a + 2)

(3) 숫자는 최대공약수가 1이니까 제외하고요. 문자는 둘 다 y가 들어있어요.
2xy + 3yz = y(2x + 3z)

소수는 소수점 앞의 정수부분과 소수점 뒤의 소수부분으로 이루어져 있어요. 일반적인 유리수라면 소수점을 기준으로 해서 간단하게 구별할 수 있지만 무리수는 딱 떨어지는 숫자가 아니라 순환하지 않는 무한소수예요. 소수부분이 끝도 없이 계속되니까 그냥 0.xxx라는 숫자로 표현하기에는 정확하지 않아요.

이 글에서는 유리수처럼 무리수의 정수부분과 소수부분을 나누는 방법과 소수부분의 정확한 값을 구하는 방법을 공부할 거예요. 정수부분만 잘 구하면 소수부분 구하는 건 쉬워요.

무리수의 정수부분과 소수부분

는 1보다는 크고, 2보다는 작아요. 1 < < 2

제곱근의 값을 구하면 ≒ 1.414 인데, 1 + 0.414로도 쓸 수 있죠? 여기서 소수점 앞의 1을 정수부분, 소수점 뒤의 0.414를 소수부분이라고 해요.

처럼 제곱근의 값을 알고 있을 때는 그 값을 이용해서 구할 수도 있지만, 제곱근의 값을 모를 때는 제곱근의 대소 관계를 통해서도 구할 수 있어요.

이므로  의 정수부분은 2

이므로 의 정수부분은 3

무리수가 하나만 있을 때는 정수부분을 구할 수 있겠죠? 그리고  + 2처럼 무리수와 다른 수의 합, 차일 때는 일단 무리수의 정수부분만 구하고 거기에 유리수를 더해주면 됩니다.

2 <  < 3 에서 모든 변에 +2를 해주는 거죠. 부등식의 성질에 따르면 똑같은 수를 더해줘도 부등호의 방향은 바뀌지 않아요.

2 + 2 <  + 2 < 3 + 2
4 < + 2 < 5

따라서  + 2의 정수부분은 4

정수부분을 구하고 나면 소수부분을 구해야 하는데,  ≒ 1.414에서 소수부분 0.414는 정확한 값이 아니라 대략적인 값이죠? 정확한 값을 구하는 다른 방법이 있어요.

(무리수) = (정수부분).(소수부분)으로 되어 있지요? 이건 (정수부분) + (소수부분)이라고 쓸 수 있어요. 이 식에서 (정수부분)을 이항하면 우변에 소수부분만 남아요. (소수부분) = (무리수) - (정수부분). 정수부분은 위에서 구했으니까 바로 대입할 수 있겠죠?

무리수 = 정수부분 + 소수부분    (0 ≤ 소수부분 < 1)
정수부분은 제곱근의 대소 관계를 이용
소수부분 = 무리수 - 정수부분

다음 무리수의 정수부분과 소수부분을 구하시요.
(1) 5 + 
(2)  - 3

무리수의 정수부분은 제곱근의 대소 관계를 이용해서 구해요. 소수부분 = 무리수 - 정수부분을 이용해서 구하고요.

(1) 일단 만 따로 떼서 크기를 구하고 거기에 +5를 해서 정수부분을 구해요.
2 < < 3
5 + 2 < 5 + < 5 + 3
7 < 5 + < 8

정수부분은 7이네요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분 = (5 +) - 7 = - 2

(2)에서는 만 먼저 보죠.
1 < < 2
1 - 3 < - 3 < 2 - 3
-2 < - 3 < -1

 - 3이 -2와 -1 사이에 있으니까 소수로 표현해보면 -1.xxx죠? 그럼 정수부분은 –1이에요. 소수부분은 –0.xxx겠네요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분
= ( - 3) - (-1)
=- 2

무리수 = 정수부분 + 소수부분 = -1 + ( - 2)

그런데, ≒ 1.732 이니까  - 2 ≒ 1.732 - 2 = -0.268죠. 소수부분은 0이상, 1미만으로 표시하기로 했어요. 음수로 나왔으니까 값을 보정해줘야겠죠? 어떻게 하냐면 음수인 소수부분에 +1을, 정수부분에 -1을 해주는 거예요. 소수부분에 +1, 정수부분에 –1을 했으니까 전체적인 값은 변화가 없어요.

-1 + ( - 2)
= -1 - 1 + ( - 2 + 1)
= -2 + ( - 1)

정수부분 = -2, 소수부분 =  - 1이 답이에요.

함께 보면 좋은 글

무리수
제곱근의 근삿값
제곱근의 대소관계