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1학년 때 원뿔의 겉넓이와 부피를 구하는 공식을 배웠어요. 이때는 밑면의 반지름과 높이를 알려줬죠?

이제는 높이를 알려 주지 않아요. 대신 모선의 길이를 알려주죠. 이 주어진 모선의 길이를 이용해서 높이를 구한 다음 원뿔의 부피를 구해야 해요. 물론 높이를 구하는 과정은 피타고라스의 정리를 이용할 거고요.

높이를 구하는 과정만 추가된 거니까 원뿔의 부피 공식은 그대로 사용할 수 있어요. 즉, 이 글에서는 부피를 구하는 것보다는 높이를 구하는 과정이 더 중요해요.

원뿔의 높이 구하기

아래 그림 같은 원뿔이 있어요.

높이(h)와 밑면의 반지름(r), 모선(l)으로 이루어진 직각삼각형을 만들 수 있겠죠? 이 중 반지름과 모선의 길이를 알면 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있습니다. △ABO에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

원뿔의 부피 공식

원뿔의 겉넓이와 부피에서 밑면의 반지름이 r인고 높이가 h인 원뿔의 부피를 구하는 공식을 공부했죠?

원뿔의 부피 공식은 그대로예요. 높이를 알려주지 않았을 때 위의 직각삼각형을 그려서 높이를 구하고 공식에 대입하면 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 밑면의 반지름 r은 얼마인가?
(2) 원뿔의 부피를 구하여라.

원뿔의 전개도인데, 위쪽의 부채꼴과 아래쪽의 원(밑면)으로 두 부분으로 나뉘어 있어요. 8cm로 나오는 부분은 부채꼴의 반지름이자 원뿔의 모선의 길이에요. 원뿔의 높이가 아니니까 주의하세요.

(1)에서 반지름을 구하라고 했는데요, 얼핏 보니 주어진 정보가 모선의 길이밖에 없어요. 그리고 또 뭐 있죠? 바로 부채꼴의 중심각이에요. 부채꼴의 중심각이 직각이네요.

부채꼴에서 중심각을 알면 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에 나온 공식으로 부채꼴 호의 길이를 구할 수 있어요. 부채꼴 호의 길이는 밑면의 원주와 같으니 여기에서 반지름을 구하는 거죠.

위 공식에서의 r과 문제에서 구하라고 하는 r은 다르다는 것쯤은 알고 있죠? 공식에 넣을 r은 바로 원뿔의 모선의 길이인 8cm입니다.

부채꼴 호의 길이 = 2π × 8 × 90° ÷ 360° = 4π(cm)

부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원주
4π = 2πr
r = 2(cm)

(2)번은 원뿔의 부피를 구하라고 했네요.

부피를 구하려면 먼저 높이를 구해야겠죠? 높이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구해요.

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각뿔이 뭔지는 다 알고 있죠? 각뿔의 겉넓이와 부피 구하는 방법도 알고 있고요. 각뿔의 부피를 구할 때, 밑면의 모서리의 길이와 각뿔의 높이를 알려줬어요.

그런데 이제는 각뿔의 높이를 알려주지 않아요. 대신 모서리의 길이를 알려줍니다. 피타고라스의 정리에 모서리를 길이 대입해서 각뿔의 높이를 알아낸 다음에 각뿔의 부피를 구하는 게 이 글에서 공부할 내용이에요.

각뿔중에서도 밑면이 정사각형인 각뿔을 정사각뿔이라고 해요. 밑면만 정사각형이고 옆면은 이등변삼각형이에요. 정사각뿔의 높이와 부피를 구하는 과정을 알아보죠.

정사각뿔의 높이

밑면의 한 모서리 길이가 a이고, 옆면의 모서리 길이가 b인 정사각뿔에서 높이를 구해보죠.

정사각뿔의 밑면은 정사각형이에요. 정사각형의 두 대각선은 서로 수직이등분하기 때문에 대각선의 교점에서 각 꼭짓점에 이르는 거리는 같아요.

각뿔의 꼭짓점에서 밑면에 수선을 내리면 밑면의 대각선의 교점과 만납니다. 이 점을 H라고 할게요. 

그러면 △OHA라는 직각삼각형이 생겨요. 피타고라스의 정리를 적용해보면 이 되는데, 는 한 변의 길이가 a인 이등변삼각형의 빗변의 길이이므로 입니다. 이걸 위 식에 대입해보죠.

구하는 방법을 잘 이해하세요. 밑면의 대각선의 교점과 각뿔의 꼭짓점으로 직각삼각형을 만들어서 피타고라스의 정리를 이용하는 거예요.

정사각뿔의 부피

각뿔의 겉넓이와 부피에 나온 것처럼 각뿔의 부피는 × (밑넓이) × (높이)에요. 밑면은 한 변의 길이가 a인 정사각형이고 높이는 위에서 구했으므로 부피를 구할 수 있겠죠?

h를 위에서 구한 걸 대입할 수도 있지만 그렇게 하면 공식으로 외우기가 어렵기 때문에 그냥 h 그대로 씁니다.

다음 그림을 보고 정사각뿔의 부피를 구하여라.

먼저 높이 h를 구해야겠죠?

높이까지 구했으니까 마지막으로 부피만 구하면 되겠네요.

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이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체와 정육면체의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요.

대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠.

정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요.

직육면체 대각선의 길이

아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이 를 말해요.

피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠?

그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요.

△ABC에서 는 빗변이니까 = a² + b²이 돼요.

자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까

 =  + 
 = a² + b² + c²
 =

세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = 이므로 대입하면

정육면체 대각선의 길이

정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠.

정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠?

참고로 정사각형 대각선의 길이 구하는 공식은 였어요.

모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = (cm)

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좌표평면에서 두 점 사이의 거리

이번에는 피타고라스의 정리를 도형이 아니라 좌표평면에서 활용해볼 거에요.

어려운 함수 나오는 거 아니니까 너무 걱정하지 마세요. 되게 쉬운 내용이에요.

거듭 얘기하지만, 피타고라스의 정리를 이용한다는 건 기본적으로 직각삼각형을 찾아내는 거에요. 좌표평면에는 격자 무늬가 있으니까 직각삼각형을 만드는 건 어렵지 않을 거에요.

이 글에서는 좌표평면에 있는 두 점 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

좌표평면에서 두 점 사이의 거리

먼저 수직선에서는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구하나요? 점 P(1)와 점 Q(4)의 거리는 4 - 1 = 3이에요.

아래 그림처럼 원점(0, 0)과 P(3, 4)라는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구할까요?

두 점과 x축을 이용해서 직각삼각형을 그려봤어요. 직각삼각형을 그려보니까 O와 P사이의 거리는 삼각형의 빗변의 길이가 되죠?

직각삼각형의 가로 길이는 3, 세로 길이는 4에요. 빗변의 길이 즉,  = 5가 되는 군요.

이번에는 두 점 (2, 1), (5, 5) 사이의 거리를 구해보죠.

두 점과 좌표의 격자를 이용해서 직각삼각형을 그렸어요. 이번에도 두 점 사이의 거리는 삼각형 빗변의 길이와 같아요.

직각삼각형의 가로 길이와 세로 길이는 수직선에서 구했던 것처럼 두 좌표의 차로 구할 수 있어요. 가로 길이는 5 - 2 = 3, 세로 길이는 5 - 1 = 4네요. 그래서 두 점 사이의 거리 = 빗변의 길이 = 5가 되는군요.

좌표평면에서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형을 그려서 풀어요. 

직각삼각형을 그리는 방법은 쉬워요. 두 점 중에 위에 있는 점을 지나고 y축에 평행한 선을 그어요. 그 다음은 아래에 있는 점을 지나고 x축에 평행한 선을 그어서 교점과 세 점을 연결하면 직각삼각형이 되죠. 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하면 돼죠?

어차피 제곱하고 제곱근을 씌우는 거라서 순서는 상관없어요. 로 해도 된다는 거죠.

앞으로는 직각삼각형을 그리지 말고, 위 공식으로 바로 계산하세요. 사실 이건 공식이라고 할 것도 없네요. 두 점의 (x좌표의 차)² + (y좌표 차)²에 루트 씌우면 되거든요. 외우지 말고 어떻게 구하는 지 이해하면 돼요.

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피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명에서 잠깐 얘기한 적이 있는데, 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 수들이 있어요. 피타고라스의 수라고 하는데, 직각삼각형 세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5, 5 : 12 : 13인 것들이지요. 이건 자연수로 된 비고, 오늘은 무리수가 포함된 세 변의 길이의 비에 대해서 알아보죠.

이 글에서 얘기할 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 나중에 공부할 삼각비에 또 나와요. 어차피 공부할 거니까 한 번에 잘 이해해두면 좋겠죠?

직각삼각형의 모양과 세 변의 길이의 비, 삼각형의 세 내각 사이의 관계를 잘 알아두세요.

특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비

내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비

대각선의 길이 구하는 공식을 유도할 때, 정사각형에서 대각선을 구했던 것 기억하죠? 한 변의 길이가 a인 정사각형에서 대각선을 그으면 두 변의 길이가 a이고 빗변의 길이가 인 직각이등변삼각형 두 개가 만들어져요. 직각이등변삼각형이니까 ∠C = 90°고, 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라 ∠CAB = ∠CBA = 45°에요.

위의 내용을 정리해볼게요. 한 변의 길이가 a이고 세 내각의 크기가 45° 45°, 90°인 직각이등변삼각형 빗변의 길이는 인 거죠.

45°, 45°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가 a : a :  = 1 : 1 : 에요.

세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : 1 :

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

직각삼각형인데 한 각은 직각이고, 다른 한 각이 45°에요. 그럼 표시되지 않은 나머지 한 각은 45°겠지요? 세 내각이 45°, 45°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 5 : y : x = 1 : 1 : 네요.

따라서 y = 5(cm), x = (cm)입니다.

내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비

이번에는 정삼각형 높이와 넓이 공식을 유도할 때를 생각해보세요. 정삼각형의 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내렸더니 빗변은 a, 밑변은 , 높이는 인 삼각형이 만들어졌어요.

원래 정삼각형이었으니까 ∠B = 60°에요. 그리고 꼭짓점에서 수선을 내렸으니까 ∠AHB = 90°고, ∠HAB = 30°에요.

위 내용을 정리해보죠. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형에서 밑변은 , 높이는 , 빗변은 a에요.

30°, 60°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가  :  : a = 1 :  : 2입니다.

세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : : 2

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

한 내각의 크기는 직각, 다른 내각의 크기가 60°이므로 남은 한 각의 크기는 30°에요. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 3 : x : y = 1 : : 2죠.

따라서 x = (cm), y = 6(cm)입니다.

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이제는 삼각형의 높이를 가르쳐주지 않고, 세 변의 길이만 줘요. 그리고 넓이를 구하라고 하는 거죠. 넓이를 구하려면 높이를 알아야 하는데, 이때 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있어요.

세 변의 길이를 주는 가장 쉬운 삼각형은 정삼각형이죠? 피타고라스의 정리를 이용해서 정삼각형의 넓이 공식과 정삼각형의 높이 공식을 유도해보죠. 그리고 정삼각형이 아닌 그냥 삼각형에서 세 변의 길이를 줬을 때 넓이를 구하는 방법도요.

피타고라스의 정리를 이용하기 위해서는 선을 그어서 직각삼각형을 만드는 것이 가장 중요해요.

정삼각형 넓이 공식, 정삼각형 높이 공식

정삼각형은 세 변의 길이가 같고, 세 각의 크기도 60°로 같아요. 삼각형의 넓이를 알려면 우선 높이부터 구해야겠죠?

이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따르면 정삼각형의 각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하죠. 정삼각형의 한 각의 이등분선, 즉 밑변의 수직이등분선을 그으면 두 개의 직각삼각형이 생겨요.

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. 정삼각형 한 변의 길이를 a라고 하면, = a, 가 돼요.

피타고라스의 정리를 적용해보면

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이가 니까 정삼각형의 넓이는 가 됩니다.

한 변의 길이가 a인 정삼각형
정삼각형의 높이 =
정삼각형의 넓이 =

한 변의 길이가 3cm인 정삼각형의 높이와 넓이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 인데, a = 3cm이므로 (cm)입니다.

넓이는 앞에서 구한 높이를 이용해서 구해도 되고, 공식에 넣어서 구해도 되죠. (cm²)

삼각형의 높이와 넓이 구하기

일반적인 삼각형의 높이와 넓이도 정삼각형에서 구하는 것과 같은 방법으로 구해요. 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내려서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거지요.

삼각형 세 변의 길이를 a, b, c라고 해보죠.

점 A에서 수선의 발을 내리면 △ABH와 △ACH라는 두 직각삼각형이 생겨요.

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. = c이고,  라고 해보죠.

피타고라스의 정리를 적용해보면

이번에는 △ACH를 볼까요? = b이고,  이므로 에요.

피타고라스의 정리를 적용해보죠.

세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형의 높이 = 

이건 공식이 어렵죠? 그래서 공식으로 외우지 말고 구하는 과정을 익히세요. 삼각형의 한 꼭짓점에서 수선을 내리고, 두 개의 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거에요. 구한 높이를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 거지요.

삼각형의 높이와 넓이를 구하는 방법입니다. 순서를 잘 기억하세요.

1. 꼭짓점 A에서 변 BC에 수선을 내리고, 수선의 발을 H라고 한다.
2.  = x로 놓는다.
3. △ABH와 △ACH에서 피타고라스의 정리를 이용하여 의 식을 만든다
4. ③에서 만든 두 식을 이용하여 x의 값을 구한다.
5. x의 값으로 높이와 넓이를 구한다.

세 변의 길이가 13cm, 14cm, 15cm인 삼각형의 넓이를 구하여라.

△ABC에서 점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하고  = xcm라고 해보죠.

△ABH에서 15² = x² + h² → h² = 15² - x²

△ACH에서 13² = (14 - x)² + h² → h² = 13² - (14 - x)²

두 식에서 h²이 같으므로

15² - x² = 13² - (14 - x)²
15² - x² = 13² - x² + 28x - 14²
28x = 15² - 13² + 14²
28x = (15 + 13)(15 - 13) + 196
28x = 56 + 196
28x = 252
x = 9

x = 9 이므로 h² = 15² - x²에 대입하면
h² = 15² - 9² = 144
h = 12(cm)

따라서 삼각형의 넓이는 ½ × 14 × 12 = 84(cm²)가 되는군요.

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이제 피타고라스의 정리에 대해서 익숙해졌나요?

이제부터는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 도형에 적용해서 문제를 푸는 걸 연습해봐야 해요. 직각삼각형을 얼마나 쉽게 만드느냐가 중요해요.

첫 번째로 직사각형과 정사각형에 적용해보죠. 직사각형과 정사각형은 이미 직각이 포함되어 있기 때문에 직각삼각형을 쉽게 만들 수 있어요. 따라서 별다른 작업 없이 피타고라스의 정리를 바로 적용할 수 있지요. 직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.

직사각형의 대각선 길이

한 변의 길이가 a이고 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형이 있다고 하죠. 직사각형은 마주 보는 변의 길이는 같으니까 다른 변의 길이도 a, b이죠? (직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건)

직사각형에서 대각선을 그으면 두 개의 직각삼각형으로 나뉘고, 대각선은 직각삼각형의 빗변이 돼요. (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 바로 구할 수 있죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + b²
(대각선의 길이) =

두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

한 변의 길이가 3cm이고, 다른 한 변의 길이는 4cm인 직사각형의 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a, 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형의 대각선의 길이는 이니까 공식에 바로 대입해보죠.

a = 3cm, b = 4cm이므로 (cm)입니다.

정사각형 대각선의 길이

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 90°로 같은 사각형이에요. (정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건)

정사각형 한 변의 길이를 a라고 해볼까요?

대각선을 그으면 직각삼각형 두 개가 만들어지는데, 이 직각삼각형은 두 변의 길이가 a로 같은 이등변삼각형이 돼요.

직사각형과 마찬가지로 (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + a² = 2a²
(대각선의 길이) =

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이 =

대각선을 그으면 직각삼각형이 바로 보이니까 사각형의 대각선의 길이 구하는 건 별로 어렵지 않죠?

한 변의 길이가 5cm인 정사각형 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 에요. 공식에 바로 대입해보죠.

a = 5이므로 대각선의 길이는 × 5 = 5(cm)가 되네요.

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피타고라스의 정리는 기본적으로 직각삼각형에서 출발한 정리잖아요. 그래서 이번에는 조금 복잡한 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하는 방법들을 설명할 겁니다.

하나의 직각삼각형 안에 다른 직각삼각형들이 들어있을 때, 각 변들의 관계에 대해서 알아보죠. 숨어있는 직각삼각형을 잘 찾아내는 게 중요한 문제들입니다.

그리고 히포크라테스의 초승달이라고 불리우는 직각삼각형을 중심으로 그려진 반원들에 대해서도 알아보죠. 반원의 넓이와 직각삼각형의 넓이는 어떤 관계가 있는 지 말이죠.

직각삼각형과 피타고라스의 정리

직각삼각형 △ABC에서 빗변이 아닌 두 변에 임의의 점 D, E를 잡아요. D, E에서 반대편 꼭짓점으로 선을 그었더니 아래 그림처럼 됐어요.

위 그림에서 직각삼각형을 몇 개나 찾을 수 있나요? △ABC, ADE, △ADC, △ABE 총 네 개의 직각삼각형을 찾을 수 있어요. 각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해볼까요?

△ABC에서  = (a + c)² + (b + d)²       ①
△ADE에서  = a² + b²                       ②
△ADC에서  = a² + (b + d)²              ③
△ABE에서  = (a + c)² + b²              ④

① + ② = ③ + ④ = a² + b² + (a + c)² + (b + d)²이 돼요.

 +  =  + 이 되는 거죠.

공식이나 말로 외우려면 절대 외워지지 않아요. 선을 찾아서 그으면서 그림으로 외우세요.

다음 그림을 보고  + 을 구하여라.

 +  =  +
                       = 8² + (3² + 4²)
                       = 64 + (9 + 16)
                       = 89

히포크라테스의 초승달

직각삼각형의 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원들 사이의 관계에도 재미있는(?) 특징이 있어요.

아래 그림처럼 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원을 그렸어요. 각 부분의 넓이를 P, Q, R이라고 해보죠.

P, Q, R을 구해보면 아래처럼 나오네요. 원의 넓이 구하는 법 모르는 사람은 없겠죠?

(P의 넓이) =  = 
(Q의 넓이) =  = 
(R의 넓이) =  = 

여기에서 P와 Q를 더해보면,
P + Q =  + 
         =(a² + b²)
        =       (∵ a² + b² = c²)
         = R

빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이는 다른 두 변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같음을 알 수 있어요.

이 성질을 이용해서 다른 문제를 풀어보죠. 아래 그림을 보세요.

이번에는 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원을 반대방향으로 즉, 삼각형과 겹치게 그려봤어요. 겹치는 부분을 뺀 나머지 넓이를 S₁, S₂라고 해볼까요?

S₁ + S₂는 전체의 넓이에서 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이를 빼면 되겠죠?

S₁ + S₂ = P + Q + △ABC - R
            = R + △ABC - R      (∵ P + Q = R)
            = △ABC

두 영역의 넓이의 합은 △ABC의 넓이와 같다는 걸 알 수 있어요.

다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. ()

일단 색칠한 부분은 직각삼각형 부분과 반원의 일부이죠? 반원의 일부는 직각삼각형의 넓이와 같아요. 따라서 문제의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배가 되겠네요.
S₁ + S₂ + △ABC = 2 × △ABC = 2 × ½ × 3 × 4 = 12(cm²)

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피타고라스의 정리를 배웠으니까 이 정리를 여러 도형에서 활용해봐야겠죠?

피타고라스의 정리라고 해서 꼭 직각삼각형에서만 사용하는 건 아니에요. 사각형에서도 활용할 수 있어요. 직각삼각형이 보이지 않는다면 선분을 잘 그어서 피타고라스의 정리를 활용할 수 있도록 그림을 변형시킬 수 있거든요.

이 글에서는 사각형과 관련된 공식이 나오는데, 공식으로 외우기보다는 그림을 외우는 것이 훨씬 이해하기 쉽고, 외우기도 쉬워서 머릿속에 오래 남아요. 그림으로 이해하고 외우세요.

피타고라스 정리의 활용

사각형에서 두 대각선이 직교할 때

다음 그림처럼 사각형에서 두 대각선이 직교할 때 네 변 길이의 상관관계를 알아보죠.

대각선이 수직으로 만나는 점을 점 O라고 하죠. 그러면 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA라는 네 개의 직각삼각형이 생겨요. 점 O에서 각 꼭짓점에 이르는 거리를 각각 a, b, c, d,라고 해보죠. 그리고 네 개의 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해보면,

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

사각형의 두 대각선이 직교할 때
⇒ 마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음 사각형의 두 대각선이 직교할 때, x를 구하여라.

마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같으므로 8² + x² = 12² + 6²
64 + x² = 144 + 36
x² = 116
x = (cm, x > 0)

직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리

이번에는 직사각형에서 알아볼까요? 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡아요. 그런 다음 점 P를 지나고 변 AB에 평행인 선을 긋습니다. 이 선이 변 AD와 만나는 점을 E, 변 BC와 만나는 점을 F라고 하죠. 이번에는 점 P를 지나고 변 BC에 평행인 선을 그어서 이 선이 변 AB와 만나는 점을 점 G, 이 선이 변 CD와 만나는 점을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형이 생겼네요.

라고 할께요.

점 P에서 네 꼭짓점 A, B, C, D에 이르는 거리에 피타고라스의 정리를 적용해보면

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

직사각형 안의 임의의 한 점 P
⇒ P에서 마주 보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음은 직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리를 나타낸 것이다. x를 구하여라.

직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점 사이의 거리의 제곱의 합이 서로 같으므로 8² + x² = 6² + 7²
64 + x² = 49 + 36
x² = 21
x = (cm, x > 0)

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삼각형은 각의 크기에 따라 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형으로 나눠요.

삼각형의 세 각의 크기가 주어지지 않더라도, 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 피타고라스 정리의 역을 이용하면 직각삼각형인지 아닌지 알 수 있죠?

직각삼각형이 아니면 예각삼각형인지 둔각삼각형인지 알 수도 있을까요? 물론 알 수 있어요. 피타고라스의 정리의 역을 이용할 건데, 이걸 그대로 이용하는 게 아니라 아주 살짝 모양을 바꿔서 이용하면 알 수 있어요.

삼각형 세 변의 길이와 각의 크기

물론 다들 알고 있겠지만, 피타고라스의 정리의 역을 확인해보죠.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라고 놓고 위 피타고라스 정리의 역을 이용해보죠.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 5cm에요. 5² = 3² + 4²이 성립하므로 이 삼각형은 직각삼각형이에요.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 6cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 6cm네요. 6² ≠ 3² + 4²이므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니에요. 직각삼각형이 아니니까 예각삼각형이거나 둔각삼각형일 거예요. 어떻게 알 수 있을까요?

아래 그림을 보세요.

첫 번째 그림은 예각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 왼쪽으로 살짝 돌렸더니 예각삼각형이 되었어요. 이 예각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 줄어들었죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 줄었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 예각삼각형에서는 a² + b² > c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² > c²이면 이 삼각형은 예각삼각형인 거예요.

세 번째 그림은 둔각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 오른쪽으로 살짝 돌렸더니 둔각삼각형이 되었어요. 이 둔각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 늘어났죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 늘었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 둔각삼각형에서는 a² + b² < c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² < c²이면 이 삼각형은 둔각삼각형인 거예요.

• △ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때
• a² + b² > c² ↔ ∠C < 90°인 예각삼각형
• a² + b² = c² ↔ ∠C = 90°인 직각삼각형
• a² + b² < c² ↔ ∠C > 90°인 둔각삼각형

가장 긴 변의 길이를 c로 하는 것에 주의하세요.

세 변의 길이가 5cm, 12cm, xcm 인 삼각형이 둔각삼각형이 될 x의 범위를 구하여라. (단 x가 가장 긴 변)

삼각형의 세 변의 길이가 주어졌으니까 가장 긴 변의 길이를 c로 놓고 위 내용을 적용해보죠. 문제 마지막에 x가 가장 긴 변이라고 했네요.

5² + 12² < x²
169 < x²
13² < x²
13 < x

여기서 끝내면 안 돼요. 삼각형의 조건 중에서 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 하는 거 알고 있죠? 따라서 x < 5 + 12가 되어야 해요. x < 17이죠.

따라서 x의 범위는 13cm < x < 17cm입니다.

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피타고라스의 정리는 수많은 방법으로 증명이 이루어졌어요. 그중에서 가장 유명한 증명 방법인 유클리드의 증명과 가필드의 증명 방법에 대해서 알아보죠.

피타고라스의 정리, 피타고라스 정리의 증명에서도 피타고라스의 증명과 바스카라의 증명을 알아봤지만, 이 글에서 설명할 유클리드의 증명과 가필드의 증명도 아주 유명한 증명이라서 꼭 이해해야 해요.

피타고라스의 증명 방법은 이 외에도 엄청나게 많아요. 그걸 다 알 필요는 없지만 그래도 두 글에서 설명했던 몇 가지 정도는 알고 있어야 해요.

유클리드의 증명

유클리드의 증명은 좀 까다로운 방법을 이용해서 증명합니다.

직각삼각형 세 변의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 그리고 그 넓이를 비교해서 증명하는 방법이에요. 아래 그림에서 같은 색으로 표시된 곳의 넓이가 같아요.

파란색으로 표시된 사각형의 넓이는 이고, 빨간색으로 표시된 사각형의 넓이는 이예요. □ABHI의 넓이는 이고요. 넓이의 비교를 통해서  =  +  이라는 걸 알 수 있는 거죠.

그림 중에서 필요한 부분만 따로 떼서 보시죠.

첫 번째, 두 번째 그림에서 밑변의 길이가 변 BE의 길이이고, 높이는 변 BC의 길이이기 때문에 (△BCE의 넓이) = (△ABE의 넓이)가 성립해요.

세 번째, 네 번째 그림에서도 밑변의 길이(변 BH의 길이)와 높이가 같으므로 (△CBH의 넓이) = (△JBH넓이)가 성립해요

이번에는 두 번째, 세 번째 삼각형을 보죠.

□BCDE가 정사각형이기 때문에 에요. □ABHI도 정사각형이기 때문에 입니다. 두 번째 그림의 ∠EBA = 90° + ∠CBA이고, 세 번째 그림의 ∠CBH = 90° + ∠CBA로 ∠EBA = ∠CBH가 되죠. 따라서 두 번째, 세 번째 그림에서 두 삼각형은 SAS 합동이에요. 두 도형이 합동이면 넓이가 같죠?

첫 번째, 두 번째 그림에서 삼각형은 넓이가 같고(합동 아님), 두 번째, 세 번째 그림의 삼각형은 합동으로 넓이가 같고, 세 번째 네 번째 그림의 삼각형은 넓이가 같아요(합동 아님). (1) = (2) ≡ (3) = (4)

이를 통해서 첫 번째 그림의 삼각형과 네 번째 그림의 삼각형의 넓이가 같다는 걸 알 수 있어요. (△BCE의 넓이) = (△BHJ의 넓이). 삼각형의 넓이가 같으니까 그 넓이가 2배인 사각형의 넓이도 같겠죠?

(□BCDE의 넓이) = 2 (△BCE의 넓이) = 입니다.

위 과정을 반복하면 □ACFG에서 같은 결론을 얻어서 두 사각형의 넓이가 같다는 걸 알 수 있고요.

결국 (□BCDE의 넓이) + (□ACFG의 넓이) = (□ABHI의 넓이)라는 걸 알 수 있지요. 정사각형의 넓이는 변의 길이의 제곱인데, 세 정사각형의 변의 길이는 직각삼각형 △ABC의 세 변의 길이이므로 △ABC에서 피타고라스의 정리가 성립함을 증명할 수 있는 거죠.

가필드의 증명

가필드의 증명은 직각삼각형 두 개를 연결하고, 거기에 선을 그어서 사다리꼴을 만들고 그 넓이를 비교하는 거예요.

□ABDE의 넓이 = △ABC의 넓이 + △CDE의 넓이 + △ACE의 넓이에요.

△ACE의 넓이를 먼저 구해보죠. 삼각형 △ABC 내각의 크기의 합은 180°에요. 그리고 ∠BCD는 평각으로 180°고요.

삼각형 △ABC 내각의 크기의 합은 180° = ∠A + ∠B + ∠C
∠BCD는 평각 180° = ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD

∠C = ∠ACB, ∠A = ∠ ECD이므로 ∠ACE = ∠B = 90°

따라서 △ACE의 넓이는 c²이에요.

위 식을 완성해보죠. 사다리꼴 넓이 공식 알고 있죠?  × (윗변 + 아랫변) × (높이)

□ABDE의 넓이 = △ABC의 넓이 + △CDE의 넓이 + △ACE의 넓이
(a + b)² = ab × 2 + c²

(a + b)² = ab × 2 + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²

△ABC에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같음을 증명했어요.

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학교를 졸업한 지 오랜 시간이 지난 분들도 1학기 때 공부했던 근의 공식과 이 글에서 공부할 피타고라스의 정리는 들으면 기억이 난다고 할 거에요.

피타고라스의 정리는 이처럼 학교를 졸업한 지 몇 년이 지나도 기억나는 대표적인 공식이죠. 왜 기억할까요? 매우 오랫동안 매우 많은 시간을 공부했으니까요. 즉, 앞으로 수학 시간에 계속해서 나오는 아주 중요한 공식이라는 얘기예요.

이 글의 내용을 주의 깊게 보시면 앞으로 수학 시간에 헤매는 일은 줄어들 겁니다.

피타고라스의 정리

직각삼각형 ABC에서 각 꼭짓점의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 빗변 c의 제곱은 다른 두 변 a, b의 제곱의 합과 같다.
a² + b² = c²

피타고라스의 정리의 증명

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 10가지도 넘어요. 그 방법을 다 소개할 수는 없고, 몇 가지만 하죠.

피타고라스의 정리 증명 - 피타고라스의 증명

교과서에서도 설명하는 내용이고 가장 많이 이용하는 증명방법이에요. 핵심은 빗변이 아닌 두 변의 길이의 합을 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.

ΔABC에서 변 AC와 변 BC의 연장선을 그려서 한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 만들어요.

그리고 그림처럼 점 A, E, G, B를 잡으세요. 그러면 큰 사각형은 작은 사각형 하나와 삼각형 네 개로 이루어지죠. 넓이를 구해볼까요?

(□CDFH의 넓이) = □AEGB + 4 × (ΔABC의 넓이) 가 돼요. 이 식에 길이를 넣어보면,

(a + b)² = c² + 4 × ½ab
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
a² + b² = c²

ΔABC에서 a² + b² = c²가 성립함을 알 수 있어요.

피타고라스의 정리 증명 - 바스카라의 증명

이번 증명의 핵심은 빗변의 길이를 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.

ΔABC와 합동인 삼각형 네 개를 붙여서 위 그림처럼 빗변을 한 변으로 하는 정사각형을 만듭니다. 큰 사각형은 작은 사각형 한 개와 삼각형 네 개로 이루어져 있습니다.

(□ABDE의 넓이) = □CFGH + 4 × (ΔABC의 넓이)
c² = (b - a)² + 4 × ½ab
c² = a² - 2ab + b² + 2ab
a² + b² = c²

ΔABC에서 a² + b² = c²가 성립함을 알 수 있어요.

피타고라스의 정리를 증명하는 다른 방법은 유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명에서 확인하세요.

피타고라스 정리의 역

정리와 역이 무슨 말인지는 알고 있죠? 2학년 때 배웠던 내용인데, 수학에서 정의, 정리, 증명, 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 확인할 수 있어요.

역은 가정과 결론을 바꾼 걸 말해요.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

피타고라스의 정리에 자주 나오는 숫자들

피타고라스의 정리를 이용하는 문제에서 한 변의 길이를 구하는 건 공식에 넣어서 구하면 돼요. 식에 제곱이 들어있기 때문에 길이가 제곱근이 되는 경우도 있어요.

그런데 매번 공식에 넣어서 구하는 것도 귀찮잖아요. 그래서 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 길이는 외워두면 편리해요.

세 변의 순서는 가장 짧은 변: 중간: 빗변의 순서에요.

세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5인 삼각형은 직각삼각형이에요. 3² + 4² = 5²가 되거든요. 3cm, 4cm, 5cm인 경우만 되는 것이 아니라 길이의 비가 3:4:5인 경우 모두가 직각삼각형이에요. 6cm, 8cm, 10cm인 삼각형도 9cm, 12cm, 15cm인 삼각형도 직각삼각형이라는 거지요.

세 변의 길이의 비가 5:12:13인 경우도 직각삼각형이에요.

세 변의 길이의 비가 1:1:인 경우도 직각삼각형이에요. 이 경우에는 두 변의 길이가 같으니까 직각이등변삼각형이죠.

세 변의 길이의 비가 1::2인 경우도 직각삼각형이에요. 이 삼각형은 나중에 삼각비할 때 또 나오니까 꼭 외워두세요.

세 변의 길이가 6cm, xcm, 10cm인 삼각형이 있다. 이 삼각형이 직각삼각형일 때, x값들의 합을 구하시오.

직각삼각형이니까 피타고라스의 정리에 대입해보면 x을 구할 수 있어요. 그런데 문제에서 "값들의 합"이라고 했어요. 그러니까 x가 하나가 아니라는 뜻이에요.

세 변의 길이가 6, x, 10이에요. 10이 빗변의 길이라고 하면 식은 6² + x² = 10²가 돼요.
36 + x² = 100
x² = 64
x = 8 (x >0)

이번에는 10이 아니라 x가 빗변을 때를 구해보죠. 6² + 10² = x²
136 = x²
x =
x = (x > 0)

직각삼각형에서 빗변의 길이가 가장 기니까 6은 빗변이 될 수 없어요. 따라서 x값들의 합은 8 + 가 되겠네요.

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삼각형의 내심과 외심은 상당히 비슷하지만 달라요. 헷갈리는 부분이 많아서 따로따로 공부하더라도 같이 보면 도움이 될 거예요.

그래서 이 글에서 내심과 외심의 차이를 좀 더 명확하게 알 수 있게 둘을 비교해 볼까 합니다.

표만 보지 말고, 삼각형의 외심과 내심에 대하여 설명한 다음 글들까지 보고, 완벽히 정리하세요. 아랫글들을 읽지 않으면 표를 봐도 이해할 수 없어요.

삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
삼각형 내심의 활용

글 마지막에는 이등변삼각형과 정삼각형의 내심과 외심에 관한 내용도 있으니까 한 번 보세요.

삼각형의 외심과 내심 비교, 삼각형의 내심과 외심의 차이

삼각형의 외심	삼각형의 내심
세 변의 수직이등분선의 교점	세 각의 이등분선의 교점
외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다.  =  =	내심에서 세 변에 이르는 거리가 같다.  =  =
이등변 삼각형 세 개 △OAB △OBC △OCA	없음.
세 쌍의 합동인 삼각형(SAS 합동) △ODA ≡ △ODB △OEB ≡ △OEC △OFC ≡ △OFA	세 쌍의 합동인 삼각형(RHA 합동) △IAD ≡ △IAF △IBD ≡ △IBE △ICE ≡ △ICF
외접원: 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 삼각형 바깥의 원 외접원의 반지름: 외심에서 꼭짓점까지의 거리	내접원: 삼각형의 세 변에 접하는 삼각형 안의 원 내접원의 반지름: 내심에서 변까지의 거리
예각삼각형: 내부 둔각삼각형: 외부 직각삼각형: 빗변의 중점	삼각형의 내부
∠x + ∠y + ∠z = 90°	∠x + ∠y + ∠z = 90°
∠BOC = 2∠A	∠BIC = 90° + ½∠A
	△ABC 넓이 = ½r(△ABC 둘레 길이)

이등변삼각형과 정삼각형의 내심과 외심

이등변삼각형의 내심과 외심

이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따르면 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다고 했어요. 즉 (꼭지각의 이등분선) = (밑변의 수직이등분선)이 되는 거죠. 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있고, 외심은 밑변의 수직이등분선 위에 있어요. 따라서 이등변삼각형의 내심과 외심은 같은 선위에 있다는 걸 알 수 있어요.

정삼각형의 내심과 외심

정삼각형은 세 각의 크기가 모두 같고, 세 변의 길이도 같아요. 기본적으로 이등변삼각형의 성질을 가지고 있어요. 이등변삼각형에서와 마찬가지로 (꼭지각의 이등분선) = (밑변의 수직이등분선)에요. 정삼각형은 따지고 보면 세 개의 꼭지각이 있는 것과 같죠? 세 꼭지각의 이등분선의 교점은 세 밑변의 수직이등분선의 교점이므로 외심과 내심이 같아요.

함께 보면 좋은 글

삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
삼각형 내심의 활용

삼각형의 내심은 세 각의 이등분선의 교점이에요. 이 교점에서 세 변에 이르는 거리는 같고요. 교점에서 변에 이르는 거리를 반지름으로 하는 원은 세 변에 접하므로 내접원이라고 하죠.

삼각형의 내심을 중심으로 세 쌍의 합동인 삼각형이 생겨요.

삼각형의 내심은 삼각형의 종류와 상관없이 그 의미상 모든 삼각형의 내부에 있어요.

위 내용을 바탕으로 해서 삼각형 내심을 여러 가지로 활용하는 방법을 알아보죠.

삼각형 내심의 활용

점 I가 △ABC의 내심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°

점 I가 내심이면 ∠IAB = ∠IAC, ∠IBA = ∠IBC, ∠ICB = ∠ICA에요. 점 I는 각의 이등분선의 교점이니까요.

삼각형의 내각의 합에 따라서 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이므로 ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.

∠BIC = 90° + ∠A

△IAB만 따로 떼서 생각해보죠. 변 IA의 연장선을 그어보세요.

삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다는 걸 공부했어요.

∠BIE = ∠x + ∠y입니다.

이번에는 △IAC를 생각해보면, 같은 이유로 ∠CIE = ∠x + ∠z가 되죠.

∠BIC = ∠BIE + ∠CIE = ∠x+ ∠y + ∠x + ∠z가 성립해요.

위에서 ∠x + ∠y + ∠z = 90°라고 했잖아요. 따라서 식을 정리하면 ∠BIC = 90° + ∠x가 돼요. ∠x = ∠A니까 결국 ∠BIC = 90° + ∠A가 됩니다.

△ABC의 넓이 = r(x + y + z)

이번에는 x, y, z가 각의 크기가 아닌 세 변의 길이를 뜻해요. 위와 혼동하지 마세요.

내접원의 반지름 r은 내심 I에서 변에 수직으로 이르는 거리, 즉 △IAB의 높이에 해당해요. 따라서 △IAB의 넓이는  × x × r이죠.

마찬가지로 △IBC의 넓이는  × y × r이고, △ICA의 넓이는  × z × r이에요.

△ABC의 넓이 = △IAB 넓이 + △IBC 넓이 + △ICA넓이
                   =  × x × r +  × y × r +  × z × r

두 번째 줄에서 세 번째 줄로 바뀌는 이유는 3학년 때 공부할 거예요. 여기서는 그냥 '이렇게 바뀌는구나.' 하고 넘어가요.

△ABC의 내접원의 반지름이 2cm이고, △ABC의 넓이가 20cm²일 때, △ABC의 둘레의 길이를 구하여라.

내접원의 반지름과 둘레를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 S = r × (삼각형 둘레의 길이)에요. 여기에 대입을 해보죠.

20 =  × 2 × (둘레의 길이)

(둘레의 길이) = 20 (cm)

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삼각형의 외심에 이어 삼각형의 내심입니다. 외심은 외접원의 중심이에요. 그럼 내심은 뭔지 추측할 수 있겠죠? 내심과 외심은 상당히 비슷해요. 그러니까 헷갈리기 쉽죠. 둘의 차이점을 잘 이해하고, 구분할 줄 알아야 해요.

삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질

삼각형의 내심에서도 작은 삼각형과 변, 각 등의 알파벳이 많이 나와요. 하나하나 짚어가면서 그림과 잘 비교해서 보세요.

그럼, 삼각형의 내심이 뭔지 어떤 특징이 있는지 알아보죠.

삼각형의 내심

삼각형 내심의 증명

삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이 외심이에요. 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같았죠?

그럼 이번에는 세 각의 이등분선의 교점을 알아볼까요? 세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지부터 알아보죠.

△ABC가 있어요.

∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점을 점 I라고 해보죠. 그리고 점 I에서 변 AB, BC, CA에 수선의 발을 내리고 각각 D, E, F라고 해봐요.

세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지를 증명하려면 매우 복잡해요. 그래서 일단 두 각(∠A, ∠B)의 이등분선의 교점(I)과 다른 한 점(C)을 지나는 선()이 한 각(∠C)을 이등분하는지 확인하는 방법으로 증명할 거예요.

∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점을 점 I라고 하면 ∠IAD = ∠IAF, ∠IBD = ∠IBE죠. 여기에 에 의해 나눠지는 두 각 ∠ICE = ∠ICF가 성립하는지만 확인하면 삼각형 세 각의 이등분선이 한 점에서 만난다는 걸 증명할 수 있다는 얘기예요.

△IAD와 △IAF를 보세요. ∠IDA = ∠IFA = 90°이고요. 빗변는 공통이에요. ∠A를 이등분한 각이므로 ∠IAD = ∠IAF이고요. RHA 합동에 의해서 △IAD ≡ △IAF가 됩니다. 대응변인 (1)  = 가 성립하죠.

이번에는 △IBD와 △IBE를 보세요. ∠IDB = ∠IEB = 90°이고요. 빗변는 공통이에요. ∠B를 이등분한 각이므로 ∠IBD = ∠IBE에요. RHA합동에 의해서 △IBD ≡ △IBE가 됩니다. 대응변인 (2)  = 가 성립하죠.

(1), (2)에 의해서  =  = 가 됩니다.

이번에는 △ICE, △ICF를 보세요. ∠IEC = ∠IFC = 90°, 는 공통,  = 이므로 RHS 합동에 의해서 △ICE ≡ △ICF가 되죠. 따라서 대응각인 ∠ICE = ∠ICF가 성립합니다.

결국 가 ∠C의 이등분선으로 세 각의 이등분선이 점 I에서 만난다는 걸 알 수 있지요.

세 쌍의 합동인 삼각형

RHA합동에 의해서 △IAD ≡ △IAF, △IBD ≡ △IBE, △ICE ≡ △ICF 라는 합동인 삼각형이 세 쌍이 생겨요.

삼각형의 외심과 달리 이등변삼각형은 없습니다.

삼각형의 내심의 성질 - 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지를 증명하는 과정에서  =  = 가 나와요. 즉 점 I에서 세 변에 이르는 거리가 같다는 얘기죠.

점 I를 중심으로 하고, 를 반지름으로 하는 원을 그린다고 해볼까요? 이 원은 삼각형의 세 변에 모두 접하고 삼각형의 내부에 있어요. 이처럼 삼각형의 세 변에 접하는 원을 내접원 (Inner circle)이라고 해요. 그리고 내접원의 중심을 내심이라고 하고 I로 표시해요.

삼각형 내심의 성질: 내심에서 세 변에 이르는 길이는 같다.
 =  = 

내접원은 그 의미상 삼각형의 종류와 상관없이 삼각형의 내부에 있을 수밖에 없어요. 따라서 삼각형의 내심도 무조건 삼각형의 내부에 있어요.