입체도형 대각선의 길이 구하기

이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체와 정육면체의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요.

대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠.

정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요.

아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이 를 말해요.

입체도형 대각선의 길이 - 직육면체

피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠?

입체도형 대각선의 길이 - 직육면체 대각선의 길이

그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요.

△ABC에서 는 빗변이니까 = a² + b²이 돼요.

자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까

= +
= a² + b² + c²
=

세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = 이므로 대입하면

정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠.

정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠?

모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = (cm)

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