수학방

경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 경우의 수라는 걸 알아봤어요.

이제는 여러 상황에서 경우의 수가 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

몇 가지 패턴이 있는데, 그것만 알면 경우의 수를 쉽게 구할 수 있어요. 공식이 나옵니다. 외우면 좋겠죠?

경우의 수에서 예로 들었던 동전 던지기와 주사위 던지기를 알아볼 거고요. 여러 항목을 한 줄 세우기 할 때 경우의 수에 대해서 알아볼 거예요.

동전 던지기

동전은 앞면과 뒷면이 있어요. 그래서 동전 하나를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 두 개죠.

동전 두 개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수를 순서쌍으로 나타내 볼까요?
(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤) 이렇게 총 4가지 경우가 있어요.

동전 두 개를 던졌을 때 나오는 경우의 수는 각각의 동전을 동시에 던지니까 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 = 4로 구합니다.

동전을 세 개 던지면 어떻게 될까요? 마찬가지로 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 × 2 = 8이 되겠네요.

동전의 개수가 n 개라면 동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 2ⁿ입니다.

주사위 던지기

주사위는 총 6개의 면이 있어요. 한 개의 주사위를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 6이에요.

주사위 두 개를 던지면 어떻게 될까요?
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

총 36가지의 경우가 있어요. 두 개의 주사위도 마찬가지로 동시에 일어나는 사건이니까 6 × 6 = 36이 되는 거죠.

주사위를 세 개 던지면 6 × 6 × 6 = 216의 경우의 수가 나와요.

주사위 n개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6ⁿ입니다.

한 줄 세우기

줄 세우기는 여러 개의 항목이 있는 걸 차례대로 놓는 걸 말해요.

한 줄 세우기

1 ~ 4까지의 자연수가 있어요. 이 자연수를 차례대로 놓아서 네 자리 숫자를 만들 때, 경우의 수는 어떻게 될까요?

1. 먼저 천의 자리 숫자에는 1 ~ 4까지 아무 수나 하나 골라요. - 경우의 수는 4
2. 백의 자리 숫자를 고르는데, 천의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 그래서 남은 세 수중에서 하나를 골라요. - 경우의 수는 3
3. 십의 자리 숫자를 고르는데, 천, 백의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 남은 두 수 중에서 하나를 골라요. - 경우의 수는 2
4. 마지막 일의 자리 숫자는 천, 백, 십의 자리 숫자를 고르고 남은 하나가 됩니다. - 경우의 수 1

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 뽑는 건 동시에 일어나는 것으로 곱의 법칙을 이용할 수 있어요.

그래서 네 자리 숫자를 만들 수 있는 총 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1 = 24가 됩니다.

여러 항목을 줄 세울 때는 항목의 개수가 몇 개인지가 중요해요. 줄 세울 때 경우의 수는 아래 공식으로 구할 수 있어요.

한 줄 세우기 경우의 수
n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1

개수를 하나씩 줄여가면서 계속 곱하는 거예요.

웬디, 아이린, 슬기, 조이, 예리 다섯 사람이 앨범 표지로 사용할 사진을 찍으려고 한다. 이 다섯 명이 한 줄로 서서 사진을 찍을 때 한 줄로 서는 경우의 수는 얼마인가?

한 줄 세우기 공식 한 번 더 써보죠. n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1

멤버 수가 총 5명이니까 5부터 1씩 줄여가면서 계속 곱하면 돼요.

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 가지의 경우가 있네요.

이웃하여 한 줄 세우기

한 줄을 세울 때 특별한 경우가 있어요. 항목중에서 몇 개를 꼭 함께 놓는 경우가 있거든요.

과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 팔아요. 이 과일들을 한 줄로 진열하려고 할 때 사과와 배는 꼭 바로 옆에 놓게 진열을 한다면 몇 가지 경우의 수가 있을까요?

사과와 배를 바로 옆에 놓지 않아도 될 때의 경우의 수를 먼저 구해보죠. 과일의 종류가 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박 총 6가지니까 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720가지의 경우의 수가 있어요.

이 중에서 사과와 배가 바로 옆에 붙어 있는 경우의 수를 구해야 하는 거잖아요. 이때는 사과와 배를 하나의 묶음으로 생각해 버려요. 하나의 묶음으로 생각해서 과일의 종류가 총 다섯 가지라고 계산하면 쉽거든요.

사과와 배를 하나의 묶음으로 생각하면 한 줄로 진열할 수 있는 경우의 수는 몇 가지일까요? 한 줄로 세우는 공식은 바로 위에서 했죠? 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120이네요.

여기서 끝난 게 아니에요. 사과와 배를 묶음으로 생각했는데, 사과 - 배의 순서로 놓을 수도 있고 배 - 사과의 순서로 놓을 수도 있겠지요? 사과와 배를 줄 세우는 방법이 두 가지 경우가 있어요. 이건 다른 과일들을 놓는 것과 동시에 일어나는 사건이기라서 곱의 법칙을 이용해요.

결국, 여섯 종류의 과일을 진열할 때 사과와 배를 바로 옆에 놓도록 진열하는 방법은 120 × 2 = 240가지가 있어요.

이웃하여 한 줄 세우기는 아래의 공식으로 구할 수 있어요.

이웃하여 한 줄 세울 때 경우의 수
(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)

과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 한 줄로 진열하려고 한다. 배, 감, 포도가 서로 이웃하도록 진열하려고 할 때 경우의 수를 구하여라.

위 설명에서 했던 문제인데, 이번에는 배, 감, 포도 총 세 개의 과일을 이웃하게 진열한다고 했네요.

공식을 그대로 쓰면 돼요.

먼저 배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 생각하면 과일의 종류는 4가지로 볼 수 있겠지요? 이 네 가지를 한 줄로 진열하는 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1이 되고요.

배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 봤을 때 배, 감, 포도를 한 줄로 진열하는 방법은 3 × 2 × 1가지가 있어요.

위의 둘을 곱하면 답이 나옵니다.

(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)
= (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 24 × 6
= 144

총 144가지의 경우의 수가 나오네요.

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방학이 다 끝나고, 2학기가 시작되었어요.

2학기에는 확률과 도형에 대해서 공부해요. 1학기 때 배웠던 연립방정식이나 함수와 다른 새로운 내용이니까 "기초가 부족해" 이런 생각하지 마세요. 처음 보는 단원이다 생각하고 열심히 하시면 됩니다.

처음으로 배울 내용은 확률인데 그 중에서도 경우는 수예요. 경우의 수는 간단히 말해서 주사위를 던지거나 동전을 던졌을 때 어느 면이 나오는지 그 수를 세보는 거예요.

경우의 수는 상식적인 선에서 생각해야 해요. 동전을 던졌을 때 세로로 서 있는 경우, 침대 밑으로 굴러가서 확인할 수 없는 경우 등은 전혀 고려하지 않아요.

경우의 수

사건은 같은 조건에서 여러 번 할 수 있는 실험이나 관찰로 얻어진 결과를 말해요. "동전을 던졌더니 앞면이 나왔다." 같은 거요.

시행은 실험이나 관찰을 하는 행위를 말하고요.

경우는 수는 사건에서 일어날 수 있는 경우의 가짓수에요.

동전을 던지면 앞면이 나오는 경우가 있겠죠? 뒷면이 나오는 경우도 있을 거예요. 두 가지 경우가 있지요? 동전을 던질 때는 앞면 또는 뒷면이 나오는 두 가지 경우가 있어요. 따라서 이때의 경우의 수는 2에요.

주사위를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나올 수 있어요. 총 6가지죠. 따라서 이때의 경우의 수는 6이에요.

합의 법칙

경우의 수를 구하는 방법은 크게 두 가지에요. 그중에 첫 번째는 합의 법칙인데요.

한 개의 주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우의 수를 구한다고 해보죠.

주사위를 던져서 2의 배수가 나오는 경우는 2, 4, 6의 세 경우가 있어요. 경우의 수는 3이죠.
주사위를 던져서 5의 배수가 나오는 경우는 5 한 가지뿐이에요.

주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우는 3 + 1 = 4예요.

주사위를 던졌을 때 어떤 수가 나오는데, 2의 배수이면서 5의 배수인 경우가 있나요? 없죠? 그래서 각각의 경우의 수를 구해서 더해주는 거예요.

합의 법칙은 각 사건이 동시에 일어나지 않을 때 사용해요. 문제에서 " 또는 ", "~ 이거나" 하는 표현들이 나올 때죠.

사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지)

1 ~ 30까지의 자연수가 적힌 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?

상자에서 카드를 꺼낼 때 5의 배수인 카드가 나오는 경우는 5, 10, 15, 20, 25, 30으로 6가지에요.
7의 배수인 카드가 나오는 경우는 7, 14, 21, 28로 4가지고요.

문제에서 "5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드"라고 했으니까 두 경우의 수를 더해서 6 + 4 = 10, 총 10가지 경우가 되겠네요.

1 ~ 30까지의 자연수가 적혀있는 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?

위의 예제와 같은 문제인데 숫자만 바꿨어요. 풀이가 어떻게 달라지는지 보죠.

상자에서 카드를 꺼낼 때 3의 배수인 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 총 10가지에요.
4의 배수인 카드가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 총 7가지고요.

이 문제에서도 "3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드"라고 했으니까 그냥 10 + 7 = 17하면 될까요?

안됩니다. 12가 적힌 카드를 뽑았다고 해보죠. 12는 3의 배수이면서 4의 배수예요. 12를 뽑은 건 하나의 사건인데 3의 배수인 카드를 뽑은 사건과 4의 배수를 뽑은 사건 양쪽에서 각각 더해주면 두 번을 세는 거예요. 그래서 한 번은 빼줘야 해요. 24도 마찬가지고요.

10 + 7 - 2 = 15, 이때의 경우의 수는 15가 돼요.

합의 법칙은 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없을 때 각 사건이 일어나는 경우의 수를 더해줘요. 하지만 두 사건이 모두 일어나는(중복되는) 경우가 생기면 그만큼을 빼줘요.

곱의 법칙

1, 2, 3, 4가 적힌 카드 네 장이 있어요. 이 네 장의 카드를 이용해서 두 자리 자연수를 만드는 경우의 수는 몇 가지인지 알아보죠.

두 자리 자연수를 만든다고 했으니까 십의 자리 숫자 하나, 일의 자리 숫자 하나를 뽑아야 해요.

십의 자리 숫자로 1을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 2, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 2를 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 3을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 4을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 3이 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.

각각의 경우를 수를 다 더하면 3 + 3 + 3 + 3 = 12가 나와요.

이 문제를 쉽게 풀어볼까요?

십의 자리 숫자에 올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4 해서 총 4개에요. 그리고 어떤 한 수를 십의 자리에 놓았을 때 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 나머지 3개죠?

(십의 자리를 뽑는 경우의 수 4) × (일의 자리를 뽑는 경우의 수 3) = 12 하면 쉽게 구할 수 있죠?

곱의 법칙은 합의 법칙과 달리 사건이 동시에 일어나는 경우에 사용해요. 동시라는 같은 시각을 의미하는 게 아니에요. 경우의 수를 구하는 과정에서 두 사건이 모두 일어나야 한다는 뜻이에요.

십의 자리를 뽑는 것과 일의 자리를 뽑는 두 사건이 모두 일어나야 하죠? 십의 자리를 뽑는 사건과 일의 자리를 뽑는 사건 중 하나만 일어나서는 경우의 수를 구할 수 없어요. "동시에"라는 말은 여러 사건이 모두 일어나는 경우를 말해요.

이처럼 두 개 이상의 사건이 동시에 일어나면 각각의 경우의 수를 곱해요.

사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 경우의 수 = a × b(가지)

3종류의 티셔츠와 2종류의 바지가 있다. 티셔츠와 바지를 하나씩 골라 입을 수 있는 경우의 수를 구하여라.

여기서는 3종류의 티셔츠 중 하나를 고르는 사건과 2종류의 바지 중에서 하나씩 골라 입는 경우의 수를 구하라고 했어요. 티셔츠를 고르는 사건과 바지를 고르는 사건은 동시에 일어나야 하는 하죠?

티셔츠를 고를 수 있는 경우의 수는 3, 바지를 고를 수 있는 경우의 수는 2에요.

따라서 옷을 입을 수 있는 경우의 수는 3 × 2 = 6(가지)가 되는 거죠.

합의 법칙과 곱의 법칙의 선택

어떤 두 사건이 있을 때 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으면 합의 법칙, 두 사건이 모두 일어나야 하면 곱의 법칙을 사용해요.

위의 1 ~ 30까지 자연수가 적힌 카드가 들어있는 상자에서 5의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우의 수 예제를 보죠. 이때는 5의 배수가 적힌 카드가 나와도 괜찮죠. 그리고 7의 배수가 적힌 카드를 뽑아도 괜찮아요. 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으니까 합의 법칙이에요.

3종류의 티셔츠와 2종류의 바지에서 하나를 고르는 예제를 보죠. 티셔츠를 고르는 사건만 일어나거나 바지만 고르는 사건만 일어나서는 안 돼요. 두 사건 모두가 일어나야 해요. 그래서 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.

합의 법칙: 여러 사건 중 하나만 일어나도 괜찮은 경우
곱의 법칙: 여러 사건이 모두 일어나야 하는 경우

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이 글에서 공부할 내용은 구의 부피와 구의 겉넓이입니다.

구의 부피와 구의 겉넓이

구는 축구공, 배구공처럼 둥근 공 모양을 구하고 하지요? 구는 밑면, 옆면 구분이 없어요. 그래서 전개도로 펼쳐서 구하지 않아요.

구의 부피부터 구해보죠.

원뿔의 부피는 원기둥의 부피의  이었어요. 구는 원기둥 부피의  입니다.

원기둥의 부피의 인데, 이때의 원기둥의 높이는 얼마일까요? 구의 반지름이 r이라고 하면 원기둥의 높이는 2r, 즉 구의 지름의 길이와 같아요.

원기둥의 부피 공식에서 높이에는 2r을 넣어주고, 를 곱해주면 구의 부피를 구할 수 있어요.

πr²h                    →     πr² × 2r
                                = πr³

구의 겉넓이는 구의 부피와 각뿔의 부피를 이용해서 구하는데, 그 과정이 조금 어려워요. 공식 구하는 과정은 고등학교 올라가면 자연스럽게 알게 될 거니가 여기서는 그냥 결과만 얘기할게요.

구의 겉넓이는 4πr²입니다.

구의 반지름이 r일 때
구의 부피 = πr³
구의 겉넓이 = 4πr²

잘 보세요. 구의 부피는 마지막이 r의 세제곱이고, 구의 겉넓이는 r의 제곱이에요. 착각하지 마세요.

반지름이 6cm인 반구가 있다. 이 반구의 겉넓이와 부피를 구하여라.

반구는 구가 반으로 잘린 걸 말해요.

먼저 부피를 구해보죠. 반구는 원래 구의 반이니까 부피도 절반이겠죠?

반구의 부피 = 구의 부피 ÷ 2
= πr³ ÷ 2
= π6³ ÷ 2
= 144π(cm³)

반구의 겉넓이는 구의 겉넓이의 절반이에요. 그런데 반구에서 잘린 면이 있지요? 이 면의 넓이를 더해줘야 해요. 이 잘린 면은 원이네요.

반구의 겉넓이는 = 구의 겉넓이 ÷ 2 + 잘린 면의 넓이
= 4πr² ÷ 2 + πr²
= 4π6² ÷ 2 + π6²
= 72π + 36π
= 108π(cm²)

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이제 중1 수학도 막바지에 다랐어요. 얼마 남지 않았으니까 조금 더 힘내세요.

이번 글에서는 각뿔과 원뿔의 겉넓이와 부피에 대해서 알아볼 거예요.

각뿔과 원뿔의 겉넓이는 각기둥과 원기둥의 겉넓이, 부피, 부채꼴의 넓이 구하는 공식 등에 대해서 알고 있어야 이해할 수 있어요.

혹시 잘 기억이 안 난다면 원기둥의 부피와 겉넓이, 각기둥의 부피와 겉넓이와 부채꼴 넓이를 얼른 보고 오세요.

각뿔의 겉넓이와 부피

각기둥의 겉넓이를 구할 때 전개도로 펼쳐서 구했어요. 그리고 (밑면의 넓이) + (옆면의 넓이)로 구했고요. 각뿔도 마찬가지예요.

각뿔이 각기둥과 다른 점은 밑면이 한 개뿐이고, 옆면은 모두 삼각형이라는 거예요.

밑면은 각뿔의 형태에 따라 다르지만 다각형의 넓이 구하는 방법으로 구할 수 있잖아요.

각기둥에서는 옆면이 직사각형이라서 하나의 큰 직사각형으로 구할 수 있었는데, 각뿔에서는 옆면이 삼각형인 데다 삼각형의 넓이도 제각각이어서 하나씩 구해서 다 더해줘야 하는 불편함이 있어요. 하지만 실제 문제에서는 옆면이 이등변삼각형으로 합동인 경우가 많으니까 하나 구해서 × 4하면 돼요.

주의해야 할 게 있는데, 각뿔의 높이와 옆면인 삼각형의 높이를 잘 구별하세요.

각뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 각기둥의 부피의 이니까 각기둥의 부피에 을 곱해서 구해요.

각뿔의 높이가 h일 때
각뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이)
각뿔의 부피 =   × (밑넓이) × (높이) = Sh

원뿔의 겉넓이와 원뿔의 부피

원뿔을 전개도로 펼쳐보면 아래 그림처럼 부채꼴인 옆면 한 개와 원인 밑면 한 개로 되어 있어요.

원뿔의 넓이도 (밑넓이) + (옆넓이)니까 (원의 넓이) + (부채꼴의 넓이)하면 되겠지요.

밑면은 반지름이 r인 원이니까 넓이는 πr²이에요.

옆넓이인 부채꼴 넓이는 중심각의 크기를 알 때와 부채꼴 호의 길이를 알 때 두 가지 방법으로 구할 수 있는데, 여기서는 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식으로 부채꼴의 넓이를 구합니다.

부채꼴의 넓이 = rl

여기서 r은 부채꼴의 반지름, l은 부채꼴 호의 길이를 말해요. 위 전개도에 나온 r, l과 서로 다른 r, l이죠. 이 부분을 주의하세요.

부채꼴의 반지름은 모선의 길이 l이에요. 부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같아요. 밑면의 반지름이 r이라면 부채꼴 호의 길이는 2πr이죠. 공식에 대입해서 옆면인 부채꼴의 넓이를 구하면 × l × 2πr = πrl이 나와요.

각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 이라고 했지요? 원뿔의 부피도 밑면의 반지름과 높이가 같은 원기둥의 부피의 이에요.

원기둥의 부피는 πr²h였으니까 여기에 을 곱해서 구할 수 있어요.

밑면의 반지름이 r, 높이가 h, 모선의 길이가 l일 때
원뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이) = πr² + πrl
원뿔의 부피 =  × (밑넓이) × (높이) = πr²h

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사각형의 넓이는 (가로) × (세로)예요. 삼각형의 넓이는 ½ × (가로) × (세로)고요.

그렇다면 직육면체의 넓이는 얼마일까요? 이 글에서는 직육면체 같은 각기둥과 원기둥의 겉넓이를 구하는 방법과 부피 구하는 방법을 공부할 거예요.

원기둥의 부피와 겉넓이는 따로 구하는 게 아니라 각기둥의 부피와 겉넓이 구하는 방법과 똑같아요. 다만 밑면이 원이라서 밑면의 넓이와 밑면의 둘레 길이 구하는 방법에 차이가 있을 뿐이에요. 각기둥의 부피와 겉넓이 구하는 방법에 원의 넓이 공식만 대입하는 거니까 서로 다른 거로 생각하지 마세요.

각기둥의 겉넓이와 부피

기둥의 겉넓이는 입체도형을 펼쳤을 때 얻어지는 기둥의 전개도의 전체 넓이를 말해요. 기둥의 전개도는 밑면 두 개와 옆면들로 되어 있어요. 각각의 넓이를 구해서 서로 더하면 되겠죠.

(기둥의 겉넓이) = (밑면의 넓이) × 2 + (옆면의 넓이의 합)

각기둥은 밑면이 두 개니까 밑면 한 개의 넓이를 구해서 두 배하면 되고요.

옆면의 넓이를 구할 때 옆면의 넓이를 하나씩 구해서 다 더하기보다는 옆면 전체를 하나의 직사각형으로 보고, 한 번에 구하는 게 더 쉬워요. 큰 직사각형의 가로의 길이는 밑면의 둘레의 길이와 같으니까 여기에 높이만 곱해주면 돼요.

직육면체의 부피는 (밑넓이) × (높이)라는 걸 초등학교 때 공부했어요. 직육면체는 대표적인 각기둥이죠? 직육면체뿐 아니라 모든 각기둥의 부피는 (밑넓이) × (높이)에요.

각기둥의 부피와 겉넓이 공식을 정리해보죠.

각기둥의 겉넓이와 부피
각기둥의 겉넓이 = 2 × (밑넓이) + (옆넓이)
각기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = Sh

원기둥의 겉넓이와 원기둥의 부피

원기둥도 기둥의 한 종류에요. 그래서 겉넓이나 부피를 구하는 방법은 각기둥과 같아요.

원기둥의 겉넓이도 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 더해서 구해요.

밑면이 원이니까 원의 넓이 구하는 공식을 이용해야겠지요? 원의 넓이 공식은 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에서 해봤어요. 원의 넓이는 πr²이에요.

옆면은 직사각형 하나니까 (가로) × (세로)고요. 위 각기둥의 겉넓이에서 옆면은 (밑면의 둘레 길이) × (높이)로 구했잖아요. 여기서도 같은 방법으로 구하는데, 밑면의 둘레의 길이가 원의 둘레의 길이와 같아요. 반지름이 r인 원의 둘레는 2πr이에요.

원기둥의 부피도 (밑넓이) × (높이)로 구해요. 밑넓이는 πr²이니까 여기에 높이를 곱해주면 되겠네요.

원기둥 밑면의 반지름이 r, 높이가 h일 때
원기둥의 겉넓이 = 2 × (밑넓이) + (옆넓이) = 2πr² + 2πrh
원기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = πr²h

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입체도형에서 다면체를 공부했어요. 입체도형은 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 하나는 다면체고, 다른 하나는 이 글에서 다룰 회전체에요.

회전체와 다면체를 정확하게 구별할 줄 알아야 해요. 다면체는 밑면을 포함하여 모든 면이 다각형이고 회전체는 밑면이 곡선을 포함하고 있으니까 이거 하나면 알아도 회전체와 다면체를 구별할 수 있을 거예요.

회전체는 한 직선을 축으로 하여 평면도형을 1회전 시킬 때 생기는 입체도형을 말해요.

회전체에서 축이 되는 한 직선을 회전축이라고 하고, 회전체에서 회전하여 옆면을 이루는 선분을 모선이라고 합니다.

회전체는 우리가 잘 아는 원기둥, 원뿔, 구가 있어요. 그리고 원뿔대라는 것도 있고요.

원기둥은 직사각형을, 원뿔은 직각삼각형을 구는 반원을 회전해서 생기는 입체도형이에요.

각뿔대는 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 도형 중에 아랫부분을 말하죠? 원뿔대는 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 걸 말해요.

회전체의 성질

회전체에는 중요한 성질이 있어요.

첫 번째는 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원이에요. 회전축에 수직인 평면이니까 가로로 자르는 거겠죠?

두 번째는 회전체를 회전축을 포함하는 단면으로 잘라도 그 단면은 모두 합동이고 회전축에 대해서 선대칭도형이에요.

이렇게 회전축을 포함하는 평면으로 세로로 자르면 회전체에 따라 그 단면이 달라요. 원기둥을 자르면 직사각형이 돼요. 원기둥은 어디를 잘라도 직사각형이 되는데 이 직사각형들이 모두 합동이라는 거죠. 원뿔은 단면이 이등변삼각형, 원뿔대는 사다리꼴이고요. 구는 원이에요.

그리고 선대칭이라는 말 알죠? 어떤 직선을 중심으로 해서 접으면 양쪽이 완전히 겹치는 걸 선대칭이라고 해요. 회전축을 포함하는 평면으로 세로로 자르면 원기둥의 단면은 직사각형이 된다고 했어요. 이 직사각형이 바로 선대칭도형이에요.

위에는 평면도형이 회전축에 딱 붙어서 생기는 회전체에요. 그런데 회전축과 평면도형이 떨어져 있는 상태에서 회전하면 어떤 도형이 생길까요? 두루마리 화장지처럼 가운데가 뻥 뚫린 회전체가 생길 거예요.

이런 회전체에서는 앞에서 설명한 회전체의 성질이 성립하지 않으니까 주의하세요.

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정삼각형이 뭔지 알죠? 정사각형, 정오각형도요.

정삼각형, 정사각형, 정오각형 등을 정다각형이라고 해요. 선분의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형이죠.

다면체에도 이런 다각형처럼 정다면체라는 게 있어요. 이번 글에서는 정다면체는 무엇인지 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

그림 그리는 게 너무 어려워서 그림은 없어요. 가지고 있는 교과서나 참고서의 그림을 참고하세요.

정다면체

정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말해요.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지밖에 없어요. 정오면체나 정구면체같은 건 없다는 거지요.

정다면체가 되려면 두 가지 조건을 만족해야 해요.

첫 번째는 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 해요. 한 꼭짓점에서 면이 하나만 있거나 두 개만 만나면 둘러싸이지 않은 부분이 생기지요?

두 번째는 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기는 360°보다 작아야 해요. 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기가 360°라면 그것은 그냥 평면이 돼버리잖아요. 그리고 한 평면에서 360°보다 큰 각은 나오지 않겠죠?

위 두 가지 조건을 만족하는 정다면체는 뭐가 있을까요?

모든 면이 합동인 정다각형이라고 했으니까 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 면이 될 수 있어요.

그리고 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나면서 그 각의 합이 360°보다 작은 경우를 찾아보죠.

다각형 내각의 크기의 합과 외각 크기의 합에서 봤던 것처럼 정삼각형의 한 내각은 60°, 정사각형의 내각은 90°, 정오각형은 108°, 정육각형은 120°에요.

위 표에서 보면 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°를 넘지 않는 경우는 정삼각형이 3, 4, 5개 모였을 때, 정사각형이 3개 모였을 때, 정오각형이 3개 모였을 때 총 다섯 가지 경우뿐이에요.

그래서 정다면체는 총 다섯 개밖에 없는 거예요.

한 꼭짓점에 정삼각형 3개가 모이면 정사면체
                   "            4         "     정팔면체
                   "            5         "     정이십면체
         "      정사각형   3         "     정육면체
         "      정오각형   3         "     정십이면체

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이제는 평면도형이 아니라 입체도형이에요.

지금까지는 점, 선, 면, 다각형, 원, 부채꼴 등에 대해서 알아봤잖아요.

이제는 각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔처럼 입체도형을 배울 거예요.

입체도형 중에서 첫 번째는 다면체에요. 초등학교에서 배웠던 각기둥, 각뿔이 바로 대표적인 다면체죠.

다면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 말해요. 다각형으로 둘러싸여 있어야 하니까 삼각기둥, 사각기둥, 삼각뿔, 사각뿔 등이 있지요.

원기둥과 원뿔도 다면체일까요? 원기둥과 원뿔의 밑면은 원이잖아요. 다각형이 아니죠? 그래서 원뿔과 원기둥은 다면체가 아니에요.

주의하세요. 다면체는 단순히 면이 여러 개 있는 도형이 아니라 다각형인 면이 여러 개 있는 도형이에요.

다면체에 사용하는 용어들은 꼭짓점, 모서리, 면이 있어요. 이거 다 해봤던 거죠? 그래도 한 번 정리해보고 넘어가죠.

면은 다면체를 이루고 있는 다각형이에요. 모서리는 면과 면이 만나는 곳으로 다각형의 변이고요. 꼭짓점은 모서리와 모서리가 만나는 곳이죠.

다면체의 분류

다면체는 두 가지 방법으로 분류해요.

첫 번째는 다면체의 면의 개수에 따라서 나누는 방법이 있어요. 다면체의 면이 4개이면 사면체, 5개면 오면체, 6개면 육면체, … 처럼이요. 다각형에서 각의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형으로 나누는 것과 마찬가지예요.

두 번째는 모양에 따라 나눠요. 우리가 알고 있는 각기둥, 각뿔 등으로 나누는 방법이죠.

각뿔대

각기둥과 각뿔 말고 각뿔대라는 게 있어요.

각뿔을 가로로 잘랐다고 생각해보세요. 그러니까 각뿔의 밑면과 평행한 평면으로 자르면 두 부분으로 나뉘겠죠? 윗부분은 그대로 각뿔이 될 거예요. 아랫부분은 각뿔도 아니고 각기둥도 아닌 게 되겠죠? 이 아랫부분을 각뿔대라고 불러요.

각뿔대에서도 각기둥과 마찬가지로 밑면, 옆면, 높이라는 용어를 사용해요. 각기둥과 각뿔대에서 사용하는 용어의 설명과 특징을 표로 정리해봤어요.

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두 원의 위치관계, 내접, 외접에서 내접과 외접이라는 용어와 그 뜻을 알아봤어요. 원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 접선이라는 걸 알아봤고요.

두 원이 있을 때 두 원에 모두 접하는 선이 있을 수 있겠지요? 이 글에서는 이처럼 두 개의 원에 공통으로 접하는 접선과 그 종류에 대해서 알아볼 거예요.

그리고 두 원에 공통으로 접하는 접선이 두 원의 위치관계에 따라 어떻게 바뀌는 지와 그러한 접선이 몇 개나 생기는지도 알아볼 거고요.

공통접선

접선은 접선인데 두 원에 공통으로 접하는 접선을 공통접선이라고 해요.

접선은 접점에서 원의 반지름에 수직이라고 했어요. 따라서 공통접선은 두 원 모두에 수직이죠.

두 원이 공통접선을 기준으로 같은 쪽에 있을 때의 접선은 공통외접선, 두 원이 접선을 기준으로 반대방향에 있으면 공통내접선이라고 해요. 두 원 사이를 지나는 접선이 공통내접선이고 그게 아닌 게 공통외접선이죠.

아래 그림은 두 원의 위치관계에 맞게 공통접선을 그린 그림이에요. 파란색은 공통외접선, 빨간색은 공통내접선이에요.

첫 번째 그림에서 파란색의 공통접선 l을 기준으로 두 원이 모두 오른쪽에 있지요? 또 두 번째 그림에서 두 원이 모두 공통접선 m보다 아래쪽에 있어요. 이처럼 두 원의 공통접선을 기준으로 같은 방향에 있으니까 이 공통접선은 공통외접선이에요.

왼쪽 아래의 세 번째 그림에 보면 빨간색 n이라는 공통접선이 있죠? 이 공통접선 n을 기준으로 작은 원은 공통접선의 왼쪽에 큰 원은 공통접선의 오른쪽에 있어요. 둘이 반대방향에 있죠? 그래서 이 공통접선은 공통내접선이 되는 거예요. 아니면 큰 원과 작은 원 사이를 지나니까 공통내접선이라고 생각해도 돼요.

공통접선, 공통내접선, 공통외접선의 개수는 두 원의 위치관계에 따라 달라져요. 작은 원이 큰 원의 안에 있다가 점점 바깥으로 움직인다고 생각하고 그 순서대로 구해보죠.

두 원의 위치관계에는 총 6가지가 있었어요. 그중에 만나지 않는 경우인 내부에 있을 때와 동심원일 때는 공통접선이 없어요. 그래서 위 그림과 표에는 4가지만 있는 겁니다.

두 원의 위치관계와 마찬가지로 그 개수를 외우려고 하지는 마세요. 그냥 그림을 보고 (혹은 그림을 상상하고) 공통접선을 그리고, 공통내접선인지 공통외접선인지 구별할 줄 알면 돼요.

반지름의 길이가 5cm, 8cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 공통접선은 몇 개인지 구하여라.
(1) d = 1cm
(2) d = 11cm
(3) d = 21cm
(4) d = 13cm

공통접선이 몇 개인지 구하려면 두 원의 위치관계부터 알아야겠죠? 두 원의 위치관계를 알아볼 때는 먼저 두 원의 반지름의 합과 차를 구하면 쉽다고 했어요. 두 원의 반지름의 합은 5cm + 8cm = 13cm, 반지름의 차는 8cm - 5cm = 3cm네요.

(1) 번은 d = 1cm로 반지름의 차보다 작아요. 중심거리가 반지름의 차보다 작으면 작은 원이 큰 원의 내부에 있는 경우이고, 이때는 공통접선이 없어요. 따라서 0개에요.

(2) 번은 d = 11cm로 반지름의 차와 합 사이에 있네요. 이때는 두 점에서 만나는 경우로 공통외접선만 2개가 있어요.

(3) 번은 d = 21cm로 반지름의 합보다 크니까 두 원은 외부에 있는 경우이죠. 이때는 공통내접선이 2개, 공통외접선이 2개 해서 총 4개의 공통접선이 있어요.

(4) 번은 d = 13cm로 반지름의 합과 같네요. 이때는 외접하는 경우로 공통내접선 1개, 공통외접선 2개, 총 3개의 공통접선을 가져요.

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위치관계 또 나오네요.

이번에는 두 원의 위치관계에요.

위치관계 마지막이니까 정신 바짝 차리고 따라오세요.

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서 했던 것처럼 두 원이 어떤 관계가 있는지 그때 반지름과 두 원 사이의 거리는 어떻게 되는지 알아보죠.

또, 외접과 내접이라는 용어도 나오는데, 어떤 용어인지 그 뜻도 알아보자고요.

두 원의 위치관계

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 원의 반지름과 원과 직선 사이의 거리를 이용해서 위치관계를 알아봤죠?

이번에도 같은 방법으로 두 원의 위치관계를 알아볼 꺼에요. 원과 원 사이의 거리는 두 원의 중심 사이의 거리(중심거리)를 이용하고, 두 원의 반지름은 모두 이용합니다. 정확히 말하면 반지름의 합과 차를 이용해요.

두 원을 각각 O, O'이라고 해볼까요? 그리고 원 O의 반지름을 r, 원 O'의 반지름을 r', 두 원의 중심 사이의 거리를 d라고 해보지요.

두 원의 위치관계 - 두 점에서 만나는 경우

첫 번째로 두 원이 두 점에서 만나는 경우가 있어요. 원이 두 점에서 만난다는 얘기는 서로 겹친다는 거지요? 두 원이 서로 겹치려면 작은 원의 반지름보다 가까운 거리에서 만나야 해요. 그래서 두 원의 반지름을 더한 값이 중심거리보다 커야 하지요. r + r' > d가 되어야 해요.

그럼 r + r' > d만 되면 될까요? 자 (5)번 그림을 한 번 보세요. (5)번은 r + r' > d에요. 그런데 두 점에서 만나지 않죠? 따라서 두 점에서 만나는 경우에는 r + r' > d말고 다른 조건이 또 필요해요. 어떤 조건이냐면 r' - r < d라는 조건이에요. 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 작아야 한다는 거에요.

결과적으로 두 원이 두 점에서 만나려면 r' - r < d < r + r'가 되어야 해요.

두 원의 위치관계 - 한 점에서 만나는 경우, 내접, 외접

두 번째는 두 원이 한 점에서 만나는 경우예요. 한 점에서 만나는 경우는 두 가지가 있는데, 하나는 (2)번처럼 작은 원이 큰 원의 바깥에 있으면서 한 점에서 만나는 경우가 있어요. 이때는 두 원의 반지름을 더한 것이 중심거리와 같은, r + r' = d가 되어야 해요. 이때를 서로 바깥에서 만난다고 해서 외접이라고 해요.

다른 경우는 (3)번처럼 작은 원이 큰 원의 안쪽에 들어있으면서 한 점에서 만나는 경우예요. 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리와 같아야 하죠. 즉, r' - r = d가 되어야 해요. 이때는 큰 원의 안에서 만난다고 해서 내접이라고 해요.

두 원의 위치관계 - 만나지 않는 경우, 외부에 있을 때, 내부에 있을 때, 동심원

세 번째는 만나지 않는 경우예요. 만나지 않는 경우는 세 가지가 있어요.

(4)번처럼 두 원이 완전히 떨어져서 만나는 않는 경우예요. 이때는 두 원의 반지름의 합보다 중심거리가 더 길어야겠죠? r + r' < d에요.

(5)번은 작은 원이 큰 원의 안에 있으면서 서로 만나지 않는 경우예요. (3)번과 다르죠? 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 커야 해요. d < r' - r이죠.

(6)번은 아주 특이한 경우인데요. 두 원의 중심이 같고 반지름이 다른 경우예요. 두 원의 중심이 같으니까 중심거리가 0이에요. d = 0, r ≠ r' 인 경우죠. 두 원의 위치관계에서는 특별히 얘기하지 않으면 두 원의 반지름이 다른 것으로 보기 때문에 d = 0만 써도 크게 상관은 없어요.

이처럼 중심이 같고, 반지름이 다른 원을 동심원이라고 합니다.

아래 표처럼 정리할 수 있어요.

표를 다 외울 필요는 없어요. 이걸 외우는 건 정말 멍청한 짓이에요. 왜 이런 표가 나왔는지를 이해하면 됩니다. 특히 두 점에서 만날 때 r' - r 가 왜 나오는지에 대해서 이해하세요.

두 원의 위치관계 찾기

두 원의 위치관계를 알고 싶을 때는 두 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리가 합과 차의 사이에서 어디에 있는지를 보면 돼요.

만약 중심거리가 차보다 작으면 내부에, 차와 같으면 내접, 차와 합 사이면 두 점에서 만나고, 합과 같으면 외접, 합보다 크면 외부에 있어요. 아래 그림이 무슨 내용인지 이해하겠죠? 위 표를 이해하는 것보다는 훨씬 쉬울 거에요.

중심선, 중심거리, 공통현

두 원의 중심 사이의 거리를 중심거리라고 한다고 했어요.

이외에도 두 원의 위치관계에서 사용하는 용어에는 중심선과 공통현이라는 게 있어요.

중심선은 두 원의 중심을 연결한 직선이에요.

공통현은 두 원이 두 점에서 만날 때에만 생겨요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 현은 원에서 두 점을 연결한 직선이라고 했어요. 두 원이 만나는 두 점을 연결하면 현이 생기는데 이 현은 두 원 양쪽 모두에 공통으로 들어있어서 공통현이라고 불러요.

여기서도 두 원이 한 점에서 만날 때 그 점을 접점이라고 해요. 주의할 건 접점은 한 점에서 만날 때(내접, 외접)만 사용하는 용어에요. 두 점에서 만날 때는 접점이라는 용어를 사용하지 않아요.

중심선은 공통현을 수직이등분해요. 참고로 알아두면 문제 푸는 데 도움이 될 거에요.

반지름의 길이가 3cm, 5cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 두 원의 위치관계를 말하여라.
(1) d = 4cm
(2) d = 8cm
(3) d = 12cm

이 문제를 풀 때는 큰 원의 반지름과 작은 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리와 비교하면 쉬워요.

r + r' = 3cm + 5cm = 8cm, r' - r = 5cm - 3cm = 2cm입니다.

(1) d = 4cm이면 2cm보다는 크고 8cm보다는 작죠? 반지름의 차보다 크고 합보다 작을 때는 두 원이 두 점에서 만나는 경우였죠?

(2) d = 8cm이면 두 원의 반지름의 합과 같네요. 합과 같으면 외접, 즉 한 점에서 만나는 경우에요.

(3) d = 12cm이면 두 원의 반지름의 합보다 커요. 따라서 두 원은 외부에 있으면서 만나는 않는 경우가 되겠네요.

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원을 공부했으니까 이제는 원의 위치관계에 대해서 알아볼 거예요. 점, 선, 면을 공부할 때 점, 선, 면의 위치관계에 대해서 알아봤잖아요.

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간단하게 정리해볼까요?

점과 직선의 위치관계: 직선이 점을 지난다. 지나지 않는다의 두 가지
평면에서 두 직선의 위치관계: 한 점에서 만난다. 평행, 일치의 세 가지
공간에서 두 직선의 위치관계: 평면에서 두 직선의 위치관계 + 꼬인위치
공간에서 평면과 직선의 위치관계: 직선이 평면에 포함, 한 점에서 만난다. 평행

이번에 위치관계가 나와요. 다음 글에서도 위치관계가 하나 더 나오죠. 위치관계가 많이 나와서 헷갈릴 수 있어요. 그러니까 주의 깊게 보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계에는 만나지 않을 때, 한 점에서 만날 때, 두 점에서 만날 때의 세 가지 경우가 있어요. 세 점 이상에서 만나는 경우는 없어요.

원의 반지름의 길이를 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 하고, r과 d의 크기를 비교해볼까요?

점과 직선 사이의 거리를 구할 때 어떻게 했죠? 점과 직선 사이의 거리 중에 가장 짧은 거리, 즉 점에서 직선으로 내린 수선의 길이를 구했어요. 원의 중심과 직선 사이의 거리도 마찬가지 방법으로 구해요.

원과 직선이 두 점에서 만날 때를 생각해보세요. 원과 직선이 두 점에서 만나려면 원의 중심과 원 사이에 직선이 있어야 해요. 따라서 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름보다 짧을 수밖에 없죠. d < r이 되어야 하죠.

한 점에서 만날 때는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 반지름이 같아야 해요. 원은 기본적으로 원의 중심에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어져 있어요. 이 점 중의 하나가 바로 직선위의 점인 경우죠. d = r이에요.

서로 만나지 않을 때는 원보다 직선이 바깥에 있어야 해요. 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 길어야겠죠? 따라서 d > r이에요.

할선과 접선, 접점

원과 직선의 위치관계는 세 가지가 있다고 했어요. 이 위치관계에 따라 직선의 이름을 다르게 불러요. 어떻게 부르는지 알아보죠.

원과 직선이 두 점에서 만날 때, 이 직선을 할선이라고 해요. 분할하는 선이라는 뜻이죠. 원을 둘로 나누는 선이라서 할선이라고 불러요.

또 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선을 접선이라고 해요. 원과 접촉하는 선이라는 뜻이죠. 그리고 이때 원과 직선이 만나는 그 한 점을 접점이라고 해요. 반지름과 접선은 접점에서 항상 수직이에요.

원과 직선이 만나지 않는 경우에는 따로 생각할 게 없네요.

원의 반지름을 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 할 때, 아래 경우에서 원과 직선의 위치관계를 말하여라.
(1) r = 5cm, d = 3cm
(2) r = 5cm, d = 5cm
(3) r = 5cm, d = 7cm
(4) r = 14cm, d = 15cm

(1)에서 r > d 에요. d가 더 짧으니까 원안에 직선이 있다는 뜻이죠. 이 때는 두 점에서 만나는 경우겠네요.

(2)는 r = d네요. 원의 반지름과 직선과의 거리가 같을 때요. 따라서 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우가 되겠군요.

(3)은 r < d에요. 원의 중심과 직선의 거리가 반지름보다 크기 때문에 원 밖에 직선이 있어요. 이 때는 원과 직선이 만나지 않는 경우죠.

(4)는 r < d네요. (3)처럼 원과 직선이 만나지 않는 경우입니다.

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원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 원과 그 친구들에 대해서 알아봤어요.

이제는 원에 대해서 조금 더 알아보죠. 초등학교 때 원의 넓이와 원의 둘레를 구했는데, 공식 기억하고 있죠?

원의 둘레 공식, 원의 넓이 공식
원의 둘레 = 반지름 × 2 × 3.14
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 3.14

솔직히 원의 넓이와 원의 둘레를 구하는 게 계산하기 귀찮았잖아요. 조금만 실수해도 틀렸다고 하고.

이제 이런 걱정할 필요가 없어요. 원의 둘레, 원의 넓이를 구하는 방법이 매우 쉬워졌거든요.

원주율

원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레의 길이의 비를 말해요. 이건 초등학교 때 이미 공부했어요. 숫자로 하면 얼마라고 했나요? 3.14죠.

이제 중학교에서는 3.14라는 걸 쓰지 않아요. 왜냐? 계산하기 복잡할 뿐만 아니라 3.14가 정확한 숫자가 아니니까요.

중학교에서는 3.14 대신에 π라는 걸 써요. 파이라고 읽어요. 한글 모음 ㅠ처럼 생겼는데, 아래에 세로로 그어진 부분의 끝을 왼쪽과 오른쪽으로 살짝 나오게 써요. 앞으로 계산할 때 3.14 대신에 π를 쓰세요.

원의 둘레와 원의 넓이

원의 둘레 길이와 원의 넓이 구하는 공식이 아래처럼 바뀌었어요.

반지름의 길이를 r (Radius), 원의 둘레의 길이를 l(Length), 원의 넓이를 S(Square)라고 해보죠.

원의 둘레 길이(원주, l)와 넓이(S)
l = 2 × 반지름 × 3.14 = 2πr
S = 반지름 × 반지름 × 3.14 = πr²

예를 들어 반지름이 10cm인 원의 둘레는 10cm × 2 × 3.14 = 62.8cm라고 하지 않고, 2 × π × 10cm = 20πcm라고 써요.

넓이는 10cm × 10cm × 3.14 = 314cm²이 아니라 π × (10cm)² = 100πcm²이라고 하고요.

3.14를 곱하지 않아도 되니까 계산이 훨씬 간결해졌죠?

부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이

이번에는 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이에 대해서 생각해보죠.

부채꼴에서도 원의 반지름은 r(Radius), 부채꼴의 호의 길이를 l(Length), 부채꼴의 넓이를 S(Square), 중심각의 크기를 x°라고 해보죠.

부채꼴에서 호의 길이는 부채꼴의 중심각에 정비례한다고 했어요. 원의 중심각이라는 용어는 없지만 원도 부채꼴처럼 중심에 각이 있죠? 한 바퀴 뺑 돌았으니까 이 각의 크기는 360°잖아요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 부채꼴의 중심각에서 부채꼴의 호의 길이를 구하는 예제에서 비례식을 이용해서 풀었었죠? 여기서도 비례식으로 풀어보죠.

원의 중심각 : 원의 둘레 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴 호의 길이
360 : 2πr = x : l
360 × l = 2πr × x
l = 2πr × x ÷ 360

부채꼴의 넓이도 중심각에 정비례한다는 사실을 이용해서 비례식으로 풀어보죠.

원의 중심각 : 원의 넓이 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴의 넓이
360 : πr² = x : S
360 × S = πr² × x
S = πr² × x ÷ 360

부채꼴 호의 길이(l)와 넓이(S)

넓이 구하는 공식이 두 개죠? 아래에 있는 공식은 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식이에요.

가끔은 부채꼴의 중심각을 가르쳐주지 않고 부채꼴 호의 길이를 알려주고 넓이를 구하는 경우도 있거든요. 부채꼴 호의 길이를 이용할 수 있도록 넓이 구하는 공식을 조금 변형하면 돼요.

아래 그림을 보고 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이를 구하여라.

(1)은 도넛 모양이네요. 색칠한 부분 전체의 둘레는 바깥에 있는 큰 원의 둘레와 안에 있는 작은 원의 둘레를 더해줘야겠죠?
바깥 큰 원의 둘레 = 2πr = 2π × 6 = 12π
안쪽 작은 원의 둘레 = 2πr = 2π × 4 = 8π
전체의 둘레 = 12π + 8π = 20π(cm)네요.

넓이는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 빼줘야겠죠?
큰 원의 넓이 = πr² = π6² = 36π
작은 원의 넓이 = πr² = π4² = 16π
36π - 16π = 20π(cm²)군요.

오른쪽 (2)에서는 45°만큼 비어있어요. 따라서 이 부채꼴의 중심각은 (360° - 45°) = 315°예요.

둘레의 길이는 중심각이 315°인 부채꼴 호의 길이에 반지름 6cm를 두 번 더해줘야겠죠?
부채꼴 호의 길이 = 2πr × x ÷ 360 = 2π × 6 × 315 ÷ 360 = 10.5π
색칠한 부분 둘레의 길이는 (10.5π + 12)cm군요.

넓이는 중심각이 315°인 부채꼴의 넓이를 구하면 되겠네요.
부채꼴의 넓이 = πr² × x ÷ 360 = π6² × 315 ÷ 360 = 31.5π(cm²)입니다.

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다각형에 이어 이번에는 원이에요.

다각형은 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이었어요.

이번에는 선분이 아닌 것들로 둘러싸인 도형을 공부할 거예요. 바로 원과 그 친구들이죠.

원은 초등학교 때 지름, 반지름, 넓이 구하는 걸 하면서 공부했어요. 그때의 내용이 또 나와요. 하지만 고맙게도 계산은 훨씬 쉬워졌어요. 기대하세요.

원, 호, 현, 활꼴, 부채꼴

원은 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 도형이에요. 그리고 그 한 점을 원의 중심이라고 하고, 일정한 거리를 우리는 반지름이라고 하지요.

호는 원의 일부분인데, 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 원의 일부를 말해요. 이때 양 끝점이 A, B이면 호 AB라고 부르고 기호로 로 나타내요. 선분 AB는 AB 위에 반듯한 선을 그어서 로 표시했는데, 호는 AB 위에 곡선을 그어서 표시해요.

A와 B를 양 끝점으로 하고, 중간에 점 C를 지나는 호는 정확한 경로를 알 수 있게 호 ACB라고 불러요.

현은 원 위의 두 점을 이은 선분을 말해요. 현이 지나는 두 점이 AB이면 현 AB라고 부르고 기호로 로 표시해요. 현은 반듯한 선분이라서 기호도 그냥 선분 기호를 사용해요.

현 중에서 원의 중심을 지나는 현을 지름이라고 하고, 지름은 현 중에서 길이가 가장 길어요.

활꼴은 이름 그대로 활처럼 생겼어요. 호와 현으로 이루어진 도형을 말해요.

부채꼴은 부채모양처럼 생겼고요. 호와 원의 반지름 두 개로 이루어진 도형이에요. 부채꼴에는 두 반지름이 원의 중심에서 만나서 생기는 각이 있지요? 이 각을 부채꼴의 중심각이라고 불러요.

부채꼴과 중심각

부채꼴의 중심각은 중요한 의미가 있어요. 바로 중심각에 따라 부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이가 달라지기 때문이죠.

하나의 원이나 합동인 두 원에서

• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다
• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 부채꼴의 넓이도 같다.
• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 현의 길이도 같다.
• 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴 호의 길이
• 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴의 넓이
• 부채꼴의 중심각과 현의 길이는 정비례하지 않는다.

위에서 ∝ 표시는 정비례 표시에요. 중심각이 2배, 3배로 커지면 그에 따라 부채꼴 호의 길이도 2배, 3배로 길어진다는 뜻이에요. 부채꼴의 넓이도 마찬가지고요. 단, 현의 길이는 정비례하지 않아요.

아래 그림을 보고 x의 길이를 구하시오.

위 그림에서 x는 부채꼴 호의 길이에요. 한 원에서 부채꼴의 중심각과 부채꼴 호의 길이는 정비례한다고 했어요.

위에 있는 부채꼴의 중심각은 40°이고, 호의 길이는 xcm예요. 아래에 있는 부채꼴의 중심각은 120°이고 호의 길이는 9cm고요. 정비례하니까 비례식으로 풀어보죠.

40° : xcm = 120° : 9cm
120° × xcm = 40° × 9cm
x = 40 × 9 ÷ 120
x = 3

x는 3cm네요.

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다각형에서 내각과 외각의 용어에 대해 이해하고 있죠?

삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 공부한 내용을 정리해보죠.

내각의 크기의 합 = 180°
외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
외각의 크기의 합 = 360°

그럼 이번에는 삼각형이 아니라 사각형, 오각형 등의 내각의 크기의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼까요.

그리고 일반적인 다각형, 그러니까 n각형에서의 내각과 외각의 성질에 대해서 알아보죠.

다각형 내각의 크기의 합

다각형의 내각의 크기의 합은 아주 간단하게 구할 수 있어요.

위 그림은 사각형, 오각형, 육각형 그림인데요. 한 점에서 대각선을 그어봤어요. 삼각형이 몇 개씩 생겼나요?

사각형은 두 개, 오각형은 세 개, 육각형은 네 개의 삼각형이 있어요.

대각선의 개수구하기, 대각선의 개수 공식에서 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)이라는 걸 공부했어요. 삼각형의 개수는 대각선의 수보다 하나 더 많으니까 (n - 3) + 1 = (n - 2)개예요.

내각의 크기를 어떻게 구하는지 대충 감이 오죠?

삼각형 내각의 크기의 합은 180°에요. 다각형의 한 점에서 대각선을 그어서 삼각형이 몇 개 들어있는지 세어본 다음에 삼각형 개수에 180°를 곱하면 다각형 내각의 크기의 합을 알 수 있어요.

삼각형 내각의 크기의 합을 구하면 n = 3을 대입해서 180° × (3 - 2) = 180°로 나오는군요.

그냥 다각형이라면 한 내각의 크기를 구할 수는 없겠지만 정다각형은 한 내각의 크기를 구할 수 있겠죠? 정다각형은 변의 길이와 내각의 크기가 모두 같은 다각형이잖아요. 내각의 크기가 모두 같으니까 크기의 합을 나눠주면 구할 수 있겠지요.

정n각형 한 내각의 크기 = {정n각형 내각의 크기의 합} ÷ n
                                   = {180° × (n - 2)} ÷ n

n각형 내각의 크기의 합 = 180° × (n - 2)
정n각형 한 내각의 크기 = 

다각형의 외각의 크기

다각형의 외각의 크기의 합은 그림이 아니라 식으로 설명해 볼게요. 잘 따라오세요.

다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내각과 외각의 성질에 대해서 기억하고 있죠? 다각형에서 한 내각의 크기와 이웃한 외각의 크기의 합은 항상 180°라고 했어요.

다각형이 n각형이라면 각이 n개 있겠죠? 그러니까 전체 내각과 외각의 크기의 합은 180° × n이 될 거예요. 이걸 식으로 써보죠.

(내각의 크기의 합) + (외각의 크기의 합) = 180° × n
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (내각의 크기의 합)                ←   (내각의 크기의 합)을 이항
(외각의 크기의 합) = 180° × n - {180° × (n-2)}                  ←   n각형의 내각의 크기의 합 = 180° × (n-2)
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n - 180° × 2)        ←   분배법칙
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n) + 360°
(외각의 크기의 합) = 360°

약간 복잡하긴 하지만 위 계산 과정을 거치면 다각형의 외각의 크기의 합은 360°라는 결과가 나와요.

삼각형, 사각형, 오각형과 관계없이 다각형의 외각의 크기의 합은 모두 360°로 일정해요.

그럼 정n각형의 한 외각의 크기는 얼마일까요? 전체가 360°니까 n으로 나눠주면 되겠네요.

n각형 외각의 크기의 합 = 360° 
정n각형 한 외각의 크기 = 

다음 다각형의 내각의 크기의 합과 한 내각의 크기, 외각의 크기의 합과 한 외각의 크기를 차례로 구하여라.
(1) 정오각형
(2) 정십각형
(3) 정십오각형

n각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합은 정다각형이 아니어도 구할 수 있지만, 한 내각의 크기, 한 외각의 크기는 정n각형에서만 구할 수 있어요. 문제에서는 정n각형이네요. 표로 한 번 해볼까요?

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다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 내각과 외각이 무엇인지 알아봤어요. 내각은 이웃하는 두 변으로 이루어진 각으로 다각형의 안쪽에 있고, 외각은 한 변의 연장선과 이웃한 변이 이루는 각으로 다각형의 바깥쪽에 있어요.

항상 하는 거지만 기본적인 도형의 용어에 대해서 공부하고, 그다음은 삼각형을 공부해요. 이 삼각형의 내용을 확장해서 사각형, 오각형……… 등의 다각형으로 넓히는 거고요.

이 글에서는 내각과 외각 중에서 삼각형의 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼 거예요. 공식 아닌 공식이니까 꼭 외워두세요.

삼각형의 내각의 합

삼각형 내각의 크기의 합은 180°

△ABC가 있어요. 점 A를 지나고 변BC에 평행한 직선 DE를 그었어요.

그랬더니 ∠DAB와 ∠EAC가 생겼죠?

평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각에서 평행선과 한 직선이 만나서 생기는 동위각의 크기는 같다고 했어요. 물론 엇각도 서로 크기가 같고요.

∠DAB는 ∠B와 엇각이에요. 그리고 ∠EAC는 ∠C와 엇각이지요. ∠DAB = ∠B, ∠EAC = ∠C예요.

△ABC의 내각의 크기의 합을 구해보죠.

∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠DAB + ∠EAC = ∠DAE = 180° (평각)

∠A + ∠B + ∠C = 180°

삼각형 세 내각의 크기의 합 = 180°

삼각형의 모양이 어떤 것이든 상관없어요. 직삼각형이든 정삼각형이든 그냥 삼각형이든 모두 내각의 크기의 합은 180°에요.

삼각형 외각의 크기, 외각의 합

삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다.

이번에는 조금 복잡하니까 그림을 잘 보세요.

△ABC가 있어요. 우선 변 AB와 변 BC의 연장선을 그어요. 그리고 변 AB와 평행하고 점 C를 지나는 직선을 그렸어요. 직선 CE라고 할게요.

마찬가지로 변 AB의 연장선과 직선 CE는 평행선이니까 동위각과 엇각의 크기가 같겠죠?

∠ACE는 ∠A와 엇각이고요, ∠ECD는 ∠B와 동위각이에요. ∠ACE = ∠A, ∠ECD = ∠B

점 C의 외각의 크기는 ∠ACE + ∠ECD = ∠A + ∠B가 되지요. 점 C의 외각의 크기는 삼각형의 세 내각 중 ∠C를 뺀 나머지 두 내각의 합인 걸 알 수 있어요.

한 꼭짓점에서 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다고 할 수 있어요.

여기에 다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내용을 하나 더 붙여서 (외각의 크기) = 180° - (내각의 크기)라는 것까지 알아두세요.

삼각형의 외각의 크기의 합은 360°

삼각형의 한 외각의 크기를 알아봤으니 이제 외각을 모두 더하면 얼마가 되는지 알아볼까요? 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.

∠A의 외각의 크기 = ∠B + ∠C
∠B의 외각의 크기 = ∠A + ∠C
∠C의 외각의 크기 = ∠A + ∠B

외각의 크기의 합은 위 세 개를 다 더하면 되겠죠?

외각의 크기 합 = ∠B + ∠C + ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
                    = ∠A + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B + ∠C
                    = 180° × 2           (∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°, 삼각형 내각의 합)
                    = 360°

외각의 크기의 합은 360°인 걸 알 수 있어요.

삼각형 한 외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
삼각형 세 외각의 크기의 합 = 360°

다음 그림을 보고 x의 크기를 구하여라.

(1)은 삼각형의 내각의 크기가 적혀있는데, x로 표현되어 있어요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°이므로 세 각을 모두 더하면 180°가 되어야겠죠?
x + x + 20° + 2x = 180°
4x = 160°
x = 40°
x는 40°네요.

(2)에서는 x가 내각에도 표시되어 있지만 외각에도 표시되어있어요. 내각이 하나는 x이고 다른 하나는 직각표시가 있으니 90°네요. 외각이 하나 표시되어 있으니까 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같은 성질을 이용해보죠.
x + 90° = 3x
2x = 90°
x = 45°
x는 45°네요. 직각이등변삼각형이었군요.

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