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이번에는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심이 어디에 있는지 알아볼 거예요. 또 삼각형의 외심을 여러 가지 활용하는 방법도 알아볼 거고요.

먼저 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질을 간단히 정리해보죠.

다각형의 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원이라고 하고, 외접원의 중심을 외심이라고 해요. 삼각형에서 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같지요.

삼각형 외심의 위치

예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심의 위치

삼각형은 세 내각이 모두 예각이면 예각삼각형, 한 각이 둔각이면 둔각삼각형, 한 각이 직각이면 직각삼각형으로 나눠요.

예각삼각형은 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질에서 본 것처럼 삼각형의 외심이 삼각형의 내부에 있어요. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 외심이 있고요. 정확하게 말하면 둔각의 대변, 길이가 가장 긴 변의 바깥쪽에 외심이 있어요.

직각삼각형은 외심이 빗변에 있는데, 바로 빗변의 중점이 외심이 됩니다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 빗변 길이의 절반이죠.

△ABC가 직각삼각형이고, 일 때, ∠DBC의 크기를 구하여라.

직각삼각형에서 빗변의 중점은 삼각형의 외심이에요. 따라서 이죠. 즉 △DBC는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 같으니까 ∠DBC = ∠DCB = 20°네요.

삼각형 외심의 활용

점 O가 △ABC의 외심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°

점 O가 삼각형의 외심이니까 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같아요.  =  = 니까 △OAB, △OBC, △OCA는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라서 ∠OAB = ∠OBA = ∠x, ∠OBC = ∠OCB = ∠y, ∠OCA = ∠OAC = ∠z가 되죠.

삼각형 내각의 합은 180°이므로 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이고, ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.

∠BOC = 2∠A

아래 그림처럼 △OAB만 따로 떼서 생각해보죠. 선분 OA의 연장선을 그어요.

삼각형 외각의 크기, 외각의 합에 따르면 삼각형의 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같아요. ∠BOD = ∠OAB + ∠OBA

여기서, ∠OAB = ∠OBA니까 ∠BOD는 2∠OAB에요.

마찬가지로 △OAC에서 삼각형의 외각과, ∠OCA = ∠OAC에 따라 ∠COD = 2∠OAC가 되지요.

결국, ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠OAB + 2∠OAC = 2∠A가 됩니다.

점 O가 △ABC의 외접원의 중심일 때, ∠C의 크기를 구하여라.

점 O가 외심이므로, △OAB는 인 이등변삼각형이에요. 따라서 ∠OAB = ∠OBA = 30°입니다. ∠AOB = 180° - 60° = 120°예요.

∠AOB = 2∠C이므로 ∠C = 120 ÷ 2 = 60°네요.

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이제부터 공부할 삼각형의 외심과 내심은 매우 중요해요. 삼각형의 내심과 외심은 도형 관련 문제에서 제일 많이 나오는 것 중의 하나입니다. 내용도 어려운 편이에요.

이제까지 했던 것에 비해서 선분이나 각이 많이 나오니까 알파벳 하나하나에 집중해서 보세요. 그림이 보기 어려우면 교과서나 참고서의 그림을 함께 보세요. 색이 잘 칠해져 있어서 보기가 더 편할 수도 있어요.

삼각형 외심의 증명

삼각형에서 각 변의 수직이등분선을 그으면 한 점에서 만나요. 이 점을 외심이라고 하는데 이 점이 아주 중요해요. 먼저 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는지부터 알아보죠.

△ABC에서 , 의 수직이등분선을 그려요. 두 수직이등분선은 평행하지 않으니까 어느 한 점에서 만날 거예요. 그 점을 점 O라고 하죠. 의 중점을 점 D, 의 중점을 점 E라고 할게요. 그리고 점 O에서에 수선을 내리고 수선의 발을 점 F라고 하지요. 또 점 O에서 세 꼭짓점 A, B, C로 선을 긋습니다.

세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는지를 확인하려면 매우 복잡하니까 잘 보세요. 일단 두 변 (, )의 수직이등분선의 교점(O)에서 다른 한 변()에 수선을 내려요. 그리고 수선의 발(점 F)이 한 변 ()의 중점인지 확인하는 방법으로 확인할 거예요.

의 수직이등분선과 의 수직이등분선의 교점을 점 O라고 하면 ,, , 죠. 점 O에서 에 내린 수선의 발이 점 F니까 죠. 그렇다면 인지만 확인하면 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 걸 확인할 수 있다는 얘기예요.

△ODA와 △ODB는 (이등분), ∠ODA = ∠ODB = 90°(수직), 가 공통인 SAS합동이에요. 따라서 대응변인 (1)  = 가 돼요.

같은 방법으로 △BOC에서 (2)  = 가 됩니다.

결국 (1), (2)에 의해서  =  = 가 되는 거예요.

∠OFA = ∠OFC = 90°,  = 이고, 는 공통이므로 RHS 합동에 의해서 △OFA ≡ △OFC이죠. 대응변인  가 됩니다. 이고, ∠OFA = ∠OFC = 90°이므로 가 의 수직이등분선임을 알 수 있어요.

결국, 세 변의 수직이등분선은 한 점 O에서 만나게 된다는 걸 증명했어요.

세 개의 이등변삼각형과 세 쌍의 합동인 삼각형

먼저, 세 개의 이등변삼각형을 찾아보죠.

= 이니까 △OAB는 이등변삼각형이겠죠? 이등변삼각형의 성질에 의해서 밑각의 크기는 같으니까 ∠OAB = ∠OBA이고요. 마찬가지로 △OBC도 이등변삼각형이고, ∠OBC = ∠OCB입니다. △OCA도 이등변삼각형, ∠OCA = ∠OAC고요.

또, 수직이등분선을 이용해서 삼각형을 6개 만들 수 있어요. 위에서 확인했던 것처럼 SAS 합동인 삼각형이요. △ODA ≡ △ODB, △OEB ≡ △OEC, △OFC ≡ △OFA로 총 3쌍의 합동인 삼각형이 있어요.

삼각형의 외심의 성질 - 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

위 증명 과정에서 중요한 게 하나 있어요. 점 O에서 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C에 이르는 거리가 같죠.  =  =

점 O를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원을 그리면 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 그릴 수 있죠? 이 원은 삼각형의 바깥에 있는데, 꼭짓점과 만나요. 이렇게 만나는 걸 접한다고 해요.

이렇게 다각형의 꼭짓점을 모두 지나는(접하는) 원을 외접원이라고 해요. 그리고 그 외접원의 중심을 외심이라고 하고요. 외심은 Outer center에서 첫 글자를 따서 O라고 표시합니다.

삼각형의 외심
삼각형 세 변의 수직이등분선의 교점
외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
 =  =

외심은 세 변의 수직이등분선의 교점인데, 세 선이 한 점에서 만나니까 두 변의 수직이등분선만 그어서도 알 수 있어요.

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각의 이등분선에 대해서 알죠? 1학년 때 각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도에서 봤던 기억이 날 거예요.

이제는 그리는 것을 넘어서 각의 이등분선이 어떤 특징이 있는지 알아보죠. 그리는 것보다는 이게 더 쉬울 수 있어요.

각의 이등분선의 특징을 알아보려면 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건을 알아야 해요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

각의 이등분선

각의 이등분선은 이름 그대로 어떤 각을 똑같은 크기로 둘로 나누는 선이에요. 이등분선 위의 한 점과 각의 두 변 사이에 어떤 특징이 있을까요?

각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.

수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 배웠어요. 점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 내려서 만나는 점, 즉 수선의 발과의 거리를 구하죠.

각의 이등분선 위의 한 점에서 각 변에 수선의 발을 내리게 되면 각의 꼭짓점과 수선의 발, 이등분선위 점으로 이루어진 삼각형을 만들 수 있어요. 그런데 이게 직각삼각형이에요.

직각삼각형이 나오면 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다는 걸 눈치채야 해요

아래 그림을 보세요.

∠AOB가 있어요. 이 각의 이등분선을 긋고 이등분선 위의 점 P에서 각의 변 OA와 변 OB에 수선을 내렸더니, △AOP와 △BOP가 생겨요.

일단 여기까지 해놓고, 위 성질을 증명해보죠.

가정: ∠AOP = ∠BOP(각의 이등분선), ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론:

증명: (1) ∠AOP = ∠BOP (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

두 직각삼각형이 있는데, 빗변은 공통이고 한 예각의 크기가 같아요. RHA 합동이죠? △AOP ≡ △BOP

따라서 가 됩니다.    (증명 끝.)

각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다.

이 성질은 위의 성질을 거꾸로 뒤집은 거예요. 마찬가지로 점과 직선 사이의 거리를 구해야 하니 수선의 발을 내려야 해요.

가정: , ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론: ∠AOP = ∠BOP

증명: (1) (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

(1), (2), (3)에 의해서 빗변은 공통이고, 한 변의 길이가 같은 두 직각삼각형이기 때문에 RHS 합동이에요. △AOP ≡ △BOP

따라서 대응각인 ∠AOP = ∠BOP이 되죠.     (증명 끝.)

직각삼각형의 합동 조건을 이용해서 각의 이등분선의 성질을 알아봤어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

△ABC가 직각삼각형인데, 그 안에 △ABD와 △AED, △CDE라는 직각삼각형 세 개 가 더 있네요.

△ABD에서 한 각은 직각, 다른 각은 60°니까 남은 ∠BAD는 30°겠죠?

△ABD와 △AED는 빗변 가 공통이고 한 변의 길이가 같은 () 직각삼각형으로 RHS 합동이에요. 따라서 ∠BAD와 ∠EAD는 같아요. ∠BAD = ∠EAD = 30°

따라서 ∠BAE = ∠BAD + ∠EAD = 60°죠.

큰 삼각형 △ABC에서 ∠A는 60°, ∠B는 90°니까 x = 30°이 되겠네요.

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이번 글에서는 직각삼각형에 대해서 공부할 거예요. 직각삼각형이란 무엇인지 두 직각삼각형이 합동이 되려면 어떤 조건이 있는지요.

먼저 삼각형의 합동 조건을 혹시 기억하고 있나요? 삼각형의 합동조건은 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도와 같아요.

SSS 합동: 세 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이다.
SAS 합동: 두 변의 길이와 사이에 끼인각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.
ASA 합동: 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.

직각삼각형

직각삼각형은 삼각형의 세 내각 중에서 한 각이 직각(90°)인 삼각형을 말해요. 한 각이 직각이면 나머지 두 각은 모두 예각이 되겠죠? 삼각형 내각의 합은 180°인데, 한 각이 90도면 나머지 두 각을 더해서 90°가 되어야 하잖아요.

직각삼각형에서 직각인 각은 영어 Right Angle의 첫 글자를 따서 R이라고 씁니다. 직각이 아닌 두 예각은 그냥 Angle의 A를 따서 쓰고요. 직각의 대변인 변을 빗변이라고 하는데, 알파벳 H(Hypotenuse)로 쓰고요. 빗변이 아닌 다른 두 변은 S(Side)라고 해요.

직각삼각형의 합동조건

직각삼각형도 삼각형이기 때문에 삼각형의 합동조건을 그대로 따릅니다. 하지만 이름에서 알 수 있듯이 한 각이 직각이에요. 그래서 일반적인 삼각형의 합동 조건에 추가로 두 가지 경우가 더 있어요.

삼각형의 합동을 SSS, SAS, ASA합동이라고 불렀던 것처럼 직각삼각형에도 이런 이름으로 합동 조건을 불러요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

일단 직각이 있고, 빗변의 길이는 같아요.(RH) 거기에 추가로 다른 한 변의 길이가 같은지 예각의 크기가 같은지 보는 거죠.

RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, , ∠B = ∠E

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: 삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이가 같고(가정) 빗변의 양쪽 끝각의 크기가 같은 ASA 합동입니다.

따라서 △ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, ,

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: △DEF를 빗변이 왼쪽에 있는데, 오른쪽으로 오게 반 바퀴만 돌려보죠.  니까 두 변이 겹치게 해서 △ABC와 △DEF를 하나로 합쳐볼까요?

그러면 인 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에서 이등변삼각형은 밑각의 크기가 같다고 했잖아요. 그럼 ∠B = ∠E가 돼요.

삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 (1) ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이와 한 변의 길이가 같고(가정) 그 사이에 끼인각의 크기가 같은 SAS 합동이에요.

△ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

다음 그림에서 ∠BAC = 90°이고, 이다. 선분 AD의 길이를 구하여라.

△ABD를 보세요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데 ∠ADB가 90°니까 다른 두 각의 합은 90°에요. ∠BAD + ∠ABD = 90°
∠DAE는 평각이라서 180°인데, ∠BAC가 90°니까 ∠BAD + ∠CAE = 90°가 되어야겠죠?

∠BAD + ∠ABD = 90°
∠BAD + ∠CAE = 90°
두 식을 빼면, ∠ABD = ∠CAE가 돼요.

, 한 각은 직각이고, 예각 중 하나가 같으니까 △ABD와 △ACE는 RHA합동이에요.

변 AE의 길이는 대응변인 변 BD의 길이와 같아요. 5cm죠? 선분 DE의 길이가 8cm이고 선분 AE의 길이가 5cm이므로 선분 AD의 길이는 3cm가 됩니다.

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[중등수학/중1 수학] - 도형의 합동, 삼각형의 합동조건
이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질

이제부터 본격적으로 도형과 도형의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

우리가 알고 있는 도형들의 정확한 수학적 정의를 알아보고, 그 정의를 이용해서 증명도 해보죠. 증명된 명제는 정리로서 기억해야해요.

증명에 많이 사용되는 정의 중 가장 대표적인 게 삼각형의 합동조건이에요. 이 글에서도 삼각형의 합동조건을 계속 사용할 거니까 한 번 읽어보세요.

도형의 합동, 삼각형의 합동조건

이등변삼각형의 정의, 이등변삼각형의 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이에요. 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변으로 이루어진 각을 꼭지각이라고 해요. 그리고 꼭지각이 아닌 다른 두 각을 밑각이라고 하고, 꼭지각의 대변을 밑변이라고 해요.

이등변삼각형의 성질
- 두 밑각의 크기가 같다.
- 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

이등변삼각형이 무엇인지, 꼭지각과 밑각, 밑변은 어떤 것인지 대한 설명은 정의에 해당해요. 그리고 이등변삼각형의 성질은 참으로 밝혀진 명제, 즉 정리에 해당하죠. 정의와 정리의 차이를 알 수 있겠죠? 수학의 정의, 정리, 증명

그럼 참으로 밝혀진 명제인 이등변삼각형의 성질을 증명해볼까요. 일단 증명할 때는 가정과 결론, 증명으로 나눠서 해요.

이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 같다.

이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같아요. 이걸 가정으로 쓰고, "두 밑각의 크기가 같다"를 결론으로 하면 되네요.

가정: △ABC에서 이다.
결론: ∠B = ∠C이다

△ABC에서 꼭지각 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.

(1)    (가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분)
(3) 는 공통

(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. △ABD ≡ △ACD

따라서 대응각인 ∠B와 ∠C는 크기가 같죠.     (증명 끝.)

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같고요. 꼭지각의 이등분선이라고 했으니까 둘로 나눈 각은 크기가 같겠죠? 이걸 가정과 결론으로 써보죠.

가정: △ABC에서 , ∠BAD = ∠CAD이다.
결론: , 이다

(1)    (이등변삼각형, 가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분, 가정)
(3) 는 공통

(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. (4) △ABD ≡ △ACD

대응변인 선분 BD와 선분 CD의 길이는 같죠. (5) 이다

그리고, 대응각인 ∠BDA와 ∠CDA도 같아요. ∠BDA = ∠CDA
그런데 이 크기가 같은 두 각을 더하면 평각인 ∠BDC가 돼요. ∠BDA + ∠CDA = 180° 결국 (6) ∠BDA = ∠CDA = 90°인 거죠.

(4)에 의해 가 되고, (6)에 의해서 가 됩니다.     (증명 끝.)

이등변삼각형이 되는 조건

이등변삼각형이 어떤 삼각형인지 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.

이번에는 반대로 어떤 삼각형이 있는데, 이게 이등변삼각형인지 아닌지 알아보려고 해요. 어떻게 알 수 있을까요?

이등변삼각형의 성질을 거꾸로 하면 돼요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같다고 했어요. 이걸 거꾸로 해서 세 내각 중 두 내각의 크기가 같은 삼각형이 이등변삼각형인 거죠.

이등변삼각형이 될 조건 - 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형

이것도 가정과 결론으로 나누어 증명해보죠.

가정: △ABC에서 ∠B = ∠C
결론:

△ABC에서 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.

(1) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분)
(2) 는 공통

모든 삼각형 내각의 합은 180°에요. △ABD의 내각의 합과 △ACD의 내각의 합은 같죠.

∠BAD + ∠B + ∠ADB = ∠CAD + ∠C + ∠ADC인데, (1) ∠BAD = ∠CAD와 가정 ∠B = ∠C에 의해서 (3) ∠ADB = ∠ADC가 돼요. 결국 두 삼각형에서 세 각의 크기가 서로 같아요.

(1), (2), (3)에 의해서 △ABD와 △ACD는 한 변의 길이와 그 양끝각이 같은 합동이지요. (4) △ABD ≡ △ACD.

따라서 대응변인 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같아요.     (증명 끝.)

다음 그림에서 x를 구하여라.

그림에 보면 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같다고 표시되어 있네요. 즉 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 서로 같아요.

삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데, 한 각은 110° 다른 두 같은 x로 크기가 같아요.
x + x + 110 = 180
x = 35(°)

명제에 이어 정의와 증명, 정리에 관한 내용이에요.

이 단원에서는 새로운 내용을 배우기보다는 기존에 알고 있는 용어들을 이용할 거예요. 비슷한 용어들이 나오고 그 뜻의 차이가 크지 않아서 헷갈릴 수 있으니까 이 기회에 그 뜻을 정확하게 정리하세요. 특히 도형과 관련된 내용이 많이 나오니까 1학년 때 배웠던 도형 관련 내용들을 쭉 한 번 읽어보는 것도 좋아요.

중1 수학 목록

정의, 정리, 증명

정의는 용어의 뜻을 명확하게 정한 것으로 용어의 뜻에 대한 약속이에요. 약속이므로 증명할 필요가 없어요. 약속은 참, 거짓의 문제가 아니니까요.

방정식이라는 용어가 있어요. 식에 미지수가 있어서 이 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 등식을 말하죠. 이건 그냥 그런 특징이 있는 식을 방정식이라고 부르기로 사람들끼리 약속한 거예요. 다른 이름으로 약속했다면 그렇게 부르면 되는 거예요.

증명은 실험이나 경험에 따르지 않고, 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것을 말해요.

어떤 가정이 있다면 그 가정이 진짜인지 증거를 대는 거죠. 그 증거에 잘 맞으면 참이고, 증거에 맞지 않으면 거짓이 되는 거예요.

정리는 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것으로 여러 개가 있어요. 정리는 원래는 가정이었는데, 증명을 통해서 참으로 밝혀진 걸 말해요. 이 정리를 이용해서 다른 명제의 참, 거짓을 증명하게 되는 거죠.

정의와 정리는 달라요. 정의는 그냥 약속이라서 증명을 할 필요가 없어요. 물론 증명할 수도 없지만요. 정리는 증명을 통해서 그것이 참임을 밝혀야 해요. 그래야 정리로서 가치를 인정받을 수 있죠.

도형의 정의

아래는 다각형 중에서 삼각형과 사각형의 정의를 나타낸 거예요.

삼각형: 세 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
정삼각형: 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형
이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형
직각삼각형: 한 내각의 크기가 직각인 삼각형
예각삼각형: 세 내각의 크기가 모두 예각인 삼각형
둔각삼각형: 한 내각의 크기가 둔각인 삼각형

사각형: 네 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
직사각형: 네 각의 크기가 모두 같은 사각형
마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
정사각형: 네 내각의 크기와 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
평행사변형: 두 쌍의 대변이 각각 평행인 사각형
사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행인 사각형
등변사다리꼴: 한 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴

증명에서 자주 사용되는 정리

평행한 두 직선과 한 직선이 만날 때 → 동위각, 엇각의 크기가 같다
평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각

삼각형의 합동 → 대응변의 길이와 대응각의 크기는 서로 같다
도형의 합동, 삼각형의 합동조건

두 직선 l, m이 아래 그림처럼 한 점 O에서 만난다. 일 때 다음을 증명하여라.
<
(1) ∠AOB = ∠COD
(2)

(1)에서 ∠AOC는 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠AOC = ∠AOD + ∠COD이고요.
∠BOD도 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD이고요.
∠AOD + ∠COD = ∠AOB + ∠AOD = 180° 가 되는 거죠.
양변의 ∠AOD를 없애주면 ∠COD = ∠AOB가 됩니다.

사실 (1)번은 새로운 증명이 아니라 맞꼭지각, 동위각, 엇각에 나온 "두 직선이 한 점에서 만날 때 맞꼭지각의 크기는 같다."는 걸 한 번 더 증명해 본 거예요.

(2)번은 삼각형의 합동을 이용할 거예요. 점 A와 점 B에 선을 그으면 △AOB가 되고, 점 C와 점 D에 선을 그으면 △COD가 돼요. 두 삼각형에서 이고, ∠AOB = ∠COD에요. 즉 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기가 가죠? 두 삼각형은 합동이에요. △AOB ≡ △COD
두 삼각형의 합동이니까 대응변의 길이는 같고, 대응각의 크기도 같아요.
따라서 서로 대응변인 변 AB와 변 CD의 길이는 같아요.

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이번에는 도수분포표를 보고 분산과 표준편차를 구하는 방법이에요. 분산과 표준편차에서 얘기한 것처럼 표준편차를 구하려면, 평균 → 편차 → 분산 → 표준편차의 순서대로 구해야 해요.

그런데 도수분포표에서 평균 구하는 방법은 일반적인 평균구하는 방법과 달랐죠? 도수분포표에서의 평균 구하기에서 했던 방법으로 평균을 먼저 구해야 해요. 미리 확인하세요.

이 글에서는 1학년 때 배웠던 도수분포표 관련 내용과 앞에서 배운 산포도의 내용이 모두 총망라돼서 나와요. 산포도 구하는 방법과 공식을 꼭 기억하고 있어야 해요.

도수분포표에서 분산과 표준편차 구하기

도수분포표에서 분산과 표준편차를 구할 때 가장 중요한 것은 도수예요. 일반적인 변량들로 된 자료에서는 각각의 값들을 정확하게 알 수 있어요. 하지만 도수분포표는 정확한 값을 알 수 없기 때문에 계급값을 이용하죠. 그리고 계급값을 이용하여 얻은 값들은 도수가 포함되지 않은 값들이에요. 따라서 값에 도수를 곱해줘야 우리가 원하는 걸 얻을 수 있어요.

뭔 말인지 모르겠죠? 실제로 구해보면서 정리해보죠. 아래같은 도수분포표가 있다고 해볼까요?

평균 → 편차 → 분산 → 표준편차를 구해야 해요.

분산과 표준편차를 구할 때는 아래처럼 표를 이용해서 구하는 게 알아보기 쉽고 편해요.

1. 계급값은 각 구간의 양 끝값을 더해서 2로 나눈 값이죠? 도수분포표, 변량, 계급, 계급값, 도수에서 계급값 구하는 방법도 해봤어요. 계급값을 이용해서 평균을 구했더니 85가 나왔네요.
   
   
2. 평균을 구한 다음에는 편차를 구해야 해요. 편차 구하는 공식의 변량 자리에 계급값을 넣어주세요.
   
   
3. 편차를 구한 다음에는 분산을 구해야 하는데요. 분산은 편차의 제곱의 평균이라고 했어요. 그런데 도수분포표에서는 편차 제곱에 도수를 구한 것들의 평균이에요. 편차의 제곱에 도수를 꼭 곱해줘야 해요.
   
   일반적인 변량이었다면 각각 편차를 구해서 더했을 텐데, 도수분포표에서는 각각의 편차를 구할 수 없기때문에 대표인 계급값을 이용했던 거거든요. 그런데 같은 계급값을 갖는 변량이 도수의 개수만큼 있잖아요. 특정한 계급값을 대표로 갖는 도수의 개수만큼을 곱해줘야 해당 계급의 변량들의 값을 모두 더한 게 되는 거죠.
   
   편차의 합은 0이라고 했는데, 위 도수분포표에서 편차의 합은 0이 아니에요. 대신 편차에 도수를 곱해서 더하면 0이 되는 겁니다.
   
   
   각 계급의 (편차)² × 도수를 구한 다음에 도수의 총합으로 나누면 그게 바로 분산입니다. 분산이 60이 나왔네요.
4. 마지막으로 표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 거니까 가 되네요.
   
   

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산포도에 대해서 알아보고 있어요. 산포도에서 가장 많이 쓰이는 게 이번 글에서 다룰 분산과 표준편차에요.

한 번의 계산으로 구해지는 게 아니라 여러 단계를 거쳐서 구해야 하는 조금은 귀찮고 까다로울 수 있는 내용이에요. 반대로 단계별 순서만 기억하면 계산은 어렵지 않아서 쉽게 구할 수 있어요.

산포도와 편차에서 바로 이어지는 내용이니까 미리 읽어두세요. 분산과 표준편차의 뜻과 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

분산

편차는 음수와 0, 양수가 섞여 있어요. 다 더하면 0이고, 평균도 0이 되지요. 따라서 편차의 평균으로는 산포도를 알 수 없어요.

새로운 뭔가가 필요해서 음수 없이 양수만 나오게 하려고 편차를 제곱하는 방법을 이용합니다. 이 편차 제곱의 평균을 이용해서 산포도를 구하게 된 거죠.

분산은 편차 제곱의 평균이에요. 제곱의 평균이니까 일단 편차를 전부 다 제곱해서 더한 다음 편차(변량)의 개수로 나누어야겠죠?

표준편차

분산을 구했더니 이게 제곱한 값들의 평균이라서 값이 너무 커질 때가 있어요. 제곱한 거니까 원래대로 돌려주려면 어떻게 해야하나요? 제곱근을 씌우면 되죠?

표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 거예요. 제곱근을 씌웠으니까 양수인데요. 0이 될수도 있어요. 즉, 분산의 음이 아닌 제곱근을 말해요.

표준편차를 구하는 순서는 조금 복잡하네요.

표준편차 구하는 순서: 변량의 평균 → 편차 → 분산 → 표준편차

결국 표준편차를 구하려면 평균과 편차, 분산을 모두 구해야 해요.

19, 20, 21, 19, 26의 표준편차를 구하여라.

표준편차를 구하라고 했어요. 위해서 했던 것처럼 표준편차를 구하려면 평균 → 편차 → 분산 → 표준편차의 순서대로 구해야 해요. 순서대로 구해보죠. 표를 이용해서 구해볼까요?

① 평균 = (19 + 20 + 21 + 19 + 26) ÷ 5 = 21이네요.

② (편차) = (변량) - (평균)으로 구할 수 있고요.

③ 분산은 (편차)²의 평균이니까 각각의 제곱을 구해서 더해야겠죠. 그다음 평균을 구했더니 6.8이 나왔어요.

이제 문제에서 구하려고 하는 표준편차를 구할 차례인데, 표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 거에요. 따라서 이 되네요.

자료의 분산과 표준편차가 크면 클수록 그 자료는 평균을 중심으로 멀리 흩어져있다고 할 수 있죠. 분산과 표준편차는 산포도의 한 종류니까요. 단순히 분산과 표준편차를 구하는 것에 그치지 말고, 그 수치가 어떤 의미를 가졌는지도 알아야 해요.

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대푯값에 대해서 알아봤어요. 평균, 중앙값, 최빈값이 있었죠? 대푯값은 말 그대로 변량들의 특징을 대표적으로 나타낼 수 있는 값이에요.

그런데 이번에는 자료의 대표적인 특징이 아니라 자료가 어떻게 분포되어 있는지 알고 싶어요. 대푯값으로는 알 수가 없거든요.

그래서 자료의 분포를 쉽게 알아볼 수 있는 값을 구해야 하는데 그게 바로 산포도입니다.

산포도

산포도는 자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값이에요. 산포는 분포랑 비슷한 뜻이에요.

산포도도 대푯값처럼 딱 하나만 있는 게 아니라 여러 가지 종류가 있어요. 그중에서도 분산과 표준편차가 가장 많이 쓰이는데, 이것에 대해서는 다음 글 분산과 표준편차에서 자세히 설명할게요.

산포도는 평균에 얼마나 가까이 있느냐, 평균에서 얼마나 멀리 있느냐를 통해서 자료가 흩어진 정도를 알아보는 방법이에요. 따라서 평균을 제일 먼저 구해야 해요. 자료의 변량이 평균에 가까이 있으면 "산포도가 작다"고 하고, 평균에서 멀리 떨어져 있으면 "산포도가 크다"고 해요.

편차

산포도는 평균에서 얼마나 떨어져 있느냐가 중요하잖아요. 평균에서 얼마나 떨어져 있느냐를 값으로 나타낸 게 편차이에요. 편차는 아래 공식으로 구해요.

변량이 평균보다 크면 편차 > 0이고, 변량이 평균보다 작으면 편차 < 0이 돼요.

편차의 부호와 상관없이 편차의 절댓값이 작을수록 평균에 가까이 있고, 절댓값이 클수록 평균에서 멀리 떨어져 있는 거죠.

또 하나 기억해야 할 게 편차의 합 = 0이에요.

90, x, 85, 95, 100의 다섯 숫자의 평균이 90일 때 x와 그 편차를 구하여라.

평균 90은 다섯 수를 모두 더해서 5로 나눈 값이죠? 그 과정을 거꾸로 하면 x를 구할 수 있어요.

(90 + x + 85 + 95 + 100) ÷ 5 = 90
90 + x + 85 + 95 + 100 = 450
x = 80

x = 80이에요. 편차 = 변량 - 평균이므로 x의 편차는 80 - 90 = -10이 되네요.

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UN 알죠? 국제연합이라는 기구에요. 여기에는 여러 나라가 가입되어 있어요. UN에서 회의하는데 전 세계에 있는 사람들이 모두 모일 수는 없죠? 그래서 나라마다 1명씩만 나와서 회의를 합니다. 우리나라에서도 한 명이 가겠죠?

이때 우리나라에서 가는 그 한 명을 대한민국 대표라고 하지요? 대표는 어떤 집단의 특징을 잘 나타내야 해요. 우리나라 대표로 가는데 일본사람이나 중국사람이 가면 안 되잖아요.

여러 개의 자료가 있을 때, 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 걸 뭐라고 하는 지, 그 종류에는 어떤 게 있는지, 어떻게 구하는지 알아보죠.

대푯값

대푯값은 위에서 설명한 것처럼 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값이에요. 1학년 때 도수분포표, 변량, 계급, 계급값, 도수에서 공부했던 계급값은 그 계급을 대표하는 대푯값이에요.

계급값 말고도 잘 아는 게 바로 평균이에요. 처음으로 듣게 되는 대푯값으로는 중앙값과 최빈값이 있어요.

평균

평균은 변량 전체의 합을 변량의 총 개수로 나눈 값을 말해요. 평균 구하는 법은 이미 알 테고, 도수분포표에서의 평균 구하기에서 했던 내용은 기억이 나지 않을 수도 있으니 미리 한 번 봐두세요. 도수분포표에서 평균 구하는 건 나중에 또 나오니까 꼭 알고 있어야 해요.

평균

중앙값

중앙값은 이름 그대로 가운데 있는 값이에요. 영어로는 median이라고 하죠. 중앙값을 구하기 전에는 변량들을 작은 값부터 크기 순서대로 나열해야 해요. 그런 다음에 가운데 순서에 있는 값을 구하는 거죠.

3, 6, 9, 2, 4, 5, 8이라는 자료가 있어요. 여기에서 중앙값을 구해볼까요?

중앙값을 구하기 전에는 자료들을 순서대로 나열해야 해요. 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9로 나열할 수 있어요. 자료의 개수가 7개고, 순서상으로 한가운데 있는 값은 네 번째 있는 5네요. 그래서 중앙값은 5예요.

자료의 개수(n)가 홀수개면 번째 값이 중앙값이에요. 위에서는 자료의 개수가 7개니까 (7 + 1) ÷ 2 = 4여서 네 번째 값이 중앙값인 거죠.

자료의 개수(n)가 짝수개면 번째 값의 평균이 중앙값이에요.

10, 30, 40, 20, 60, 70, 90, 80이라는 자료가 있어요. 크기가 작은 순서대로 나열해보면, 10, 20, 30, 40, 60, 70, 80, 90이에요. 총 8개의 자료가 있는데, 한가운데 값은 4, 5번째 수가 되겠죠? 그러면 값이 두 개인데, 이 두 개를 평균 낸 것이 자료의 중앙값이에요. 네 번째 순서에 있는 40과 다섯 번째 순서에 있는 60의 평균인 50이 중앙값입니다.

중앙값
전체 자료의 개수(n)가 홀수일 때 → 째 값
전체 자료의 개수(n)가 짝수일 때 → 째 값들의 평균

최빈값

최빈값은 변량 중에서 도수가 가장 큰 값이에요.

100, 200, 300, 400, 400, 500, 500, 500이라는 자료가 있다고 해보죠. 100, 200, 300은 개수가 하나씩 있죠? 도수가 모두 1이에요. 400은 두 개고, 500은 세 개가 있어요. 400은 도수가 2고, 500은 도수가 3이에요. 여기서는 도수가 3으로 가장 큰 500이 최빈값이에요.

그럼 만약에 100, 100, 200, 200, 300, 300처럼 모든 변량의 도수가 2인 경우에는 어떤 값이 최빈값일까요? 도수가 가장 큰 것도 2고 가장 작은 것도 2잖아요. 이처럼 변량의 도수가 모두 같으면 최빈값은 없어요.

또 100, 200, 200, 300, 300에서는 200과 300이 도수가 2로 같아요. 100은 도수가 1이니까 위처럼 모든 변량의 도수가 같은 경우는 아니지요. 그런데 이렇게 도수가 같은 변량이 여러 개 있을 때는 모두가 다 최빈값이라고 할 수 있어요. 따라서 이 경우의 최빈값은 200과 300입니다.

최빈값: 변량 중에서 도수가 가장 큰 값
           변량의 도수가 모두 같으면 최빈값은 없다.
           변량의 도수가 가장 큰 값이 여러 개이면 최빈값은 2개 이상일 수도 있다. 

평균, 중앙값, 최빈값의 장단점

대푯값에서 평균과 중앙값, 최빈값을 알아봤는데, 각각이 어떤 장단점이 있는지 알아야겠죠? 어떤 자료들의 특징을 대표할 때 어떤 값을 사용하는 것이 대표성을 가장 잘 나타내는지 말이에요.

평균은 모든 자료의 값을 다 이용한다는 장점이 있어요.

중앙값은 1, 1, 1, 2, 2, 2, 100처럼 자료의 값 중 어느 하나가 너무 크거나 너무 작을 때 자료의 특징을 잘 대표할 수 있어요.

최빈값은 가장 많이 발생하는 값을 구할 때 유용하고, 특히 자료가 숫자가 아니어도 사용할 수 있지요. 대신 최빈값은 없을 수도 있고, 2개 이상일 수도 있다는 단점이 있어요.

다음 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 구하여라.
19, 20, 21, 19, 26

평균 = (19 + 20 + 21 + 19 + 26) ÷ 5 = 21

중앙값을 구하기 위해서 작은 거부터 순서대로 써보죠. 19, 19, 20, 21, 26이네요. 전체 자료의 수가 5로 홀수 개니까 (n + 1) ÷ 2 = 3번째 값인 20이 중앙값입니다.

최빈값은 도수가 가장 높은 값이에요. 19의 도수는 2, 나머지 20, 21, 26의 도수는 1이니까 도수가 2인 19가 모두 최빈값이라고 할 수 있겠네요.

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확률 마지막 편이에요.

이번 글은 조금 어려울 수 있어요. 개념에 대한 이해가 중요합니다. 조금은 천천히 읽어와야 이해가 될 거예요.

초등학교 때 이런 문제 많이 봤을 거예요.

1 ~ 5까지 숫자가 적힌 카드가 있다. 여기서 카드를 세 장 꺼내어 만들 수 있는 수 중 가장 큰 수를 구하여라.

카드를 세 장 꺼내서 만들 수 있는 수 중 가장 큰 수는 543이잖아요.

그런데 카드를 꺼내서 사용하고 다시 넣어서 또 뽑을 수 있다면 어떻게 되나요? 중복해서 뽑는다면 말이죠? 가장 큰 수는 555가 되죠?

이렇게 뽑기를 하는데, 꺼낸 다음에 다시 넣는 경우와 넣지 않는 경우에 확률이 달라져요. 어떻게 달라지는지 알아보죠.

연속하여 뽑는 경우의 확률

뽑은 것을 다시 넣는 경우

뽑기를 하는데, 한 번 뽑았던 걸 다시 넣어서 뽑는 경우예요.

주머니에 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있어요. 이 주머니에서 공을 하나 뽑아서 색을 확인한 다음에 공을 주머니에 다시 넣고 공을 하나 더 뽑는다고 하죠. 뽑은 공의 색이 둘 다 빨간색일 확률을 구해볼까요?

문제에서 제일 중요한 부분은 뽑은 공의 색을 확인하고 다시 넣는 거예요. 공은 총 다섯 개예요. 두 번째 공을 뽑을 때도 마찬가지고요.

처음으로 공을 뽑을 때 빨간색 공을 뽑을 확률은 3 ÷ 5 =

두 번째 공을 뽑을 때 빨간색 공을 뽑을 확률도 마찬가지로 3 ÷ 5 =

처음도 빨간색이고 두 번째고 빨간색이어야 하므로 두 확률을 곱해야 해요. 이네요.

뽑기를 하는데, 뽑았단 걸 다시 넣으면 처음이나 나중이나 조건이 똑같아요. 위에서는 공의 총 개수와 빨간색, 파란색 공의 개수라는 조건이 같죠.

그래서 처음 뽑나 나중에 뽑나 그 확률이 같아집니다.

뽑은 것을 다시 넣지 않는 경우

이번에는 한 번 뽑은 건 다시 넣지 않을 때 어떻게 되는지 알아보죠.

주머니에 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있어요. 이 주머니에서 공을 두 개 뽑을 때 뽑은 공의 색이 둘 다 빨간색일 확률을 구해볼까요?

위에서 했던 문제와 같은 데 딱 하나가 달라요. 위에서는 처음에 뽑은 공의 색을 확인하고 다시 넣었잖아요. 이번에는 뽑은 공을 넣지 않고 바로 새 공을 뽑는 거예요.

일단 처음에 공을 뽑을 때는 전체 공의 수가 5개고, 빨간색 공은 3개에요. 따라서 빨간색 공을 뽑을 확률은 3 ÷ 5 =

두 번째 공을 뽑을 때는 앞에서 공을 하나 뺐으니까 전체 공의 수가 4개예요. 여기서 중요해요.

만약에 첫 번째 공이 파란색이라면 주머니 속에는 빨간색 공 3개, 파란색 공 1개가 남아있겠죠? 따라서 두 번째 뽑은 공이 빨간색일 확률은 3 ÷ 4 = 이에요.

이번에는 반대로 첫 번째 공이 빨간색이라면 주머니 속에는 빨간색 공 2개, 파란색 공 2개가 남아있겠죠? 그래서 두 번째 뽑은 공이 빨간색일 확률은 2 ÷ 4 = 이에요.

문제에서 구하는 건 둘 다 빨간색이어야 하니까 첫 번째 공이 빨간색이었다는 가정 하에 구한 을 선택합니다.

결국, 첫 번째 공이 빨간색일 확률 과 첫 번째 공이 빨간색일 때 두 번째 공이 빨간색일 확률 을 곱해야 문제에서 원하는 답을 구할 수 있는 거예요.

뽑은 것을 다시 넣지 않은 경우에는 처음의 조건과 그다음 조건이 달라져요. 위에서는 공의 총 개수가 달라졌지요.

그리고 앞선 순서에서 뽑은 게 어떤 것인지에 따라서 다음 순서에서의 확률이 달라져요. 위에서는 첫 번째 공이 빨간색인지 파란색인지에 따라서 두 가지 경우가 나왔잖아요. 이건 문제에 따라 어떤 경우가 맞는 건지 잘 골라야 해요.

연속하여 뽑는 경우의 확률
뽑은 것을 다시 넣을 때: 처음과 나중의 조건이 같다.
뽑은 것을 다시 넣지 않을 때: 처음과 나중의 조건이 다르다. → 앞선 순서에 뽑은 것이 다음 순서의 확률에 영향을 줌.

1 ~ 5까지의 자연수가 적힌 카드가 있다. 이 중에서 2장의 카드를 뽑을 때 다음을 구하여라.
(1) 첫 번째 카드를 뽑아 숫자를 확인한 다음 카드를 넣고 다시 한 장을 뽑을 때 둘 다 홀수일 확률
(2) 첫 번째 카드를 뽑고 바로 두 번째 카드를 뽑을 때 둘 다 홀수일 확률

(1)은 뽑은 카드를 다시 넣고 (2)번은 뽑은 카드를 다시 넣지 않는군요.

(1)은 카드를 다시 넣기 때문에 첫 번째 카드와 두 번째 카드에서의 조건이 달라지지 않아요. 즉 카드의 총 개수가 5장으로 같지요. 홀수인 카드도 1, 3, 5로 같아요. 따라서 첫 번째 카드가 홀수일 확률과 두 번째 카드가 홀수일 확률이 3 ÷ 5 = 으로 같아요.

둘 다 홀수여야 하므로 "동시에"라는 개념이 들어있죠? 따라서 두 확률을 곱하면 답이 되겠네요.

(2)는 카드를 넣지 않고 다음 카드를 또 뽑아요. 그래서 조건이 달라지죠.

첫 번째 카드는 총 5장의 카드 중에서 1, 3, 5의 세 장의 홀수 카드가 있으므로 3 ÷ 5 = 이에요.

첫 번째 카드가 홀수라면 두 번째 카드를 뽑을 때 카드 총 수는 4장이 되고, 홀수인 카드는 2장이 되겠죠. 따라서 두 번째 카드가 홀수일 확률은 2 ÷ 4 = 이에요.

두 카드가 모두 홀수일 확률은 이군요.

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확률의 계산에서는 확률의 덧셈과 확률의 곱셈에 대해서 배워요.

먼저 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 봤던 경우의 수의 합과 곱에 대해서 알고 있어야 해요.

확률의 계산에서도 덧셈과 곱셈을 하는데, 경우의 수에서 봤던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙이 그대로 사용되거든요.

우리가 알고 있는 공식에서 경우의 수라는 단어를 확률이라는 단어로 바꾸면 끝이에요.

경우의 수에서 했던 덧셈의 법칙과 곱셈의 법칙을 정리해보죠. 두 사건이 동시에 일어날 때는 경우의 수를 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더했죠?

• 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
  사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
  사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지)
• 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
  사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때
  사건 A와 사건 B가 동시에(모두) 일어날 경우의 수 = a × b(가지)

확률의 덧셈과 곱셈에서도 똑같아요.

두 사건이 동시에 일어나면 확률을 곱하고, 동시에 일어나지 않으면 더하는 거죠.

확률의 덧셈

1 ~ 10까지의 자연수가 적힌 카드가 있어요. 이 중에서 한 장의 카드를 뽑을 때 3 또는 5의 배수가 나올 확률을 구해보죠.

카드가 1 ~ 10까지 있으니까 전체 경우의 수는 10이에요. 3 또는 5의 배수를 뽑는 경우는 3, 5, 6, 9, 10 이렇게 5 가지 경우가 있네요.

(3 또는 5의 배수가 나올 확률) = 이 되네요.

그럼 이번에는 각각의 확률을 구해보죠.

전체 경우의 수는 마찬가지로 10이에요. 3의 배수가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9의 3가지 경우이고, 5의 배수가 나오는 경우는 5, 10의 2가지 경우가 있어요. 두 확률을 더해볼까요

(3의 배수가 나올 확률) + (5의 배수가 나올 확률) = 으로 위와 같죠?

사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) + (사건 B가 일어날 확률)

사건이 동시에 일어나지 않을 때는 각각의 확률을 더해주면 돼요. 보통은 문제에서 "또는" 이라는 단어가 보일 때에요.

서로 다른 주사위 2개를 던질 때, 나오는 눈금의 합이 3 또는 6일 확률을 구하여라.

눈금이 3 또는 6일 확률이니까 각각의 확률을 구해서 더해주면 되겠죠? 물론 경우의 수를 한꺼번에 구해서 확률을 계산할 수도 있고요. 한 번 더해보죠.

주사위를 2개를 동시에 던져서 눈금의 합을 구할 수 있는 경우의 수는 6 × 6 = 36

두 주사위를 던져서 눈금의 합이 3이 되는 경우: (1, 2), (2, 1)
두 주사위를 던져서 눈금의 합이 6이 되는 경우: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

(합이 3이 될 확률) + (합이 6이 될 확률) =

확률의 곱셈

경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 두 사건이 동시에 일어나면 경우의 수를 곱한다고 했어요. 마찬가지로 확률에서도 두 사건이 동시에 일어나면 각각의 확률을 곱해서 계산하면 돼요.

사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률
= (사건 A가 일어날 확률) × (사건 B가 일어날 확률)

A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 주사위 A는 짝수가, 주사위 B는 3의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?

이때는 주사위 두 개를 던지지만 두 주사위가 서로 영향을 미치지 않죠? 따라서 각각을 별개의 사건으로 봐야 해요. 또 동시에 일어나는(둘 다 일어나야 하는) 사건이니까 확률을 구할 때는 곱해서 구해야 하죠.

A 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 짝수가 나올 경우의 수는 2, 4, 6 이렇게 3이에요.
B 주사위에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이고, 3의 배수가 나올 경우의 수는 3, 6의 2이네요.

(A 주사위에서 짝수가 나올 확률) × (B 주사위에서 3의 배수가 나올 확률)
=

A 주머니에 파란 공 2개와 빨간 공 3개가, B 주머니에는 빨간 공 4개와 파란 공 2개가 들어있다. 양쪽 주머니에서 공을 한 개씩 꺼낼 때 둘 다 파란 공일 확률을 구하여라.

양쪽 모두에서 한 개씩 꺼낸다고 했네요.

A주머니에는 총 5개의 공이 있고 그 중 파란색은 2개
B주머니의 6개 공 중에 파란색은 2개

(A 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률) × (B 주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률)
=

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확률을 구하는 방법에 대해서 알아봤어요.

솔직히 말해서 우리는 확률을 모르는 건 아니에요. 방법은 모르지만 결과는 구할 수 있었어요. 다만 정확한 의미를 몰랐던 거고, 어떻게 구해지는지 그 과정을 자세히 알지 못했을 뿐이죠.

이 글에서 설명할 내용도 모르는 건 아니에요. 문제는 바로 풀 수 있어요. 원리를 모를 뿐이죠.

좀 더 정확한 원리, 좀 더 정확한 계산법을 배워보세요.

확률의 성질

이런 확률에도 몇 가지 성질이 있어요. 어떤 성질이 있는지, 이 성질을 이용해서 어떻게 문제를 푸는지 알아보죠.

확률을 구하는 방법은 여러 가지가 있는데 그중에 경우의 수를 이용해서 구하는 방법이 있었어요. 경우의 수는 어떤 사건이 몇 번 일어나느냐를 말하죠? 즉, 개수에요. 그래서 경우의 수는 음수가 없어요. 0이거나 자연수여야 하죠.

확률은 이 경우의 수를 이용해서 구해요. 따라서 확률도 음수가 나올 수 없어요.

주사위를 던져서 6보다 큰 수가 나올 확률을 구해볼까요?

주사위를 던지면 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6가지에요. 그리고 6보다 큰 눈금이 나오는 경우의 수는 0이죠. 따라서 확률은 0 ÷ 6 = 0이 돼요.

그럼 이번에는 6 이하의 수가 나오는 확률을 구해보죠. 6 이하니까 6보다 작거나 같은 수네요.

마찬가지로 모든 경우의 수는 6이고, 6 이하의 수가 나오는 경우의 수는 6이에요. 확률은 6 ÷ 6 = 1이 되네요.

확률 구하는 공식을 다시 한 번 보죠.

확률에서 어떤 사건 A가 일어나는 경우의 수는 모든 경우의 수보다 절대로 클 수 없잖아요. 따라서 확률은 1보다 클 수 없어요. 비가 올 확률 120%라는 말은 없잖아요.

사건 A가 일어나지 않는 경우도 있어요. 그때는 공식에서 분자가 0이 돼서 확률도 0이 되죠.

확률의 최댓값은 1, 최솟값은 0이라고 할 수 있겠죠.

어떤 경우에 확률이 0이 될까요? 위 주사위에서 봤듯이 어떤 사건이 절대로 일어나지 않을 때의 확률이 0이에요. 어떤 사건이 반드시 일어날 경우에는 확률이 1이 되죠. 이때는 사건 A가 일어나는 경우의 수가 모든 경우의 수와 같을 때에요.

확률이 0 (0%)면 일어나지 않을 일이고, 확률이 1 (100%)는 무조건 일어나는 일인 건 다 알잖아요.

여사건의 확률

사건 A가 일어나지 않을 사건을 여사건이라고 해요. 그러니까 딱 두 가지죠? 사건 A가 일어날 경우와 사건 A가 일어나지 않을 경우요. 두 경우가 아닌 경우도 있나요? 없죠. 따라서 (사건 A가 일어날 경우의 수) + (사건 A가 일어나지 않을 경우의 수) = (모든 경우의 수)가 되고, (사건 A가 일어날 확률) + (사건 A가 일어나지 않을 확률) = 1이 돼요.

사건 A가 일어날 확률이 p라면 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1 - p

어떤 사건이 일어날 확률을 알려주고, 사건이 일어나지 않을 확률을 계산할 때 여사건을 이용해요. 비가 올 확률이 40%면, 비가 안 올 확률은 60%라는 걸 알 수 있어요.

어떤 사건의 확률을 구하려는데, 구하기 복잡할 때, 반대의 경우의 확률을 구한 다음 1에서 빼주는 방법을 이용할 수도 있고요.

서로 다른 주사위 2개를 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 홀수가 나올 확률을 구하여라.

여사건을 이용해서 푸는 문제에요. 여사건의 확률은 1 - p 에요. 이걸 어떻게 이용하느냐

문제를 잘 읽어보세요. 적어도 한 개는 홀수가 나오는 사건이에요. 적어도 한 개가 홀수인 경우라면 한 개만 홀수여도 되고, 두 개다 홀수여도 돼요. 주사위 두 개를 던졌을 때 한 개만 홀수일 때, 두 개다 홀수일 때 말고 또 어떤 경우가 있나요? 둘 다 홀수가 아닐 때(둘 다 짝수일 때)가 있죠?

하나만 홀수일 때의 확률과 두 개 다 홀수일 때의 확률을 더할 수도 있지만 여사건을 이용하면 전체 확률 1에서 둘 다 홀수가 아닐 때의 확률을 빼서 바로 구할 수 있어요.

두 개의 주사위를 던져서 나올 수 있는 경우의 수는 36가지예요. 한 주사위에서 짝수가 나오는 경우의 수는 3가지이고 다른 주사위에서 짝수가 나오는 경우의 수도 3가지예요. 두 주사위 모두에서 짝수가 되는 경우의 수를 곱의 법칙을 이용해서 구하면 9가지예요.

둘 다 홀수가 아닐 때는 둘 다 짝수일 때로, 확률은 이에요.

문제에서 구하는 답은 1 -  = 이네요.

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확률이라는 말은 많이 들어봤죠? 비 올 확률, 병에 걸릴 확률 등 뭔가의 가능성을 비율로 나타낼 때 확률이라는 표현을 많이 쓰잖아요.

이번 글에서는 확률에 대해서 배울 거예요. 확률이란 무엇인지 확률을 어떻게 구하는지에 대해서요.

물론 확률을 구하는 공식도 알아볼 거고요.

확률, 확률 공식

일정한 조건 아래에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, 어떤 사건이 일어나는 경우의 수의 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 이 일정한 값을 그 사건이 일어날 확률이라고 해요. 말이 어렵죠? 그냥 수학적으로 정의하자면 그렇다는 얘기고 그냥 무슨 일이 생길 가능성을 비율로 나타낸 걸 확률이라고 해요.

확률은 영어 단어 Probability의 첫 글자를 따서 P라고 써요. 사건 A가 일어날 확률을 P(A)라고 쓰지요.

확률은 비율이라서 백분율로 표현하기도 하고, 소수나 분수로도 표현해요. 10%나 0.1이나 이나 다 같은 확률을 나타내는 겁니다.

경우의 수를 이용한 확률

확률을 구하는 방법을 모르지만 우리는 확률을 구할 수 있어요.

동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 얼마인가요? 50%에요. 다 알고 있잖아요? 어떻게 구했죠? 동전은 앞, 뒤가 있는데, 둘 중 하나가 나올 거니까 50%에요.

동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 앞, 뒤 이렇게 두 가지예요. 그리고 앞면이 나오는 경우의 수는 1이죠. 경우의 수를 비교해봤더니 인 거예요. 확률은 이렇게 구하는 겁니다.

사건 A가 일어날 확률은 사건 A가 일어날 수 있는 경우의 수를 전체 사건이 일어날 수 있는 경우의 수로 나눠서 구해요.

주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?

주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6이고, 이 중에서 2의 배수가 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 세 가지예요. 그래서 주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률은 3 ÷ 6 = 이죠.

상대도수를 이용한 확률

확률을 구할 때 경우의 수를 이용해서 구하기도 하지만 실제 관찰이나 실험을 통해서 구하기도 해요. 예를 들어 "비만인 사람은 정상인 사람보다 OO병에 걸릴 확률이 50% 높다". 이런 종류의 얘기들을 해요. 하지만 실제로 비만인 사람이 OO병에 걸리는 경우의 수를 구할 수 없죠. 수십억 명의 세계 인구 중에 비만인 사람의 수를 모두 셀 수는 없으니까요. 또 정상인 사람이 병에 걸렸는지의 경우의 수도 구할 수 없고요.

이처럼 실험이나 관찰을 통해서 확률을 구하기도 하는데요. 이때는 관찰의 개수가 적으면 확률을 제대로 구할 수 없어요. 가능한 한 많이 실험하고 많이 관찰해야 해요.

동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 에요. 이건 경우의 수를 이용해서 구한 확률이죠.

실제로 여러분이 동전을 던졌다고 해보세요. 한 번 던졌는데, 앞면이 나왔다 치죠. 그럼 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 100%잖아요. 앞서 구한 확률과 차이가 엄청나게 많이 나죠? 동전 던지기를 한 번이 아니라 100번, 1000번 해보면 앞면이 나올 확률이 에 가까워져요. 그 실험횟수가 많으면 많을수록 에 가까워져요.

이 때 "실제 실험을 100번 해봤더니 앞면이 49번 나왔다"고 한다면 앞면이 나올 확률은 49 ÷ 100 = 0.49가 되는 거예요.

확률의 정의에서 사용했던 상대도수라든가 일정한 값에 가까워지는 등의 이야기는 바로 여기에 해당하는 내용이에요.

주사위 2개를 동시에 던질 때, 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률을 구하여라.

먼저 주사위 2개를 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수를 구해야겠네요. 각각의 주사위가 6가지 경우의 수를 가지니까 두 개의 주사위를 동시에 던지면 36가지 경우의 수가 생겨요.

두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우를 찾아볼까요? 4, 8, 12가 될 수 있겠네요.

두 주사위 눈금의 합이 4가 되는 경우를 순서쌍으로 표시해보죠. (1, 3), (2, 2) (3, 1)의 세 가지 경우가 있네요.
눈금의 합이 8이 되는 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 다섯 가지 경우가 있고요.
눈금의 합이 12가 되는 경우는 (6, 6) 하나밖에 없네요.

따라서 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우는 총 9가지 경우가 있어요.

주사위 2개를 동시에 던질 때 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률 p = 9 ÷ 36 = 입니다.

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여러 가지 경우의 수 공식 두 번째입니다.

이번 글에서는 다룰 내용은 뽑기인데요. 여러 물건 중에서 하나 또는 그 이상을 선택하는 거에요.

경우의 수 공식 - 한 줄 세우기에서 했던 한 줄 세우기와 다른 점은 줄 세우기는 여러 개가 있으면 그 여러 개를 다 사용하는 경우고, 뽑기는 여러 개 중에서 일부만 사용하는 거에요.

뽑기에도 공식이 있어요. 어렵지 않은 공식이니까 어떻게 유도되는지 잘 이해해보세요.

경우의 수 공식 - 순서대로 뽑기

순서대로 뽑기는 한 줄 세우기 + 뽑기에요. 그러니까 경우의 수 공식 - 한 줄 세우기에 대해서 알고 있어야 해요.

여러 개의 항목이 있는데, 그중에서 정해진 개수만큼만 뽑아요. 그런데 순서가 있어요. 첫 번째로 뽑는 것과 두 번째로 뽑는 게 서로 다른 역할을 하는 거지요.

1 ~ 5까지의 자연수가 있는데, 이 중에서 세 개를 뽑아서 세 자리 자연수를 만드는 경우의 수는 몇 가지나 되는지 알아보죠. 세 자리의 자연수니까 백의 자리까지 있는 수에요.

1. 백의 자리에 올 수는 1 ~ 5중에 아무거나 하나를 사용할 수 있어요. - 경우의 수 5
2. 십의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리에서 뽑은 숫자 하나를 제외한 4개 중 고를 수 있어요. - 경우의 수 4
3. 일의 자리 숫자는 백의 자리, 십의 자리에 뽑은 숫자를 제외한 3개 중에서 고를 수 있어요. - 경우의 수 3

숫자를 뽑는데 뽑는 순서에 따라 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리로 그 역할이 달라요. 따라서 뽑는 순서가 중요하죠.

백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 각각 뽑는 경우의 수를 구했어요. 이 과정은 동시에 일어나니까 곱의 법칙을 이용해야겠죠? 5 × 4 × 3 = 60가지 경우가 있네요.

이걸 공식으로 표현해보죠. 전체 n개 중에서 a개를 뽑는 경우의 수예요.

위 문제에서는 1 ~ 5까지 총 5개의 숫자 중에서 3개를 뽑는 거였어요. 5, 4, 3, 2, 1 이렇게 숫자를 하나씩 줄여가면서 곱하는데, 3개를 뽑는 거니까 앞에 있는 숫자 3개만 곱해서 5 × 4 × 3 = 60이 된 거죠.

학급 인원 30명 중에서 2학기 반장과 부반장, 회장, 부회장을 각각 한 명씩 뽑으려고 한다. 이때 반장과 부반장, 회장, 부회장을 뽑을 수 있는 경우의 수를 구하여라.

위에서 했던 방법대로 해볼까요?

1. 30명 중에서 한 명을 반장으로 뽑아요. - 경우의 수는 30
2. 반장으로 뽑힌 학생을 제외한 29명 중에서 부반장을 뽑아요. - 경우의 수 29
3. 반장, 부반장으로 뽑힌 학생을 제외한 28명 중에서 회장을 뽑아요. - 경우의 수 28
4. 반장, 부반장, 회장으로 뽑힌 학생을 제외한 27명 중에서 부회장을 뽑아요. - 경우의 수 27

반장, 부반장, 회장, 부회장을 뽑는 건 동시에 일어나는 사건이니까 곱의 법칙을 이용해요.

30 × 29 × 28 × 27 = 657,720 가지 방법이 있네요.

이번에는 공식으로 풀어보죠. 학급의 학생 수가 30명이니까 n = 30이고 반장, 부반장, 회장, 부회장 총 네 명을 뽑으니까 a = 4에요.

30에서 숫자를 하나씩 줄여서 곱하는데 앞에서부터 4개를 곱하니까 30 × 29 × 28 × 27이라는 식이 나와요.

공식을 이용하면 훨씬 쉽게 구할 수 있겠죠?

눈에 확 띄는 예를 들다 보니 숫자가 커졌는데, 대개는 암산으로 가능한 정도의 계산만 나와요. 다섯 명에서 두 명을 뽑는다던가 하는 정도의 수준이에요.

경우의 수 공식 - 순서 없이 뽑기

이번에는 순서에 상관없이 뽑는 경우예요. 뽑는 순서가 중요하지 않아요.

학급 인원 30명 중에서 주번 2명을 뽑는 경우의 수를 알아볼까요?

앞에서는 회장, 부회장이라는 역할의 차이가 있으니까 뽑는 순서에 따라 그 결과가 달라졌어요. 그런데 이번처럼 주번을 뽑을 때는, 먼저 뽑히든 나중에 뽑히든 그냥 둘 다 주번으로 역할이 같아요. 순서는 아무런 의미가 없지요.

1. 30명 중에서 한 명을 주번으로 뽑아요. - 경우의 수는 30
2. 앞에서 주번으로 뽑힌 학생을 제외한 29명 중에서 주번을 뽑아요. - 경우의 수 29

두 사건은 동시에 일어나는 사건이니까 곱의 법칙을 30 × 29 = 870가지 경우가 있어요.

여기서 한 가지 주의해야 할 게 있어요. 1단계 30명 중에서 뽑을 때는 영철이가, 2단계 29명 중에서 뽑을 때는 철수가 뽑혔다고 해보죠. 그런데 1단계 30명 중에서 뽑을 때 철수가 뽑히고, 2단계 29명 중에서 뽑을 때 영철이가 뽑힌 것과 다른 게 있나요? 영철이가 첫 번째에서 뽑히든 두 번째에서 뽑히든 아무 상관이 없어요. 마찬가지로 철수가 첫 번째에서 뽑히든 두 번째에서 뽑히든 어차피 똑같은 주번인 거죠.

위에서 구했던 30 × 29에는 이처럼 결과적으로 똑같은 경우가 2개씩 들어있는 거에요. 따라서 30 × 29에 ÷ 2를 해줘야 우리가 구하는 경우의 수가 됩니다.

만약에 주번을 3명 뽑는다면 그럼 3으로 나눠주면 될까요? 그것도 아니에요. 3명이 뽑히는 경우의 수는 3 × 2 × 1이기 때문에 6으로 나눠줘야 해요. 위에서는 그냥 2가 아니라 2 × 1 로 나눠준 거에요.

공식으로 표현해보지요.

전체 n개 중에서 a개를 뽑는데 순서와 상관없이 뽑는다면 분자는 n에서 1씩 줄여가면서 곱하는데 a개만큼 곱해주고, 분모는 a를 숫자를 1씩 줄여가며 곱해주는 거에요.

사과, 배, 감, 귤, 포도, 수박의 과일이 있다. 이 중에서 세 가지를 사려고 할 때 경우의 수는 얼마인가?

바로 공식에 대입해보죠.

과일의 수는 6개로 n = 6, 세 가지를 산다고 했으니까 a = 3이에요. 분자는 6에서 숫자를 1씩 줄이면서 곱하는데 앞의 3개만 곱하고, 분모는 3부터 숫자를 1씩 줄여서 곱해요

만약에 과일을 네 가지를 산다고 한다면 아래처럼 구할 수 있겠네요. n = 6, 네 가지를 산다고 했으니까 a = 4예요. 분자는 6에서 숫자를 1씩 줄이면서 곱하는데 앞의 4개를 곱하고, 분모는 4부터 숫자를 1씩 줄여서 곱해요.

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