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직선의 방정식을 구해봤어요. 이제 직선의 방정식을 그래프로 그려볼 거예요. 웬만한 건 일차함수 그래프 그리기에서 해봤으니까 여기서는 새로운 것을 해보죠.

절댓값 기호가 들어있는 직선의 방정식 그래프를 그리는 거예요. 절댓값 기호의 위치가 여러 가지가 있고, 이 위치에 따라 그리는 방법이 달라져요. 매우 어렵고 상당히 헷갈리는 내용이죠.

헷갈리지 않게 잘 읽어보고 그래도 어려운 것 같으면 가장 기본적인 원리만이라도 익히도록 하세요.

절댓값 기호가 포함된 식의 그래프

가장 기본적인 y = x의 그래프를 그려보죠.

원점을 지나고 1, 3사분면을 지나는 그래프네요.

y = |x|의 그래프를 그려볼까요? 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서 절댓값 기호 안을 0이 되게 하는 숫자를 기준으로 구간을 나눠서 계산했죠? 여기서도 그렇게 해보죠.

y = |x|

x ≥ 0일 때, y = x
x < 0일 때 y = -x

그래프로 그려보면

이렇게 나옵니다. 모양이 어떤가요? y = x그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로이고, x < 0인 부분 즉 y < 0인 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양이에요.

이걸 다른 말로 표현해 보죠. 우변이 |x|로 양수이기 때문에 좌변 y도 항상 양수여야 해요. 따라서 y < 0인 부분을 꺾어버렸다고 생각하면 돼요.

이번에는 y = |x - 1|의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0이 되는 구간을 나누어 합니다.

y = |x - 1|

x - 1 ≥ 0 → x  ≥ 1일 때, y = x - 1
x - 1< 0 → x < 1일 때, y = -x + 1

y = x - 1 그래프에서 x ≥ 1인 곳은 그대로이고, 이 부분을 y축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이에요.

좌변 y는 항상 양수여야 하죠? 그래서 y < 0인 부분의 그래프를 꺾어버렸다고 생각하세요.

이번에는 y = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

y = |x| - 1

x ≥ 0일 때, y = x - 1
x < 0일 때 y = -x - 1

y = x - 1의 그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로, 이 부분을 y축에 대칭이동 시킨 모양이에요. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고 이걸 y축에 대칭 시킨 모양이죠.

-1을 좌변으로 이항하면 y + 1 = |x|가 돼요. 우변이 항상 양수이므로 좌변의 y + 1이 0보다 작은 부분(y < -1)을 꺾어버렸어요.

|y| = x의 그래프를 그려보죠. 이번에는 y에 절댓값 기호가 있네요.

y ≥ 0일 때, y = x
y < 0일 때, y = -x

y = x의 그래프에서 y ≥ 0인 곳은 그대로 두고 이 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양입니다. 좌변이 |y|이기 때문에 x는 항상 양수에요. 그러니까 x < 0인 부분을 꺾어버린 거죠.

|y| = x - 1의 그래프를 그려보죠.

|y| = x - 1

y ≥ 0일 때, y = x - 1
y < 0일 때, y = -x + 1

y = x - 1의 그래프에서 y ≥ 0인 부분은 그대로이고, 이 부분을 x축에 대칭이동 한 모양입니다. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(y ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고, 이걸 x축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이지요.

좌변이 |y|로 항상 양수입니다. 따라서 x - 1이 0보다 작은 부분을 꺾어버렸어요.

이번에는 x, y에 절댓값이 있는 |y| = |x|의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x
x < 0, y < 0일 때, y = x

|y| = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x - 1
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x + 1
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x - 1
x < 0, y < 0일 때, y = x + 1

(절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0, y ≥ 0)인 y = x - 1의 그래프를 그리고 이걸 x축, y축, 원점에 대칭이동 시킨 모양이죠.

절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 그리기

그래프를 두 가지 방법으로 표현합니다.

• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞는 그래프를 찾고, 그 그래프를 x축 또는 y축에 대칭이동 시켰다.
• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞지 않는 그래프를 찾고 그 그래프를 꺾어버렸다.

대부분은 대칭이동 했다는 표현을 많이 쓰는데, 일부 선생님이나 교재에서 꺾었다는 표현을 하기도 하니까 둘 다 알아두세요.

표현법에 따라 그래프를 그리는 방법이에요.

대칭이동을 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간의 그래프를 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프를 절댓값 기호가 없는 문자로 된 축 방향으로 대칭이동(x에 절댓값이 있으면 y축, y에 절댓값이 있으면 x축 방향으로 대칭이동)

꺾기를 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) < 0이 되는 구간을 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프가 양수가 되도록 절댓값 기호가 있는 문자 축 방향으로 그래프를 꺾는다.

절댓값 기호가 어디 있느냐에 따라서 그래프를 그리는 방법이 달라지죠? 어떻게 그리는지를 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않으면 외우지 마세요. 어설프고 헷갈리게 외우는 것보다는 외우지 않는 게 더 좋아요.

절댓값 기호 안이 0이 되게 하는 구간을 나눠서 식을 구하고 그래프를 그리더라도 시간이 오래 걸리지 않으니까 차근차근 그리는 것이 더 좋을 수 있어요.

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절댓값 기호를 포함한 부등식은 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나누어서 계산해요.

이 글에서는 절댓값 기호가 두 개 있을 때의 풀이법이에요. 한 개 있을 때와 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠서 푸는데, 절댓값 기호가 두 개가 있으니까 총 네 가지 경우의 수가 생기겠죠?

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 해봤던 내용이에요. 등호만 부등호로 바뀐 거니까 잘 이해하길 바라요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질의 성질에서 절댓값 기호가 있을 때는 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠서 한다고 했죠?

절댓값 기호가 두 개인 부등식에서는 조건의 개수만 많아진 것일 뿐 원리는 같아요.

절댓값 기호를 포함한 부등식은 아래와 같은 순서대로 문제를 풀어요.

1. 절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
4. 부등식의 해를 구한다.
5. 부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
6. 해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
7. 각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답

|2x - 6| - |x - 6| > 0를 한 번 풀어보죠.

먼저 |2x - 6|부터 보죠.
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3
2x - 6 < 0 → x < 3

이번에는 |x - 6|을 볼까요?
x - 6 ≥ 0 → x ≥ 6
x - 6 < 0 → x < 6

총 네 가지 경우가 생기는데, 이걸 수직선에 그려보면 아래처럼 돼요.

3과 6 사이에 겹치는 부분이 생기죠? 이 부분은 하나로 합치는 거예요. 원래는 범위가 네 개였는데, 세 개로 줄어든 거죠.

절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 거 기억나나요? 절댓값 안이 0이 되게 하는 숫자들을 경계로 해서 범위를 나누면 돼요. 절댓값 안이 0이 되는 숫자는 3, 6이니까 이 두 수를 이용해서 범위를 구한 것과 같은 거죠.

x < 3, 3 ≤ x < 6, 6 ≤ x의 세 가지 경우의 해를 구해볼까요

1. x < 3일 때 (2x - 6 < 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   -(2x - 6) + (x - 6) > 0
   -2x + 6 + x - 6 > 0
   -x > 0
   x < 0
   조건에서 x < 3이므로 ∴ x < 0
2. 3 ≤ x < 6일 때 (2x - 6 ≥ 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 + (x - 6) > 0
   2x - 6 + x - 6 > 0
   3x - 12 > 0
   3x > 12
   x > 4
   조건에서 3 ≤ x < 6이므로 ∴ 4 < x < 6
3. x ≥ 6 일 때 (2x - 6 > 0, x - 6 ≥ 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 - (x - 6) > 0
   2x - 6 - x + 6 > 0
   x > 0
   조건에서 x ≥ 6이므로 ∴ x ≥ 6
   

세 가지 경우를 나눠서 각 조건에 맞는 해를 구했어요. 이 세 가지 해 모두가 문제의 답이에요. x < 0 or 4 < x < 6 or x ≥ 6이에요. 그런데 4 < x < 6과 x ≥ 6은 합칠 수 있겠죠?

따라서 답은 x < 0 or x > 4예요.

|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0의 해를 구하여라.

|x + 1|부터 보죠.
x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
x + 1 < 0 → x < -1

이번에는 |3 - x|을 볼까요?
3 - x ≥ 0 → x ≤ 3
3 - x< 0 → x > 3

총 네 개의 범위가 생기는데, 겹치는 걸 하나로 합치면 x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, 3 < x 세 가지 범위가 생겨요.

1. x < -1 일 때 (x + 1 < 0, 3 - x > 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   -(x + 1) + 3 - x - 6 > 0
   -x - 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2x - 4 > 0
   2x < -4
   x < -2
   조건에서 x < -1이므로 ∴ x < -2
2. -1 ≤ x ≤ 3 일 때 (x + 1 ≥ 0, 3 - x ≥ 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2 > 0
   해 없음.
3. x > 3일 때 (x + 1 > 0, 3 - x < 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 - (3 - x) - 6 > 0
   x + 1 - 3 + x - 6 > 0
   2x - 8 > 0
   2x > 8
   x > 4
   조건에서 x > 3이므로 ∴ x > 4

세 가지 해가 모두 해이므로 x < -2 or x > 4가 답입니다.

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절댓값이 들어있는 식은 기본적으로 절댓값 안의 부호가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어요. 해당 조건에 맞게 식을 전개하고 각각의 해를 찾아서 답을 구하죠.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이는 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이와 거의 비슷해요. 방정식이 부등식으로 바뀐 것뿐이에요. 다만, 부등식은 해가 딱 하나로 떨어지지 않아서 방정식보다는 조금 더 어려워요. 수직선을 그려보는 것도 이해하는 데 도움이 될 겁니다.

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질에서 문제를 어떻게 풀었었나요? 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눴죠? 그리고 각 조건에 맞게 식을 전개해서 해를 구했어요. 각 조건과 구해진 해의 공통부분이 답이 되는데, 조건이 두 개니까 조건별로 나온 해가 모두 답이에요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이도 위와 같은 방법으로 해를 구해요. 여기에 연립부등식, 연립부등식의 풀이를 섞어 놓은 거예요.

|ax + b| > m (m > 0)의 해를 구해볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때)
|ax + b| > m
ax + b > m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b > m이죠? (∵ 0 < m < ax + b)

ⅱ) ax + b < 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 작을 때)
|ax + b| > m
-(ax + b) > m
ax + b < -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b < -m이죠? (∵ ax + b < -m < 0)

결국 |ax + b| > m의 해를 구할 때는 따로 조건을 나누지 않고 ax + b < -m 또는 ax + b > m의 해를 구하면 돼요.

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 절댓값 안의 부호의 범위와 상관없이 그냥 구했던 것처럼 여기서도 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

이번에는 |ax + b| < m (m > 0)일 때를 볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때
|ax + b| < m
ax + b < m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 0 ≤ ax + b < m이죠? (∵ m > 0)

ⅱ) ax + b < 0일 때
|ax + b| < m
-(ax + b) < m
ax + b > -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 -m < ax + b < 0이죠? (∵ -m < 0)

이 두 개를 연립해보면 -m < ax + b < m이 돼요.

여기서도 마찬가지로 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 (a, b, m은 실수, m > 0)
|ax + b| > m → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m → -m < ax + b < m

식에 있는 부등호를 잘 보세요. 이 방향에 따라 해가 달라져요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) |2x + 4| > 8
(2) |x - 2| + 4 < 6
(3) |4x - 2| ≥ 10

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 크면 해는 -m보다 작고 m보다 커요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 작으면 해는 -m과 m사이고요.

(1) |2x + 4| > 8

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크네요.

2x + 4 > 8
2x > 4
x > 2

2x + 4 < -8
2x < -12
x < -6

따라서 해는 x < -6 or x > 2

(2) 좌변에 절댓값, 우변에 상수 꼴로 바꿔준 다음 계산해요.

|x - 2| + 4 < 6
|x - 2| < 2

정리했더니 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 작아요.

-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4

(3) 부등호가 어떤 건지는 상관없어요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크거나 같으므로 클 때와 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.

|4x - 2| ≥ 10

4x - 2 ≤ -10
4x ≤ -8
x ≤ -2

4x - 2 ≥ 10
4x ≥ 12
x ≥ 3

따라서 해는 x ≤ -2 or x ≥ 3

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이번에는 일차방정식 중에서 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이에요. 절댓값 기호 안에 일차식이 들어있는 경우죠.

절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 풀어야 해요. 여기서는 절댓값 기호 안이 x에 관한 식이므로 식의 부호뿐 아니라 x의 범위도 구해야 합니다.

그런데 실제로 계산을 할 때는 x의 범위에 대해 고려하지 않아도 돼요. 왜 그런지 알아볼 거예요. 그리고 양변 모두에 절댓값을 포함한 일차식이 있을 때는 어떻게 해야 하는지도 알아보죠.

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이

절댓값 기호 안에 일차방정식이 들어있을 때는 절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 것과 같은 방법으로 절댓값 기호를 없애서 방정식을 풀어요.

1. 절댓값 안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
4. 일차방정식의 해를 구한다.
5. 일차방정식의 해가 ②에서 구한 x의 범위에 맞는지 확인
6. 해가 조건을 만족하는 경우에만 일차방정식의 해

|2x + 4| = 6일 때, 방정식의 해를 구하여라.

절댓값 기호 안의 식 2x + 4가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠보죠.

2x + 4 ≥ 0일 때, 즉 x ≥ -2일 때,
|2x + 4| = 6
2x + 4 = 6
2x = 2
x = 1

x = 1은 x ≥ -2를 만족하므로 |2x + 4| = 6의 해가 될 수 있어요.

2x + 4 < 0일 때, 즉 x < -2일 때
|2x + 4| = 6
-2x - 4 = 6
2x = -10
x = -5

x = - 5는 x < -2를 만족하므로 해가 될 수 있어요.

|2x + 4| = 6의 해는 x = -5, 1 입니다.

사실 이렇게 범위를 나눠서 하는 게 정석이긴 해요. 하지만 어떤 식이 나오고 x의 범위가 어떻게 바뀌든 상관없이 일차방정식을 풀어서 구한 해는 무조건 범위를 만족해요. 그래서 범위를 나눠서 할 필요가 없어요.

|ax + b| = m이라는 식은 ax + b = m 이나 -(ax + b) = m이 되겠죠? 두 번째 식의 양변에 (-1)을 곱하면 ax + b = -m이 돼요.

결론을 말하면 절댓값 기호를 포함한 일차방정식에서는 범위를 나눌 필요 없이 절댓값 기호는 그냥 풀고, 우변의 상수항에 ±을 붙여서 바로 계산하면 된다는 거예요.

|2x + 4| = 6
2x + 4 = ±6

2x + 4 = 6 → x = 1
2x + 4 = -6 → x = -5

조금 더 간단하게 해를 구할 수 있죠?

위에서는 우변에 상수항이었는데, 우변이 또 다른 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이라면 어떻게 될까요? 상관없어요. 좌변은 절댓값 기호를 그냥 풀고, 우변에 ± 기호를 붙여서 절댓값 기호를 풀면 돼요. "x 범위를 나누지 않아도 되는 이유 보기"를 펼친 것과 크게 다르지 않아서, 증명은 생략합니다.

|ax + b| = m (m > 0) → ax + b = ±m
|ax + b| = |cx + d| → ax + b = ±(cx + d)

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) |x + 4| + 3 = 7
(2) |2x + 3| = |x - 6|

(1)번은 먼저 (절댓값 기호를 포함한 일차방정식) = (상수항) 꼴로 바꿔줘야 해요. 그다음 절댓값은 그냥 풀고 상수항에 ±를 붙여주는 거죠.

|x + 4| + 3 = 7
|x + 4| = 4
x + 4 = ±4

x + 4 = 4 → x = 0
x + 4 = -4 → x = -8

(2)번은 좌변은 그냥 절댓값을 푸고, 우변은 ±을 붙여서 절댓값을 풀어요.

|2x + 3| = |x - 6|
2x + 3 = ±(x - 6)

2x + 3 = x - 6 → x = -9
2x + 3 = -(x - 6) → x = 1

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절댓값이 뭔지는 알죠? 절댓값은 거리의 개념이기 때문에 0 또는 양수예요. 음수가 나올 수 없어요.

절댓값 기호가 들어있는 식을 푸는 방법은 절댓값 기호 안의 숫자에 따라 달라지는데, 왜 그런지, 숫자에 따라 어떻게 달라지는 지, 어떻게 풀어야 하는지 알아보죠.

똑같은 식이라도 주어진 조건에 따라 푸는 방법이 달라지니까 주어진 조건이 어떤 것인지도 잘 봐야 해요.

약간 복잡할 수 있는데, 절댓값의 개념만 잘 이해한다면 조금은 쉽게 다가갈 수 있어요.

절댓값

절댓값은 수직선 위에서 어떤 실수 a에 대응하는 점과 원점 사이의 거리예요. 거리니까 0또는 양수고요. 기호로는 |a|라고 써요.

만약에 a > 0이면 |a| = a에요. a = 0이면 |a| = a이죠.
a < 0일 때도 |a| = a일까요? 좌변 |a|은 양수, 우변 a는 음수가 돼서 등식이 성립하지 않아요. 이럴 땐 우변에 -1을 곱해서 |a| = -a가 되어야 해요.

절댓값 기호 사이의 숫자나 문자가 0 또는 양수이면 기호를 그냥 없애주고, 음수이면 기호를 없앤 다음에 -를 붙여줘야 해요.

|a - b|
a - b ≥ 0 → |a - b| = a - b
a - b < 0 → |a - b| = -(a - b)

x < 3일 때 |x - 3| + 3 - x를 간단히 하여라.

x < 3 에서 3을 이항 → x - 3 < 0 → |x - 3| = -(x - 3)

|x - 3| + 3 - x
= -(x - 3) + 3 - x
= -x + 3 + 3 - x
= -2x + 6

x - 5 + |5 - x| 를 간단히 하여라.

이 문제가 위와 다른 이유는 x의 범위가 주어져 있지 않다는 거예요.

절댓값을 풀 때는 범위가 중요한데, 이게 빠져있으니까 우리가 범위를 직접 잡아줘야 해요. 이때 범위는 절댓값 부호 안의 숫자가 0이 되는 숫자를 기준으로 나누면 돼요. 5 - x < 0일 때와 5 - x ≥ 0일 때 두 가지 경우로 나눠서 구해야 하죠.

ⅰ) 5 - x < 0일 때, 즉 x > 5일 때,
5 - x  < 0 → |5 - x| = -(5 - x)
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 - (5 - x)
= 2x - 10

ⅱ) 5 - x ≥ 0일 때, 즉 x ≤ 5일 때,
5 - x ≥ 0 → |5 - x| = 5 - x
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 + 5 - x
= 0

답은 x > 5 일 때는 2x - 10, x ≤ 5일 때는 0 이렇게 둘 다 쓰면 됩니다.

이번에는 절댓값 기호가 두 개 들어있는 식을 계산해보죠.

3 < x < 5일 때, |x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.

3 < x → x - 3 > 0 → |x - 3| = x - 3
x < 5 → x - 5 < 0 → |x - 5| = -(x - 5)
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2

|x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.

이번에도 범위가 없어요. 그래서 범위를 직접 잡아줘야 하는데, 절댓값이 두 개가 있잖아요. 각각에서 두 개씩 총 네 개의 범위가 나오는데, 이걸 수직선에 그려서 확인해보면 세 개가 되는 걸 알 수 있어요.

|x - 3|에서 x - 3 < 0 → x < 3일 때, x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3일 때라는 범위가 생기고
|x - 5|에서 x - 5 < 0 → x < 5일 때, x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5일 때라는 범위가 생겨요.

총 네 개의 범위가 생기는데, 이걸 연립부등식처럼 수직선에 표시해보세요.

겹치는 부분이 생기죠. 3 ≤ x < 5

따라서 x의 범위는 x < 3, 3 ≤ x < 5, 5 ≤ x의 세 가지가 돼요.

ⅰ) x < 3일 때
x - 3 < 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= -(x - 3) - (x - 5)
= -x + 3 - x + 5
= -2x + 8

ⅱ) 3 ≤ x < 5일 때,
x - 3 ≥ 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2

ⅲ) 5 ≤ x일 때
x - 3 > 0, x - 5 ≥ 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 + x - 5
= 2x - 8

절댓값 풀기
절댓값 기호 안이 0이 되는 숫자를 기준으로 잡고, x가 기준보다 크거나 같을 때와 기준보다 작을 때로 나누어 푼다.
|x - a| → x < a, a ≤ x

절댓값이 두 개 있을 때: 절댓값 기호 안이 0이 되는 두 수를 적고, x가 작은 것보다 작을 때, 작은 것과 큰 것 사이, 큰 것보다 클 때의 세 가지 경우로 나눠서 절댓값을 푼다.
|x - a| + |x - b| 일 때, (a, b는 상수, a < b) → x < a, a ≤ x < b, b ≤ x

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두 실수가 있을 때, 크기를 비교하는 방법이에요.

실수의 크기비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해본 적이 있어요. 여기에서 했던 방법에 하나만 더 추가하는 거예요.

두 수의 부호를 이용해서 두 수의 합과 곱, 다른 수와의 합, 차, 곱의 부호를 알 수 있는 성질을 공부할 거예요. 그리고 둘의 크기비교도 해볼거고요. 너무 당연한 성질이라서 읽어보면 왜 그런지 금방 이해할 수 있을 정도로 매우 쉬운 내용이에요.

실수의 대소관계에 대한 기본 성질

실수가 있다면 이 실수는 양수, 0, 음수 중 하나에요. 세 가지가 아닌 실수는 없어요. 실수는 아래와 같은 성질을 가져요.

a는 a > 0, a = 0, a < 0중 하나
a > 0 ⇔ -a < 0
a > 0, b > 0 ⇔ a + b > 0, ab > 0
a² ≥ 0

두 번째는 부등식의 성질에서 공부했던 거죠? 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다. a를 이항했다고 생각해도 되고요.

세 번째, 양수와 양수를 더했으니 결과는 당연히 양수죠. 곱한 것도 물론 양수고요.

네 번째, 양수와 음수는 제곱하면 양수가 되고, 0은 제곱해도 0이니까 어떤 실수든 제곱하면 0보다 크거나 같아요.

이번에는 세 실수에 관한 성질을 알아보죠.

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b, c > 0 ⇔ ac > bc
a > b, c < 0 ⇔ ac < bc

두 번째, 세 번째, 네 번째는 부등식의 성질을 그대로 옮겨놓은 거네요.

a - b < 0, ab < 0일 때, a, b의 부호를 구하여라.

a - b < 0에서 a < b에요. ab < 0이라는 말은 하나는 양수고 하나는 음수라는 얘기죠.

따라서 크기가 큰 b > 0, 크기가 작은 a < 0이에요.

실수의 대소비교

위 성질을 이용해서 실제로 두 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠.

실수의 대소비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해봤어요. 두 수의 차를 이용했었죠?

a - b > 0 ⇔ a > b
a - b = 0 ⇔ a = b
a - b < 0 ⇔ a < b

한 수에서 다른 수를 빼서, 결과의 부호에 따라 두 수의 크기를 비교할 수 있었어요.

제곱근이나 절댓값처럼 양수인 경우에 제곱의 차를 이용해서 크기를 비교해요. 한 개라도 음수면 사용할 수 없어요.

a > 0, b > 0일 때
a² - b² > 0 ⇔ a > b
a² - b² = 0 ⇔ a = b
a² - b² < 0 ⇔ a < b

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 대소관계에서 제곱근 밖의 숫자를 제곱해서 제곱근 안으로 넣어서 크기를 비교했죠? 이번에는 제곱근 안으로 넣지 않고, 그냥 전체를 제곱하는 거예요.

다음 두 수의 크기를 비교하여라.
(1) 4, 2

제곱근이 있긴 한데, 둘 다 양수죠? 이럴 때는 제곱을 구해서 뺀 결과의 부호로 크기 비교를 해요.

4² - (2)²
= 16 - 12
= 4 > 0

제곱의 차가 양수이므로 앞에 있는 4가 더 커요. 4 > 2

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유리수의 사칙연산에 대해서 공부해보죠. 첫 번째 유리수의 덧셈과 뺄셈이에요.

유리수, 유리수의 분류에서 얘기했지만, 유리수 단원은 거의 모든 내용이 정수와 겹쳐요. 유리수의 덧셈과 뺄셈은 정수의 덧셈과 뺄셈과 완전히 같아요. 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.

정수의 덧셈과 덧셈에 대한 교환법칙, 분배법칙, 정수의 뺄셈, 정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산

원리도 같고, 계산 방법도 같으니 간단하게 정리만 하고 넘어가죠.

유리수의 덧셈

정수의 덧셈을 두 가지 경우로 나눴어요. 첫 번째는 부호가 같을 때죠. 부호가 같을 때는 공통부호를 그대로 쓰고, 숫자는 두 수의 절댓값을 더해줬죠. 부호가 다를 때는 절댓값이 큰 수의 부호를 적고, 숫자는 두 수의 절댓값의 차를 적었어요.

유리수에서도 똑같아요. 다만 유리수는 분수가 나오는 경우가 많으므로 통분을 해야 절댓값의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 계산하여라.

분수가 나왔으니까 통분해야 돼요. 그리고 부호가 같으면 공통부호에 절댓값의 합, 부호가 다르면 절댓값이 큰 수의 부호에 절댓값의 차를 적는 거지요.

유리수의 덧셈에서도 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙이 성립해요. 유리수의 뺄셈에서는 둘 다 성립하지 않고요.

유리수의 뺄셈

정수의 뺄셈에서는 뺄셈을 덧셈으로 바꿨죠? (-)를 (+) 바꾸고 (-) 바로 뒤에 있는 정수의 부호를 반대로 바꿔줬었어요.

유리수의 뺄셈도 마찬가지예요. 같은 방법으로 유리수의 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어 유리수의 덧셈을 계산하는 거지요.

다음을 계산하여라.

유리수의 뺄셈에서 첫 번째는 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 그다음 위에서 했던 덧셈의 방법 그대로 계산하는 겁니다.

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수직선, 절댓값 이런 용어는 정수의 절댓값과 수직선에서 공부한 것들이죠. 유리수에서의 절댓값과 수직선도 정수에서 같은 특징이 있어요. 유리수의 대소관계도 정수의 대소관계와 똑같아요.

절댓값과 수직선, 절댓값의 성질, 정수의 대소관계

이 글에서 배울 내용은 모두 정수에서 했던 내용과 완전히 같아요. 단지 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.

거저먹는 거라고 할 수 있는 내용이죠. 정수에서 공부했던 내용을 복습한다 생각하면 될 것 같네요.

수직선과 절댓값

수직선

수직선은 직선을 긋고 직선 위의 점들과 숫자를 대응시킨 걸 말해요. 수직선에 0을 찍고 그 오른쪽에는 양의 유리수를, 왼쪽에는 음의 유리수를 적는 거지요. 정수에서의 수직선과 다른 점은 정수뿐 아니라 정수 아닌 유리수도 있다는 것 정도예요. 이나 , 1.5, -3.2 같은 수들도 수직선 위에 나타낼 수 있는 거죠.

절댓값

절댓값은 수직선 위의 점들이 원점으로부터 거리가 얼마나 떨어져 있느냐를 말해요. 절댓값은 | |를 써서 나타내는데, 유리수에서 부호 떼고 숫자만 적으면 됩니다.

, |1.5| = 1.5 , |-3.2| = 3.2

절댓값은 거리므로 양의 유리수에요. 그런데 0의 절댓값은 0이죠. 따라서 유리수의 절댓값은 0보다 크거나 같아요. 또 원점에서 멀어질수록 거리가 멀어지니까 절댓값도 커지죠. 절댓값이 같은 수는 양의 유리수, 음의 유리수 2개가 있어요.

유리수의 크기 비교, 유리수의 대소관계

숫자는 기본적으로 수직선에서 오른쪽에 있을수록 더 커요. 이게 제일 중요합니다.

유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있어요. 일단 숫자의 크기를 비교할 필요없이 부호만 보면 음의 유리수 < 0 < 양의 유리수에요.

부호가 같을 때는 절댓값의 크기를 비교해야 해요. 양의 유리수는 절댓값이 크면 더 크고, 음의 유리수는 절댓값이 더 크면 작아요.

유리수의 대소관계
음의 유리수 < 0 < 양의 유리수
양의 유리수는 절댓값이 클수록 크다.
음의 유리수는 절댓값이 작을수록 크다

다만 절댓값이 분수일 때가 있어요. 분수는 크기비교를 할 때 분모를 통분해서 비교하죠? 아니면 소수로 바꿔서 비교해도 되고요. 숫자에 맞게 편한 방법을 골라서 비교하세요.

다음 유리수를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.

음의 유리수 < 0 < 양의 유리수 순이에요.
음의 유리수는 -0.7, 이 있네요.

양의 유리수는 가 있고요.

 = -0.75이므로 -0.7보다 절댓값이 커요. 음의 유리수에서는 절댓값이 크면 작으므로  < -0.7이 되네요.

가 있는데, 이 둘은 통분해서 크기를 비교해보죠. 네요.

정리해보면,

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정수의 사칙연산 세 번째, 정수의 곱셈이에요.

정수의 곱셈과 정수의 덧셈 둘 다 부호가 같은 두 정수와 부호가 다른 두 정수를 계산할 때의 방법이 달라서 둘을 헷갈릴 수 있어요.

정수의 덧셈과 곱셈은 두 가지 경우로 나누는 것 같지만 각 경우에서 결과의 부호 붙이는 방법이 다르니까 잘 보세요. 부호가 같은 두 정수를 더하면 공통부호에 절댓값의 합을, 부호가 다른 두 정수를 더하면 절댓값이 큰 정수의 부호에 절댓값의 차를 넣었다는 걸 기억하고 있죠?

정수의 곱셈에서도 정수의 덧셈에서 성립했던 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지도 알아볼 거예요.

정수의 곱셈

정수의 덧셈, 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙에서 계산하려는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 했죠? 정수의 곱셈에서도 부호가 같을 때와 다를 때 두 가지 경우로 나눠서 설명할게요.

부호가 같은 두 정수의 곱셈

부호가 같은 두 정수를 곱하면 곱한 결과는 (+)에요. 양의 정수죠.

7 × 4 = 28의 양변을 양의 정수로 써보면
(+7) × (+4) = (+28)이 돼요. 양의 정수 두 개를 곱하면 결과도 양의 정수가 나오는 거죠. 부호는 (+), 숫자는 절댓값의 곱이에요.

(-7) × (-4)는 얼마일까요? 두 양의 정수를 곱할 때와 마찬가지로 두 음의 정수를 곱하면 양의 정수가 돼요. 절댓값의 곱이죠. 그래서 (-7) × (-4) = (+28)이에요.

부호가 다른 두 정수의 곱

부호가 다른 두 정수를 곱하면 무조건 결과는 음의 정수예요. 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호를 붙여요.

(-7) × (+4)는 두 정수의 부호가 다르니까 (-)고, 절댓값의 곱이 28이라서, (-7) × (+4) = (-28)이에요.

(+7) × (-4)도 두 정수의 절댓값의 곱 28에 두 정수의 부호가 다르니까 (-)를 붙여서 (+7) × (-4) = (-28)이 돼요.

정수의 곱은 두 정수의 부호가 같으냐 다르냐에 따라 결과의 부호가 달라지긴 하지만 어찌 됐던지 간에 절댓값은 곱해요.

부호가 같은 두 정수를 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (+) 부호
(+) × (+) = (+), (-) × (-) = (+)
 
부호가 다른 두 정수의 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호
(+) × (-) = (-), (-) × (+) = (-)

다음을 계산하여라.
(1) (+4) × (-2)       (2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

곱하는 두 정수의 부호가 같으면 결과는 (+), 두 정수의 부호가 다르면 (-)에요. 숫자는 무조건 절댓값의 곱이고요.

(1)은 두 정수의 부호가 다르니까 (-)겠네요. (+4) × (-2) = (-8)

(2)는 식이 조금 긴데요, 앞에서부터 차례대로 두 개씩 곱해보죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4) = (+6) × (-2) × (+4) = (-12) × (+4) = (-48)

거듭제곱, 여러 정수의 곱

거듭제곱

거듭제곱은 같은 수나 문자가 여러 번 곱해져 있는 걸 말해요. (+1)의 거듭제곱을 볼까요?

(+1)¹ = (+1)
(+1)² = (+1) × (+1) = (+1)
(+1)³ = (+1)² × (+1) = (+1)
(+1)⁴ = (+1)³ × (+1) = (+1)
(+1)⁵ = (+1)⁴ × (+1) = (+1)

(+1)의 거듭제곱에는 모두 양의 정수만 있어요. 음의 정수가 하나도 없지요. 그랬더니 결과가 (+)가 됐네요. 다음에는 (-1)의 거듭제곱을 보죠.

(-1)¹ = (-1)
(-1)² = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)³ = (-1)² × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)
(-1)⁴ = (-1)³ × (-1) = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)⁵ = (-1)⁴ × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)

어떤 특징이 있죠? 지수가 1, 3, 5면 결과가 (-1)이 나오고, 지수가 2, 4면 결과가 (+1)이 나와요. 이걸 좀 확장해서 지수가 홀수면 (-), 지수가 짝수면 (+)가 나온다고 말할 수 있죠.

여러 정수의 곱

(-1) × (-2) × (-3)을 구해보죠.
= (+2) × (-3)
= (-6)

(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 는
= (+2) × (-3) × (-4)
= (-6) × (-4)
= (+24)

두 계산에서 어떤 특징이 있냐면 음의 정수를 홀수개 곱하면 결과가 (-)가 되고, 짝수개 곱하면 결과가 (+)가 된다는 거예요.

(+1)의 거듭제곱은 양의 정수가 나왔죠? 음의 정수 없이 양의 정수만 곱하면 결과가 (+)가 돼요.

음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 홀수면 홀수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (-), 음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 짝수면 짝수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (+)가 돼요. 위 세 가지를 하나로 합쳐보죠.

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 홀수 → 결과는 (-)
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 0 또는 짝수 → 결과는 (+)

다음을 계산하여라.
(1) (-2)³ × (-3)²
(2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서 음의 정수의 개수가 홀수개면 결과는 (-), 0개 또는 짝수개면 (+)에요.

(1)에서 음수 (-2)의 지수가 홀수인 3이므로 결과는 (-)겠네요. 그리고 음수 (-3)의 지수는 짝수인 2니까 결과는 (+)고요.
(-2)³ × (-3)²
= (-8) × (+9) = (-72)

(2)에는 음의 정수가 1개에요. 홀수개니까 결과는 (-)에요. 그리고 나머지 숫자들의 절댓값을 다 곱해주면 되죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4)
= -(3 × 2 × 2 × 4) = (-48)

곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

정수의 덧셈에서는 교환법칙, 결합법칙이 성립하지만, 정수의 뺄셈에서는 성립하지 않는다고 했어요. 그럼 정수의 곱셈에서는 두 법칙이 성립할까요?

교환법칙은 연산기호 좌우에 있는 정수의 자리를 바꿔서 계산해도 결과가 같다는 걸 보이면 돼요. 또 결합법칙은 괄호의 위치를 바꿔가며 계산한 결과가 같다는 것을 보이면 되고요.

(-7) × (-4) = (+28)이에요.
(-4) × (-7) = (+28)로 × 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 결과가 같죠? 따라서 곱셈에서도 교환법칙이 성립해요.

{(-7) × (-4)} × (+2) = (+28) × (+2) = (+56)이고,
(-7) × {(-4) × (+2)} = (-7) × (-8) = (+56)으로 괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 두 식의 값이 같죠. 결합법칙도 성립해요.

정수의 곱셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립
a × b = b × a
(a × b) × c = a × (b × c)

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정수의 덧셈에 이어 정수의 뺄셈입니다.

정수의 뺄셈은 정수의 덧셈을 응용할 거예요. 따라서 정수의 덧셈을 할 줄 알아야 해요.

부호가 같은 정수를 더할 때는 부호는 그대로 두고 두 수의 절댓값만 더했어요. 부호가 다른 정수를 더할 때는 절댓값이 더 큰 정수를 부호에 절댓값의 차를 쓰면 됐었죠.

정수의 뺄셈을 할 때, 정수의 덧셈을 이용하지 않고 바로 암산을 할 만큼 익숙해질 수 있도록 연습해보세요.

정수의 뺄셈

정수의 뺄셈에서 가장 중요한 건 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 정수의 덧셈은 할 수 있잖아요.

7 - 3 = 4에요. 자연수니까 정수로 바꿔보면 (+7) - (+3) = (+4) 가 돼요. 정수의 뺄셈식이 됐네요. 정수의 뺄셈도 정수의 덧셈처럼 부호는 그대로 쓰고, 절댓값만 빼면 될 것 같지요? 그건 아니에요. 아래 내용을 잘 보세요.

(+7) + (-3) 은 얼마인가요? 정수의 덧셈에 따라서 계산하면 절댓값이 (+7)이 크니까 부호는 +, 절댓값의 차는 4니까 답은 (+4)예요.

(+7) - (+3) = (+4)
(+7) + (-3) = (+4)

두 식은 다르지만, 결과는 둘 다 (+4)예요.

어떤 차이가 있는지 보세요. (+7)은 그대로예요. 가운데 (-)가 (+)로 바뀌고, (+3)이 (-3)으로 바뀌었어요.

식의 모양을 이렇게 바꿔도 계산한 결과가 같아요. 그러니까 다음부터는 이렇게 식의 모양을 바꿔서 계산하면 되는 거예요.

정수의 뺄셈: 뺄셈을 덧셈으로 바꿔서 계산
(-)를 (+)로 바꾸고
(-) 바로 뒤의 정수의 부호를 반대로
나머지는 모두 그대로
정수의 덧셈을 계산

연습 하나 더 해 보죠.

(-7) - (-4)에서 가운데 (-)를 (+)로 바꿔요. 그리고 (-) 바로 뒤의 (-4)의 부호를 바꾸면 (+4)가 되지요. 그래서 식은 (-7) + (+4)가 돼요.

다음을 계산하여라.
(1) (+2) - (+3)
(2) (-4) - (-3)

정수의 뺄셈은 (-)를 (+)로 바꾸고, (-) 부호 바로 뒤의 부호도 반대로 바꿔서 정수의 덧셈으로 만들어 계산해요.

(1) (+2) - (+3) = (+2) + (-3) = -1
(2) (-4) - (-3) = (-4) + (+3) = -1

정수의 뺄셈에도 교환법칙이 성립할까?

정수의 덧셈에서는 교환법칙, 결합법칙이 성립했어요. 뺄셈에서도 성립할까요?

법칙은 모든 경우에 다 성립해야 해요. 단 1개라도 성립하지 않는다면 그건 법칙이라고 할 수 없어요.

교환법칙은 연산부호 양쪽의 수의 자리를 바꿔서 계산해도 결과가 같잖아요. 실제 자리를 바꿔서 계산해서 결과가 같은지 볼까요?

(+7) - (+2) = (+7) + (-2) = (+5)에요. 두 정수의 자리를 바꿔보죠.
(+2) - (+7) = (+2) + (-7) = (-5)네요.

자리를 바꿔서 계산했더니 결과가 달라졌어요. 따라서 정수의 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.

{(+7) - (+2)} - (+1) = {(+7) + (-2)} - (+1) = (+5) - (+1) = (+5) + (-1) = (+4)

(+7) - {(+2) - (+1)} = (+7) - {(+2) + (-1)} = (+7) - (+1) = (+7) + (-1) = (+6)

두 식의 결과가 다르죠? 역시 결합법칙도 성립하지 않아요.

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정수의 뺄셈에서는 성립하지 않는다.

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숫자를 처음 배우고 난 다음에 하는 거 뭔가요? 덧셈, 뺄셈이죠? 자연수, 분수, 소수를 처음 배웠을 때 그렇게 했잖아요.

이제 정수를 공부했으니까 정수의 덧셈, 정수의 뺄셈을 배워봐야겠죠? 첫 번째로 정수의 덧셈입니다.

정수의 덧셈의 기본 원리는 수직선을 이용하면 이해하기 쉬워요. 그렇다고 계산할 때마다 수직선을 긋는 건 어렵겠죠. 그래서 실제 계산에서는 절댓값을 이용해요. 정수의 덧셈에서 절댓값을 어떻게 이용하는지 공부해보죠.

또, 정수의 덧셈에는 특이한 법칙이 두 개 있어요. 교환법칙과 결합법칙이라고 하는데, 이게 뭔지도 알아보고요.

정수의 덧셈

먼저 정수는 부호와 함께 쓰니까 +, - 등의 연산기호와 헷갈릴 수 있어요. 그래서 정수는 (+3), (-2), (+10)처럼 괄호를 써요.

정수의 덧셈을 더하는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 살펴봐요.

정수의 부호가 같을 때

양의 정수끼리 더하고, 음의 정수끼리 더하는 경우예요.

2 + 3 = 5 에요. 자연수의 덧셈인데, 자연수는 양의 정수니까 이 식은 (+2) + (+3) = (+5)라고 쓸 수 있겠죠? 부호가 같은 양의 정수의 덧셈은 자연수의 덧셈과 같아요. 그냥 절댓값만 더해주면 돼요. 그리고 양의 정수니까 (+) 기호를 붙여주는 거죠.

수직선에서 오른쪽으로 이동하면 (+)고, 왼쪽으로 이동하면 (-)에요. 오른쪽으로 다섯 칸 이동하면 (+5), 왼쪽으로 다섯 칸 이동하면 (-5)죠.

(+2) + (+3)을 수직선에서 표현하면 아래 그림처럼 돼요. 마지막 화살표가 (+5) 위에 있죠? 위에서 계산한 결과와 같네요.

음의 정수끼리 더하는 것도 양의 정수끼리 더하는 것과 같아요. 두 수를 더하고 부호만 붙여주는 거죠.

(-3) + (-2)에서 부호는 (-)고 절댓값은 2와 3이에요. 두 수의 절댓값을 더하고 앞에 부호만 붙여주는 거니까 (-3) + (-2) = (-5)가 돼요.

수직선을 한 번 보세요. 0에서 왼쪽으로 세 칸 가고, 다시 왼쪽으로 두 칸 간 건 (-3) + (-2) 한 것과 같아요. (-5) 위에 있죠? 식으로 구한 것과 같아요.

정수의 부호가 다를 때

이제는 양의 정수와 음의 정수를 더할 때에요.

(+3) + (-2)를 보죠. 아래 수직선을 보세요.

(+3)은 오른쪽을 세 칸, (-2)는 왼쪽으로 두 칸이에요. 그랬더니 (+1)이 나왔어요.

(+2) + (-3)는 오른쪽으로 두 칸, 왼쪽으로 세 칸이죠? (-1)이 나왔네요.

부호가 다른 두 정수의 덧셈에서 부호는 절댓값이 더 큰 정수의 부호를 따르고 숫자는 두 정수의 절댓값의 차를 써요. (+3) + (-2)에서는 (+3)의 절댓값이 크니까 부호는 (+), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (+1)이라는 결과가 나오는 거예요.

(+2) + (-3)에서는 (-3)의 절댓값이 크니까 부호는 (-), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (-1)이에요.

부호가 같은 정수의 덧셈: 절댓값을 더해주고 부호는 그대로
부호가 다른 정수의 덧셈: 절댓값의 차에 절댓값이 큰 정수의 부호

다음을 계산하여라.
(1) (+4) + (+2)       (2) (-2) + (-3)
(3) (-3) + (+6)       (4) (+4) + (-8)

(1)번 (+4) + (+2)는 부호가 같은 두 정수의 덧셈이니까 부호는 그대로 쓰고, 절댓값만 더해주면 돼요. (+4) + (+2) = (+6)

(2)번 (-2) + (-3)도 부호가 같으므로 공통 부호인 (-)를 그대로 쓰고, 절댓값의 합은 5이므로 (-2) + (-3) = (-5)

(3)번 (-3) + (+6)는 부호가 다른 정수의 덧셈이네요. 부호가 다를 때는 부호는 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따르고, 절댓값의 차를 쓰죠. 절댓값이 (+6)이 더 크니까 부호는 (+)에요. 절댓값의 차가 3이니까 결과는 (-3) + (+6) = (+3)이 되죠.

(4)번 (+4) + (-8)에서 절댓값이 (-8)이 더 크니까 부호는 (-)에요. 절댓값의 차는 4니까 (-4) + (-8) = (-4)가 되는군요.

덧셈의 연산법칙

먼저 교환법칙이에요. 교환이라는 말은 바꾸는 거잖아요. 교환법칙에서는 정수의 자리를 바꿔요. (+4) + (+2)에서 두 정수의 자리를 바꿔서 (+2) + (+4)처럼 쓰는 거죠. 4 + 2와 2 + 4는 둘 다 6으로 서로 같죠? 그러니까 (+4) + (+2) = (+2) + (+4)도 되는 거예요. 덧셈에서는 더하는 두 수의 자리를 바꿔도 계산한 결과가 같다는 게 교환법칙이에요.

결합법칙에서 결합은 괄호로 묶는 거예요. 괄호로 묶인 곳을 먼저 계산하는 건 알고 있죠?

2 + 3 + 4를 보세요. 앞의 두 수를 먼저 계산하나, 뒤의 두 수를 먼저 계산하다 값이 같아요.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

정수로 바꿔볼게요.
{(+2) + (+3)} + (+4) = (+2) + {(+3) + (+4)}로 쓸 수 있어요.

괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 결과가 같다는 거지요. 괄호를 치는 이유는 계산을 먼저 하라는 뜻이니까 어떤 걸 먼저 계산하든지 결과가 같다는 얘기예요.

뺄셈에서는 두 법칙이 성립하지 않아요. 이유는 정수의 뺄셈을 공부한 후에 알아보죠.

덧셈에 대한 연산법칙
덧셈일 때만 가능. 뺄셈에서는 안 됨.
계산 순서에 상관없이 결과가 같다.
1. 덧셈에 대한 교환법칙: (+) 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 계산 결과가 같음. a + b = b + a
2. 덧셈에 대한 결합법칙: 어느 것이나 두 개씩 묶어서 계산해도 결과가 같음. (a + b) + c = a + (b + c)

다음 보기 중 잘못된 것을 고르시오.
(1) (+3) + (-1) = (-1) + (+3)
(2) {(+3) + (-1)} + (+2) = (+3) + {(-1) + (+2)}
(3) (+2) + (-1) - (-3) = (+2) + (-3) - (-1)
(4) {(+3) + (-2)} + {(-2) - (-3)} = {(-2) - (-3)} + {(+3) + (-2)}

교환법칙과 결합법칙이 제대로 적용되었는지 찾아보는 문제에요.

(1)은 (+) 기호 양쪽에 있는 두 정수의 자리를 바꿨으므로 교환법칙에 의해 결과가 같고요.
(2)는 앞의 두 정수를 괄호를 묶었고, 뒤 두 개의 정수를 괄호로 다시 묶은 결합법칙이라서 결과가 같고요.
(3)은 뒤에 있는 두 정수의 자리를 바꿨는데, 가운데 기호가 (-)에요. 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않아서 틀렸어요.
(4)는 중괄호로 묶여 있는 두 정수를 한 덩어리로 봐야죠. 그래서 (+) 부호 양쪽에 있는 중괄호로 묶인 두 정수들의 자리를 바꿨으니까 교환법칙에 의해 결과가 같아요.
(3)번이 틀렸네요.

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정수라는 새로운 수를 배웠어요.

이 글에서는 이 정수의 크기비교를 할 거예요. 서로 다른 두 정수가 있을 때, 누가 더 크고 작은지 말이죠.

정수의 대소관계에서는 절댓값과 수직선을 이용해요. 그러니까 절댓값이 뭔지 수직선이 어떻게 생겼는지 알고 있어야겠죠?

정수의 크기 비교 중 음의 정수 크기 비교가 조금 더 어려우니까 여기에 주의해서 보세요.

정수의 대소관계

세 자연수 1, 2, 3중에 어느 게 제일 큰가요? 당연히 3이 제일 크고, 그다음이 2고, 1이 제일 작죠? 자연수는 양의 정수니까 1, 2, 3을 수직선에 표시해보면 0을 기준으로 해서 바로 옆에 1, 그 옆에 2, 3이 있어요.

수직선에서 오른쪽에 있을수록 더 크죠? 정수의 대소관계를 비교할 때 핵심이에요. 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크다.

수직선에는 왼쪽부터 음의 정수, 0, 양의 정수(자연수)의 순서대로 되어있어요. 따라서 양의 정수가 제일 크고, 그다음 0이고, 음의 정수는 가장 작아요.

-10과 +10중에서 +10은 양의 정수, -10은 음의 정수니까 +10이 -10보다 더 큰 거예요.

양의 정수와 음의 정수에서는 숫자는 상관없어요. 무조건 양의 정수가 음의 정수보다 커요.

그러면 양의 정수끼리의 크기는 어떨까요? 자연수의 크기비교는 숫자가 큰 게 더 커요. 다 알고 있는 거죠.

음의 정수의 크기 비교

중요한 건 음의 정수끼리 크기비교에요. 이게 상당히 어렵습니다. 잘 보세요.

-2와 -1은 어떤 게 클까요? 잘 모르겠으면 수직선을 생각해보세요. -2와 -1중 어떤 게 더 오른쪽에 있죠? -1이 더 오른쪽에 있어요. 따라서 -1이 -2보다 더 커요. -2와 -3도 생각해보죠. 수직선에서 -2가 -3보다 더 오른쪽에 있으니까 -2가 더 커요.

양의 정수에서는 (+)부호를 빼고 남은 숫자가 크면 더 큰 수였는데, 음의 정수에서는 (-)부호를 빼고 남은 숫자가 작은 수가 더 커요. 부호를 빼고 남은 숫자가 바로 절댓값이잖아요. 그래서 음의 정수에서는 절댓값이 작은 수가 더 크다고 해요.

-1, -2, -3중에서 절댓값이 가장 작은 -1이 제일 크고, 그다음 -2죠. -3이 절댓값이 3으로 제일 큰데 숫자는 제일 작아요.

한 번 더 해보죠. -10과 -100중 어느 게 더 클까요? 둘 다 음의 정수죠. 음의 정수에서는 절댓값이 작은 수가 더 커요. 따라서 절댓값이 더 작은 -10이 -100보다 더 큽니다.

정수의 대소비교
음의 정수, 0, 양의 정수 순
양의 정수는 절댓값이 클수록 크다.
음의 정수는 절댓값이 작을수록 크다.

다음 정수들을 크기가 작은 것부터 순서대로 나열하여라.
-5, +6, 3, 0, -4, -2, +2

일단 양의 정수가 제일 크고, 0, 음의 정수 순서에요. 양의 정수는 +6, 3, +2가 있고, 음의 정수는 -5, -4, -2가 있네요.

양의 정수는 절댓값이 크면 크니까 +6, 3, +2의 순서가 되겠네요. 0은 그다음이고요. 음의 정수에서는 절댓값이 작을수록 크니까 -2가 제일 크고, -4, -5의 순서가 되겠군요.

문제에서는 작은 것부터 순서대로 나열하라고 했으니까 -5, -4, -2, 0, +2, 3, +6으로 써야겠네요.

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수직선에 대해서 공부할 거예요. 수직선은 수를 배울 때 아주 유용한 방법이에요. 수를 설명할 때는 빠지지 않는 방법이죠

절댓값이라는 것도 공부할 건데요. 이 절댓값은 단어만 봐서는 무슨 뜻인지 언뜻 생각나지 않아요. 절대 반지? 뭐 이런 건가 싶기도 하지요. 의미는 이해하기가 조금 어려울지, 모르지만 그 값을 구하는 건 아주 쉬워요.

절댓값의 성질은 크게 중요한 건 아니라서 공식처럼 달달 외우고 할 필요는 없지만, 모르면 또 안 돼는 거에요. 그냥 이런 거구나 하면서 이해하고 넘어가면 될 거예요.

수직선

직선이 뭔 줄 알죠? 그냥 반듯한 선이에요. 더 자세한 건 2학기에 공부할 거니까 이 정도만 알고 있으면 돼요. (기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분) 직선에 점을 찍어서 숫자와 대응시킨 선을 수직선이라고 해요.

수직선에 숫자를 막 대응시키는 건 아니에요. 직선의 가운데 한 점을 찍는데, 그 점을 0으로 놓고 원점이라고 불러요. 원점의 오른쪽에는 양의 정수를, 왼쪽에는 음의 정수를 적는 거예요. 양수와 음수는 서로 반대의 의미를 지니는 수에요. 0의 오른쪽에 양수를 적었으니까 왼쪽에는 반대의 의미를 지닌 음수를 적는 거죠.

원점 바로 오른쪽에는 +1, 그 옆으로 +2, +3, +4, +5, … 가 적혀있죠? 원점 왼쪽으로는 -1, -2, -3, -4, -5, … 순서로 되어 있고요. 원점에서 멀어질수록 숫자가 커져요.

절댓값과 절댓값의 성질

절댓값

수직선에 원점을 기준으로 해서 얼마나 떨어져 있는지를 절댓값이라고 해요. 원점으로부터의 거리를 말하죠. 수학에는 기호가 중요하죠. 절댓값을 나타내는 기호는 | |에요. 세로 작대기 두 개를 긋고 그 사이에 숫자를 쓰는 거예요. |+4|, |-4|처럼요. 읽을 때는 절댓값 +4, 절댓값 -4 이렇게 읽으면 돼요.

정리해보면, 원점에서 +4까지의 거리 = +4의 절댓값 = |+4| 가 되는 거죠.

원점에서 a까지의 거리 = a의 절댓값 = |a|
절댓값 구하는 법: 부호 떼고 숫자만

+4는 원에서 오른쪽으로 4칸 떨어져 있죠? 4칸이니까 |+4| = 4에요.

-4는 원점에서 왼쪽으로 4칸 떨어져 있어요. 그런데 거리라는 건 음수가 없어요. -4칸 이런 건 없거든요. 원점에서 -4까지의 거리도 4칸이니까 |-4| = 4에요.

결국, 원점에서 +4까지의 거리와 원점에서 -4까지의 거리가 같다는 거잖아요. |+4| = |-4| = 4

하나는 양의 정수, 하나는 음의 정수인데 절댓값이 같아요. 수의 부호가 달라도 숫자가 같으면 절댓값이 같은 거죠.

절댓값을 구하는 건 아주 간단해요. | | 사이에 뭐가 들어있든지 부호를 떼고 숫자만 쓰면 돼요.
|+50|은 부호 (+)를 떼고 숫자 50만 쓰는 거지요. |+50| = 50.
|-100|도 부호 (-)를 떼고 숫자 100만 쓰면 돼요. |-100| = 100.

절댓값의 성질

• 절댓값은 원점(0)을 기준으로 해요. 0의 절댓값은 0에서 0까지의 거리니까 0이에요. |0| = 0, 그리고 이 0은 절댓값이 가장 작은 수에요.
• 절댓값은 거리의 개념이니까 항상 양수예요. 그리고 0의 절댓값이 0이니까 0도 나올 수 있지요. 절댓값은 음수로는 나오지 않아요.
• 원점에서 멀리 떨어질수록 절댓값이 커요 +3의 절댓값은 3이죠. +4의 절댓값은 4에요. +4가 더 크죠. -3의 절댓값은 3, -4의 절댓값은 4에요. -4가 더 크잖아요.
  수직선에서는 원점에서 멀어질수록 숫자가 커지죠? 절댓값은 부호 떼고 숫자만 생각하는 거라고 했잖아요. 원점에서 멀어질수록 숫자가 커지니까 절댓값도 커지는 거예요.
• 절댓값이 같은 수가 두 개 있어요. +4와 -4의 절댓값이 모두 4였죠. 이걸 거꾸로 생각하면 절댓값이 4인 수는 +4와 -4 두 개잖아요. 다른 수들도 마찬가지예요. 수직선에서 원점에서 같은 거리에 있는 수는 오른쪽으로 하나, 왼쪽으로 하나씩 있잖아요.

다음 보기의 수를 절댓값이 가장 작은 것부터 큰 순서로 나열하여라.
-2, +3, -5, 0, 4, +8

절댓값을 구하라고 했으니까 절댓값 기호로 표시해볼까요? |-2|, |+3|, |-5|, |0|, |4|, |+8|

부호를 빼고 숫자만 써보죠.
|-2| = 2
|+3| = 3
|-5| = 5
|0| = 0
|4| = |+4| = 4  (|4|에서 4는 +4이므로)
|+8| = 8

절댓값을 구했으니까 순서대로 써보면, 0, -2, +3, 4, -5, 8

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