이번에는 일차방정식 중에서 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이에요. 절댓값 기호 안에 일차식이 들어있는 경우죠.
절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 풀어야 해요. 여기서는 절댓값 기호 안이 x에 관한 식이므로 식의 부호뿐 아니라 x의 범위도 구해야 합니다.
그런데 실제로 계산을 할 때는 x의 범위에 대해 고려하지 않아도 돼요. 왜 그런지 알아볼 거예요. 그리고 양변 모두에 절댓값을 포함한 일차식이 있을 때는 어떻게 해야 하는지도 알아보죠.
절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이
절댓값 기호 안에 일차방정식이 들어있을 때는 절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 것과 같은 방법으로 절댓값 기호를 없애서 방정식을 풀어요.
- 절댓값 안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
- ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
- 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
- 일차방정식의 해를 구한다.
- 일차방정식의 해가 ②에서 구한 x의 범위에 맞는지 확인
- 해가 조건을 만족하는 경우에만 일차방정식의 해
|2x + 4| = 6일 때, 방정식의 해를 구하여라.
절댓값 기호 안의 식 2x + 4가 0보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠보죠.
2x + 4 ≥ 0일 때, 즉 x ≥ -2일 때,
|2x + 4| = 6
2x + 4 = 6
2x = 2
x = 1
x = 1은 x ≥ -2를 만족하므로 |2x + 4| = 6의 해가 될 수 있어요.
2x + 4 < 0일 때, 즉 x < -2일 때
|2x + 4| = 6
-2x - 4 = 6
2x = -10
x = -5
x = - 5는 x < -2를 만족하므로 해가 될 수 있어요.
|2x + 4| = 6의 해는 x = -5, 1 입니다.
사실 이렇게 범위를 나눠서 하는 게 정석이긴 해요. 하지만 어떤 식이 나오고 x의 범위가 어떻게 바뀌든 상관없이 일차방정식을 풀어서 구한 해는 무조건 범위를 만족해요. 그래서 범위를 나눠서 할 필요가 없어요.
-
|ax + b| = m이라는 식은 ax + b = m 이나 -(ax + b) = m이 되겠죠? 두 번째 식의 양변에 (-1)을 곱하면 ax + b = -m이 돼요.
결론을 말하면 절댓값 기호를 포함한 일차방정식에서는 범위를 나눌 필요 없이 절댓값 기호는 그냥 풀고, 우변의 상수항에 ±을 붙여서 바로 계산하면 된다는 거예요.
|2x + 4| = 6
2x + 4 = ±6
2x + 4 = 6 → x = 1
2x + 4 = -6 → x = -5
조금 더 간단하게 해를 구할 수 있죠?
위에서는 우변에 상수항이었는데, 우변이 또 다른 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이라면 어떻게 될까요? 상관없어요. 좌변은 절댓값 기호를 그냥 풀고, 우변에 ± 기호를 붙여서 절댓값 기호를 풀면 돼요. "x 범위를 나누지 않아도 되는 이유 보기"를 펼친 것과 크게 다르지 않아서, 증명은 생략합니다.
|ax + b| = m (m > 0) → ax + b = ±m
|ax + b| = |cx + d| → ax + b = ±(cx + d)
다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) |x + 4| + 3 = 7
(2) |2x + 3| = |x - 6|
(1)번은 먼저 (절댓값 기호를 포함한 일차방정식) = (상수항) 꼴로 바꿔줘야 해요. 그다음 절댓값은 그냥 풀고 상수항에 ±를 붙여주는 거죠.
|x + 4| + 3 = 7
|x + 4| = 4
x + 4 = ±4
x + 4 = 4 → x = 0
x + 4 = -4 → x = -8
(2)번은 좌변은 그냥 절댓값을 푸고, 우변은 ±을 붙여서 절댓값을 풀어요.
|2x + 3| = |x - 6|
2x + 3 = ±(x - 6)
2x + 3 = x - 6 → x = -9
2x + 3 = -(x - 6) → x = 1
함께 보면 좋은 글
절댓값과 절댓값의 성질
절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2
절댓값 기호가 포함된 식의 그래프
비밀댓글입니다
ax + b = m을 정리하면, x = m/a - b/a 가 나와요.
lax+bl=m에서 왜 m이 0보다 커야하죠?
좌변이 절댓값이잖아요.
첫 번째 파란 네모박스 문제 풀이에
마지막 결론에서
ㅣ 2x + 4 ㅣ = 6 의 해는
x = 1 , -5 인데
x = -2 , 1 입니다. 라고 써있어여.
ㅎㅎ -5는 범위를 나눌 때 쓴 숫자인데, 답에 또 써버렸네요.
비밀댓글입니다
정석대로 하자면 절댓값 기호 안이 양수일 때와 음수일 때를 나눠야 하는데 좌우변에 절댓값이 있으니까 네 개의 경우가 될테고요.
a-c의 부호에 따라서 또 달라지니까 x2해서 총 8가지 경우가 생기겠네요.
lx-1l = 2x+4
위 식에서 x값은 오직 -1 뿐이고, 이유는 0을 기준으로 x범위를 생각했을 때 -5는 범위에 들어가지 않는다고...
대체 0을 기준으로 절댓값 기호를 푸는 이유가 뭘까요 수학방님??
절댓값은 "거리"를 나타내니까 무조건 0 또는 양수여야 해요.
수직선과 절댓값(http://mathbang.net/211)을 참고하세요.
0 또는 양수여야 하니까 0보다 크거나 같으면 그냥 풀고, 0보다 작으면 (-)를 붙여서 양수로 만들어주는 거죠.
비밀댓글입니다
정석대로 하자만 그게 맞죠.
하지만 본문에 "x 범위를 나누지 않아도 되는 이유 보기"와 비슷한 방법으로 증명하면 양쪽 모두에 절댓값 기호가 있을 때 굳이 범위를 나누지 않아도 된다는 걸 알 수 있어요. 범위를 나눠서 구한 해와 본문의 방법대로 구한 해가 똑같거든요.
멍청해서 물어봅니다 ㅠ 답을 구한 뒤에 x<2 요렇게 범위있잖아요~ 요기에 들어가는지 확인해준다고 했잖아요~ 왜확인하는거에요? 논리력 부족 ㅠ 그냥 답만 나오면 되는거 아닌지요? 제 생각에는 혹시 절대값안을 양수로 가정하고 풀거나 음수인 경우로 가정해서 풀경우 그 조건에 맞느냐를 확인하는건가요?
제대로 이해하고 있네요. 처음에 범위를 나누는 이유가 바로 절댓값 기호를 푸는 방법이 양수, 0, 음수에 따라 달라지기 때문이에요. 전제로 주어지는 조건이니까 그 조건도 만족해야하죠.
노랑박스에 m>0 이라고 했는데 절대값은 0보다크거나 같다 아닌가요? m>=0 이거 아닌가요?
|ax + b| = m (m > 0) → ax + b = ±m
m = 0이면 ax + b = ±0이 아니라 그냥 ax + b = 0으로 풀 수 있으니까 굳이 0을 포함하지 않아도 되죠.
비밀댓글입니다
본문에 설명되어 있습니다.
질문이 있는데요,,
|ax + b| = |cx + d| → ax + b = ±(cx + d) 가 된다는 것이 잘 이해가 안되요.
|ax + b|= cx + d 꼴의 경우는 범위를 나누지 않으면 안되잖아요,,
예를들면 |x-1|=2x+1은 ax + b = ±(cx + d)로 놓고 풀면 x=-2, 0 이 되지만 범위를 나눠서 풀면 해 "x=-2"가 x>1이라는 조건에 맞지 않아 해가 안되는데
|ax + b| = |cx + d|꼴일때는 신기하게도 단순히 ax + b = ±(cx + d)로 놓고 풀어도 이런 "조건에 맞지 않는" 경우가 나오지를 않더라고요,,
이렇게 양변에 절댓값이 있을때는 왜 범위를 나누지 않아도 조건에 안맞는 경우가 안생기는지 정말 궁금합니다.
|x-1|=|2x+1|에서 x < -1/2일 때, x = -2도 해가 되죠.
본문에 설명한 것처럼 "x 범위를 나누지 않아도 되는 이유 보기"와 비슷하니까 펼쳐서 보세요.
근데 왜|x-1|=2x+1 일때는 왜 범위를 나누어야 하죠?
이때는 -2가 해가 되지 않지 않나요..ㅠㅠ
범위를 나눴을 때와 그냥 했을 때가 해가 다르니까 당연히 원래 방법대로 나눠서 해야 하는 거죠. 해가 같다면 굳이 나눠서 할 필요가 없고요.
아 이제 알겠어요ㅎㅎ
감사합니다^^
좌변의 절댓값기호를 푼다음 왜 ±기호를 우변에 붙여야 하나요,,?
본문에 설명되어 있습니다.
ㅣ1-xㅣ+ㅣ3-xㅣ=x+3의 해를 모두 구하여라
님말대로 하나는 절댓값기호 걍 벗기고 하나는 양수일때음수일때ㄷ둘다해서 계산했더니 답 틀리네요
당연히 틀릴 수 밖에요.
본문은 (절댓값) = (상수항) or (절댓값) = (절댓값) 꼴을 푸는 문제 유형입니다. 님이 푼 문제와는 다르죠.
절댓값의 성질(http://mathbang.net/300)을 참고하세요.
|x-2| -3|x+1| =?
이런 문제는 어떻게 푸나요?
절댓값의 성질(http://mathbang.net/300)을 참고하세요.
음..x범위를 나누지 않아도 되는 이유에서 m>0인데 왜 ax+b가 0보다 크거나 같은지 모르겠어요. m>0이니까 ax+b는 0이 될수없는거 아니에요?
ax + b > 0으로 수정했습니다.
그렇다고 해서 m = 0일 때, 위의 내용이 적용되지 않는 건 아닙니다.
|ax + b| = m = 0이면
ax + b = 0으로 바로 풀어서 계산하세요.
비밀댓글입니다
절댓값 안이 0보가 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠서 풀어야 해요.
공식을 사용하지 말고, 본문 제일 위쪽에 있는 순서대로 풀어보세요.
ㅣx-1ㅣ+ㅣx+2ㅣ = 5
이것도 5앞에 플러스 마이너스 붙이고 풀면 되나요/??
아니요. 그렇게 하면 안돼요.
x - 1에서 범위 2개
x - 1 < 0인 범위, x > 1일 때
x - 1 >= 0인 범위, x <= 1
x + 2에서 범위 2개
x + 2 < 0인 범위, x < -2
x + 2 >= 0인 범위, x >= -2
4개인데, x <= 1과 x >= -2가 겹치니까 -2 <= x < 1로 합쳐서 총 3개의 범위로 풀어야 해요.