문자
중1 수학 목차
중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 자연수
- 정수와 유리수
- 문자와 식, 일차방정식의 풀이
- 그래프와 비례관계
- 도형의 기초
- 평면도형
- 입체도형
- 통계
곱셈기호의 생략, 나눗셈 기호의 생략
곱셈기호(×)를 생략해서 식을 간단히 하는 방법이에요.
수학에서는 숫자와 식을 간단히 하는 게 매우 중요해요. 말로 풀어쓰면 길어지는 걸 수학기호로 간단하게 나타내기도 하죠.
기호를 쓰는 것마저도 길어진다면 그 기호마저도 생략할 수 있어요. 단, 기호를 생략하더라도 그 의미는 파악할 수 있어야 하겠죠?
이 글에서는 곱셈기호를 생략할 수 있는 경우와 생략하는 방법을 알아볼 거예요. 이 원칙에 맞게 곱셈기호를 생략해야만 다른 사람들도 곱셈기호가 생략되었음을 알고, 원래 의미를 알 수 있어요.
곱셈기호의 생략
여러 가지 기호 중에서 곱셈기호를 생략하는 방법입니다. 덧셈기호와 뺄셈기호는 생략하지 않아요. 곱셈기호만 생략해야 헷갈리지 않겠죠?
생략한다는 말은 그냥 지워버리는 거예요. 곱셈식에서 곱하기 기호를 지우고 나머지만 붙여서 쓰는 겁니다.
곱셈기호를 생략할 수 있는 조건이 있어요.
- 문자와 숫자 사이에 있는 곱셈 기호
- 문자와 문자 사이에 있는 곱셈 기호
두 가지 경우에만 곱셈기호를 생략합니다. 숫자와 숫자 사이의 곱셈에서는 곱셈기호의 모양을 바꿀 수는 있지만, 곱셈기호는 생략하지 않아요.
곱셈기호를 생략하는 방법을 잘 알아두세요. 앞으로 나오는 모든 문제에서 곱셈기호를 쓰지 않아요. 그런 문제를 볼 때 이 생략 방법을 알아야 어디에 곱셈기호가 생략되었는지를 알고 문제를 풀 수 있겠죠?
- 숫자는 앞에, 문자는 뒤에
a × 2라는 식에서 곱셈기호를 생략하면 a2가 되죠? 그런데 문자와 숫자의 곱에서는 숫자를 앞에 쓰고, 문자를 뒤에 써요. a2가 아니라 2a라고 써요. - 문자끼리의 곱은 알파벳 순서대로
b × a = ba인데, 알파벳 순서대로 ab라고 써요. a × c × b = acb가 아니라 abc로 쓰고요. - 1은 생략
1 × a = 1a죠. 여기서 1은 곱하나 마나죠. 1은 없어도 상관없으니까 1도 생략합니다. 거듭제곱에서 지수가 1일 때는 쓰지 않았잖아요. 따라서 1a가 아니라 그냥 a라고 써요.
단, (-1) × a처럼 1에 (-) 부호가 붙어있으면 (-)는 그냥 두고 1만 생략해요. (-1) × a = -a
0.1, 0.01처럼 소수나 11처럼 자릿수가 다른 1이 있으면 1은 생략하지 않아요. 1이 포함되어 있긴 하지만 곱하면 값이 달라지잖아요.
0.1 × a = 0.1a, 11 × a = 11a예요. - 같은 문자끼리 곱할 때는 거듭제곱
a × a에서 곱셈기호를 생략하면 aa가 될 것 같죠? 하지만 거듭제곱에서 공부했던 것처럼 같은 문자를 곱할 때는 지수를 이용해서 표현하기로 했어요. - 괄호와 숫자의 곱은 숫자를 앞으로
(a + b) × 3에서 괄호를 하나의 문자로 보고, 숫자를 괄호 앞에 써요. 3(a + b)
곱셈기호를 생략할 때, 그냥 기호만 지우는 게 아니라 그 위치를 위처럼 바꿔줘요. 이렇게 위치를 바꿀 수 있는 건 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하기 때문이에요.
나눗셈 기호의 생략
나눗셈은 기본적으로 곱셈으로 바꿀 수 있죠? 어떻게요? 역수를 이용해서요.
b의 역수를 취한 다음 a를 분자인 1에 곱했어요. 분자에서 1은 생략할 수 있으니까 결국 남는 건 a죠. 분모는 b고요.
앞으로는 이 과정을 거칠 필요없이 나눠지는 수는 분자, 나누는 수는 분모로 바로 쓸 수 있겠죠?
다음 식을 곱셈기호를 생략하여 나타내어라.
(1) a × 2
(2) a × b × c
(3) a × 2 × a
(4) (a + b) × (-1)
(1) 문자와 숫자의 곱에서는 숫자는 앞에 문자는 뒤에 써요. a × 2 = a2 = 2a
(2) 문자끼리의 곱에서는 알파벳 순서대로 쓰죠. a × b × c = abc
(3) 문자와 숫자의 곱이니까 숫자를 앞에 쓰는데, 똑같은 문자가 2번 곱해져 있네요. 거듭제곱을 이용해야겠죠? a × 2 × a = 2aa = 2a2
(4) 괄호와 숫자의 곱에서 숫자는 앞에, 괄호는 뒤에요. 그런데 숫자 1을 곱했을 때는 생략이 가능하죠. 부호는 그대로 둬야하고요. (a + b) × (-1) = (a + b)(-1) = (-1)(a + b) = -(a + b)
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이제까지 숫자에 대해서 배웠다면 이제부터는 식에 대해서 공부할 거예요. 문자를 이용하여 식을 간단하고, 이해하기 쉽게 작성하는 방법을 공부할 겁니다.
초등학교 때 했던 내용이 조금 더 세련돼졌다고나 할까요? 전에는 그냥 사용했던 걸 조금 더 예쁘고 체계적으로 공부하는 것뿐이에요.
그리고 앞으로 수학에서 가장 많이 사용하는 공식 중의 하나를 알려드릴게요. 어떤 일이 있어도 꼭 외워야 하는 공식이니까 잘 봐 두세요.
문자와 식
초등학교 때는 "3과 어떤 수를 더했더니 5가 되었다"를 식으로 바꾸면 3 + □ = 5라고 했지요?
중학교에서는 □ 대신에 문자를 쓰는데, 대부분은 영어 알파벳을 써요. 어떤 알파벳을 쓸 건지는 문제에서 가르쳐주는데, 혹시 문제에서 가르쳐주지 않았다면 아무거나 써도 상관없어요.
문자를 사용하는 예를 들어볼까요?
한 개 1,000원 하는 공책을 a권 샀을 때 총금액을 구해보죠.
한 개 1,000원 하는 공책을 한 권 사면 (1000 × 1) 원 이에요.
한 개 1,000원 하는 공책을 두 권 사면 (1000 × 2) 원
한 개 1,000원 하는 공책을 세 권 사면 (1000 × 3) 원
한 개 1,000원 하는 공책을 네 권 사면 (1000 × 4) 원
한 개 1,000원 하는 공책을 a 권 사면 (1000 × a) 원이 되겠죠?
지금 여러분의 나이는 14살이죠?
1년 뒤에는 (14 + 1) 살이에요.
2년 뒤에는 (14 + 2) 살
3년 뒤에는 (14 + 3) 살
4년 뒤에는 (14 + 4) 살
b년 뒤에는 (14 + b) 살이 됩니다.
식에 문자를 사용할 때는 문자가 나타내는 게 무엇인지 정확하게 알아야 해요. 개수인지 가격인지 말이죠. 첫 번째에는 공책의 개수였고, 두 번째는 몇 년 뒤가 되는지를 나타냈어요.
문자를 이용해서 식을 세우는 다른 방법을 하나 더 해볼까요? 문자의 자리에 그냥 아무 수나 하나 넣어보세요. 그리고 숫자들을 이용해서 식을 세운 다음에 아무렇게나 넣은 숫자 자리에 문자를 넣으면 돼요.
"한 개 1,000원인 공책을 a권 사면 얼마일까?"라는 문장을 식으로 바꾼다고 치죠. a 자리에 아무 숫자나 넣어보세요. 5를 넣어보죠. 그럼 "한 개 1,000원인 공책을 5권 사면 얼마일까?"으로 바뀌겠죠? 공책의 총 가격은 1000 × 5가 돼요. 이제 아무렇게나 넣은 5와 a를 바꾸면 답은 (1000 × a) 원 이 되는 거죠.
숫자를 하나씩 키워가면서 규칙을 찾아도 좋고, 아무런 숫자를 하나 넣어서 바꿔도 좋고 두 방법 중에서 편한 방법을 골라서 사용하세요.
다음 문장을 문자를 포함한 식으로 나타내어라.
(1) 500원 짜리 a개와 100원짜리 b개의 총 금액
(2) 한 개 c원인 과자를 5개 샀을 때의 총 금액
(1)번 500원짜리가 1개 있으면 (500 × 1) 원
500원짜리가 2개 있으면 (500 × 2) 원
500원짜리가 3개 있으면 (500 × 3) 원
500원짜리가 a개 있으면 (500 × a) 원
100원짜리가 b개 있으니까 같은 방법으로 (100 × b) 원
500원짜리와 100원짜리의 총 금액은 (500 × a + 100 × b) 원
(2) 문자 c 자리에 100이라는 숫자를 넣어보죠. 그럼 문제는 "한 개 100원인 과자를 5개 샀을 때 총 금액" 이 돼요. (100 × 5) 원 이죠.
임의로 넣었던 숫자 100을 원래 문자 c로 바꾸면 답은 (c × 5) 원이 돼요.
거리, 속력, 시간에 관한 공식
거리, 시간, 속력에 관한 문제는 수학에서는 빼놓지 않고 나오는 문제에요. 앞으로 배울 수학의 거의 모든 단원에서 사용하는 공식이에요. 수학뿐 아니라 과학 시간에도 배우는 내용이죠.
그래서 거리, 속력, 시간 구하는 공식을 꼭 외워야 해요.
왼쪽에 있는 그림을 기억하세요. 가로로 그어져 있는 선을 분수에서 사용하는 그 가로선이라고 생각하면 되겠죠.
이 유형에서 주의해야 할 건 단위에요. 단위가 시간인지 분인지 km인지 m 인지 꼭 확인하셔야 해요.
농도에 관한 문제
농도에 관한 문제 역시 빠지지 않고 나오는 문제입니다. 어쩔 수 없지만 공식을 외워야 하고요.
농도에 관한 문제에서도 g과 kg의 단위에 주의하세요.
공식에서는 소금물을 썼는데, 설탕물 같은 다른 곳에서도 농도를 구할 때 사용하는 공식이에요.
다음 문장을 문자를 포함한 식으로 나타내어라.
(1) 시속 60km로 달리는 자동차가 a 시간 동안 이동한 거리
(2) b% 농도의 소금물 200g에 들어있는 소금의 양
(1) 거리 = 속력 × 시간이에요.
속력이 시속 60km고, a시간 동안 이동했으니까 이동 거리 = 60 × a (km)
(2) 소금의 양 = 농도 ÷ 100 × 소금물의 양
소금의 양 = b ÷ 100 × 200 = b × 2 (g)
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