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삼각형의 무게중심은 중학교 때 공부했어요. 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선

이번에는 앞서 공부한 내분점과 외분점의 좌표 공식을 이용해서 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 방법을 알아볼 거예요. 공식이 매우 쉬워요. 외우려고 하지 않아도 자동으로 외워지죠.

삼각형의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표도 구해서 원래 삼각형의 무게중심의 좌표와 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요

삼각형의 무게중심의 좌표 구하기

삼각형의 각 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선 즉 중선의 교점을 삼각형의 무게중심이라고 하지요? 중선은 어떤 특징이 있나요? 꼭짓점에서 무게중심에 이르는 거리와 무게중심에서 대변의 중점까지의 거리는 2 : 1이에요. 다시 말해 무게중심은 중선을 2 : 1로 내분하는 거죠.

이 성질을 이용해서 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 알면 무게중심의 좌표를 구할 수 있어요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있다고 해보죠. 이때 선분 BC의 중점을 M(x', y'), △ABC의 무게중심을 G(x, y)라고 할게요.

중점은 선분을 1 : 1로 내분하니까 선분 BC의 중점 M의 좌표는 (, )이에요.

A(x₁, y₁), M(, )을 연결한 선분 AM을 무게중심 G가 2 : 1로 내분하는 성질을 이용해서 점 G의 좌표를 구해보죠.

x 좌표: 

y 좌표: 

좌표 공식인데, 어렵지 않죠?

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표

세 점의 x, y좌표를 다 더해서 3으로 나눴어요. 평균 구하는 것과 같은 방법이네요.

중점을 연결한 삼각형의 무게중심

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있을 때, 각 변의 중점을 점 D, 점 E, 점 F라고 하고 이들을 연결한 삼각형을 △DEF라고 해보죠.

점 D는 선분 BC의 중점이니까 (, )
점 E는 선분 CA의 중점이니까 (, )
점 F는 선분 AB의 중점이니까 (, )

△DEF의 무게중심의 x, y 좌표를 구해보죠.

△DEF의 무게중심의 좌표와 △ABC의 무게중심의 좌표가 같네요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표
= 세 변의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심 G의 좌표

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선분의 내분점과 외분점 두 번째로 이번에는 좌표평면에서의 내분점과 외분점이에요. 내분점과 외분점에 대한 설명은 앞선 글에서 했으니까 생략하고 이 글에서는 좌표 구하는 걸 해보죠.

공식 유도 과정이 수직선보다 훨씬 복잡하니까 잘 봐야 해요. 하지만 결과는 둘이 서로 거의 비슷하니까 외우기는 어렵지 않을 거예요.

중학교 때 공부했던 도형의 닮음을 이용한 증명이니까 혹시 기억이 안 난다면 도형의 닮음을 얼른 보고 오세요.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표를 구해보죠.

거리의 비가 m : n이니까 좌표평면위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 직접 거리의 비를 구할 것 같지만 그게 아닌 다른 방법으로 구해보죠.

좌표평면 위에 그림을 세 점 A, B, P를 그려봤어요. 세 점 A, B, P에서 좌표축으로 수선을 내렸고요.

△ACP와 △PDB를 보죠.

∠ACP = ∠PDB = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠PAC = ∠BPD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △ACP ∽ △PDB이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x₂ - x = m : n
n(x - x₁) = m(x₂ - x)
nx - nx₁ = mx₂ - mx
(m + n)x = mx₂ + nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 내분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y₂ - y = m : n
n(y - y₁) = m(y₂ - y)
ny - ny₁ = my₂ - my
(m + n)y = my₂ + ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는

수직선 위의 선분의 내분점에서 m = n이면 P는 중점이라고 했어요. 여기서도 마찬가지로 m = n이면 P는 중점이에요.

좌표평면 위의 선분의 외분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)의 좌표를 구해보죠.

마찬가지로 삼각형의 닮음을 이용합니다. 대신 이번에는 큰 삼각형 △AEQ와 작은 삼각형 △BDQ을 이용해요.

∠AEQ = ∠BDQ = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠QAE = ∠QBD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △AEQ ∽ △BDQ이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x - x₂ = m : n
n(x - x₁) = m(x - x₂)
nx - nx₁ = mx - mx₂
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 외분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y - y₂ = m : n
n(y - y₁) = m(y - y₂)
ny - ny₁ = my - my₂
(m - n)y = my₂ - ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)는
(단, m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같아요. 그리고 y좌표는 x좌표 구하는 공식에서 x만 y로 바꾸면 되고요.

좌표평면 위의 두 점 A(-2, 5), B(4, -3)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 x 좌표 =  =

내분점 P의 y 좌표 =  =

외분점 Q의 x좌표 =  =

외분점 Q의 y좌표 =  =

내분점 P , 외분점 Q (16, -19)

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1학년 때 여러 가지 도형의 종류와 정의에 대해서 배웠다면 2학년, 3학년 때는 각 도형의 성질을 배워요. 2학년 때는 여러 가지 사각형과 삼각형의 닮음에 대해서 배웠지요?

3학년 때는 원에 대해서 자세히 알아볼 거예요. 원에 대한 내용 중 첫 번째로 현에 관한 내용이에요. 현은 1학년 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 공부한 적이 있어요. 현의 정의에 대해서는 위 글을 참고하세요.

여기에서는 현의 수직이등분선의 성질에 대해서 알아보고, 그 성질을 증명해보죠.

현의 수직이등분선

현은 원 위의 두 점을 이은 직선을 말하죠? 원의 중심과 현 사이에는 한 가지 성질이 있어요. 이 한 가지 성질을 이렇게도 말하고 반대로도 말해요.

이 성질을 증명하기는 별로 어렵지 않아요. 그리고 나오는 문제들도 매우 쉽고요. 짧게 설명하고 넘어갈게요.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다.

원의 중심 O에서 에 수선을 내리면 는 를 수직이등분해요. 수선이니까 당연히 수직이겠죠. 이등분하는지만 증명해보면 되겠네요.

점 O에서 점 A와 점 B로 선을 그어보죠.

△OAH와 △OBH가 생겨요. 두 삼각형에서

∠OHA = ∠OHB = 90°    (는 수선)
는 공통
 = 반지름 r

따라서 두 삼각형은 RHS 합동이에요. 대응변의 길이가 같으므로 이죠.    (증명 끝.)

다음 그림을 보고 의 길이를 구하여라.

△OAH가 직각삼각형이에요. 피타고라스의 정리를 이용하면 = 4cm고요.  = 2 = 8cm입니다.

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.

명제의 결론인 원의 중심을 지나는지를 증명하기는 까다로워요. 그래서 다른 방법으로 증명하지요. 현의 중점과 원의 중심을 연결해요. 그리고 이 선이 현에 수직인지를 증명하는 거죠.

의 중점을 H라고 하고 원의 중심 O와 점 H을 연결해요. 와 가 수직인지를 증명해보죠.

점 O에서 점 A와 점 B로 선을 그어요.

△OAH와 △OBH에서

    (점 H는 의 중점)
는 공통
 = 반지름 r

따라서 두 삼각형은 SSS 합동이에요. 대응각의 크기가 같으므로 ∠OHA = ∠OHB이죠. ∠OHA + ∠OHB = 180°(평각)이므로 ∠OHA = ∠OHB = 90°에요.  (증명 끝.)

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삼각형의 중점 연결 정리에 이어 사다리꼴의 중점 연결 정리입니다. 평행사변형, 정사각형, 마름모의 중점 연결 정리는 따로 하지 않으니까 중점 연결 정리는 여기가 끝이에요.

사다리꼴의 중점 연결정리는 사다리꼴에 대각선을 그어서 삼각형을 만든 다음 삼각형의 중점 연결 정리를 적용하는 거예요.

그리고 등변사다리꼴의 중점 연결 정리에는 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질에서 공부했던 내용이 나오니까 기억이 나지 않는다면 미리 읽어두세요.

사다리꼴의 중점 연결 정리

사다리꼴에서 평행하지 않은 두 변의 중점을 각각 M, N이라고 하죠. 그리고 대각선과 중점을 연결한 직선이 만나는 점을 각각 P, Q라고 하고요.

그러면 아래 그림 같은 성질이 성립합니다.

중점을 연결한 직선

첫 번째 중점을 연결한 선이 다른 두 변과 평행한지부터 증명해보죠.

의 연장선과 의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

△AND와 △ENC가 생기죠.

두 삼각형에서
점 N은 의 중점이므로
∠AND = ∠ENC (맞꼭지각)
이므로 ∠ADN = ∠ECN (평행선에서 엇각)

따라서 두 삼각형은 ASA 합동이에요. △AND ≡ △ENC

합동인 삼각형에서 대응변의 길이는 같으므로 이죠.

△ABE에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리 때문에 이 성립해요.

등변사다리꼴에서는 이므로 결국 이 성립합니다.

중점을 연결한 직선의 길이

이번에는 중점을 연결한 직선의 길이를 구해볼까요?

사다리꼴의 윗변의 길이를 a, 아랫변의 길이를 b라고 해보죠. 점 A에서 점 C로 대각선을 긋고, 중점을 연결한 선과 만나는 점을 Q라고 할게요.

이므로 둘을 구해서 더하면 되겠죠?

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ACD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

중점을 연결한 직선과 대각선의 두 교점 사이의 거리

중점을 연결한 직선과 대각선이 만나는 점을 각각 점 P, Q라고 할게요.

로 구할 수 있어요.

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ABD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

위 그림에서 = 5cm, = 2cm일 때, a, b를 구하여라.

이므로 a = 2= 10(cm)

이고, 이므로 b = 2(5 + 2) = 14(cm)

등변사다리꼴의 중점 연결 정리

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형에서 사다리꼴은 없었지요? 여기서 해보자고요.

등변사다리꼴에서는 두 변의 중점을 바로 연결하는 게 아니라 네 변의 중점을 모두 연결해요. 등변사다리꼴의 네 변의 중점을 각각 E, F, G, H라고 할 때 이 네 점을 연결한 □EFGH는 마름모가 됩니다.

점 A와 점 C를 연결하는 대각선을 그어보죠.

△ABC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. △ADC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. 정리해보면

점 B와 점 D를 연결하는 대각선을 그어서 같은 방법을 사용하면 를 구할 수 있어요.

등변사다리꼴의 성질에 따르면 두 대각선의 길이가 같아요. 이므로 결국 가 되어 네 변의 길이가 모두 같은 마름모가 됩니다.

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삼각형의 중점 연결 정리입니다.

중점이 뭔지는 알죠? 정리가 뭔지도 알고요. (수학에서의 정의, 정리, 증명)

삼각형의 중점 연결 정리는 이름 그대로 삼각형에서 각 변의 중점을 연결했더니 어떤 특징이 있는데, 그 특징을 다른 여러 곳에 쓸 수 있는 거지요.

다른 내용과 달리 두세 개의 삼각형에 선을 여러 개 그어서 문제가 좀 복잡하게 나오기 때문에 기본을 잘 알고 있어야 하는 내용입니다.

삼각형의 중점 연결 정리

삼각형의 중점 연결 정리를 말로 표현하면 삼각형의 두 변의 길이의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이라는 거예요.

그림으로 표현하면 훨씬 더 이해하기 쉬울 거예요.

왼쪽 그림을 보세요.

점 M은 의 중점, 점 N은 의 중점이에요.

△ABC와 △AMN에서 의 비가 성립하고, ∠A는 공통이에요. 따라서 두 삼각형은 SAS 닮음이에요. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응각의 크기가 같죠? (닮은 도형의 성질) ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM으로 동위각의 크기가 같으므로 평행선의 성질에 의해 예요. 또 다른 한 대응변에서도 2 : 1의 비가 성립하죠.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

삼각형의 양쪽 변의 중점을 연결한 선분은 다른 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이죠. 따라는 x는 16cm입니다.

삼각형의 중점 연결 정리의 역

이번에는 위 정리의 역이에요. 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 역은 명제의 가정과 결론의 자리를 바꾸는 거라고 했어요.

명제: 삼각형에서 두 변의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고 길이는 그 절반이다.
역 : 삼각형에서 한 변과 평행하고 길이가 절반인 직선은 다른 두 변의 중점을 연결한 선이다

명제와 역이 위처럼 되어야 맞지요? 그런데, 이 삼각형의 중점 연결 정리의 역은 좀 달라요. 내용은 같지만 표현을 다르게 해요. 삼각형에서 한 변의 중점을 지나고 다른 한 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

두 역 사이에 어떤 차이가 있나요? 한 변의 중점을 지난다는 얘기가 추가되었고, 길이가 절반이라는 내용이 빠졌어요. 잘 이해하셔야 해요.

왼쪽 그림을 보세요.

△ABC와 △AMN에서 이므로 ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM이에요. 두 대응각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응변의 길이의 비가 같아요. 이므로 이죠. 따라서 이 됩니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2의 내용을 이용해도 이 증명되죠.

다음 그림을 보고 x, y를 구하여라.

△ABC에서 이에요. 한 변의 중점을 지나고 다른 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지나므로 입니다. y = 10cm네요.

∠ABC = ∠DNC = 90° →
→ N이 의 중점

한 변의 중점을 지나는 선이 다른 변과 평행이므로 삼각형 중점 연결정리의 역에 의해 점 D도 의 중점이에요. 그런데 그림에서 이죠.

따라서 중점 연결정리에 의해 이죠. 따라서 x = 10cm입니다.

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사각형 시리즈(?) 마지막입니다.

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그려지는 사각형이 어떤 사각형인지 알아볼 거예요. 중점이 뭔지는 다 알고 있죠? 중점은 두 점 사이의 거리를 이등분하는 점이에요.

이 글에서 다룰 내용은 각 사각형의 기본적인 정의만 잘 알고 있어도 쉽게 이해할 수 있어요. 일반적인 사각형과 사다리꼴의 중점을 연결한 사각형은 이 글에서 다루지 않고, 나중에 다른 단원에서 추가하도록 할게요.

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형

평행사변형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 평행사변형

먼저 평행사변형의 각 변의 중점을 연결해서 만든 사각형부터 알아보죠.

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 잡아서 연결한 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 같아요. 그래서 변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 대변에서는 같아요.

평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 같죠? ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

△AEF와 △CGH는 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이에요. 또 △BFG와 △DHE도 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이죠

결국 □EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 같으니까 평행사변형이에요.

직사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 마름모

이번에는 직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

직사각형도 평행사변형의 한 종류이므로 각 대변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리는 같아요.

그리고 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°죠. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

△AEF와 △CGH, △BGF, △DEH 네 개의 삼각형은 모두 SAS합동이에요. 따라서  = 이므로 네 변의 길이가 모두 같죠.

결국 □EFGH는 네 변의 길이가 같은 마름모입니다.

마름모의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 직사각형

마름모 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형 □EFGH입니다.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요.

마름모도 평행사변형의 한 종류로 두 쌍의 대각의 크기가 같으므로 ∠A = ∠C, ∠B = ∠D예요.

SAS 합동에 의해서 △AEF와 △CGH가 합동이고, △BFG와 △DHE가 합동이에요. , 죠. □EFGH는 일단 평행사변형이네요.

그런데 이 네 삼각형은 이등변삼각형이므로 밑각의 크기가 같아요.

∠AFE = ∠AEF
∠BGF = ∠BFG
∠CGH = ∠CHG
∠DEH = ∠DHE

삼각형이 합동이므로 크기가 같은 각끼리 모으면
∠AFE = ∠AEF = ∠CGH = ∠CHG
∠BGF = ∠BFG = ∠DEH = ∠DHE죠.

평각인 ∠AFB와 ∠BGC의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AFB = 180° = ∠AFE + ∠BFG + ∠EFG
∠BGC = 180° = ∠BGF + ∠CGH + ∠FGH

연립방정식의 가감법처럼 두 식을 변변 빼보면
0° = (∠AFE - ∠CGH) + (∠BFG - ∠BGF) + (∠EFG - ∠FGH)
0° = ∠EFG - ∠FGH    (∵ ∠AEF = ∠CGH, ∠BFG = ∠BGF)
∠EFG = ∠FGH

□EFGH의 이웃한 두 각의 크기가 같다는 걸 알 수 있어요.

결국 □EFGH는 이웃한 두 각의 크기가 같은 평행사변형으로 직사각형이라는 걸 알 수 있지요.

그림으로 설명하면 쉬운데 말로 설명하려니 정말 어렵네요. 아래는 다른 설명이니까 위의 내용이 이해하기 어려우면 아래 내용을 보세요.

점 E와 점 G를 연결해서 를 그려보세요. □ABGE가 생기죠? 이므로 □ABGE는 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

이번에는 점 F와 점 H를 연결해서 를 그리세요. □AFHD가 생기는데, 이므로 □AFHD 역시 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

□ABCD는 마름모이므로 네 변의 길이가 같아요.  = 죠. 결국  = 예요. □EFGH에서 두 대각선의 길이가 같아요.

□EFGH은 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형이므로 직사각형이에요.

정사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 정사각형

정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 □EFGH를 그려보죠.

정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요. 

정사각형이라서 □ABCD의 네 내각의 크기도 같지요. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

위 조건에 따라 네 삼각형 △AEF, △BFG, △CGH, △DHE는 SAS 합동이므로 □EFGH의 네 변의 길이는 모두 같아요. 일단 마름모에요.

그리고 네 개의 삼각형은 직각이등변삼각형이니까 한 내각의 크기는 90°고, 다른 두 내각의 크기는 45°죠. (이등변삼각형의 성질)

평각인 ∠AED의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AED = 180° = ∠AEF + ∠DEH + ∠FEH
∠FEH = 90°     (∵ ∠AEF = ∠DEH = 45°)

□EFGH는 네 변의 길이가 같고, 한 내각의 크기가 90°이므로 정사각형입니다.

등변사다리꼴의 중점을 연결하여 만든 사각형 - 마름모

사다리꼴의 중점 연결 정리에서 자세히 다루니까 이쪽으로 오세요. ㅎㅎ

사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형
평행사변형 → 평행사변형
직사각형 → 마름모
마름모 → 직사각형
정사각형 → 정사각형
평행사변형, 정사각형은 그대로, 직사각형, 마름모는 서로 반대로
등변사다리꼴 → 마름모

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 그린 사각형을 □EFGH라고 할 때, □EFGH의 성질이 아닌 것을 모두 고르시오.
(1) 두 쌍의 대변의 길이가 같다.
(2) 두 쌍의 대각의 크기가 같다.
(3) 두 대각선이 서로 이등분한다.
(4) 두 대각선은 서로 수직이다.
(5) 네 내각의 크기가 모두 같다.
(6) 네 변의 길이가 모두 같다.

평행사변형의 중점을 연결해서 그린 사각형은 평행사변형이에요. 따라서 보기 중에 평행사변형의 성질이 아닌 것을 고르면 되겠지요.

(1), (2), (3)은 평행사변형의 성질이 맞아요.

(4) 번은 마름모, 정사각형의 성질이고, (5) 번은 직사각형, 정사각형의 성질이죠. (6) 번은 마름모, 정사각형의 성질이네요. 따라서 답은 (4), (5), (6)이 되겠습니다.

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기본도형에 대해서 공부했어요. 점, 선, 면이란 무엇인지 점, 선, 면이 평면과 공간에서 어떤 위치와 특징을 갖는지요.

이제부터는 도형을 그리는 방법을 공부할 거예요. 우리가 알고 있던 도형이 어떻게 그려지는지 좀 더 알아보자고요. 똑같은 삼각형이라도 조건에 따라서 여러 가지 방법으로 그릴 수 있어요.

이 글에서는 도형 그리기의 기초인 작도에 대해서 알아볼 거고 수직이등분선을 그리는 과정을 통해서 간단한 작도를 직접 한 번 해볼 거예요.

눈금 없는 자와 컴퍼스가 필요하니까 꼭 준비하세요.

작도

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 도형을 그리는 걸 말해요. 눈금 있는 자로 그리거나 각도기를 가지고 그리는 건 작도가 아니에요. 작도할 때 몇 가지 조건을 주는데, 그 조건에 맞추면 눈금 있는 자와 각도기 없이도 도형을 그릴 수 있거든요.

작도할 때 사용하는 눈금 없는 자는 선을 그을 때 써요. 두 점을 연결해서 선을 그을 때와 이미 그려져 있는 선분을 더 길게 그릴 때요.

컴퍼스는 원래 기능대로 원을 그릴 때 쓰고요. 자에 눈금이 없으니 길이를 잴 수가 없잖아요. 이때 컴퍼스를 이용해서 주어진 선분의 길이만큼을 다른 곳에 옮길 수 있어요.

몇 가지 작도를 직접 해보면서 알아보죠.

수직 이등분선의 작도

선분의 수직이등분선이 뭔지는 이름에서 알 수 있겠죠? 수직은 90°로 만난다는 뜻이고 이등분은 정확하게 둘로 나눈다는 거잖아요. 그러니까 선분의 중점(M)을 지나고 90°로 만나는 선을 그리는 방법을 배울 거예요.

두 점 사이의 거리, 중점

선분 AB의 수직이등분선을 눈금 없는 자와 컴퍼스로 그려보죠.

아래 그림에서 검은색은 이전 단계에서 이미 그려진 것이고 파란색 선은 현재 단계에서 그리는 것들이에요. 파란색 점은 컴퍼스의 바늘을 놓는 위치입니다.

1. 먼저 선분 AB를 그리고요.
2. 컴퍼스의 바늘을 점 A에 두고 적당한 길이로 벌린 다음에 원을 그리세요. 이때 반지름은 선분 AB 길이의 정도가 좋아요.
3. 이번에는 컴퍼스의 길이를 그대로 유지한 체 컴퍼스의 바늘을 점 B에 두고 원을 그리세요.
4. 점 A를 중심으로 그렸던 원과 점 B를 중심으로 그렸던 원이 만나는 지점이 두 군데가 생겨요. P, Q라고 할게요. 이 P, Q를 눈금 없는 자로 연결해서 선을 그으세요.

바로 이 선분 PQ가 선분 AB의 수직이등분선이에요.

수직이등분선은 몇 가지 특징이 있어요. 아래 그림을 보세요.

선분 AB와 선분 PQ는 수직이에요. 

M은 선분 AB의 중점이니까 선분 AM의 길이와 선분 BM의 길이가 같죠. 

같은 반지름을 이용해서 원을 그렸으니까 선분 AP의 길이와 선분 AQ의 길이, 선분 BP의 길이, 선분 BQ의 길이가 모두 같아요. 

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이 글에서는 수학에서 사용하는 거리라는 개념의 정확한 뜻에 대해서 알아볼 거예요. 그 거리 개념을 이용해서 점과 점 사이의 거리도 알아볼 거고요. 두 점의 한가운데 있는 점에 대해서도 알아볼 거예요.

집에서 학교까지의 거리를 말할 때 우리는 보통 우리가 다니는 길을 그대로 갔을 때의 거리를 얘기하죠? 실제 이동한 거리요. 때로는 시간으로 표현하기도 하고요.

그런데 어떤 날은 큰길로 학교에 가고 다른 날은 지름길로 갈 때 이동 거리는 달라질 수 있어요. 이동 거리라는 건 때에 따라 달라질 수도 있다는 거예요.

하지만 수학의 도형에서의 거리는 두 지점 사이의 가장 가까운 거리를 말해요. 사람이 다닐 수 있느냐 없느냐는 절대 고려하지 않지요.

아래 지도에서 빨간색 선은 실제 이동 경로에 따른 거리이고 파란색 선은 거리라고 할 수 있어요.

두 점 사이의 거리

두 점 A, B 사이의 거리는 두 점을 연결하는 무수히 많은 선 중에서 길이가 가장 짧은 선의 길이를 말하는데, 길이가 가장 짧은 선은 선분 AB에요. 따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 선분 AB의 길이를 뜻해요.

두 점 A, B 사이의 거리 = 선분 AB의 길이

두 점 A, B 사이의 거리 그러니까 선분 AB의 길이를 기호로 로 표시하는데요. 기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분에서 는 선분 AB를 나타낸다고 했죠? 이 기호 는 선분 AB이기도 하고, 선분 AB의 길이이기도 해요. 두 가지 뜻이 있어요.

집과 학교 사이의 거리도 마찬가지로 가장 짧은 직선거리를 나타내니까 파란색으로 표시된 선의 길이인 거지요.

중점

중점(中點)은 말 그대로 가운데 있는 점을 말해요. 무엇의 가운데? 두 점의 가운데 있다는 뜻이죠. 보통 알파벳으로 M(Middle point, Median point)이라고 써요

두 점 A, B가 있는데, 중점 M은 두 점의 한가운데에 있으니까 A에서 중점까지의 거리(선분 AM의 길이)와 B에서 중점까지의 거리(선분 BM의 길이)가 같겠죠? 따라서 중점을 정의할 때 가운데 있는 점이라고 하지 않고, 선분 AM과 선분 BM의 길이가 같을 때 점 M을 중점이라고 해요.

M은 중점이니까 선분 AM의 길이는 전체 길이인 선분 AB의 길이의 절반이겠죠? 다른 말로 하면 중점 M은 선분 AB 길이를 이등분한다고 할 수 있는 거죠.

두 점 A, B와 중점 M

거리와 중점은 오직 선분에서만 구할 수 있어요. 직선이나 반직선은 시작점 혹은 끝점이 끝도 없이 계속되니까 거리나 중점을 구할 수 없어요. 직선 위의 두 점 A, B, 반직선 위의 두 점 C, D 사이의 거리나 중점을 구할 수는 있어요. 하지만 이때 두 점이라는 특정한 위치가 정해졌으니까 직선이 아니라 선분 AB, 선분 CD가 되어서 구할 수 있는 거예요.

점 M은 선분 AB의 중점이고 점 N은 선분 BM의 중점이다. 선분 AB의 길이가 20cm일 때 선분 MN의 길이를 구하여라.

M이 선분 AB의 중점이니까 선분 AM의 길이는 전체 길이의 절반이겠죠? 20 ÷ 2 = 10 (cm)예요.  =  = 10cm죠. 마찬가지로 점 N은 선분 BM의 중점이니까 선분 MN의 길이는 선분 BM의 절반이겠죠? 10 ÷ 2 = 5 (cm)예요.  =  = 5cm이니까 은 5cm입니다.

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