수학방

폄면에서 두 직선의 위치관계에서 두 직선은 만나는 경우와 만나지 않는 경우가 있었어요. 만나는 경우는 2가지였으니까 전체 총 3가지 경우가 있었죠. 한 점에서 만난다, 일치, 만나지 않는다(평행)

공간에서 두 평면의 위치 관계는 한 점(교점)이 아니라 한 직선(교선)에서 만난다는 것 빼고는 평면에서 두 직선의 위치 관계와 똑같아요. 한 직선에서 만난다. 일치, 평행

두 평면 사이의 수직 관계

공간에서 평면과 직선의 수직에서 평면과 평면에 있지 않는 직선이 수직으로 만나는 경우를 공부했는데요. 평면 Q와 수직인 직선 l이 평면 P에 포함할 때, 평면 P와 평면 Q도 서로 수직이에요. Q ⊥ l → P ⊥ Q

두 평면 사이의 거리

평행한 두 평면 P, Q사이에는 거리를 구할 수 있어요. 평행하지 않은 평면 사이의 거리는 구할 수 없고요. 평행하지 않으면 사이가 일정하지 않으니까 위치에 따라 값이 달라지잖아요.

평행한 두 평면 중 한 평면 위의 점에서 다른 평면에 그은 수선의 길이를 평행한 두 평면 P, Q 사이의 거리라고 하고, 이 거리는 두 평면 사이 어디에서든 일정해요.
$P\quad\parallel\quad Q\quad\rightarrow\quad\overline{AB}\quad=\quad\overline{CD}$

반대로 서로 다른 점에서 구한 거리가 일정하면 두 평면은 평행이에요.

원 위의 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 거예요. 원과 직선이 만나는 한 점을 접점이라고 하고, 접점을 지나는 직선의 방정식이니까 원의 접선의 방정식이라고 해요.

접선의 방정식도 직선의 방정식의 한 종류니까 직선의 방정식 구하기를 이용하여 구합니다. 또 접선의 방정식은 원 위의 한 점을 지나니까 이를 이용하기도 하고요.

접선의 방정식을 구하는 경우는 여러 가지가 있지만, 이 글에서는 접점의 좌표를 알 때 접선의 방정식 구하는 방법을 알아볼 거예요.

원의 접선의 방정식, 접점을 알 때 접선의 방정식

원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식 l을 구해보죠. 원의 중심을 C(a, b), 접점의 좌표를 P(x₁, y₁)라고 할게요.

원의 접선은 반지름에 수직이에요. 선분 CP가 반지름이므로 구하고자 하는 접선의 방정식 l과 수직이죠. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했죠? 직선 l의 기울기를 m이라고 해보죠.

직선 l은 기울기가 m이고, P(x₁, y₁)을 지나는 직선이니까 직선의 방정식 구하는 공식에 넣어보면
 ……… ①

일반적으로 기울기는 인데, 원의 접선의 방정식 l은 기울기는 거꾸로예요. 그리고 앞에 (-)가 붙고요.

①의 공식으로 접선의 방정식을 구할 수도 있지만 다른 공식이 또 있어요.

접점 P(x₁, y₁)는 원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²위의 접이기도 해요. (x₁, y₁)을 대입해보죠.
(x₁ - a)² + (y₁ - b)² = r² ……… ②

①, ②식을 각각 전개해서 더한 다음에 인수분해하면 아래 공식을 유도할 수 있어요. 유도 과정은 길어서 생략할게요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

원래 원의 방정식은 (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = r²인데, (x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²으로 바뀌었죠? x 하나가 x₁으로, y 하나가 y₁으로 바뀐 형태예요……

원의 접선의 방정식
(x - a)² + (y - b)² = r²위의 접점 P(x₁, y₁)을 지나는 접선의 방정식

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

두 가지다 같은 결과가 나옵니다. 보통은 원의 방정식의 모양과 비슷해서 외우기 쉬운 두 번째를 많이 사용하는데, 본인이 외우기 쉬운 공식을 외우세요.

다음을 구하여라.
(1) (x - 2)² + (y + 1)² = 5 위의 점 (3, -3)에서의 접선의 방정식
(2) (x + 3)² + (y + 1)² = 50 위의 점 (4, -2)에서의 접선의 방정식
(3) x² + y² + 6x - 2y - 7 = 0위의 점 (-2, -3)에서의 접선의 방정식

(1) 번은 원의 중심이 (2, -1)이고 접점의 좌표는 (3, -3), r² = 5예요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(3 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = 5
x - 2 - 2y - 2 - 5 = 0
x - 2y - 9 = 0

어떤 공식을 이용하든 결과가 똑같죠?

(2) 원의 중심은 (-3, -1), 접점의 좌표는 (4, -2), r² = 50이네요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(4 + 3)(x + 3) + (-2 + 1)(y + 1) = 50
7x + 21 - y - 1 = 50
7x - y - 30 = 0

(3) 번은 먼저 표준형으로 바꿔야겠네요.
x² + y² + 6x - 2y - 7 = 0
x² + 6x + y² - 2y - 7 = 0
(x + 3)² + (y - 1)² - 7 - 9 - 1 = 0
(x + 3)² + (y - 1)² = 17

원의 중심이 (-3, 1)이고 접점의 좌표가 (-2, -3), r² = 17이군요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(-2 + 3)(x + 3) + (-3 - 1)(y - 1) = 17
x + 3 - 4y + 4 = 17
x - 4y - 10 = 0

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정리해볼까요

원의 접선의 방정식

(x - a)² + (y - b)² = r²위의 접점 P(x₁, y₁)을 지나는 접선의 방정식

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.

직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.

두 직선의 위치관계 - 일반형

ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -x -

a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.

a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -x -

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서

기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
- = - →  =  →  =
- ≠ - →   ≠  →  ≠

기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
- = - →  =  →  =
- = - →   =  →  =

기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.

기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
- ≠ - →  ≠  →  ≠

앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?

연립방정식의 해의 개수

미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.

해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.

해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?

해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔  =  =

해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔  =  ≠

직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.

두 직선의 위치관계 - 일반형, 연립방정식

	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	연립방정식 근의 개수
평행	=  ≠	해가 없다.
일치	=  =	해가 무수히 많다
수직	aa' + bb' = 0	1개
한 점에서 만난다.	≠	1개

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두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.

이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.

증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치

평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.

두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H

∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°

두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.

는 으로 y = mx + n의 기울기 즉 m이에요. 는 y = m'x + n'의 기울기 즉 m'이고요. 두 직선이 평행하면 기울기가 같다는 것을 알 수 있어요.

m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.

두 직선의 위치관계 - 수직

y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.

여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)

두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) =  -1이 되는군요.

수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.

y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?

y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n

y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.

y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3

y = 2x - 3이네요.

y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.

y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.

두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.

a + b = 1 + 3 = 4

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1학년 때 여러 가지 도형의 종류와 정의에 대해서 배웠다면 2학년, 3학년 때는 각 도형의 성질을 배워요. 2학년 때는 여러 가지 사각형과 삼각형의 닮음에 대해서 배웠지요?

3학년 때는 원에 대해서 자세히 알아볼 거예요. 원에 대한 내용 중 첫 번째로 현에 관한 내용이에요. 현은 1학년 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 공부한 적이 있어요. 현의 정의에 대해서는 위 글을 참고하세요.

여기에서는 현의 수직이등분선의 성질에 대해서 알아보고, 그 성질을 증명해보죠.

현의 수직이등분선

현은 원 위의 두 점을 이은 직선을 말하죠? 원의 중심과 현 사이에는 한 가지 성질이 있어요. 이 한 가지 성질을 이렇게도 말하고 반대로도 말해요.

이 성질을 증명하기는 별로 어렵지 않아요. 그리고 나오는 문제들도 매우 쉽고요. 짧게 설명하고 넘어갈게요.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다.

원의 중심 O에서 에 수선을 내리면 는 를 수직이등분해요. 수선이니까 당연히 수직이겠죠. 이등분하는지만 증명해보면 되겠네요.

점 O에서 점 A와 점 B로 선을 그어보죠.

△OAH와 △OBH가 생겨요. 두 삼각형에서

∠OHA = ∠OHB = 90°    (는 수선)
는 공통
 = 반지름 r

따라서 두 삼각형은 RHS 합동이에요. 대응변의 길이가 같으므로 이죠.    (증명 끝.)

다음 그림을 보고 의 길이를 구하여라.

△OAH가 직각삼각형이에요. 피타고라스의 정리를 이용하면 = 4cm고요.  = 2 = 8cm입니다.

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.

명제의 결론인 원의 중심을 지나는지를 증명하기는 까다로워요. 그래서 다른 방법으로 증명하지요. 현의 중점과 원의 중심을 연결해요. 그리고 이 선이 현에 수직인지를 증명하는 거죠.

의 중점을 H라고 하고 원의 중심 O와 점 H을 연결해요. 와 가 수직인지를 증명해보죠.

점 O에서 점 A와 점 B로 선을 그어요.

△OAH와 △OBH에서

    (점 H는 의 중점)
는 공통
 = 반지름 r

따라서 두 삼각형은 SSS 합동이에요. 대응각의 크기가 같으므로 ∠OHA = ∠OHB이죠. ∠OHA + ∠OHB = 180°(평각)이므로 ∠OHA = ∠OHB = 90°에요.  (증명 끝.)

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지금까지 사각형을 배워왔어요. 사각형별로 정의와 성질, 조건을 알아봤죠. 또 이러한 내용을 표로 정리도 해봤고요. 사각형의 정의와 성질, 조건

이 글에서는 이 사각형들의 다른 점을 비교하는 게 아니라 서로의 관련성을 알아볼 거예요. 서로 어떤 관계가 있는지 어떻게 하면 다른 사각형이 되는지요.

그리고 각 사각형의 특징을 가장 잘 알 수 있는 대각선에 대해서도 알아볼 거예요.

이미 배웠던 사각형의 정의와 성질, 조건을 잘 이해하고 있어야 해요.

여러 가지 사각형의 포함관계

그냥 사각형이 있어요.
이 사각형의 한 쌍의 대변이 평행하면 사다리꼴이에요.
사다리꼴에서 나머지 한 쌍의 대변도 평행하다면 모두 두 쌍의 대변이 평행하니까 평행사변형이 돼요.
평행사변형에서 내각의 크기가 모두 같으면 직사각형이죠? 또 평행사변형의 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모에요.
직사각형의 네 변의 길이가 같거나 마름모의 네 각의 크기가 모두 같으면 정사각형이 되지요.

이걸 집합으로 표시해보면

⊃의 방향 잘 보세요. ⊃의 닫힌 쪽이 부분집합이에요. 또 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}이고요.

조건이 하나씩 추가될 때마다 사각형의 범위가 줄어들어요. 사각형들의 포함관계를 이해할 수 있겠죠? 아래는 벤다이어그램으로 표시한 거예요.

여러 가지 사각형의 조건

자 이제는 하나의 사각형이 어떤 조건을 갖추면 다른 형태의 사각형이 되는지 알아볼 거예요. 각 사각형의 정의와 조건에 대해서 잘 이해하고 있어야 하는 내용입니다.

위 그림에서 사각형의 포함관계도 엿볼 수 있는데요. 화살표를 받는 쪽이 화살표를 받는 쪽에 포함되는 사각형이에요.

화살표 옆에 숫자가 보이죠? 그 숫자에는 사각형이 되려면 갖추어야 할 조건을 적어볼까요?

①번은 그냥 사각형이 사다리꼴이 되는 조건이에요. 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이죠? 따라서 ①번에는 "한 쌍의 대변이 평행"이라는 조건이 들어가야 해요. 사다리꼴의 정의

②번은 사다리꼴이 등변사다리꼴이 되는 조건이에요. 등변사다리꼴은 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴이니까 ②번에는 "밑변의 양 끝각이 같다."라는 조건이 들어가면 되겠고요. 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

③번은 사다리꼴이 평행사변형이 되는 조건이에요. 평행사변형이 되는 조건에서 총 다섯 가지의 조건을 알아봤어요. 그런데 사다리꼴이라는 전제가 주어져 있으니 다 쓰지는 않고, 이걸 이용하는 조건만 적어보죠. 사다리꼴은 이미 한 쌍의 대변이 평행하니까 나머지 한 쌍의 대변이 평행하면 두 쌍의 대변이 평행해지겠죠? 그래서 ③번에는 "다른 한 쌍의 대변도 평행"이라는 조건이 들어가면 되겠네요. 또 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있어요. 그래서 사다리꼴에서 "평행한 대변의 길이가 같다"가 되어도 괜찮습니다.

원래 조건이 5가지인데, 이건 그냥 사각형이나 사다리꼴이나 다 상관없이 적용되는 조건이니까 일반적인 사각형과 사다리꼴과 굳이 분리해서 생각할 필요는 없어요.

④번은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요. 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이에요. 따라서 평행사변형의 한 내각이 90°가 되면 직사각형이 되죠. ④번에는 한 내각의 크기가 90°라는 조건이 맞겠네요. 이걸 다르게 표현하면 이웃한 두 내각의 크기가 같다고도 할 수 있죠. 또는 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 이 조건을 써도 되고요. 직사각형이 되는 조건

⑤번은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이에요. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이에요. 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이가 같으면 마름모가 되죠. 따라서 ⑤번에는 이웃한 두 변의 길이가 같다고 쓰면 되겠네요. 또 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하지요? 평행사변형의 두 대각선이 서로 직교하면 마름모가 되니까 이걸 ⑤번에 써도 상관없어요. 마름모가 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건은 ⑤번이고, 마름모가 정사각형이 되는 조건은 ④번이에요. 번호가 같다는 건 그 조건도 같다는 거니까 위에 있는 걸 그대로 쓰면 되지요.

정리해보죠.

1. 사각형 → 사다리꼴
   • 한 쌍의 대변이 평행
2. 사다리꼴 → 등변사다리꼴
   • 밑변의 양 끝각의 크기가 같다.
3. 사다리꼴 → 평행사변형
   • 다른 한 쌍의 대변이 평행
   • 평행한 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
   • 참고. 사각형 → 평행사변형의 조건은 총 5개
4. (평행사변형 → 직사각형) = (마름모 → 정사각형)
   • 한 내각의 크기 = 90°
   • 이웃한 두 내각의 크기가 같다.
   • 두 대각선의 길이가 같다.
5. (평행사변형 → 마름모) = (직사각형 → 정사각형)
   • 이웃한 두 변의 길이가 같다.
   • 두 대각선이 서로 직교

여러가지 사각형의 대각선

사각형의 특징을 가장 잘 나타내는 것 한 가지를 고르라고 하면 대각선이에요. 각 사각형별로 대각선이 어떤 특징을 나타내고 어떤 차이가 있는 지를 표로 나타내봤어요. 같은 성질을 지닌 게 하나도 없죠? 따라서 대각선만 잘 봐도 그 사각형이 어떤 사각형인지 알 수 있어요.

예를 들어 문제를 푸는데 사각형의 대각선이 서로 직교해요. 대각선의 길이도 같으면 그 사각형은 정사각형이고, 길이가 같지 않으면 마름모가 되는 거죠.

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이번에는 마름모입니다. 마름모는 다 알잖아요. 다이아몬드처럼 생긴 거. 보통 그렇게 그리잖아요. 직사각형과 마찬가지로 마름모의 정의와 마름모의 성질, 마름모가 되는 조건을 알아보죠. 또 각 내용을 증명해보고요.

평행사변형, 직사각형, 마름모가 나오면서 각 사각형의 정의와 성질, 조건이 헷갈릴 수 있어요. 주의해서 보세요. 앞으로도 더 많은 사각형이 나오니까 벌써 헷갈리기 시작하면 안 돼요.

마름모의 정의

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형으로 정의해요.

네 변의 길이가 모두 같으니까 마주 보는 대변의 길이도 같겠죠? 평행사변형이 되는 조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같으면 평행사변형이라고 했어요. 그러니까 마름모도 평행사변형이에요

직사각형도 평행사변형의 한 종류였죠? 마름모도 평행사변형의 한 종류에요. 하지만 직사각형과 마름모 사이에는 아무런 관계가 없으니까 주의하세요.

마름모의 성질

마름모는 평행사변형의 한 종류라서 평행사변형의 성질을 모두 가져요. 여기에 하나가 추가됩니다.

평행사변형의 성질은 세 가지가 있었어요.

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

마름모는 두 대각선이 서로 수직이등분해요. 평행사변형에서는 대각선이 서로 이등분만 했는데, 마름모는 여기에 수직으로 이등분합니다.

두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

마름모의 대각선이 서로 수직이등분하는 것을 증명해보죠. 마름모는 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 대각선은 서로 이등분하죠. 이등분하는 건 알고 있으니까 여기서는 두 대각선이 서로 수직인지만 증명하면 돼요.

마름모에 대각선을 그었어요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠.

△OAB와 △OAD를 보세요.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으니까  = ……… (1)

마름모는 평행사변형이므로 대각선은 다른 대각선을 이등분해요.  = ……… (2)

는 공통이죠. ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응각인 ∠AOB = ∠AOD가 되는데, 두 각의 합은 평각인 180°에요. 크기가 같은 두 각의 합이 180°니까 ∠AOB = ∠AOD = 90°가 됩니다.

따라서 입니다.      (증명 끝.)

마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형. 평행사변형의 한 종류
마름모의 성질: (평행사변형의 성질) + 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

평행사변형이 마름모가 되는 조건

이웃하는 두 변의 길이가 같다.

평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 같아요. 그런데 바로 이웃한 변의 길이가 같으면 결국 네 변의 길이가 같아지는 거예요. 네 변의 길이가 같은 사각형을 마름모라고 정의했으니까 이 경우에 평행사변형이 마름모가 되는 거죠.

두 대각선이 서로 직교한다.

마름모의 성질 중에 두 대각선을 서로 다른 것을 수직이등분한다고 했죠? 증명할 때는 두 대각선이 직교하는 것만 증명했어요. 이걸 거꾸로 하면 바로 마름모가 되는 조건이 되는 겁니다.

평행사변형의 두 대각선이 직교하면 마름모가 되는지 증명해볼까요? △OAB와 △OAD를 보세요.

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하니까  = 에요. ……… (1)

두 대각선이 직교한다고 했으니 ∠AOB = ∠AOD = 90° ……… (2)

는 공통 ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응변인  = 죠. 평행사변형의 두 쌍의 대변은 길이가 같으므로 인데,  = 라고 했으니까 결국 네 변의 길이가 모두 같아요.

따라서 평행사변형의 두 대각선이 직교하면 이 평행사변형은 마름모가 됩니다.     (증명 끝.)

평행사변형이 마름모가 되는 조건
1. 이웃하는 두 변의 길이가 같다.
2. 두 대각선이 서로 직교한다.

□ABCD가 평행사변형이고, 각의 크기가 그림과 같을 때 ∠ACD의 크기를 구하여라.

조금 어려운 문제일 수 있어요.

□ABCD가 평행사변형이므로 ∠CAD = ∠ACB = 50°가 돼요. (엇각)
그러면 △OBC에서 두 내각의 크기가 40°, 50°이므로 ∠BOC = 90°가 되지요.

두 대각선의 교각이 90°니까 두 대각선은 서로 수직이등분합니다. 즉 이 평행사변형은 그냥 평행사변형이 아니라 마름모인 거죠.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 △BCD는 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질에서 두 밑각은 크기가 같다고 했잖아요. 따라서 ∠DBC = ∠BDC = 40°가 됩니다. ∠BCD = 180° - 80° = 100°인데, ∠ACB = 50°이므로 ∠ACD = 50°가 됩니다.

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피타고라스의 정리를 배웠으니까 이 정리를 여러 도형에서 활용해봐야겠죠?

피타고라스의 정리라고 해서 꼭 직각삼각형에서만 사용하는 건 아니에요. 사각형에서도 활용할 수 있어요. 직각삼각형이 보이지 않는다면 선분을 잘 그어서 피타고라스의 정리를 활용할 수 있도록 그림을 변형시킬 수 있거든요.

이 글에서는 사각형과 관련된 공식이 나오는데, 공식으로 외우기보다는 그림을 외우는 것이 훨씬 이해하기 쉽고, 외우기도 쉬워서 머릿속에 오래 남아요. 그림으로 이해하고 외우세요.

피타고라스 정리의 활용

사각형에서 두 대각선이 직교할 때

다음 그림처럼 사각형에서 두 대각선이 직교할 때 네 변 길이의 상관관계를 알아보죠.

대각선이 수직으로 만나는 점을 점 O라고 하죠. 그러면 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA라는 네 개의 직각삼각형이 생겨요. 점 O에서 각 꼭짓점에 이르는 거리를 각각 a, b, c, d,라고 해보죠. 그리고 네 개의 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해보면,

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

사각형의 두 대각선이 직교할 때
⇒ 마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음 사각형의 두 대각선이 직교할 때, x를 구하여라.

마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같으므로 8² + x² = 12² + 6²
64 + x² = 144 + 36
x² = 116
x = (cm, x > 0)

직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리

이번에는 직사각형에서 알아볼까요? 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡아요. 그런 다음 점 P를 지나고 변 AB에 평행인 선을 긋습니다. 이 선이 변 AD와 만나는 점을 E, 변 BC와 만나는 점을 F라고 하죠. 이번에는 점 P를 지나고 변 BC에 평행인 선을 그어서 이 선이 변 AB와 만나는 점을 점 G, 이 선이 변 CD와 만나는 점을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형이 생겼네요.

라고 할께요.

점 P에서 네 꼭짓점 A, B, C, D에 이르는 거리에 피타고라스의 정리를 적용해보면

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

직사각형 안의 임의의 한 점 P
⇒ P에서 마주 보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음은 직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리를 나타낸 것이다. x를 구하여라.

직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점 사이의 거리의 제곱의 합이 서로 같으므로 8² + x² = 6² + 7²
64 + x² = 49 + 36
x² = 21
x = (cm, x > 0)

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직선의 정의와 직선이 만날 때 생기는 점(교점), 직선이 만나서 생기는 각(교각)에 대해서 공부하고 있어요.

이제는 두 직선이 만날 때 두 직선의 관계에 대해서 알아보죠. 두 직선이 만나므로 평행한 두 직선은 아니고 그렇다고 일치하는 두 직선도 아니에요.

두 직선이 만나는 교점에서 교각이 90°인 직각일 때 어떤 의미를 가지는지 공부해봐요.

수직과 직교, 수선

직선 AB와 직선 CD가 만나는 점은 교점이라고 하고, 만나서 생기는 각은 교각이라고 해요. 그런데 이 교각이 90°일 때가 있는데, 이때를 두 직선이 직교한다고 해요. 직각으로 만난다는 말이지요.

당연한 얘기지만 한 교각이 90°면 두 직선이 만나서 생기는 모든 교각이 90°에요.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 두 직선은 서로 수직이라고 말해요. 아주 따지고 들어가면 의미의 차이가 있지만 그냥 직교와 수직은 같은 뜻이라고 생각해도 좋아요.

수학에서는 의미를 쉽게 알 수 있게 기호로 표시하죠. 수직, 직교는 기호로 ⊥로 표시해요. 모음인 ㅗ처럼 생겼죠? 세로인 직선과 가로인 직선이 직각으로 만났을 때를 기호로 표시한 거라는 걸 알 수 있겠지요?

직선 AB와 직선 CD가 수직이면 로 씁니다.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 한 직선을 다른 직선의 수선이라고 해요. 수직인 선이라는 뜻이죠. 직선 AB는 직선 CD의 수선이고, 직선 CD는 직선 AB의 수선이 되는 거죠.

직교, 수직, 수선은 두 직선의 교각이 90°일 때라는 걸 기억하세요.

수선의 발

한 직선 l과 직선 위에 있지 않은 한 점 P가 있다고 해보죠. 이때 점 P 을 지나는 새로운 직선을 그리는데, 직선 l에 수직인 직선, 즉 수선을 그었을 때 교점이 생기겠죠? 이 점을 H라고 할게요. 교점 H에는 교각이 몇 °일까요? 당연히 90°겠죠? 수선을 그었으니까요.

이때 이 점 H를 수선의 발이라고 해요. 새로 그은 직선이 직선 l의 수선이잖아요.

그냥 간단하게 두 직선이 수직으로 만나는 교점을 수선의 발이라고 생각하면 돼요. 수선의 발은 교점 중에서도 수직(직교)일 때 교점이라는 걸 알아두세요.

점과 직선 사이의 거리

두 점 사이의 거리, 중점에서 점 A와 점 B 사이의 거리는 두 점을 연결하는 가장 짧은 선, 즉 선분 AB의 길이라는 걸 공부했어요.

그럼 점 P와 직선 l 사이의 거리는 어떻게 구할까요. 마찬가지로 점 P와 직선 l을 연결하는 가장 짧은 선의 길이를 구하면 돼요. 그런데 가장 짧은 선이 뭐냐면 바로 직선 l에 수직인 선이에요. 직선 l이 수직인 선과 만나는 교점을 수선의 발, H라고 했어요. 그러니까 점 P와 직선 l 사이의 거리는 점 P와 점 H 사이의 거리가 되고, 이건 선분 PH의 길이와 같아요.

점과 직선 사이의 거리 = 점과 수선의 발 사이의 거리 = 선분 PH의 길이

점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 그어 수선의 발을 찾고, 점과 수선의 발 사이의 길이를 구하면 되는 거죠.

다음 그림을 보고 물음에 답하여라.
선분 AB의 길이 = 5cm, 선분 BC의 길이 = 10cm, 선분 AD의 길이 = 4cm이다.
(1) 선분 AD의 수선을 모두 구하여라.
(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하여라.

(1) 선분 AD의 수선을 구하라고 했네요. 수선은 수직인 직선이에요. 선분 AD에 수직인 직선은 빨간 직각 표시가 있는 선분 BD와 선분 CD, 그리고 이 둘을 포함한 선분 BC가 되겠네요.

(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하라고 했는데요. 점과 선분의 거리는 점에서 선분으로 수선을 긋고, 수선과 직선이 만나는 교점(수선의 발)과 점 사이의 거리를 구하는 거죠? 점 A에서 선분 BC에 그은 수선은 선분 AD가 되고요. 이 수선의 발은 점 D에요. 점 A에서 선분 BC까지의 거리는 선분 AD의 길이가 되고 이건 문제에서 4cm라고 줬네요. 따라서 점 A와 선분 BC 사이의 거리는 4cm네요.

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