수학방

1. 두 다항식 A = x² - x + 1, B = x² + x에 대하여 A - B는?
① -2x - 1     ② -2x + 1
③ 2x - 1     ④ 2x + 1

대입해서 정리해보죠.

A - B
= (x² - x + 1) - (x² + x)
= x² - x + 1 - x² - x
= -2x + 1

답은 ②번입니다.

다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈

2. 등식 (x - 1)² + a(x - 1) + b = x² - x + 2는 x에 대한 항등식이다. 두 상수 a, b에 대하여 a + b의 값은?
① -3     ② -1     ③ 1     ④ 3

항등식에서 계수를 구하는 미정계수법 문제예요.

수치대입법을 이용해서 문제를 풀어보죠.

식에 x = 1을 대입하면

(1 - 1)² + a(1 - 1) + b = 1² -1 + 2
b = 2

b = 2, x =2를 식에 대입하면

(2 - 1)² + a(2 - 1) + 2 = 2² - 2 + 2
1 + a + 2 = 4 - 2 + 2
a = 1

a + b
= 1 + 2
= 3

답은 ④번이네요.

미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

3. 다항식 x³ + 2x² - x + 1을 x - 1로 나누었을 때, 나머지는?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

f(x) = x³ + 2x² - x + 1이라고 하면

f(x) = (x - 1)Q(x) + R

나머지 정리에 의해 f(x)를 (x - 1)나누었을 때의 나머지는 f(1)이므로 x = 1을 대입해보죠.

f(1) = 1³ + 2 × 1² - 1 + 1 = (1 - 1)Q(1) + R
R = 1 + 2 - 1 + 1 = 3

답은 ③번입니다.

나머지정리, 인수정리

4. (1 + 2i)(3 - i) = a + 5i일 때, 실수 a의 값은? (단 i = )
① 1     ② 3     ③ 5     ④ 7

곱셈공식을 이용해서 전개해보죠.

(1 + 2i)(3 - i)
= 3 - 2i² + 6i - i
= 3 + 2 + 5i     (∵ i² = -1)
= 5 + 5i

a = 5

답은 ③번입니다.

복소수, 허수와 허수단위
복소수의 사칙연산, 분모의 실수화

5. -1 ≤ x ≤ 2인 범위에서 이차함수 y = - x² + 2x + 2의 최댓값과 최솟값의 합은?
① -2     ② -1     ③ 1     ④ 2

y = - x² + 2x + 2
= -(x² - 2x) + 2
= -(x² - 2x + 1 - 1) + 2
= -(x² - 2x + 1) + 1 + 2
= -(x - 1)² + 3

범위가 주어진 이차함수에서 꼭짓점의 x좌표가 범위 안에 있으면 꼭짓점의 y좌표와 범위 양쪽의 경계값 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이에요.

만약 x좌표가 범위 안에 있지 않으면 양쪽 경계값 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값이고요.

문제에서 이차함수의 꼭짓점의 x좌표는 1로 주어진 범위 안에 포함되어 있으네요.

f(1) = -(1 - 1)² + 3 = 3
f(-1) = -(-1 - 1)² + 3 = -1
f(2) = -(2 - 1)² + 3 = 2

세 값중 가장 큰 값인 f(1) = 3이 최댓값, 가장 작은 f(-1) = -1이 최솟값이에요.

3 + (-1) = 2

답은 ④번입니다.

이차함수의 최대, 최소와 이차함수 최대,최소의 활용

6. 연립방정식 의 해가 x = 3, y = b일 때, a + b의 값은?
① 5     ② 7     ③ 9     ④ 11

첫 번째 식에 x = 3을 대입해서 y를 구해보죠.

3 - y = 1
y = 2

x = 3, y = 2를 두 번째 식에 대입해보죠.

3² - 2² = a
a = 9 - 4 = 5

a = 5, b = 2이므로 a + b = 5 + 2 = 7

답은 ②번입니다.

연립이차방정식의 풀이

7. 그림은 이차부등식 (x + a)(x + b) ≥ 0의 해를 수직선 위에 나타낸 것이다. 두 상수 a, b에 대하여 a + b의 값은?
① -4     ② -2     ③ 0     ④ 2

이차부등식에서 (x - α)(x - β) ≥ 0 꼴이라면 해는 좌변을 0으로 만드는 두 수 α, β 중 큰 것보다는 크거나 같고, 작은 것보다는 작거나 같아요.

(x + a)(x + b) ≥ 0

이므로 x ≤ -a or x ≥ -b 꼴의 해가 되어야 해요. (a > b라고 가정하면)

수직선 위의 두 수 1, 3에서 해가 갈리므로 -a = 1, -b = 3가 되어야 하므로 a = -1, b = -3

a + b = -1 + (-3) = -4

답은 ①번입니다.

이차부등식, 이차부등식의 해

8. 좌표평면 위의 두 점 A(-1, 1), B(3, 5)에 대하여 선분 AB의 중점의 좌표는?
① (1, 2)     ② (1, 3)     ③ (2, 2)     ④ (2, 3)

중점은 두 점을 이은 선분을 1 : 1로 내분하는 점이에요. 내분점 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는

m : n = 1 : 1

x좌표 :  = 1

x좌표 :  = 3

두 점 A, B의 중점은 (1, 3)

답은 ②번입니다.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점 공식

9. 좌표평면 위의 두 점 A(2, 1), B(0, -3)을 지나는 직선의 방정식은?
① y = 2x - 3     ② y = 2x + 1
③ y = 3x - 3     ④ y = 3x + 1

두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식 공식은
x₁ ≠ x₂일 때, y - y₁ = (x - x₁)
x₁ = x₂일 때, x = x₁

x¹ ≠ x²이므로 첫번째 공식을 써보죠.

y - 1 = (x - 2)
y = 2(x - 2) + 1
y = 2x - 3

답은 ①번입니다.

직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기

10. 중심의 좌표가 (-2, 1)이과 y축에 접하는 원의 방정식은?
① x² + y² - 4x + 2y + 1 = 0
② x² + y² - 4x + 2y + 4 = 0
③ x² + y² + 4x - 2y + 1 = 0
④ x² + y² + 4x - 2y + 4 = 0

보통 중심의 좌표가 a, b, 반지름이 r인 원의 방정식을 (x - a)² + (y - b)² = r²이라고 써요.

만약에 y축에 접한다면 a² = r²이므로 (x - a)² + (y - b)² = a²으로 쓰죠.

중심이 (-2, 1)이고 y축에 접하는 방정식은

(x - (-2))² + (y - 1)² = (-2)²
(x + 2)² + (y - 1)² = 4
x² + 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 4
x² + y² + 4x - 2y + 1 = 0

답은 ③번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 축에 접하는 원의 방정식

11. 두 직선 x + 3y - 6 = 0, y = mx - 1이 서로 수직으로 만날 때 상수 m의 값은?
① -3     ② -     ③ 2     ④ 3

두 직선을 모두 일반형으로 모양을 바꿔보죠. x + 3y - 6 = 0, mx - y - 1 = 0

두 직선 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0이 서로 수직일 때는 aa' + bb' = 0을 만족할 때예요.

1 × m + 3 × (-1) = 0
m = 3

따라서 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
[고등수학/고1 수학] - 두 직선의 위치관계 - 일반형

12. 그림과 같이 중심이 (2, 2)이고 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식은 (x - a)² + (y - b)² = r²이다. a + b + r의 값은
① 2     ② 4     ③ 6     ④ 8

(x - a)² + (y - b)² = r²은 중심이 a, b이고 반지름이 r인 원의 방정식이죠. 중심의 좌표가 제1사분면 위의 점인 (2, 2)니까 a = 2, b = 2네요.

x축, y축에 동시에 접하므로 이 방정식의 반지름은 원의 중심의 x, y좌표와 같아요. r = 2죠.

a + b + r = 2 + 2 + 2 = 6

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 축에 접하는 원의 방정식

13. 좌표평면 위의 두 점 A(1, 3), B(-2, 3)가 있다. 점 A와 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 점 D와 C라고 할 때, □ABCD의 넓이는?
① 6     ② 9     ③ 15     ④ 18

(x, y)를 x축에 대하여 대칭이동하면 x좌표는 그대로, y좌표는 부호가 반대로 바뀌죠.

점 (1, 3)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 D(1, -3)
점 (-2, 3)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 C(-2, -3)

(□ABCD의 넓이) = (AB의 길이) × (BC의 길이) = 3 × 6 = 18

따라서 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동

14. 그림에서 색칠한 부분의 영역을 부등식으로 나타내면?
① y > 2x - 2     ② y < 2x - 2     ③ y > -2x + 2     ④ y < -2x + 2

점선이 나타내는 직선의 방정식을 구해보죠. 점선이 두 점(1, 0), (0, -2)를 지나네요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식으로 구할 수 있어요.

점선이니까 등호가 없는 부등호(> or <)를 포함하는 부등식이겠죠? 그런데 점선보다 더 위쪽 영역에 색이 칠해져 있으니까 y가 식보다 큰 경우예요. y > ax + b꼴이죠.

따라서 y > 2x + 2가 색칠한 영역이 나타내는 부등식입니다.

답은 ①번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
[고등수학/고1 수학] - 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)

15. 그림의 함수 f: X → Y와 그 역함수 f^-1: Y → X에 대하여 (f^-1 ο f)(4)의 값은?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

원래 함수와 역함수를 합성한 합성함수는 항등함수이에요. 어떤 값을 넣어도 결과는 원래 값이 나오죠. (f^-1 ο f)(x) = I(x) = x (x ∈ X)

(f^-1 ο f)(4) = 4

따라서 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 합성함수, 함성함수란
[고등수학/고1 수학] - 역함수의 성질, 역함수의 그래프

16. 그림은 이차함수 y = (x - a)(x - 3)의 그래프이다. 이 함수의 최솟값을 b라고 할 때 a + b의 값은?
① -5     ② -3     ③ -1     ④ 1

그래프를 보면 x축과 두 점에서 만나요. (-1, 0), (3, 0)

y = (x + 1)(x - 3)
  = x² - 2x - 3
  = (x² - 2x + 1 - 1) - 3
  = (x - 1)² - 4

a = -1, b = -4이므로 a + b = -1 + (-4) = -5

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소
[중등수학/중3 수학] - 이차함수 식 구하기

17. 다음은 분수함수 의 그래프이다. a - b의 값은? (단, a, b는 상수)
① 0     ② 2     ③ 4     ④ 6

먼저 문제의 그래프를 좀 보죠. 라는 그래프의 점근선은 x = -1, y = -2에요. 그리고 원점 (0, 0)을 지나는 쌍곡선이네요.

는 의 그래프를 x축으로 -1만큼, y축으로 b만큼 평행이동한 그래프예요. 이때 점근선은 x = -1, y = b이므로 위의 내용과 비교해보면 b = -2라는 걸 알 수 있어요.

식을 다시 써보면 가 되고 이 그래프는 원점을 지나니까 식에 (0, 0)을 대입하면 a를 구할 수 있어요.

a = 2

a - b = 2 - (-2) = 4

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 유리함수, 다항함수, 분수함수, 점근선
[고등수학/고1 수학] - 유리함수 2, 분수함수

18. 그림과 같이 부채꼴 A, B가 있다. 부채꼴 A의 호의 길이를 a, 부채꼴 B의 호의 길이를 b라고 할 때, a - b의 값은?
① π     ② π     ③ π     ④ π

중심각의 크기와 반지름의 길이를 알려줬네요. 반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이 l = rθ이에요.

답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 부채꼴 호의 길이와 넓이, 호도법이용

19. 그림에서 원점 O와 점 P(-3, 4)를 지나는 동경 OP가 나타내는 각을 θ라고 할 때, sinθ + cosθ의 값은?
①      ②      ③      ④ 

θ가 제2사분면 위의 각이니까 sinθ > 0, cosθ < 0이에요.

피타고라스의 정리를 이용하면 OP = 5이므로 sinθ = , cosθ = -

sinθ + cosθ =  + (-) = 

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의, sin, cos, tan, 삼각함수 값의 부호

20. A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 주사위 A의 눈의 수는 짝수, 주사위 B의 눈의 수는 3의 배수가 나오는 경우의 수는?
① 3     ② 4     ③ 5     ④ 6

두 개의 주사위를 던지고 두 주사위 눈금의 결과를 모두 얻어야 하는 사건으로 곱의 법칙을 이용해야 해요.

주사위 A의 눈의 수가 짝수가 나오는 경우의 수는 2, 4, 6으로 3가지
주사위 B의 눈의 수가 3의 배수가 나오는 경우는 수는 3, 6으로 2가지

3 × 2 = 6으로 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 합의 법칙, 곱의 법칙

2014년 제2회 고등학교 졸업학력 검정고시 기출문제 정답 및 풀이

내분점의 좌표를 구하는 문제네요.

점 A(x₁)와 점 B(x₂)를 m : n으로 내분하는 점 P(x)의 x좌표 공식에 넣어보죠.

x =

답은 ②번 P(6) 입니다.

[고등수학/고1 수학] - 선분의 내분점과 외분점 공식 1 - 수직선

직선의 방정식을 구하는 문제입니다.

두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이에요.

(-3) × a = -1
a =

두 직선이 y축에서 만난다고 했어요. 이 말은 y절편이 같다는 말이에요. y = -3x + 6의 y절편 6이므로 y = ax + b의 y절편도 6이에요.

기울기와 y절편을 알았으니 이제 직선의 방정식을 구해보죠. y = ax + b = x + 6

a = , b = 6이므로 ab =  × 6 = 2

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
[고등수학/고1 수학] - 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직

원의 방정식을 구하는 문제입니다.

원의 중심이 (3, 2)이고 원점 (0, 0)을 지나는 원의 방정식이네요.

원의 중심이 (3, 2)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - 3)² + (y - 2)² = r²이에요.

이 원의 방정식이 원점 (0, 0)을 지나죠? 대입해보죠.

(x - 3)² + (y - 2)² = r²
(0 - 3)² + (0 - 2)² = r²
3² + 2² = r²
r² = 13

따라서 구하는 원의 방정식은 (x - 3)² + (y - 2)² = 13이네요.

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 원의 방정식, 원의 방정식 표준형

직선을 x축에 대칭이동한 방정식을 구하는 문제네요.

도형을 x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 대입해주면 돼요.

y = 2x + 4 → -y = 2x + 4 → y = -2x - 4

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동

부등식의 영역을 구하는 문제네요.

원점 (0, 0)을 식에 대입해보죠. 0 > 0 - 1이 되어 이 부등식은 참이에요. 따라서 원점이 있는 영역이 부등식의 영역에 해당하죠. 원점이 있는 곳에 함께 있는 점이 문제에서 구하는 점입니다. A, B네요.

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)

합성합수의 값을 구하는 문제네요.

합성함수는 순서대로 그냥 구하면 돼요.

(g ο f)(2) = g(f(2)) = g(6) = 1

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 합성함수, 함성함수란

이차함수의 최솟값을 구하는 문제네요.

이차함수의 최솟값을 구하려면 표준형으로 바꿔야 해요.

y = (x - 1)(x - 5)
y = x² - 6x + 5
y = (x² - 6x + 9 - 9) + 5
y = (x - 3)² - 4

정의역이 실수 전체의 집합일 때, 아래로 볼록한 이차함수의 최솟값은 꼭짓점의 y좌표이므로 이 이차함수의 최솟값은 -4네요.

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소
[중등수학/중3 수학] - 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대 최소

분수함수 의 그래프는 의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프예요.

이 p와 q는 점근선을 통해서 구할 수 있죠. 세로 방향의 점근선은 x = -1이므로 p = -1, 가로 방향의 점근선은 y = 2이므로 q = 2이에요.

이 그래프가 (0, 1)을 지나므로 대입해보죠.

a + p + q = (-1) + (-1) + 2 = 0

답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 유리함수 2, 분수함수

부채꼴의 호의 길이를 이용해서 중심각의 크기를 구하는 문제입니다.

공식에 그대로 대입해보죠.

l = rθ
 = 2 × θ
θ =

답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 부채꼴 호의 길이와 넓이, 호도법이용

동경 OP가 제 4 사분면에 있으니까 sinθ는 음수예요. (올 - 싸 - 탄 - 코)

원의 반지름인 OP의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구할 수 있죠? 5예요.

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의, sin, cos, tan, 삼각함수 값의 부호

2014년 제2회 고등학교 졸업학력 검정고시 기출문제 정답 및 풀이

집합의 원소를 구하는 문제네요.

U와 A를 원소나열법으로 써보죠.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 3, 5, 7, 9}

A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {4, 5, 6, 7} =  {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
(A ∪ B)^c = U - (A ∪ B} = {2, 8, 10}

따라서 a = 2이고 답은 ②번입니다.

집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램
교집합과 합집합
전체집합, 여집합, 차집합

명제의 참, 거짓을 묻는 문제입니다. 사실은 역, 이, 대우의 참, 거짓을 묻는 문제죠.

명제가 참이면 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이에요. 역이 참이면 이도 참이고, 역이 거짓이면 이도 거짓이죠. 하지만 명제와 역의 참, 거짓은 관계가 없어요.

명제 "두 삼각형이 합동이면 넓이는 같다."는 참이죠? 그렇다면 그 대우도 참이에요. 보기에서 대우를 찾으면 되겠네요.

두 삼각형이 합동이면 넓이는 같다. ↔ 두 삼각형의 넓이가 같지 않으면 합동이 아니다.

①번은 아무것도 아니고, ②번은 명제의 역, ③번은 명제의 이, ④번은 명제의 대우네요.

따라서 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법

연산의 결과를 구하는 문제입니다.

연산 ＊은 연산 기호 앞의 수에서 연산 기호 뒤의 수를 빼는 연산이에요. 이것만 기억하면 쉽죠.

4 ＊ {6 ＊ (-3)}
= 4 ＊ {6 - (-3)}
= 4 * 9
= 4 - 9
= -5

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 항등원과 역원, 연산법칙

복소수의 연산문제입니다.

그냥 간단히 대입해서 풀면 되죠. 실수 부분은 실수 부분끼리, 허수 부분은 허수 부분끼리 계산해요.

α + 2β
= (5 - i) + 2(1 + 2i)
= 5 - i + 2 + 4i
= (5 + 2) + (-1 + 4)i = 7 + 3i

답은 ④입니다.

[고등수학/고1 수학] - 복소수의 사칙연산, 분모의 실수화

다항식의 계산입니다. 다항식을 계산해서 미정계수를 구하는 문제지요.

AB = (x + 3)(2x² - x + 1)
= 2x³ + 6x² - x² - 3x + x + 3
= 2x³ + 5x² - 2x + 3
= ax³ + 5x² - 2x + b

두 다항식이 같으려면 동류항의 계수도 같아야 하니까 a = 2, b = 3죠.

a + b = 2 + 3 = 5

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 곱셈공식, 곱셈공식 유도, 고1 곱셈공식
[고등수학/고1 수학] - 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

항등식의 성질을 묻는 문제입니다.

항등식은 x에 어떤 수를 대입해도 항상 성립하는 등식이에요. 문제에 나온 식을 전개해서 정리해보죠.

x² + 5 = (x + 1)² - 2(x + 1) + k
x² + 5 = x² + 2x + 1 - 2x - 2 + k
x² + 5 = x² + k - 1

항등식이려면 양변에서 차수가 같은 항의 계수가 서로 같아야 하므로 상수항 k - 1 = 5여야 해요.

k = 6이므로 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 항등식과 항등식의 성질

분수식을 계산하는 문제네요. 분수식을 계산할 때는 분수를 계산할 때처럼 통분, 약분을 해요. 약분할 때는 인수분해를 먼저 하고요.

따라서 답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산

이중근호를 계산하는 문제네요. 더해서 3, 곱해서 2가 되는 수는 2와 1이죠?

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이중근호, 이중근호 풀기

근과 계수와의 관계를 묻는 문제네요. 그런데 여기에 곱셈공식의 변형까지 추가되어 있어요.

α² + β² = (α + β)² - 2αβ예요.

α + β =  = 5
αβ =  = 2

α² + β² = (α + β)² - 2αβ
= 5² - 2 × 2
= 25 - 4
= 21

답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차방정식의 근과 계수와의 관계
[고등수학/고1 수학] - 고1 곱셈공식의 변형, 곱셈공식의 변형 유도
[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식의 변형

연립이차부등식의 해를 구하는 문제입니다.

연립이차부등식의 해는 각 부등식의 해의 교집합이죠.

이차부등식은 인수분해를 해서 해를 구하고요.

(x - α)(x - β) < 0     (α < β)꼴일 때, 해는 α < x < β죠. 작은 것과 큰 것 사이예요.

x² - 6x - 7 < 0
(x - 7)(x + 1) < 0
-1 < x < 7

(x - 2)(x - 9) < 0
2 < x < 9

연립부등식의 해는 2 < x < 7

이중 정수는 3, 4, 5, 6의 네 개네요. 답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 연립이차부등식, 연립이차부등식의 풀이
[고등수학/고1 수학] - 이차부등식, 이차부등식의 해

2014년도 제1회 고등학교 졸업학력 검정고시 기출문제 수학 문제 풀이

집합의 원소를 구하는 문제네요.

B를 원소나열법으로 써보면 B = {1, 3, 5, 7, 9}예요.

A∪B에서 B의 원소를 제거해보죠. (A∪B) - B = {2, 4}

집합 A는 2, 4를 반드시 포함하는 집합이어야 하므로 a = 4인 걸 알 수 있어요.

답은 ③번입니다.

집합에서 원소란?
집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램
교집합과 합집합

명제: x = 2이면 x² = 4이다.
역: x² = 4이면 x = 2이다.
이: x ≠ 2이면 x² ≠ 4이다.
대우: x² ≠ 4이면 x ≠ 2이다.

x의 범위가 나오지 않았지만 실수라고 해보죠.

x² = 4면 x = ±2이므로 역은 거짓이에요.

x ≠ 2이더라도 x = -2면 x² = 4이므로 이도 거짓이에요.

x² ≠ 4면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.

이 문제는 이렇게 직접 명제의 참/거짓을 판별해도 되지만 명제의 성질을 알고 있으면 더 쉽게 풀 수 있어요.

명제와 대우는 참/거짓이 똑같아요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참입니다. 명제가 거짓이면 대우도 거짓이지요. 마찬가지로 역과 이도 참/거짓이 같아요. 단, 명제, 대우와 이, 역의 참/거짓은 같을 수도 있고 다를 수도 있어요.

문제에서 명제가 참이라고 했으니 대우도 참이에요. 보기 중에 대우를 포함하고 있는 건 ②, ④번이네요. 그런데 ④번에서 이가 참이면 역도 참이니까 보기에 역도 들어있어야 하는데 역이 없죠? 따라서 ④번도 답이 아니에요. 결국 ②번이 답입니다.

[고등수학/고1 수학] - 명제의 참, 거짓, 반례
[고등수학/고1 수학] - 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법

역원은 연산한 결과가 항등원이 나오도록 하는 걸 말하죠. 항등원은 연산한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 걸 말하고요.

덧셈에 대한 항등원은 0이에요. 문제에서 구하라고 한 역원을 x라고 하면 (1 + ) + x = 0이 되는 x를 구하면 돼요.

(1 + ) + x = 0
x = -1 -

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 항등원과 역원, 연산법칙

복소수가 같을 조건을 묻는 문제예요.

복소수가 같으려면 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 하죠?

우변 0 = 0 + 0i로 실수 부분 = 0, 허수 부분 = 0이에요. (a + 1) + (b - 3)i = 0 = 0 + 0i

a + 1 = 0, b - 3 = 0이어야 해요.

a = -1, b = 3이므로 a + b = - 1 + 3 = 2

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 복소수, 허수와 허수단위

다항식을 전개해서 계수를 구하는 문제네요.

다항식의 곱을 전개해서 계수를 비교하면 되겠네요. 두 다항식이 같으려면 차수가 같은 항의 계수도 같아야 하니까요.

(2x + 1)(x - 2) = ax² + bx + c
2x² - 3x - 2 = ax² + bx + c

a = 2, b = -3, c = -2

a + b + c = 2 + (-3) + (-2) = -3

답은 ②번이군요.

[고등수학/고1 수학] - 곱셈공식, 곱셈공식 유도, 고1 곱셈공식
[고등수학/고1 수학] - 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

항등식의 성질을 이용해서 나머지를 구하는 문제입니다. 나머지정리라고 하죠.

f(x) = x² - 3x + 5 = (x - 1)Q(x) + R

나머지정리를 이용하면 나머지 R만 바로 구할 수 있죠? 우변에 나머지 R만 남고 (x - 1)Q(x) = 0이 되도록 x = 1을 대입해보죠.

f(1) = 1 - 3 + 5 = (1 - 1)Q(1) + R
R = 3

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 나머지정리, 인수정리

분수식의 계산을 할 때는 일반 분수를 계산할 때처럼 통분을 해요. 그리고 약분도 하고요. 인수분해를 할 수 있으면 인수분해를 해서 약분을 하죠.

문제에서 준 식은 분모가 같으니까 따로 통분할 필요가 없네요.

답은 ②번 1입니다.

[고등수학/고1 수학] - 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산

이중근호를 푸는 문제네요.

꼴의 이중근호를 풀면 문제에 나온 것처럼  - 꼴로 풀려요.

더해서 5, 곱해서 6이 되는 두 수는 2와 3이에요. 그런데 가운데 부호가 음수니까 앞에 있는 수가 더 커야 해요. 문제 마지막에 괄호에 나온 것처럼 a > b여야 하죠. a = 3, b = 2네요.

a + b = 3 + 2 = 5

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이중근호, 이중근호 풀기

근과 계수와의 관계를 묻는 문제입니다. 물론 두 근 α, β를 직접 구해서 계산해도 되지만 근과 계수와의 관계를 이용하면 훨씬 간단하죠.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때, α + β = , αβ = 죠.

α + β + α, β + 1
=  +  + 1
=  +  + 1
= -1

답은 ①번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 이차방정식의 근과 계수와의 관계

연립이차부등식의 해를 구하는 문제네요.

연립부등식의 해는 각 부등식의 해를 구한 다음 두 부등식의 해의 공통부분을 구하는 거죠. 두 번째 부등식은 이차부등식인데 부등식이 0보다 작으니까 해는 작은 것과 큰 것 사이예요.

3x - 6 > 0
3x > 6
x > 2

(x - 1)(x - 4) < 0
1 < x < 4

두 부등식 해의 공통부분은 2 < x < 4네요.

α = 2, β = 4이므로 α + β = 6입니다.

답은 ③번.

[고등수학/고1 수학] - 이차부등식, 이차부등식의 해
[고등수학/고1 수학] - 연립이차부등식, 연립이차부등식의 풀이