1. 두 다항식 A = x2 - x + 1, B = x2 + x에 대하여 A - B는?
① -2x - 1     ② -2x + 1
③ 2x - 1     ④ 2x + 1

대입해서 정리해보죠.

A - B
= (x2 - x + 1) - (x2 + x)
= x2 - x + 1 - x2 - x
= -2x + 1

답은 ②번입니다.

다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈

 

2. 등식 (x - 1)2 + a(x - 1) + b = x2 - x + 2는 x에 대한 항등식이다. 두 상수 a, b에 대하여 a + b의 값은?
① -3     ② -1     ③ 1     ④ 3

항등식에서 계수를 구하는 미정계수법 문제예요.

수치대입법을 이용해서 문제를 풀어보죠.

식에 x = 1을 대입하면

(1 - 1)2 + a(1 - 1) + b = 12 -1 + 2
b = 2

b = 2, x =2를 식에 대입하면

(2 - 1)2 + a(2 - 1) + 2 = 22 - 2 + 2
1 + a + 2 = 4 - 2 + 2
a = 1

a + b
= 1 + 2
= 3

답은 ④번이네요.

미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

 

3. 다항식 x3 + 2x2 - x + 1을 x - 1로 나누었을 때, 나머지는?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

f(x) = x3 + 2x2 - x + 1이라고 하면

f(x) = (x - 1)Q(x) + R

나머지 정리에 의해 f(x)를 (x - 1)나누었을 때의 나머지는 f(1)이므로 x = 1을 대입해보죠.

f(1) = 13 + 2 × 12 - 1 + 1 = (1 - 1)Q(1) + R
R = 1 + 2 - 1 + 1 = 3

답은 ③번입니다.

나머지정리, 인수정리

 

4. (1 + 2i)(3 - i) = a + 5i일 때, 실수 a의 값은? (단 i = 허수단위 i)
① 1     ② 3     ③ 5     ④ 7

곱셈공식을 이용해서 전개해보죠.

(1 + 2i)(3 - i)
= 3 - 2i2 + 6i - i
= 3 + 2 + 5i     (∵ i2 = -1)
= 5 + 5i

a = 5

답은 ③번입니다.

복소수, 허수와 허수단위
복소수의 사칙연산, 분모의 실수화

 

5. -1 ≤ x ≤ 2인 범위에서 이차함수 y = - x2 + 2x + 2의 최댓값과 최솟값의 합은?
① -2     ② -1     ③ 1     ④ 2

y = - x2 + 2x + 2
= -(x2 - 2x) + 2
= -(x2 - 2x + 1 - 1) + 2
= -(x2 - 2x + 1) + 1 + 2
= -(x - 1)2 + 3

범위가 주어진 이차함수에서 꼭짓점의 x좌표가 범위 안에 있으면 꼭짓점의 y좌표와 범위 양쪽의 경계값 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이에요.

만약 x좌표가 범위 안에 있지 않으면 양쪽 경계값 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값이고요.

문제에서 이차함수의 꼭짓점의 x좌표는 1로 주어진 범위 안에 포함되어 있으네요.

f(1) = -(1 - 1)2 + 3 = 3
f(-1) = -(-1 - 1)2 + 3 = -1
f(2) = -(2 - 1)2 + 3 = 2

세 값중 가장 큰 값인 f(1) = 3이 최댓값, 가장 작은 f(-1) = -1이 최솟값이에요.

3 + (-1) = 2

답은 ④번입니다.

이차함수의 최대, 최소와 이차함수 최대,최소의 활용

 

6. 연립방정식 의 해가 x = 3, y = b일 때, a + b의 값은?
① 5     ② 7     ③ 9     ④ 11

첫 번째 식에 x = 3을 대입해서 y를 구해보죠.

3 - y = 1
y = 2

x = 3, y = 2를 두 번째 식에 대입해보죠.

32 - 22 = a
a = 9 - 4 = 5

a = 5, b = 2이므로 a + b = 5 + 2 = 7

답은 ②번입니다.

연립이차방정식의 풀이

 

7. 그림은 이차부등식 (x + a)(x + b) ≥ 0의 해를 수직선 위에 나타낸 것이다. 두 상수 a, b에 대하여 a + b의 값은?
① -4     ② -2     ③ 0     ④ 2

이차부등식에서 (x - α)(x - β) ≥ 0 꼴이라면 해는 좌변을 0으로 만드는 두 수 α, β 중 큰 것보다는 크거나 같고, 작은 것보다는 작거나 같아요.

(x + a)(x + b) ≥ 0

이므로 x ≤ -a or x ≥ -b 꼴의 해가 되어야 해요. (a > b라고 가정하면)

수직선 위의 두 수 1, 3에서 해가 갈리므로 -a = 1, -b = 3가 되어야 하므로 a = -1, b = -3

a + b = -1 + (-3) = -4

답은 ①번입니다.

이차부등식, 이차부등식의 해

 

8. 좌표평면 위의 두 점 A(-1, 1), B(3, 5)에 대하여 선분 AB의 중점의 좌표는?
① (1, 2)     ② (1, 3)     ③ (2, 2)     ④ (2, 3)

중점은 두 점을 이은 선분을 1 : 1로 내분하는 점이에요. 내분점 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

좌표평면 위의 두 점  A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는 좌표평면 위의 선분의 내분점의 좌표

m : n = 1 : 1

x좌표 :  = 1

x좌표 :  = 3

두 점 A, B의 중점은 (1, 3)

답은 ②번입니다.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점 공식

 

9. 좌표평면 위의 두 점 A(2, 1), B(0, -3)을 지나는 직선의 방정식은?
① y = 2x - 3     ② y = 2x + 1
③ y = 3x - 3     ④ y = 3x + 1

두 점 (x1, y1), (x2, y2)를 지나는 직선의 방정식 공식은
x1 ≠ x2일 때, y - y1 = 기울기(x - x1)
x1 = x2일 때, x = x1

x1 ≠ x2이므로 첫번째 공식을 써보죠.

y - 1 = 기울기(x - 2)
y = 2(x - 2) + 1
y = 2x - 3

답은 ①번입니다.

직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기

 

10. 중심의 좌표가 (-2, 1)이과 y축에 접하는 원의 방정식은?
① x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0
② x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0
③ x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0
④ x2 + y2 + 4x - 2y + 4 = 0

보통 중심의 좌표가 a, b, 반지름이 r인 원의 방정식을 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이라고 써요.

만약에 y축에 접한다면 a2 = r2이므로 (x - a)2 + (y - b)2 = a2으로 쓰죠.

중심이 (-2, 1)이고 y축에 접하는 방정식은

(x - (-2))2 + (y - 1)2 = (-2)2
(x + 2)2 + (y - 1)2 = 4
x2 + 4x + 4 + y2 - 2y + 1 = 4
x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0

답은 ③번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 축에 접하는 원의 방정식

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