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원의 접선의 방정식 세 번째에요. 이번에는 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 방정식이에요. 원 안에서는 원에 접선을 그을 수는 없으니까 당연히 원 밖의 한 점이어야겠죠?

여기서는 공식이 나오지 않아요. 게다가 접선의 방정식을 구하는 방법도 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법을 그대로 사용하니까 이해하기 쉬울 거예요. 대신 계산이 조금 복잡한데 문제에서는 계산하기 쉽게 식을 간단하게 주니까 많이 어렵지는 않을 거예요.

앞에서 충분히 했던 내용이니까 나머지는 그대도 하면 되고, 핵심적인 내용 딱 한 가지만 기억하세요.

원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식

원 밖의 한 점 P(x₁, y₁)에서 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 그은 접선의 방정식을 구하는 건데 다른 말로는 점 P(x₁, y₁)을 지나고 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 접하는 직선의 방정식이라고도 표현해요. 직선이 2개가 생기죠?

이 직선의 기울기를 아직 모르는데 m이라고 가정해 볼게요. 이게 이 글의 핵심이에요. 기울기를 m으로 놓는 거요. 그럼 우리가 구하려고 하는 접선의 방정식은 기울기가 m이고 점 P(x₁, y₁)을 지나는 직선이에요. 직선의 방정식 구하기에서 해봤죠?

y - y₁ = m(x - x₁)

이 직선에서 m을 구하면 식이 완성돼요. m을 구하는 방법은 두 가지에요. 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법 두 가지와 같아요. 판별식 D를 이용하는 방법과 (원의 중심과 직선 사이의 거리) = (반지름)을 이용하는 방법이요.

위의 직선을 y에 관해서 정리하면 표준형으로 바꿀 수 있어요. y = m(x - x₁) + y₁

이렇게 y에 관해서 정리한 식을 원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²에 대입하면 x에 관한 이차방정식이 되고, 여기서 판별식 D = 0일 때, m을 구하면 돼요.

위의 직선을 일반형으로 바꿔보세요. mx - y - mx₁ + y₁ = 0

원의 중심 (a, b)에서 접선 mx - y - mx₁ + y₁ = 0까지의 거리가 반지름 r과 같다는 것을 이용해서 m을 구할 수도 있어요.

원 밖의 한 점(x₁, y₁)에서 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 그은 접선의 방정식
기울기를 m이라고 가정하고 y - y₁ = m(x - x₁)이라는 식을 세운다.
(1) y - y₁ = m(x - x₁)을 원의 방정식에 대입하여 판별식 D = 0 이용하여 m을 구하거나
(2) 원의 중심(a, b)에서 직선까지의 거리 = 반지름을 이용하여 m을 구한다.

(0, 4)를 지나고 x² + y² = 9에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

한 점을 지나고 원에 접하는 직선의 방정식이 바로 한 점에서 그은 접선의 방정식이에요. 같은 말이니까 헷갈리지 마세요.

직선의 방정식의 기울기를 m이라고 가정하면 이 직선이 (0, 4)를 지나니까 식을 세울 수 있어요.
y - 4 = m(x - 0)
y = mx + 4

이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x² + (mx + 4)² = 9
x² + m²x² + 8mx + 16 - 9 = 0
(m² + 1)x² + 8mx + 7 = 0

D/4 = (4m)² - (m² + 1) × 7 = 0
16m² - 7m² - 7 = 0
9m² = 7
m² =
m = ±

답은 y = ±x + 4

이번에는 판별식이 아니라 원의 중심에서 접선까지의 거리를 이용해서 구해볼까요?

y = mx + 4
mx - y + 4 = 0

원의 중심은 (0, 0)이고 반지름은 3, 접선의 방정식은 mx - y + 4 = 0이에요.

y = ±x + 4로 답이 같죠?

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중3 수학 마지막입니다. ㅎㅎ 지긋지긋한 수학 끝났다고 좋아할 수만은 없어요. 이제부터는 고등학생이니까요. 그냥 중학 수학 계속하는 게 나을지도……… 중3 수학 마지막은 비교적 쉬운 내용을 할거예요.

두 원에서 접선과 할선의 비례관계는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계의 내용을 재탕합니다. 하나의 원에서 사용하던 걸 두 원에서 사용하는 거지요. 원과 비례, 원과 비례 증명, 두 원에서 원과 비례에서 했던 것처럼요.

각각의 원에서 접선과 할선의 비례관계를 적용한 다음에 두 개를 하나로 합치는 과정만 거치면 돼요.

두 원에서 접선과 할선의 비례관계

절대 어렵지 않아요. 그림이 약간 달라졌을 뿐이에요.

두 개의 할선과 하나의 접선

두 원이 외접할 때에요. 이때는 공통접선은 하나고 할선이 두 개 있어요.

증명은 쉬워요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 좌변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 가 돼요.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

두 원이 접할 때 할선과 접선 사이에는 가 성립하므로 식에 대입하면
5 × (5 + 4) = 4 × x
4x = 45
x = (cm)

두 개의 접선과 하나의 할선

이번에는 두 원이 두 점에서 만날 때에요. 접선이 두 개고, 할선은 하나에요. 이때 두 접선의 길이는 같아요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 우변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 이 되는데, 와 는 길이로 둘 다 양수니까 이 돼요.

다음 그림을 보고 의 길이를 구하여라.

길이가 나와 있으니까  = x로 정하고 접선과 할선의 비례관계를 이용해서 식을 세워서 구해야겠죠. 하지만 너무 복잡해져요. 훨씬 쉬운 방법이 있으니 그걸 이용해보자고요.

두 원에서 할선과 접선의 관계에 따라 에요. 이므로  = ½ × 10 = 5(cm)

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원의 할선과 접선, 접점에서 공부웠던 접선과 할선이 또 나와요. 물론 원의 접선의 길이를 구할 때도 했고요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선이에요. 할선은 현을 연장한 선이기도 하지요.

이 글에서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 대해서 알아볼 거예요. 할선과 접선이 한 점에서 만나서 교점이 생기면 교점과 접점, 현의 양 끝점 사이의 거리에 특별한 관계가 있거든요.

원과 비례와 아주 비슷하므로 원과 비례에 대해서 잘 이해하고 있으면 내용을 이해하기 쉬울 거예요.

할선과 접선의 성질

원 위의 한 점 T를 지나는 접선과 현 AB를 연장한 할선이 한 점 P에서 만날 때, 교점에서 접점까지의 거리의 제곱이 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

그림으로 외우세요.

왜 그런지 증명해보죠.

원 위의 접점 T와 현의 양 끝점 A, B를 선분으로 연결하면 삼각형이 세 개가 생겨요. △PAT, △ABT와 큰 삼각형 △PTB에요.

여기서는 △PAT와 큰 삼각형 △PTB 두 개를 볼게요.

∠APT는 공통이에요.
∠ATP = ∠TBP (접선과 현이 이루는 각 - 호 AT가 포함된 각과 호 AT에 대한 원주각)

두 각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △PAT ∽ △PTB

닮은 도형의 성질에서 닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같으므로 가 되죠.

정리하면 가 돼요.

증명이 조금 어렵다면 이렇게 생각해보세요.

원과 비례에서 였어요. 여기서 가 점점 아래로 내려가면 점 C와 점 D가 한 점 T에서 만나게 되겠죠? 가 되므로, 의 우변이 이 돼요.

다음 그림에서 가 원의 할선일 때, 원의 접선 의 길이를 구하여라.

할선과 접선의 교점에서 접점까지의 거리의 제곱은 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

x² = 5 × (5 + 5)
x² = 50
x = (cm)

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이번에는 원이 두 개일 때, 두 원의 접선과 현이 이루는 각에 대해서 알아볼 거예요.

두 원과 접선의 관계부터 따져보죠. 두 원의 위치관계는 총 여섯 가지가 있어요. 여기서 다룰 내용은 그중에서도 내접과 외접 두 경우입니다. 접선은 두 원의 접점을 지나는 공통접선이에요. 두 원의 접점이 아닌 다른 곳을 지나는 접선은 다루지 않아요.

두 원과 접선의 세 도형이 한 점에서 만날 때, 접선과 현이 이루는 각의 특징에 대해서 알아보죠. 도형을 많이 그리기 때문에 조금 복잡할 수 있어요. 주의해서 잘 보세요.

두 원에서 접선과 현이 이루는 각

두 원이 외접할 때

두 원이 외접할 때, 접점을 지나는 접선과 현이 이루는 각들을 표시한 그림이에요.

위 그림에서 총 세 가지를 알 수 있어요. 첫 번째는 크기가 같은 각들이에요. 각의 수가 많은데 헷갈리지 않도록 주의하세요. 그다음은 평행한 직선이고, 세 번째는 닮은 삼각형이에요. 크기가 같은 각들의 위치만 정확히 알면 되는데요. 혹시 외우기가 어려우면 두 번째, 세 번째 내용을 이용해서 찾을 수도 있어요.

위 세 가지를 증명해보죠. 공통접선, 현이 만나서 생기는 각에 번호를 붙여봤어요.

가운데 복잡한 부분에서 크기가 같은 각들을 찾아보죠.

② = ⑤ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(1)
① = ④ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(2)
③ = ⑥ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(3)

이번에는 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각을 찾아볼까요?

① = ⑧ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(4)
③ = ⑦ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(5)
④ = ⑨ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(6)
⑥ = ⑩ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(7)

(1)에 의해 ② = ⑤
(2)와 (4), (6)에 의해서 ① = ④ = ⑧ = ⑨
(3)과 (5), (7)에 의해서 ③ = ⑥ = ⑦ = ⑩

크기가 같은 모든 각을 찾았어요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 엇각 ⑦과 ⑩이 같아요. 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

마지막으로 중요한 건 아닌데 그래도 알고 넘어가면 좋은 것 하나 추가 하자면요. △TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x°, y°의 값을 구하여라.

△TCD에서 삼각형 내각의 합 = 180°이므로 ∠TDC = 180° - (67.5° + 45°) = 67.5°

이므로 평행선에서 엇각에 의해 ∠TAB = ∠TCD에서 x° = 45°. ∠TBA = ∠TDC에서 y° = 67.5°

두 원이 내접할 때

두 원이 내접할 때, 두 원의 접점을 지나는 접선과 원의 현이 이루는 각이에요. 여기서도 역시 크기가 같은 각들의 위치가 중요해요. 두 원이 외접할 때보다는 각의 개수도 적고 위치도 알기 쉽게 되어 있네요.

그리고 평행한 현이 있다는 것과 닮은 삼각형이 있다는 것도 알 수 있어요.

접선과 현이 이루는 각에 번호를 매겼어요.

여기는 맞꼭지각이 없으니 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각부터 찾아보죠.

① = ⑥ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(1)
② = ⑤ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(2)
① = ④ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(3)
② = ③ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(4)

(1), (3)에 의해서 ① = ④ = ⑥
(2), (4)에 의해서 ② = ③ = ⑤

총 여섯 개의 각 중에서 크기가 같은 각이 세 개씩 있네요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 동위각 ③과 ⑤가 같아요. 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

△TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이지요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x, y의 값을 구하여라.

이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠TDC = ∠TBA, 즉 ∠x = ∠y죠.

접선과 현이 이루는 각에 의해 ∠PTA = ∠x이므로 x = y = 67.5(°)

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접선이 다시 나왔네요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 만나는 한 점을 접점이라고 하죠. (원의 접선, 원의 접선의 길이)

이 글에서는 내용을 정리하기는 하겠지만 이게 글만 읽어서는 무슨 소리인지 이해하기가 힘들 거에요. 그 단어 하나하나를 그림에서 짚어가면서 이해해야 무슨 말인지 알아들을 수 있으니까 천천히 읽고 따라오세요.

접선과 현이 이루는 각은 원주각을 이용해서 구할 수 있어요. 어떤 방법으로 원주각을 이용해서 구하는지 알아보죠.

접선과 현이 이루는 각

원에 접선을 그으면 접점이 생겨요. 그 접점에서 원 위의 다른 한 점에 현을 그으면 현과 접선 사이에 각이 생기겠죠? 이 각은 현의 양 끝점(접점과 원 위의 한 점)으로 이루어진 호에 대한 원주각과 같아요.

말로 하면 어렵죠? 그림을 보세요.

원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각
 = 각에 포함된 호의 원주각

원의 접선은 직선 AP, 접점은 점 A, 접점을 지나는 현은 현 AB이고, 이들이 이루는 각은 ∠BAP에요. ∠BAP 안에 호 AB가 들어있죠? ∠BAP와 호 AB에 대한 원주각이 같다는 얘기예요.

윗글을 잘 읽으면서 어떤 각과 어떤 각이 같은지 이해해야 해요. 그냥 읽어보면 뭐랑 뭐가 같다는 말인지 금방 알아듣기가 어렵거든요. 두세 번 계속해서 읽어보세요.

접선과 현이 이루는 각이 예각, 둔각, 직각일 때 세 경우로 나눠서 증명해보죠.

접선과 현이 이루는 각이 예각일 때

접선과 현이 이루는 각(∠BAP)가 예각일 때에요.

원의 중심 O와 점 A를 지나는 현을 그려보죠. 이 현은 지름이에요. 그리고 이 현의 끝점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 하나 더 그어요.

∠DAP를 보세요. ∠DAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP

원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = ∠DAB + ∠BAP = 90° ... ①

∠ACD를 볼까요? ∠ACD는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD

∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = 90° ... ②

①, ②의 두 각이 모두 90°로 같아요. 식을 바꿔 쓰면 아래처럼 되겠죠?

∠DAB + ∠BAP = ∠ACB + ∠BCD = 90°
∴ ∠BAP = ∠ACB   (∵ ∠DAB = ∠BCD, 호 BD의 원주각)

접선과 현이 이루는 각이 둔각일 때

이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 둔각일 때에요. 이때도 마찬가지로 원의 중심 O와 접점 A를 지나는 현, 지름을 그어요. 그리고 지름의 반대쪽 점 D에서 원주각이 있는 점 C에 현을 그어요.

∠BAP를 보세요. ∠BAP는 두 개의 각으로 이루어졌어요.
∠BAP = ∠BAD + ∠DAP

원의 접선에서 반지름은 원의 접선과 수직이라고 했어요.
∠DAP = 90°

두 식을 정리하면 ∠BAP = ∠BAD + 90° ... ①

호 AB에 대한 원주각인 ∠ACB를 볼까요? ∠ACB는 두 개의 각으로 이루어졌죠?
∠ACB = ∠ACD + ∠BCD

∠ACD는 원주각의 성질에 따라 지름의 원주각이므로 90°에요.
∠ACD = 90°

두 식을 정리하면 ∠ACB = ∠BCD + 90° ... ②

①의 ∠BAD와 ②의 ∠BCD는 호 BD의 원주각으로 그 크기가 같아요. 따라서 ①, ②식을 정리하면 ∠BAP = ∠ACB임을 알 수 있어요.

접선과 현이 이루는 각이 직각일 때

이번에는 접선과 현이 이루는 각(∠BAP)이 직각일 때에요.

원의 접선에 본 것처럼 접선과 현이 이루는 ∠BAP = 90°라는 말은 현에 반지름이 포함되어 있다는 말이에요. 즉 현 AB가 지름이므로 원주각의 성질에 따라 호 AB의 원주각 ∠ACB = 90°라서 두 각은 크기가 같죠.

∠BAP = ∠ACB = 90°

결국, 접선과 현이 만나서 생기는 각이 예각이든 직각이든 둔각이든 상관없이 각에 포함된 호에 대한 원주각의 크기와 같다는 것을 알 수 있어요.

다음 그림을 보고 x°, y°의 값을 구하여라.

원주각의 성질에서 지름의 원주각은 90°라고 했어요. 따라서 호 BC의 원주각인 ∠BAC = 90°에요. 삼각형 내각의 합에 따라서 ∠ACB = 180° - (22.5° + 90°) = 67.5°가 됩니다.

원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같아요.

∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각과 같아요. x° = 67.5°

∠y는 호 AC를 포함하고 있으므로 호 AC의 원주각 22.5°가 됩니다.

두 접선과 현이 이루는 각

원 밖의 한 점에서는 원에 두 개의 접선을 그을 수 있어요. 점 P에서 원에 접선을 긋고 접점을 점 A, 점 B라고 하고, 호 AB의 원주각을 ∠ACB라고 해보죠.

원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은 각에 포함되는 호의 원주각과 같죠. 접선과 현이 만나서 생기는 ∠BAP는 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같아요. 또, ∠ABP도 호 AB를 포함하고 있으므로 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 크기가 같고요.

∠BAP = ∠ACB = ∠ABP

두 각의 크기가 같은 건 다른 방법으로도 알 수 있어요.

원의 접선에서 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다고 했으니까 △PAB는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 ∠BAP = ∠ABP이죠.

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내접원은 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질에서 공부했어요. 여기서는 내접원의 성질이나 내심과 관련된 내용이 중요한 건 아니니까 내심이 잘 기억나지 않는다고 해서 겁내지 마세요. 이 글에서 필요한 건 내접원은 그냥 삼각형의 안쪽에 접한다는 것과 내심에서 각 변에 이르는 거리가 같다는 정도니까요.

하지만 삼각형의 외심과 내심은 아주 중요한 내용이니까 나중에라도 꼭 확인하고 이해할 수 있도록 하세요.

삼각형의 내접원과 접선의 길이를 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 알아보죠.

삼각형의 내접원

삼각형의 내접원을 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 넓이를 구할 수 있어요.

삼각형의 둘레의 길이 = a + b + c = 2(x + y + z)

삼각형 세 변의 길이가 a, b, c라면 둘레의 길이는 a + b + c에요.

원의 접선의 길이에서 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다고 했죠? 위 그림에서는 삼각형의 각 꼭짓점이 원 밖의 한 점에 해당해요. 각 꼭짓점에서 원에 접선을 그었을 때 접점이 바로 점 D, 점 E, 점 F가 되는 거죠.

접선의 길이를 각각 x, y, z라고 했을 때
a = y + z
b = z + x
c = x + y
a + b + c = 2(x + y + z)입니다.

삼각형의 넓이 = r(a + b + c)

원의 중심 O에서 세 꼭짓점으로 선을 그으면 세 개의 삼각형으로 나뉘어요. △OAB, △OBC, △OCA

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA

각각의 삼각형 넓이는 각 변을 밑변으로 하고, 내접원의 반지름을 높이로 하면 구할 수 있죠? 원의 중심에서 접점에 내린 반지름은 각 변에 수직이니까요. (원의 접선의 성질)

△OAB = cr

△OBC = ar

△OCA = br

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
        = cr + ar + br

        = r(a + b + c)

다음 그림에서 △ABC는 ∠B = 90°인 직각삼각형이고, 원 O는 △ABC의 내접원, 각 변의 접점이 D, E, F일 때 물음에 답하여라.
(1) 의 길이를 구하여라.
(2) 원의 넓이를 구하여라.

(1)  = x라고 해보죠. 원 밖의 한 점에서 내린 두 접선의 길이는 같기 때문에, 꼭짓점과 접점 사이의 거리는 아래처럼 표현할 수 있어요.

빗변 = (12 - x) + (9 - x) = 15
2x = 6
x = 3(cm)

(2) □ODBE를 보세요(원의 중심이 O입니다.) 이 사각형은 이웃한 두 각의 크기의 합이 180° (∠DBE + ∠OEB)이므로 평행사변형이에요. 평행사변형은 대변의 길이가 같으니까 x = 3cm이면 대변인 반지름 r = 3cm가 되지요.

사실 이 □ODBE는 정사각형이에요. 자세한 건 사각형의 정의와 성질, 조건를 참고하세요.

내접원의 반지름의 길이가 3cm이니까 넓이는 πr² = 9π(cm²)

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현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

원에 대해서 계속하고 있는데, 생각보다 어렵지 않죠? 새 단원의 시작이라서 그래요. 이 글도 별로 어렵지 않아요.

이번에는 현과는 조금은 다른 접선에 대해서 알아볼 거예요. 1학년 때 원과 직선의 위치관계, 접점, 접선, 할선에서 접선이 뭔지는 공부했어요. 기억이 정확하지 않다면 얼른 읽어보고 오세요.

이 글에서는 원의 접선의 길이를 구하는 방법과 원의 접선의 성질을 알아볼 거예요.

원의 접선

원 밖의 한 점에서 직선을 그었을 때 직선과 원이 만나는 점을 교점이라고 해요. 이 교점이 하나일 때 원과 직선이 서로 접하므로 그 직선을 접선이라고 하고 이때의 교점을 접점이라고도 해요. 또 원 밖의 한 점과 접점 사이의 거리를 접선의 길이라고 합니다.

이들 사이의 관계를 알아보죠.

원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직

원과 두 점에서 만나는 할선에서 두 교점 사이를 우리는 현이라고 하지요? 현의 수직이등분선에서 공부한 것처럼 반지름은 현을 수직이등분해요.

이 할선을 밑으로 계속 내려보세요. 그러면 한 점에서 만나게 되는데, 이 점이 바로 접점이자 반지름에서 내린 수선의 발이에요.

즉, 접점에서 반지름과 접선이 직교하는 거죠.  ⊥

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.

원 밖의 한 점에서는 원에 접선을 두 개 그을 수 있는데 두 접선의 길이가 서로 같아요.

증명해볼까요?

한 점 P에서 원에 접선을 두 개 그었어요. 그리고 점 P에서 원의 중심 O에 선을 그어보죠.

△POA와 △POB라는 삼각형 두 개가 생겼어요. 원의 반지름과 접선은 서로 직교하므로 이 두 삼각형은 직각삼각형이죠.

= 반지름 r
∠PAO = ∠PBO = 90°
는 공통

두 직각삼각형은 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △POA ≡ △POB

대응변의 길이가 같으므로  =      (증명 끝.)

위 그림에서 한 가지 추가로 알 수 있는 게 있어요. 사각형 내각의 합은 360°죠. □PAOB의 내각의 크기도 360°에요. 그런데, ∠PAO = ∠PBO = 90°이므로 남은 두 각의 합이 180°가 되어야겠죠?

접점이 아닌 두 곳의 내각의 크기의 합 = ∠APB + ∠AOB = 180°

다음 그림은 원과 그 접선들이다. x를 구하여라.

접점이 세 개가 있어요. 한 점에서 원에 그은 두 접선은 길이가 같다는 걸 이용해야겠군요.

8cm로 되어 있는 곳은 원과의 접점을 기준으로 두 부분으로 나누어지죠. 아래쪽 부분은 3cm, 위쪽 부분은 xcm입니다. x + 3 = 8이므로 x = 5(cm)네요.

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두 원의 위치관계, 내접, 외접에서 내접과 외접이라는 용어와 그 뜻을 알아봤어요. 원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 접선이라는 걸 알아봤고요.

두 원이 있을 때 두 원에 모두 접하는 선이 있을 수 있겠지요? 이 글에서는 이처럼 두 개의 원에 공통으로 접하는 접선과 그 종류에 대해서 알아볼 거예요.

그리고 두 원에 공통으로 접하는 접선이 두 원의 위치관계에 따라 어떻게 바뀌는 지와 그러한 접선이 몇 개나 생기는지도 알아볼 거고요.

공통접선

접선은 접선인데 두 원에 공통으로 접하는 접선을 공통접선이라고 해요.

접선은 접점에서 원의 반지름에 수직이라고 했어요. 따라서 공통접선은 두 원 모두에 수직이죠.

두 원이 공통접선을 기준으로 같은 쪽에 있을 때의 접선은 공통외접선, 두 원이 접선을 기준으로 반대방향에 있으면 공통내접선이라고 해요. 두 원 사이를 지나는 접선이 공통내접선이고 그게 아닌 게 공통외접선이죠.

아래 그림은 두 원의 위치관계에 맞게 공통접선을 그린 그림이에요. 파란색은 공통외접선, 빨간색은 공통내접선이에요.

첫 번째 그림에서 파란색의 공통접선 l을 기준으로 두 원이 모두 오른쪽에 있지요? 또 두 번째 그림에서 두 원이 모두 공통접선 m보다 아래쪽에 있어요. 이처럼 두 원의 공통접선을 기준으로 같은 방향에 있으니까 이 공통접선은 공통외접선이에요.

왼쪽 아래의 세 번째 그림에 보면 빨간색 n이라는 공통접선이 있죠? 이 공통접선 n을 기준으로 작은 원은 공통접선의 왼쪽에 큰 원은 공통접선의 오른쪽에 있어요. 둘이 반대방향에 있죠? 그래서 이 공통접선은 공통내접선이 되는 거예요. 아니면 큰 원과 작은 원 사이를 지나니까 공통내접선이라고 생각해도 돼요.

공통접선, 공통내접선, 공통외접선의 개수는 두 원의 위치관계에 따라 달라져요. 작은 원이 큰 원의 안에 있다가 점점 바깥으로 움직인다고 생각하고 그 순서대로 구해보죠.

두 원의 위치관계에는 총 6가지가 있었어요. 그중에 만나지 않는 경우인 내부에 있을 때와 동심원일 때는 공통접선이 없어요. 그래서 위 그림과 표에는 4가지만 있는 겁니다.

두 원의 위치관계와 마찬가지로 그 개수를 외우려고 하지는 마세요. 그냥 그림을 보고 (혹은 그림을 상상하고) 공통접선을 그리고, 공통내접선인지 공통외접선인지 구별할 줄 알면 돼요.

반지름의 길이가 5cm, 8cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 공통접선은 몇 개인지 구하여라.
(1) d = 1cm
(2) d = 11cm
(3) d = 21cm
(4) d = 13cm

공통접선이 몇 개인지 구하려면 두 원의 위치관계부터 알아야겠죠? 두 원의 위치관계를 알아볼 때는 먼저 두 원의 반지름의 합과 차를 구하면 쉽다고 했어요. 두 원의 반지름의 합은 5cm + 8cm = 13cm, 반지름의 차는 8cm - 5cm = 3cm네요.

(1) 번은 d = 1cm로 반지름의 차보다 작아요. 중심거리가 반지름의 차보다 작으면 작은 원이 큰 원의 내부에 있는 경우이고, 이때는 공통접선이 없어요. 따라서 0개에요.

(2) 번은 d = 11cm로 반지름의 차와 합 사이에 있네요. 이때는 두 점에서 만나는 경우로 공통외접선만 2개가 있어요.

(3) 번은 d = 21cm로 반지름의 합보다 크니까 두 원은 외부에 있는 경우이죠. 이때는 공통내접선이 2개, 공통외접선이 2개 해서 총 4개의 공통접선이 있어요.

(4) 번은 d = 13cm로 반지름의 합과 같네요. 이때는 외접하는 경우로 공통내접선 1개, 공통외접선 2개, 총 3개의 공통접선을 가져요.

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원을 공부했으니까 이제는 원의 위치관계에 대해서 알아볼 거예요. 점, 선, 면을 공부할 때 점, 선, 면의 위치관계에 대해서 알아봤잖아요.

평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
공간에서 두 직선의 위치관계, 평면과 직선의 위치관계

간단하게 정리해볼까요?

점과 직선의 위치관계: 직선이 점을 지난다. 지나지 않는다의 두 가지
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이번에 위치관계가 나와요. 다음 글에서도 위치관계가 하나 더 나오죠. 위치관계가 많이 나와서 헷갈릴 수 있어요. 그러니까 주의 깊게 보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계에는 만나지 않을 때, 한 점에서 만날 때, 두 점에서 만날 때의 세 가지 경우가 있어요. 세 점 이상에서 만나는 경우는 없어요.

원의 반지름의 길이를 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 하고, r과 d의 크기를 비교해볼까요?

점과 직선 사이의 거리를 구할 때 어떻게 했죠? 점과 직선 사이의 거리 중에 가장 짧은 거리, 즉 점에서 직선으로 내린 수선의 길이를 구했어요. 원의 중심과 직선 사이의 거리도 마찬가지 방법으로 구해요.

원과 직선이 두 점에서 만날 때를 생각해보세요. 원과 직선이 두 점에서 만나려면 원의 중심과 원 사이에 직선이 있어야 해요. 따라서 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름보다 짧을 수밖에 없죠. d < r이 되어야 하죠.

한 점에서 만날 때는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 반지름이 같아야 해요. 원은 기본적으로 원의 중심에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어져 있어요. 이 점 중의 하나가 바로 직선위의 점인 경우죠. d = r이에요.

서로 만나지 않을 때는 원보다 직선이 바깥에 있어야 해요. 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 길어야겠죠? 따라서 d > r이에요.

할선과 접선, 접점

원과 직선의 위치관계는 세 가지가 있다고 했어요. 이 위치관계에 따라 직선의 이름을 다르게 불러요. 어떻게 부르는지 알아보죠.

원과 직선이 두 점에서 만날 때, 이 직선을 할선이라고 해요. 분할하는 선이라는 뜻이죠. 원을 둘로 나누는 선이라서 할선이라고 불러요.

또 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선을 접선이라고 해요. 원과 접촉하는 선이라는 뜻이죠. 그리고 이때 원과 직선이 만나는 그 한 점을 접점이라고 해요. 반지름과 접선은 접점에서 항상 수직이에요.

원과 직선이 만나지 않는 경우에는 따로 생각할 게 없네요.

원의 반지름을 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 할 때, 아래 경우에서 원과 직선의 위치관계를 말하여라.
(1) r = 5cm, d = 3cm
(2) r = 5cm, d = 5cm
(3) r = 5cm, d = 7cm
(4) r = 14cm, d = 15cm

(1)에서 r > d 에요. d가 더 짧으니까 원안에 직선이 있다는 뜻이죠. 이 때는 두 점에서 만나는 경우겠네요.

(2)는 r = d네요. 원의 반지름과 직선과의 거리가 같을 때요. 따라서 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우가 되겠군요.

(3)은 r < d에요. 원의 중심과 직선의 거리가 반지름보다 크기 때문에 원 밖에 직선이 있어요. 이 때는 원과 직선이 만나지 않는 경우죠.

(4)는 r < d네요. (3)처럼 원과 직선이 만나지 않는 경우입니다.

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