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보통 도형에서의 위치관계는 수직, 평행 등을 묻는데 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 그런 게 아니에요. 교점이 몇 개 생기느냐를 말하죠. 앞서 했던 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근의 내용과 비슷하니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 거의 한 쌍둥이라고 할 수 있어요.

이차함수 그래프의 대략적인 모습과 직선을 그리면 조금 더 쉽게 이해할 수 있으니까 그림도 함께 외우세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 했던 내용을 살짝만 바꾸면 돼요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

중학교 2학년 때 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식에 대해서 잠깐 공부한 적이 있어요. x축은 식으로 나타내면 y = 0이라는 직선의 방정식으로 나타낼 수 있죠? x축도 직선이니까 이걸 확장하면 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 구할 수 있는 거죠.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 x축이 몇 개의 교점을 가지느냐를 알아볼 때 어떻게 했나요? x축이 y = 0이니까 이걸 이차함수 식에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식 D의 부호를 구했죠? D > 0이면 교점이 2개, D = 0이면 교점이 1개, D < 0이면 교점이 0개예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 직선 y = mx + n 사이의 관계를 구할 때도 똑같아요. 직선 y = mx + n를 이차함수 y = ax² + bx + c에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식의 부호를 구하면 교점의 개수를 알 수 있어요.

ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b - m)x + c - n = 0

위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 서로 다른 두 허근 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

이차함수의 그래프와 직선 둘 다좌표평면 위에 있어서 실수 범위에서만 다루기니까 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식	D > 0	D = 0	D < 0
위치관계	서로 다른 두 점에서 만난다.	한 점에서 만난다. (접한다.)	만나지 않는다.
그래프
교점의 개수	2개	1개	0개

표에서는 a > 0일 때의 그래프만 그렸는데, a < 0이면 그래프가 위로 볼록이니까 그림을 180° 뒤집으면 돼요.

이차함수 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접하고, 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하여라.

기울기가 1이라고 했으니까 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x² + 3x - 3 = x + b
x² + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 1² - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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이차함수와 이차방정식은 참 많이 닮았어요. 그래서 이차함수의 그래프를 그리고 그 그래프를 통해서 이차방정식 실근의 개수를 알 수 있지요.

이 글에서는 이차함수의 그래프와 이차방정식 실근의 개수에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이차함수 그래프를 간략하게 그릴 줄 알고 이차함수와 이차방정식의 간단한 관계만 알면 금방 이해할 수 있는 내용이에요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프에서 그래프가 x축과 만나는 점이 있다고 해보죠. x축을 방정식으로 나타내면 y = 0이니까 교점에서의 x좌표를 구하려면 이차함수 식에 y = 0을 대입해서 구해요.

ax² + bx + c = 0이라는 식이 되고 여기서 구한 x가 이차함수 그래프와 x축의 교점의 x좌표예요. 그런데 이 식의 모양은 어디서 많이 본 모양이죠? 바로 이차방정식이에요. 즉, 이차방정식의 해가 교점의 x좌표예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

교점의 x좌표와 해가 서로 같으니까 개수도 서로 같겠죠?

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축과의 교점이 2개면 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해도 두 개고, 교점이 하나면 해도 하나예요.

이차함수의 그래프와 x축과의 교점이 없으면 이차방정식의 해도 없어요. 좌표평면은 실수로만 이루어져 있으니까 정확히 말하면 실근이 없는 거죠. 수를 복소수까지 확장해보면 허근을 가져요.

이 얘기는 반대로도 할 수 있어요. 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해가 서로 다른 두 실근이면 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축이 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차방정식의 해가 중근이면 이차함수의 그래프와 x축은 한 점에서 만나요.

이차방정식이 실근을 가지지 않으면(서로 다른 두 허근을 가지면) 이차함수의 그래프와 x축은 만나지 않아요.

이차방정식이 실근을 몇 개 가지는지는 이차방정식의 판별식을 통해서 알 수 있어요.

ax² + bx + c = 0

D = b² - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0이면 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0이면 서로 다른 두 허근(실근 없음) ⇔ 만나지 않는다.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프	x축과 두 점에서 만난다.	x축과 한 점에서 만난다. (접한다.)	x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해	서로 다른 두 실근	중근	서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차함수의 그래프에서 이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x² + 2x + k + 2의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x² + 2x + k + 2 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = 2² - 4 × 1 × (k + 2) > 0
4 - 4k - 8 > 0
4k < -4
k < -1

k < -1이면 서로 다른 두 점에서 만나네요.

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x축도 직선이죠? 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이용하여 이차함수의 그래프와 x축의 위치관계를 알아볼 거예요. 이 둘 사이의 위치관계를 통해서 이차방정식의 근의 개수를 파악할 수 있어요. 결국, 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근이 어떤 관계가 있는지 확인할 수 있죠.

이차함수의 그래프와 x축의 모습을 간략하게 그릴 수 있으면 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근 사이의 관계를 이해하는 데 훨씬 도움이 돼요.

이차함수의 그래프와 x축의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서 이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n 사이의 위치관계를 구해봤어요. ax² + bx + c = mx + n에서 판별식 D를 구해서 관계를 구했죠.

이번에는 이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 x축 사이의 관계를 알아볼 거예요. x축은 직선의 방정식으로 나타내면 y = 0이죠. x축도 직선이니까 같은 방법을 이용하여 판별식 D를 구해보죠.

ax² + bx + c = 0

D = b2 - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나요.
D = 0이면 한 점에서 만나죠. (접한다.)
D < 0이면 만나지 않아요.

여기까지는 쉬워요.

그런데 식을 다시 한 번 보세요. ax² + bx + c = 0은 어떤 모양인가요? 바로 이차방정식의 일반형이죠? 그러니까 이차함수의 그래프와 x축의 관계는 이차방정식으로 나타낼 수 있는 거예요. x축과의 교점이 바로 이차방정식의 해가 되는 겁니다.

D > 0이어서 서로 다른 두 점에서 만나면 해가 2개가 되는 거고, D = 0으로 한 점에서 만나면 해가 하나인 경우예요. 이차방정식의 해가 1개인 경우는 중근일 때죠. D < 0이어서 만나지 않을 때는 해가 없어요. 실수범위에서만 구하기 때문에 해가 없는 거고 복소수까지 생각한다면 D < 0일 때의 해는 서로 다른 두 허근이에요.

이건 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 했던 내용이지요.

D > 0일 때와 D = 0일 때 실근을 갖는데, 이 실근은 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표에요.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 x축과의 위치관계

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프	x축과 두 점에서 만난다.	x축과 한 점에서 만난다. (접한다.)	x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해	서로 다른 두 실근	중근	서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x² + (k + 1)x + k + 1의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x² + (k + 1)x + k + 1 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = (k + 1)² - 4 × 1 × (k + 1) > 0
k² + 2k + 1 - 4k - 4 > 0
k² - 2k - 3 > 0
(k + 1)(k - 3) > 0

k < -1 or k > 3

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두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식과 거의 비슷해요. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 표준형이 아니라 일반형을 이용했어요. 그리고 항등식의 성질을 이용했죠. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식에서도 일반형과 항등식의 성질을 이용합니다.

차이가 있다면 때에 따라서는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 나올 수도 있다는 거예요. 어떤 경우에 원의 방정식이 되고, 어떤 경우에 직선의 방정식이 되는지 잘 알아두세요.

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식

그림에서 보듯이 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 무수히 많아요. 그래서 교점만 가지고는 원의 방정식을 구할 수 없죠. 대게 문제에서는 교점이 아닌 다른 점의 좌표를 주거나 다른 힌트를 줍니다. 다른 힌트를 대입할 수 있게 미리 원의 방정식을 만들어야 해요.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이라고 했어요. (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이었죠.

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식도 똑같아요. 두 원의 방정식을 x² + y² + Ax + By + C = 0, x² + y² + A'x + B'y + C' =0이라고 한다면 (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0으로 두면 돼요.

이 방정식도 k에 관한 항등식을 이용해서 증명할 수 있어요.

두 원 x² + y² + Ax + By + C = 0과 x² + y² + A'x + B'y + C' = 0의 교점을 지나는 원의 방정식
⇔ (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0
⇔ x² + y² + Ax + By + C + k(x² + y² + A'x + B'y + C') = 0

두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식

그런데 k = -1일 때를 보죠.

x² + y² + Ax + By + C - (x² + y² + A'x + B'y + C') = 0
x² + y² + Ax + By + C - x² - y² - A'x - B'y - C') = 0
(A - A')x + (B - B')y + (C - C') = 0

전개한 결과는 ax + by + c = 0꼴의 직선의 방정식의 일반형이에요. 즉 k = -1일 때는 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 된다는 걸 알 수 있어요.

두 원의 방정식이 x² + y² - 2x + 14y - 50 = 0과 x² + y² + 6x + 8y - 25 = 0일 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 두 원의 교점과 (0, 0)을 지나는 원의 방정식
(2) 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 x² + y ² + Ax + By + C + k(x² + y² + A'x + B'y + C') = 0이에요. k ≠ -1이면 원의 방정식이고, k = -1이면 직선의 방정식이 되죠.

(1)번은 x² + y² - 2x + 14y - 50 + k(x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0인데, 이 원의 방정식이 원점 (0, 0)을 지나니까 (0, 0)을 대입해보죠.

k = -2를 원래의 식에 대입하면
x² + y² - 2x + 14y - 50 - 2(x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0
x² + y² - 2x + 14y - 50 - 2x² - 2y² -12x -16y + 50 = 0
-x² - y² - 14x - 2y = 0
x² + y² + 14x + 2y = 0

(2)번은 x² + y² - 2x + 14y - 50 + k(x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0에서 k = -1이면 돼요.

x² + y² - 2x + 14y - 50 - (x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0
x² + y² - 2x + 14y - 50 - x² - y² - 6x - 8y + 25 = 0
-8x + 6y - 25 = 0
8x - 6y + 25 = 0

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직선의 방정식을 구하는 마지막 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식이에요. 직선의 방정식 구하기에서는 기울기나 점의 좌표를 주고 직선의 방정식을 구하는 거였는데, 이제는 직선의 방정식을 두 개주고 이를 이용해서 새로운 직선의 방정식을 구해야 합니다.

사실 이 글에서 다룰 내용은 어렵지 않은데, 앞서 했던 내용과 섞여서 나오면 조금 어려워져요. 앞서 했던 직선의 방정식 구하기와 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에 대해서 알고 있어야 해요.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구해보죠.

먼저 결론부터 얘기할게요.

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식
⇔ ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0
⇔ (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0

ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 교점의 좌표를 (p, q)라고 해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 교점 (p, q)를 지난다고 한다면 ap + bq + c + k(a'p + b'q + c') = 0가 되어야 해요.

그런데, ap + bq + c = 0, a'p + b'q + c' = 0이니까 실제로 식이 성립해요. k가 어떤 값을 가져도 상관없이 성립하죠? 이 식은 임의의 k에 대하여 항상 성립하는 항등식으로 (p, q)를 무조건 지나는 직선의 방정식이에요.

공식을 잘 보면 두 직선의 방정식을 알려줬을 때, 하나는 그대로 쓰고 다른 하나에 k를 곱해서 더한 게 0이 되는 거예요.

2x - y - 1 = 0, x - y - 3 = 0의 교점을 지나고 7x - 4y + 1 = 0과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 교점을 지나는 방정식은 (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이에요.

2x - y - 1 + k(x - y - 3) = 0
2x - y - 1 + kx - ky - 3k = 0
(k + 2)x - (k + 1)y - 3k - 1 = 0

직선의 방정식을 먼저 구했는데 k를 모르니까 완전한 식이 아니죠? 이 식이 7x - 4y + 1 = 0과 평행하다고 했어요. 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에서는 (x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비)여야 두 직선의 방정식이 평행이죠?

-4(k + 2) = -7(k + 1)
-4k - 8 = -7k - 7
3k = 1
k = 

k = 이면 상수항의 비가 x, y 계수비와 다르니까 평행이네요. k = 을 원래 식에 대입해보죠.

2x - y - 1 + (x - y - 3) = 0
6x - 3y - 3 + x - y - 3 = 0
7x - 4y - 6 = 0

한 정점을 지나는 직선의 방정식

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0처럼 생긴 직선이 꼭 지나는 점이 하나 있어요. k가 어떤 값을 가지든 상관없이 꼭 지나는 점이죠. 이 점의 좌표를 구해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 k와 상관없이 항상 같은 점을 지난다는 말은 k의 값에 상관없이 식이 항상 성립한다는 뜻이에요. 즉 k에 관한 항등식이라는 거지요.

항등식이 되려면 0k + 0 = 0꼴이 되어야 해요. 즉 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0이 되어야 하죠. 이건 직선의 방정식 두 개이기도 하지만 연립방정식이기도 하잖아요. 연립방정식의 해이자 두 직선의 교점이 바로 꼭 지나는 점이에요.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 일정한 점을 지날 때, 이 점의 좌표를 구하여라.

k와 관계없이 지나는 한 점의 좌표에요. "k와 관계없이"니까 k에 관한 항등식이어야겠죠? k에 관해서 정리해보죠.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0
kx - 2x + 3y - 2ky + 6 = 0
k(x - 2y) - (2x - 3y - 6) = 0

x - 2y = 0
x = 2y

2x - 3y - 6 = 0
4y - 3y - 6 = 0
y = 6
x = 12

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 지나는 점의 좌표는 (12, 6)이네요.

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제목에 나와 있듯이 원에서 비례식을 이용하는 거에요. 원의 현, 할선 등의 길이를 비례식을 이용해서 구하는 거지요.

설명은 되게 복잡한데요, 실제 결론을 보면 어렵지는 않아요. 이런 과정을 거쳐서 결론을 얻었구나 하고 바로 이해할 수 있죠. 하지만 이해한 결론을 실제 주어진 문제에 적용하기가 약간 까다로워요. 그림에 선이 여러 개인데다 길이도 여러 개 나오거든요.

원과 비례에서는 결론을 공식이 아닌 그림으로 외워야해요. 그림을 짚어가면서 "여기 여기 곱한 값과 여기 여기 곱한 값이 같다." 처럼요. 그래야 문제에서 주어진 선과 길이를 우리가 외우고 있는 그림에 맞게 변형할 수 있어요.

원과 비례

원과 비례에서 사용하는 비례식의 기본이 되는 건 닮음비에요. 매번 닮음비를 이용하는 게 아니라 공식을 유도하는 과정에서 닮음비를 이용합니다.

두 현과 교점

원에 현을 두 개 그었을 때, 교점이 생기죠. 그 교점에서 현에 이르는 거리를 곱한 값들이 서로 같다는 걸 알 수 있어요.

언제나처럼 그림으로 외우세요. 먼저 현을 하나 고르고, 그 현에서 교점 P에서 출발해서 현의 양쪽으로 거리의 곱을 구하고, 다른 현에서도 점 P에서 양쪽으로 거리의 곱을 구하면 두 값이 서로 같아요.

왜 그런지 증명해 보죠.

와 를 그으면 삼각형 두 개가 생겨요.

△PAC와 △PDB에서
∠PAC = ∠PDB (호 CB의 원주각)
∠PCA = ∠PBD (호 AD의 원주각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림에서 가 원의 중심 O를 지날 때 x를 구하여라.

가 지름이므로 반지름은 5cm죠.

에서
4 × x = (5 - 2) × 7
4x = 21
x = (cm)

원에서 현의 교점 사이에는 대각선 방향의 길이를 그냥 곱한 것이 같고, 피타고라스 정리의 활용 - 사각형에서는 대각선에 이르는 거리의 제곱의 합이 서로 같아요. 헷갈리면 안 돼요.

 +  =  +

두 할선과 교점

이번에는 원의 할선의 교점과 거리의 관계에요.

역시 마찬가지로 할선 하나를 선택하여 교점 P에서 출발해서 현의 양 끝점까지의 거리를 곱한 값과 다른 할선에서 점 P에서 양 끝점까지의 거리를 곱한 값이 같아요.

와 를 그어 두 개의 삼각형을 만들어요. 이때 □ACDB는 원에 내접하는 사각형이에요.

△PDB와 △PAC에서
∠PDB = ∠PAC (□ACDB에서 외각과 내대각)
∠PBD = ∠PCA (□ACDB에서 외각과 내대각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

에서
(3 + 9) × 3 = x × 4
4x = 36
x = 9(cm)

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현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

원에 대해서 계속하고 있는데, 생각보다 어렵지 않죠? 새 단원의 시작이라서 그래요. 이 글도 별로 어렵지 않아요.

이번에는 현과는 조금은 다른 접선에 대해서 알아볼 거예요. 1학년 때 원과 직선의 위치관계, 접점, 접선, 할선에서 접선이 뭔지는 공부했어요. 기억이 정확하지 않다면 얼른 읽어보고 오세요.

이 글에서는 원의 접선의 길이를 구하는 방법과 원의 접선의 성질을 알아볼 거예요.

원의 접선

원 밖의 한 점에서 직선을 그었을 때 직선과 원이 만나는 점을 교점이라고 해요. 이 교점이 하나일 때 원과 직선이 서로 접하므로 그 직선을 접선이라고 하고 이때의 교점을 접점이라고도 해요. 또 원 밖의 한 점과 접점 사이의 거리를 접선의 길이라고 합니다.

이들 사이의 관계를 알아보죠.

원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직

원과 두 점에서 만나는 할선에서 두 교점 사이를 우리는 현이라고 하지요? 현의 수직이등분선에서 공부한 것처럼 반지름은 현을 수직이등분해요.

이 할선을 밑으로 계속 내려보세요. 그러면 한 점에서 만나게 되는데, 이 점이 바로 접점이자 반지름에서 내린 수선의 발이에요.

즉, 접점에서 반지름과 접선이 직교하는 거죠.  ⊥

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.

원 밖의 한 점에서는 원에 접선을 두 개 그을 수 있는데 두 접선의 길이가 서로 같아요.

증명해볼까요?

한 점 P에서 원에 접선을 두 개 그었어요. 그리고 점 P에서 원의 중심 O에 선을 그어보죠.

△POA와 △POB라는 삼각형 두 개가 생겼어요. 원의 반지름과 접선은 서로 직교하므로 이 두 삼각형은 직각삼각형이죠.

= 반지름 r
∠PAO = ∠PBO = 90°
는 공통

두 직각삼각형은 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △POA ≡ △POB

대응변의 길이가 같으므로  =      (증명 끝.)

위 그림에서 한 가지 추가로 알 수 있는 게 있어요. 사각형 내각의 합은 360°죠. □PAOB의 내각의 크기도 360°에요. 그런데, ∠PAO = ∠PBO = 90°이므로 남은 두 각의 합이 180°가 되어야겠죠?

접점이 아닌 두 곳의 내각의 크기의 합 = ∠APB + ∠AOB = 180°

다음 그림은 원과 그 접선들이다. x를 구하여라.

접점이 세 개가 있어요. 한 점에서 원에 그은 두 접선은 길이가 같다는 걸 이용해야겠군요.

8cm로 되어 있는 곳은 원과의 접점을 기준으로 두 부분으로 나누어지죠. 아래쪽 부분은 3cm, 위쪽 부분은 xcm입니다. x + 3 = 8이므로 x = 5(cm)네요.

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이전 글 작도, 수직이등분선의 작도에 이어서 이번에는 각의 이등분선과 직각의 삼등분선을 작도해볼거예요.

작도는 그냥 설명만 봐서는 잘 이해가 안 돼요. 컴퍼스와 자를 가지고 직접 그려봐야 해요. 연습장에 컴퍼스와 자를 이용해서 순서대로 따라 해보고, 나중에는 설명 없이 혼자서 그려보세요.

설명 없이 혼자서 척척 해낼 때의 성취감은 그냥 일반적인 문제를 풀 때보다 더 많이 생길 거예요.

직접 해보면 이해하기는 어렵더라도 머리 속에 더 오래 남아요. 해보지 않으면 금방 잊어버리니까 꼭 직접 해보세요.

각의 이등분선의 작도

각이 있는데, 몇 °인지 몰라요. 하지만 이 각을 절반으로 나누는 선을 그릴 수 있어요. 물론 이등분한 각도 몇 °인지는 모르겠지요?

각의 이등분선을 작도해보죠.

1. 각 XOY를 그려요.
2. 컴퍼스를 적당히 벌려서 점 O에 바늘을 놓고 원을 그려요. 선분 OX와 원이 만나는 점을 점 A라고 하고, 선분 OY와 만나는 점을 점 B라고 하지요.
3. 점 A에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 사용했던 반지름과 달라도 상관없어요.
4. 이번에는 ③에서 사용했던 반지름 그대로 점 B에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. ③의 원과 한 점에서 만나죠? 이 점을 점 C라고 할게요.
5. 점 C와 점 O를 자로 연결해요. 이 선분 OC가 바로 각 O의 이등분선입니다.

각의 이등선의 특징을 알아볼까요?

각의 이등분선이니까 각 XOC와 각 YOC는 같겠죠.

선분 OA의 길이과 선분 OB의 길이가 같아요. 이등분선의 작도 ②단계에서 점 O를 중심으로 그은 원이니까 당연히 같겠죠.

이등분선의 작도 ③, ④단계에서 같은 반지름으로 그렸으니까 선분 AC의 길이와 선분 BC의 길이도 같아요.

점 C에서 선분 OX에 내린 수선의 발을 점 P, 점 C에서 선분 OY에 내린 수선의 발은 점 Q라고 할 때, 선분 CP의 길이와 선분 CQ의 길이가 같아요. 삼각형 OCP와 삼각형 OCQ가 똑같거든요. 

직각의 삼등분선의 작도

일반적인 각은 삼등분선을 작도할 수 없지만, 직각만 유일하게 삼등분할 수 있어요.

정삼각형은 세 변의 길이가 같잖아요. 세 변의 길이가 같고 또 세 각의 크기가 같아요. 이 성질을 이용해서 직각을 삼등분하는 겁니다. 직각을 삼등분했으니 한 각은 30°가 되겠죠?

1. 각 XOY를 그려요. 이 각 XOY는 직각이에요.
2. 점 O에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 선분 OX가 만나는 점을 점 A, 선분 OY와 만나는 점을 B라고 하지요.
3. ②에서 사용한 원의 반지름 그대로 점 A에 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 C라고 할게요.
4. 같은 반지름으로 점 B를 중심으로 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 D라고 하지요.
5. 점 O와 점 C를 연결하고, 점 O와 점 D를 연결하세요. 이 두 선분이 각 XOY를 삼등분하는 선입니다.
6. 참고로 ③, ④의 원이 만나는 점을 점 E라고 할 때, 점 O와 점 E를 연결하면 각의 이등분선이 돼요.

점 A와 점 C는 ②에서 그린 원 위에 있는 점이에요. 그러니까 선분 OA의 길이와 선분 OC의 길이는 같겠죠? 

또 ③에서 그린 원과 ②에서 그린 원의 반지름이 같으니까 선분 AC의 길이는 선분 OA의 길이와 같아요. 

즉 삼각형 OAC가 세 변의 길이가 같은 정삼각형이라는 거지요. 정삼각형의 한 각의 크기는 60°로 모두 같아요. 따라서 ∠AOC가 60°니까 ∠XOY에서 ∠AOC를 뺀 나머지 ∠BOC는 30°예요.

같은 이유로 ∠AOD도 30°고, ∠COD도 30°지요.

∠AOB = 90°
∠AOC = ∠BOD = 60°
∠AOD = ∠BOC = ∠COD = 30°
∠AOE = ∠BOE = 45°

직각의 삼등분선 작도에서 제일 중요한 건 컴퍼스의 폭이 바뀌지 않는다는 거예요. 그리는 원의 반지름이 모두 같아야 하는 것에 주의하세요.

작도할 수 있는 각

위에서 공부한 내용을 어떻게 활용할까요? 이제 우리는 각도기가 없어도 몇 가지 각을 작도할 수 있어요.

제일 먼저 직선의 수직이등분선을 이용하면 90°를 작도할 수 있죠? 이 직각을 각의 이등분선 작도를 하면 45°를 그릴 수 있고요. 직각을 삼등분선을 그리면 30°와 60°를 그릴 수 있어요.

그 다음에 이 30°, 45°, 60°, 90°를 각의 이등분하면 각각 15°, 22,5° 등도 만들 수 있겠죠?

또 30°를 그린 다음에 그 선분을 연장해서 거기에 직각을 그리고 각의 이등분선을 긋는다면 30° + 45° = 75°까지 그릴 수 있어요. 다시 말해서 작도할 수 있는 각을 더하거나 빼서 나오는 각도 작도할 수 있는거지요. 90° + 45° = 135° 같은 각도 작도할 수 있는 거지요.

수직이등분선의 작도 → 90°
직각의 삼등분선의 작도 → 30°, 60°
각의 이등분선의 작도 → 45° 22.5° 15° 등
위 방법을 혼합 → 위에서 작도할 수 있는 각을 서로 더하거나 뺀 각 ex) 30° + 45° = 75°

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새로운 단원인 도형 단원이에요.

도형은 그림이 많이 나오니까 그림을 보고 무슨 도형인지 어떤 특징이 있는지 빨리 파악해야 해요.

언제나 마찬가지지만 단원의 첫 부분에는 단원에서 사용할 용어들을 배우지요. 이 글에서는 도형을 이루는 가장 기본적인 것인 점과 선, 면, 직선, 반직선, 선분의 정의에 대해서 정리해 볼게요.

사실 처음 듣는 단어들은 없어요. 그렇다고 뜻을 모르는 것도 아니고요. 다만 좀 더 구체적인 수학적 의미로서 꼭 알고 있어야할 내용이에요.

점, 선, 면

점은 딱히 뭐라고 설명하기가 좀 그렇네요. 그냥 연필로 딱 한 번 찍은 것을 점이라고 하잖아요. 우리가 알고 있는 그 점입니다.

선은 무수히 많은 점이 모여서 이루어진 걸 말해요. 그냥 죽 그은 것처럼 보이지만 아주 많은 점을 아주 가깝게 많이 찍으면 그게 선이 되는 거예요.

조금 더 멋있게(?) 표현하면 점들이 연속적으로 움직인 자리가 바로 선이에요.

면은 무수히 많은 선이 모여서 이루어진 걸 말해요. 보통 우리는 면을 그리면 모서리만 그리죠? 직사각형을 그리면 선을 네 개만 그어서 바깥쪽에는 선이지만 안쪽은 비어있다고 생각하기 쉬운데, 사실 채우지 않았다 뿐이지 선으로 둘러싸인 모든 곳에 선이 그어져 있다고 생각해야 해요.

그래서 면은 선들이 연속적으로 움직인 자리라고 정의해요.

교점과 교선

교점과 교선에서 교는 섞이다는 뜻인데 여기서는 서로 만난다는 뜻으로 해석해요.

교점은 말 그대로 만나는 점이라는 뜻인데, 뭐가 만나느냐? 선과 선이 만나는 점 또는 면과 선이 만나서 생기는 점을 교점이라고 해요.

이때 선과 면은 꼭 반듯한 직선이 아니어도 상관없어요. 곡선이나 휘어진 면이 만나서 생기는 곳도 교점이라고 해요.

교선은 면과 면이 만나서 생기는 선이에요. 면과 면이 만날 때는 만나는 점이 하나만 생기는 것이 아니라 여러 개가 생기는 데, 그 여러 개가 모여서 바로 선이 되는 거죠.

직선, 반직선, 선분

직선은 서로 다른 두 점에 의해서 결정돼요. 그러니까 점이 하나만 있다면 그 점을 지나는 선은 무수히 많이 그릴 수 있어요. 하지만 서로 다른 두 점이 있으면 그 두 점을 모두 지나는 직선은 딱 하나만 생겨요.

그래서 직선을 정의할 때는 서로 다른 두 점을 이용해서 정의합니다.

직선은 서로 다른 두 점 A, B를 지나 한없이 곧게 뻗은 선이에요. 두 점을 지나야 하고 끝이 없이 계속되어야 해요. A, B를 지나지만 어는 한 곳에서 끝나면 직선이라고 하지 않아요. 또 하나 중요한 건 곧게 뻗은 선이어야 한다는 거예요. 중간에 휘어지면 안 돼요.

직선은 지나는 두 점을 이용해서 표시하는데, A, B를 지나기 때문에 알파벳 A와 B를 이용해서 직선 AB라고 하기도 하고 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A와 B를 지나서도 계속되니까 화살표를 양쪽으로 표시하는 거예요. 혹 두 점 A, B가 정의되지 않았거나 간단히 쓰고 싶을 때는 소문자 l(엘)을 써서 직선 l이라고 쓰기도 해요.

반직선은 직선 AB 위의 한 점 A에서 출발해서 점 B쪽으로 곧게 뻗은 선을 말해요. 반직선에서 중요한 것은 출발점이 있다는 거예요. 직선은 점 A을 지나서 계속되어야 하지만 반직선은 점 A를 지나는 것이 아니라 바로 그 위에서 시작한다는 거지요. 넘어가면 안 된다는 얘기에요.

반직선도 마찬가지로 알파벳 A와 B를 이용해서 표시해요. 반직선 AB라고 하기도 하고, 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A에서 출발해서 B쪽 방향으로 계속되니까 B쪽 방향으로 화살표가 하나만 있어요.

선분은 직선 AB 위의 점 A에서 B까지의 부분을 말해요. 점에서 점까지 에요. 점을 넘어가는 건 아닙니다.

선분은 선분 AB라고 하기도 하고, 기호로는 로 표시해요. 선이 A에서 B로 끝나니까 화살표가 없는 그냥 선만 그어요.

반직선 AB()와 반직선 BA()는 달라요. 출발점이 다르잖아요. 반직선 AB는 출발점이 A이고, 반직선 BA는 출발점이 B에요. 두 반직선이 서로 같으면 출발점이 같아야 한다는 것도 잊지 마세요.

그 외 직선 AB와 직선 BA는 같고, 선분 AB와 선분 BA도 같아요.

아래 그림을 보고, 직선, 반직선, 선분으로 구분하시오.

위 그램에서는 선 양쪽으로 화살표가 하나도 없지요. 화살표가 어느 방향으로 나 있느냐를 보고 반직선의 방향을 찾기도 하거든요. 하지만 화살표가 표시되는 경우보다 표시되지 않는 경우가 훨씬 많아요. 이때는 선이 점을 지나서 더 이어지는지 아닌 지를 보고 판단해야 해요.

첫 번째 그림은 M, N이라는 두 점이 있는데, 선이 두 점을 모두 지나서도 연결이 되어 있네요. 그래서 이건 직선이고 두 점 M, N을 지나니까 직선 MN()입니다.

오른쪽 위의 그림에서는 점 M에서는 점 위에서 선이 끝나고, 점 N에서는 선이 계속 이어져 있죠? 그래서 점 M에서 출발해서 점 N으로 가는 반직선 MN()이네요.

왼쪽 아래 그림은 반대로 점 M에서는 계속 이어져 있고, 점 N에서는 끝나니까 점 N에서 출발해서 점 M으로 가는 반직선 NM()이고요.

마지막 오른쪽 아래 그림은 선이 모두 두 점에서 끝나니까 선분 MN()이에요.

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