두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식과 거의 비슷해요. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 표준형이 아니라 일반형을 이용했어요. 그리고 항등식의 성질을 이용했죠. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식에서도 일반형과 항등식의 성질을 이용합니다.
차이가 있다면 때에 따라서는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 나올 수도 있다는 거예요. 어떤 경우에 원의 방정식이 되고, 어떤 경우에 직선의 방정식이 되는지 잘 알아두세요.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
그림에서 보듯이 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 무수히 많아요. 그래서 교점만 가지고는 원의 방정식을 구할 수 없죠. 대게 문제에서는 교점이 아닌 다른 점의 좌표를 주거나 다른 힌트를 줍니다. 다른 힌트를 대입할 수 있게 미리 원의 방정식을 만들어야 해요.
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이라고 했어요. (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이었죠.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식도 똑같아요. 두 원의 방정식을 x2 + y2 + Ax + By + C = 0, x2 + y2 + A'x + B'y + C' =0이라고 한다면 (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0으로 두면 돼요.
이 방정식도 k에 관한 항등식을 이용해서 증명할 수 있어요.
두 원 x2 + y2 + Ax + By + C = 0과 x2 + y2 + A'x + B'y + C' = 0의 교점을 지나는 원의 방정식
⇔ (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0
⇔ x2 + y2 + Ax + By + C + k(x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식
그런데 k = -1일 때를 보죠.
x2 + y2 + Ax + By + C - (x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0
x2 + y2 + Ax + By + C - x2 - y2 - A'x - B'y - C') = 0
(A - A')x + (B - B')y + (C - C') = 0
전개한 결과는 ax + by + c = 0꼴의 직선의 방정식의 일반형이에요. 즉 k = -1일 때는 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 된다는 걸 알 수 있어요.
두 원의 방정식이 x2 + y2 - 2x + 14y - 50 = 0과 x2 + y2 + 6x + 8y - 25 = 0일 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 두 원의 교점과 (0, 0)을 지나는 원의 방정식
(2) 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 x2 + y 2 + Ax + By + C + k(x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0이에요. k ≠ -1이면 원의 방정식이고, k = -1이면 직선의 방정식이 되죠.
(1)번은 x2 + y2 - 2x + 14y - 50 + k(x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0인데, 이 원의 방정식이 원점 (0, 0)을 지나니까 (0, 0)을 대입해보죠.
-50 + k(-25) = 025k = -50
k = -2
k = -2를 원래의 식에 대입하면
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - 2(x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - 2x2 - 2y2 -12x -16y + 50 = 0
-x2 - y2 - 14x - 2y = 0
x2 + y2 + 14x + 2y = 0
(2)번은 x2 + y2 - 2x + 14y - 50 + k(x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0에서 k = -1이면 돼요.
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - (x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - x2 - y2 - 6x - 8y + 25 = 0
-8x + 6y - 25 = 0
8x - 6y + 25 = 0
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두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
직선의 방정식의 일반형, 직선의 방정식의 표준형
항등식과 항등식의 성질
이렇게 정리해주시고 정말 감사합니다.
고1과정이 다 나오면 책 전부 다 사야겠습니다. 너무 좋네요 내용이. ^^
고1과정 책이 언제 나올지 장담을 못하겠어요. ㅠㅠ
노트에 복사 했어요~ㅠ 보고또보고
보고 또 보면 잊어버리지는 않겠네요.
완료!!!! 이해한것이 맞는지 알려주셨으면 합니다.
1) 원의 방정식 두개의일반형
(원방1)+k(원방2)=0 에서 k에 -1을 대입하면
x제곱 y제곱이 사라지니
두 원의 교점을 지나는직선의 방정식이 된다는거군요.
두 교점을 지나는 원의 방정식은 꼭(A,B) (A,B 는 임의의 수)
를 지난다고 문제가 나오나요??
그렇다 치면 k값을 구하여 원래 방정식에 대입한뒤 나온
x제곱의 계수를 1 로 만들어 주어야 되나요??
혼자 공부하니 물어볼 사람이 없네요 ㅠㅠ 죄송합니다
답변해주시면 확신이 설 것 같아요!!
1. x, y, k 중 두 개를 구할 수 있는 걸 알려주죠. 어차피 공식의 자리에 대입만 하면 돼요.
2. 계수가 반드시 1이어야만 하는 건 아니지만 1인게 좋죠.
진짜 감사해요.지식인을 뒤져봐도 안 나와서 아 이문제는 진짜 모르겠다하고 이사이트에 들어왔는데 진짜 잘 설명되어있네요ㅠㅠ앞으로도 힘내시길바라요
네, 응원해주신만큼 열심히 힘내겠습니다.
글이 정말 깔끔하네요. 편집하시면서 정성을 많이 들이신 티가 납니다.
연결링크방식도 정말 좋아요! 감사해요~
관련있는 글을 함께 봐야 이해가 더 잘되니까요.
제 노력을 인정받아서 저도 기분이 매우 좋습니다. ㅎㅎ 감사합니다.
많은 도움이 됐어요! 너무 감사합니다!!
댓글 고맙습니다.
더 도움드릴 일이 있는지 열심히 찾아볼게요.
수학방님 정말 도움됬는데요 만약 두 원이 만나지 않거나 서로 접할때는 (원의방정식1)+k(원의방정식2) 꼴로 했을때 어떻게 되나요?
정말 잘 보고 있습니다
근데 두 원의 교점 구하는 방법이 있을까요?
왜 두 원의 방정식을 뺐을때 직선의 방정식이 나오는지 알 수 있을까요? 직관적으로 이해가 안돼요 ㅠㅠ
찾았다 내 수학 파라다이스