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삼각함수라는 새로운 함수를 공부할 거예요. 삼각함수는 쉽게 말해서 삼각비 + 호도법 + 함수예요. 삼각비에서 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 각에 대한 일정한 관계가 있었죠? 이 일정한 관계를 함수로 나타낸 것이 삼각함수예요. 삼각비에서는 직각삼각형에서 세 변의 길이의 비를 이용했다면 삼각함수에서는 좌표평면 위의 좌표를 이용하는 차이가 있어요. 또 삼각비에서는 육십분법으로 나타낸 각을 이용했다면 삼각함수에서는 호도법으로 나타낸 각을 이용하죠.

그러니까 삼각함수를 잘하려면 삼각비와 호도법에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요.

삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의

xy좌표평면에 반지름의 길이가 r인 원을 그리고 원 위의 임의의 점을 P라고 해보죠. x축 양의 방향을 시초선으로 하고 동경 가 이루는 각을 θ라고 할 때, ,  , ,는 θ의 크기에 따라 한 가지로 정해져요.

r ≠ 0일 때, θ → , θ → , θ → 는 각각 θ에 대한 함수가 돼요. 이 함수를 차례로 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하고 기호로 sinθ = , cosθ = , tanθ = 로 나타냅니다. 그리고 이 세 가지를 묶어서 삼각함수라고 해요.

마치 삼각비, sin, cos, tan에서 빗변과 밑변, 높이 사이의 비를 구했던 것처럼 말이죠. 반지름 r을 빗변의 길이, x를 밑변의 길이, y를 높이라고 생각하면 쉬워요. 대신 삼각비에서는 길이의 비여서 사용하는 숫자가 모두 양수였지만 삼각함수에서는 좌표를 이용하므로 음수도 사용한다는 차이가 있어요.

• sinθ =
• cosθ =
• tanθ =

좌표평면 위에서 원점 O와 점 P(-3, -4)를 이은 선분 OP를 동경으로 하는 각을 θ라고 할 때 sinθ, cosθ, tanθ를 구하여라.

= 5네요.

sinθ =
cosθ =
tanθ =

삼각함수 값의 부호

삼각함수 값의 부호는 θ가 나타내는 동경의 위치에 따라 달라져요. θ가 몇 사분면 위의 각인지에 따라 부호가 달라지죠. 이때, r은 반지름이니까 무조건 양수예요. 따라서 삼각함수의 부호에 영향을 주는 요소는 좌표평면에서 x, y의 부호입니다.

삼각함수 값의 부호

	제 1 사분면	제 2 사분면	제 3 사분면	제 4 사분면
x, y 부호	x > 0, y > 0	x < 0, y > 0	x < 0, y < 0	x > 0, y < 0
sinθ =	+	+	-	-
cosθ =	+	-	-	+
tanθ =	+	-	+	-

제 1 사분면에서는 세 가지 모두 양수, 제 2 사분면에서는 sinθ만 양수, 제 3 사분면에서는 tanθ만 양수, 제 4 사분면에서는 cosθ만 양수네요. 1, 2, 3, 4 사분면 순서대로 양수인 것들만 뽑아서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos)라고 외워요.

각 함수별로 보면 양수가 되는 사분면이 2개, 음수인 사분면이 2개씩 있어요. 사인함수는 제 1, 2, 사분면이 양수이고, 코사인함수는 제 1, 4 사분면이 양수, 탄젠트함수는 제 1, 3 사분면이 양수예요.

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연립부등식의 영역은 부등식의 영역 두 개를 합쳐놓은 걸 말해요. 부등식을 두 개 이상 합쳐놓은 게 연립부등식이니까요.

연립부등식을 푸는 방법과 연립부등식의 영역을 구하는 방법은 근본적으로 같아요. 연립부등식에서는 수직선에 그렸다면 연립부등식의 영역에서는 좌표평면에 그림을 그린다는 차이가 있을 뿐이에요.

그래프를 그려야 해서 복잡해 보이지만 (연립부등식의 영역) = (부등식의 영역) + (연립부등식) 이라는 사실만 기억하고, 관련된 두 내용만 잘 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않을 거예요.

연립부등식의 영역

연립부등식의 풀이에서는 각각의 부등식의 해를 구하고 이를 수직선에 그려서 공통인 부분의 해를 찾았어요. 연립부등식의 영역도 똑같아요. 각각의 부등식의 영역을 그린 다음 공통인 부분을 구하면 됩니다.

f(x, y) = 0은 원의 방정식, g(x, y) = 0은 직선의 방정식이라고 한다면, f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 그래프는 아래와 같아요.

f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 공통부분을 칠한 오른쪽 그림이라는 연립부등식의 영역이 됩니다.

식과 부등호의 방향은 바뀌겠지만, 그 방법은 모두 같아요.

연립부등식의 영역
각각의 부등식의 영역을 그린다.
두 부등식의 영역의 공통부분(교집합)을 구한다.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역

이번에는 연립부등식이 조금 다른 형태인데요.

f(x, y)·g(x, y) < 0이라는 부등식이에요.

두 식을 곱해서 0보다 작다는 얘기는 부호가 서로 반대라는 얘기예요. 하나가 양수이면 다른 하나는 음수여야 하죠.

총 네 개의 부등식의 영역 그러니까 두 개의 연립부등식의 영역이 생겼어요. or이니까 연립부등식의 영역 두 개를 합한 거예요.

좀 복잡하지만, 집합으로 나타내보면 다음과 같아요.
[{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}] ∪ [{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}]

이번에는 f(x, y)·g(x, y) > 0을 보죠.

어떤 두 식을 곱해서 0보다 크다는 말은 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 하죠?

역시 마찬가지로 네 개의 부등식의 영역, 두 개의 연립부등식이 생겼어요. or이니까 역시 각각의 연립부등식의 영역을 구한 다음 서로 합쳐야 하죠.

부등식의 영역을 네 개가 구해야 하고, 어떤 건 교집합, 어떤 건 합집합이어서 상당히 복잡하죠? 쉽게 구하는 방법이 있어요.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역 구하는 순서

1. f(x, y) = 0, g(x, y) = 0의 도형의 방정식을 그린다.
2. 경계선 위에 있지 않은 임의의 점을 처음 부등식에 대입한다. 계산이 편리한 (0, 0), (1, 0) 등
3. 조건에 맞는 영역을 칠한다.
   • 대입한 점이 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역
   • 대입한 점이 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1)
(2) (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

x² + y² < 4의 영역은 왼쪽 그림이고 x + y - 1< 0의 영역은 가운데, 이 둘의 공통부분이 오른쪽 그림이에요.

(2) 번. (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

두 개의 연립부등식의 영역으로 나눠서 구해도 되고, 점을 대입해서 영역을 구해도 돼요. x + y - 1 = 0과 x² + y² - 4 = 0의 그래프를 좌표평면에 그렸더니 네 개의 영역으로 나뉘어졌어요.

(0, 0)은 경계선 위에 있지 않으므로 점을 대입해보면
(0 + 0 - 1)(0² + 0² - 4) < 0
4 < 0

부등식을 만족하지 않으므로 (0, 0)이 포함되어 있지 않은 ①번 영역과 ① 영역의 건너뛴(이웃하지 않은) ③ 영역이 구하는 영역이 되겠네요.

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중학교 때, 일차부등식의 풀이에서는 부등식의 해를 수직선 위에 나타냈었잖아요. 부등식의 영역은 부등식을 만족하는 점을 수직선이 아니라 좌표평면에 나타내는 거예요.

설명은 되게 복잡한 것 같지만 식을 그냥 들여다보면 금방 알 수 있을 거예요.

부등식은 등식에서 등호만 부등호로 바뀐 거잖아요. 그래서 부등식의 영역을 그릴 때 등식을 이용해서 그려요. 여기서 이용하는 등식은 이차함수, 직선의 방정식과 원의 방정식 등이에요. 따라서 이들 도형의 방정식을 좌표평면에 나타낼 줄 알아야 해요.

부등식의 영역

x에 대한 일차부등식을 만족하는 x를 수직선에 나타냈던 것처럼 x, y에 대한 부등식을 만족하는 점 (x, y)를 좌표평면에 나타내는데, 이 점 전체의 집합을 부등식의 영역이라고 합니다.

부등식 y > x, y < x의 영역

y = x 그래프와 y축에 평행한 직선, 세 점 P(x, y), Q(x₁, y₁), R(x₂, y₂)이 있어요.

점 P(x, y)는 y = x 그래프 위의 점이니까 x좌표와 y좌표가 같아요.
y = x …… ①

점 Q(x₁, y₁)를 한 번 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 P의 x좌표와 점 Q의 x좌표는 같아요.
x = x₁ …… ②

점 Q의 y좌표인 y₁은 x좌표인 x₁보다 크죠?
y₁ > x₁ …… ③

①, ②, ③에 의해서 y₁ > x₁ = x = y이므로 y₁ > y에요.

y축에 평행한 직선에서 y₁ > y가 되는 점 Q는 엄청나게 많겠죠? 점 P보다 위에 있는 점들은 모두 이 조건을 만족하니까요.

y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 움직이면 엄청나게 많은 점 Q를 찾을 수 있고, 이런 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시되는데 이게 바로 위 그래프에서 파란색으로 표시된 부분이에요.

이번에는 점 R(x₂, y₂)를 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 R의 x좌표 x₂는 점 P의 x좌표와 같아요.
x₂ = x …… ④

점 R의 y좌표 y₂는 x좌표 x₂보다 작고요.
y₂ < x₂ …… ⑤

①, ④, ⑤에 의해서 y₂ < x₂ = x = y이므로 y₂ < y가 돼요.

마찬가지로 y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 옮기면 엄청나게 많은 점 R을 찾을 수 있고 이 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시할 수 있어요.

y > x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 위쪽이고,
y < x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 아래쪽이에요.

부등식 y > f(x), y < f(x)의 영역

y = ax + b의 그래프에요.

같은 방법을 이용하면 y > ax + b를 만족하는 점들의 영역과 y < ax + b를 만족하는 점들의 영역을 찾을 수 있어요.

그래프에서 y = ax + b를 실선이 아닌 점선으로 표시했는데, 이건 y > ax + b, y < ax + b에 등호가 들어있지 않기 때문이에요. 일차부등식의 풀이에서 수직선 위에 부등식을 그릴 때 점을 까맣게 칠하면 ≤, ≥를 나타내고, 하얗게 그리면 <, >를 나타냈던 것과 같아요.

이차함수 그래프 y = ax² + bx + c와 부등식 y > ax² + bx + c, y < ax² + bx + c의 영역을 나타낸 것입니다.

y > f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 윗부분
y < f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 아랫부분
부등호에 등호가 없으면 y = f(x)는 점선으로 표시

부등식의 영역 그리는 순서

1. 기준이 되는 도형의 방정식 y = f(x)의 그래프를 그린다.
   이때, 주어진 식의 부등호에 등호가 없으면 점선, 등호가 있으면 실선
2. 해당 영역을 색으로 칠한다.
   • y > f(x) 또는 y ≥ f(x)이면 그래프보다 위쪽 영역
   • y < f(x) 또는 y ≤ f(x)이면 그래프보다 아래쪽 영역

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수직선과 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에 대해서 알아봤어요. 이제는 내분점과 외분점 사이의 관계를 알아볼 거예요. 내분점은 내분점, 외분점은 외분점으로 따로 인 것 같지만 둘은 한 끗 차이에요. 어디를 기준으로 두느냐의 차이지요.

내분점과 외분점은 바늘과 실처럼 항상 함께 하는 사이에요. 문제의 설명을 잘 읽고 이걸 그림으로 표현할 줄 안다면 문제는 쉽게 해결할 수 있어요.

그림을 새로 그리는 것도 아니고 공식을 다시 외우는 것도 아니니까 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

내분점과 외분점 사이의 관계

위 그림에서 점 P는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점이에요. (수직선 위의 선분의 내분점과 외분점)

원래 선분 AP였는데, 선분 AP의 연장선에 점 B가 있다고 생각해볼까요? 그럼 어떻게 되나요? 점 B가 선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점이 되지요? 반대로 선분 PB의 연장선을 점 A가 m : (m + n)으로 외분한다고 할 수도 있겠죠?

세 점 사이의 관계를 내분점과 외분점을 나타내는데, 이들은 서로가 서로에게 내분점이 되기도 하고 외분점이 되기도 해요.

이 관계를 잘 이해하고 있어야 해요. 내분점의 좌표를 가르쳐줬다고 내분점 공식만 이용하는 건 아니니까요.

선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P
선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점 B
선분 PB의 연장선을 m : (m + n)으로 외분하는 점 A

위 그림에서는 어떻게 될까요?

선분 AB의 연장선을 m : n으로 외분하는 점 Q
선분 BQ의 연장선을 (m - n) : m으로 외분하는 점 A
선분 AQ를 (m - n) : n으로 내분하는 점 B

두 점 A(4, 2), B(5, 8)를 연결한 선분의 연장선 위에 있고, 가 되도록 하는 점 C의 좌표를 구하여라.

연장선 위에 있다고 했으니까 일단 점 C는 외분점이에요. 외분하는 비율을 찾아보죠.

조심해야 할 건 비율이 점 C에 대한 비율이 아니라 점 B를 중심으로 하는 비율이에요. 비율만 보면 점 B는 선분 AC를 3 : 2로 내분하는 점이네요.

구하는 건 점 C의 좌표인데, 알려준 비율은 점 B가 내분하는 비율이에요. 약간 혼선이 생기죠? 이럴 때 바로 내분점과 외분점의 관계를 이용하는 거예요.

점 C가 선분 AB의 연장선 중 B 쪽에 있어야 3 : 2라는 비율이 나오겠죠? 그러면 점 C는 B에 가까이 있는 외분점이니까 그 비율은 (3 + 2) : 2 = 5 : 2네요. 좌표평면에 그려보면 조금 더 쉽게 이해가 될 거예요.

좌표평면 위의 선분의 외분점 공식을 이용해야겠네요.

외분점 C의 x좌표 =  =

외분점 C의 y좌표 =  =

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선분의 내분점과 외분점 두 번째로 이번에는 좌표평면에서의 내분점과 외분점이에요. 내분점과 외분점에 대한 설명은 앞선 글에서 했으니까 생략하고 이 글에서는 좌표 구하는 걸 해보죠.

공식 유도 과정이 수직선보다 훨씬 복잡하니까 잘 봐야 해요. 하지만 결과는 둘이 서로 거의 비슷하니까 외우기는 어렵지 않을 거예요.

중학교 때 공부했던 도형의 닮음을 이용한 증명이니까 혹시 기억이 안 난다면 도형의 닮음을 얼른 보고 오세요.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표를 구해보죠.

거리의 비가 m : n이니까 좌표평면위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 직접 거리의 비를 구할 것 같지만 그게 아닌 다른 방법으로 구해보죠.

좌표평면 위에 그림을 세 점 A, B, P를 그려봤어요. 세 점 A, B, P에서 좌표축으로 수선을 내렸고요.

△ACP와 △PDB를 보죠.

∠ACP = ∠PDB = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠PAC = ∠BPD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △ACP ∽ △PDB이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x₂ - x = m : n
n(x - x₁) = m(x₂ - x)
nx - nx₁ = mx₂ - mx
(m + n)x = mx₂ + nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 내분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y₂ - y = m : n
n(y - y₁) = m(y₂ - y)
ny - ny₁ = my₂ - my
(m + n)y = my₂ + ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는

수직선 위의 선분의 내분점에서 m = n이면 P는 중점이라고 했어요. 여기서도 마찬가지로 m = n이면 P는 중점이에요.

좌표평면 위의 선분의 외분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)의 좌표를 구해보죠.

마찬가지로 삼각형의 닮음을 이용합니다. 대신 이번에는 큰 삼각형 △AEQ와 작은 삼각형 △BDQ을 이용해요.

∠AEQ = ∠BDQ = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠QAE = ∠QBD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △AEQ ∽ △BDQ이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x - x₂ = m : n
n(x - x₁) = m(x - x₂)
nx - nx₁ = mx - mx₂
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 외분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y - y₂ = m : n
n(y - y₁) = m(y - y₂)
ny - ny₁ = my - my₂
(m - n)y = my₂ - ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)는
(단, m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같아요. 그리고 y좌표는 x좌표 구하는 공식에서 x만 y로 바꾸면 되고요.

좌표평면 위의 두 점 A(-2, 5), B(4, -3)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 x 좌표 =  =

내분점 P의 y 좌표 =  =

외분점 Q의 x좌표 =  =

외분점 Q의 y좌표 =  =

내분점 P , 외분점 Q (16, -19)

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두 점 사이의 거리인데요 이건 중학교 때 이미 다 해봤어요. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리요. 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용해서 두 점 사이의 거리를 구했었죠? 한 번 공부했던 거니까 간단하게 복습한다고 생각하세요.

여기서는 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 외우는 것도 중요하지만 이 공식을 이용해서 좌표평면 위의 점의 좌표를 구하는 방법도 알고 있어야 해요. 좌표를 구하는 팁을 잘 기억하세요.

두 점 사이의 거리

수직선에서 두 점 사이의 거리

수직선 위의 두 점 사이의 거리는 좌표의 차예요. 그런데 거리는 항상 0 또는 양수여야 하죠? 그래서 두 점 사이의 거리 차에 절댓값을 씌워야 해요.

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂) 사이의 거리:

좌표평면에서 두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용합니다.

위 그림에서 두 점 A, B 사이의 거리인 선분 AB의 길이는 △ABC의 빗변의 길이이므로 피타고라스의 정리를 적용해서 구할 수 있어요.

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리:

좌표를 설정하는 방법

두 점 사이의 거리에 관한 문제를 풀 때 두 점의 좌표를 주고 거리를 구하라는 문제는 나오지 않아요. 너무 쉽잖아요. 대신 두 점 사이의 거리를 미리 알려주고 그 좌표에 해당하는 점을 구하는 문제가 나오죠.

앞에서 사용한 공식을 적용하려면 점의 좌표가 필요하잖아요. 그런데 모르는 좌표니까 우리가 문자를 사용해서 임시 좌표를 만든 다음에 공식에 넣으면 돼요. 이때 아무렇게나 임시 좌표를 정하는 게 아니라 아래의 내용을 이용하면 조금 더 쉽게 점의 좌표를 구할 수 있어요.

• x축 위의 점: (a, 0)
• y축 위의 점: (0, b)
• 좌표평면 위의 임의의 점: (a, b)

구하려고 하는 점의 좌표가 x축 위의 좌표라면 y = 0이니까 (a, 0)로 놓으면 좋아요. y축 위의 좌표도 마찬가지고요. 축 위의 점이 아니라면 그냥 (a, b)로 놓으면 되고요. 어려운 내용은 아니죠?

좌표평면 위에 있는 두 점 A(1, 2), B(2, 3)로부터 같은 거리에 있는 x축 위의 점 P와 y축 위의 점 Q의 좌표를 구하여라.

점 P는 x축 위의 점이니까 좌표를 P(a, 0)이라고 놓으면 되겠네요. 점 Q는 y축 위의 점이니까 Q(0, b)로 놓고요.

두 점의 좌표를 구했네요. P(4, 0), Q(0, 4)

좌표평면 위의 두 점 A(-1, 2), B(-2, 3)로부터 같은 거리에 있는 2x + 3y = 2위의 점 P의 좌표를 구하여라.

구하려는 점 P는 축 위의 점이 아니니까 그냥 P(a, b)라고 해보죠. 공식에 대입해볼까요?

여기서는 a, b의 값을 구할 수 없어요. 문제를 다시 읽어보죠. 점 P가 2x + 3y = 2위의 점이라고 했네요. P(a, b)는 이 직선 위의 점이니까 x = a, y = b를 대입하면 식이 성립해야 해요. 여기서 2a + 3b = 2라는 식을 얻을 수 있어요. 앞에서 구한 식과 이 식을 연립해서 a, b를 구해보죠.

a - b = -4
2a + 3b = 2

두 식을 연립해서 풀면 a = -2, b = 2가 나옵니다. 따라서 점 P의 좌표는 P(-2, 2)예요.

직선 위의 점이라고 나오면 일단 (a, b)라고 놓고 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 식을 하나 구해요. 그다음 x = a, y = b를 직선의 방정식에 대입해서 식을 하나 더 구한 다음 두 식을 연립해서 a, b를 구하는 겁니다.

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[중등수학/중3 수학] - 좌표평면에서 두 점 사이의 거리

함수와 좌표평면에 대해서 알아봤어요. 이제 이 둘을 결합해보죠. 그게 바로 함수의 그래프에요.

함수별로 그래프를 그리는 방법과 특징이 달라요. 공통점과 차이점을 잘 이해하고 있어야 해요.

함수는 식으로 나타낼 수도 있고, 그래프로 나타낼 수도 있어요. 함수를 보고, 함수의 그래프를 그릴 수도 있어야 하고, 반대로 함수 그래프를 보고 함수식을 찾을 수도 있어야 해요.

이 글에서는 함수의 그래프가 뭔지, 함수 그래프는 어떻게 그리는 지, 함수별로 그래프는 어떻게 다른지를 비교해볼 거예요.

함수의 그래프

y = 2x라는 함수가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 점들이 모여서 선이 돼요. 이렇게 함수에서 만들 수 있는 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 해요.

y = 2x의 함수에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 함수의 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 계속 이어지는 그래프에요.

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프

위에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요.

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

함수 y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나는 거예요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

함수 y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 그리면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, …  이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

함수 (a ≠ 0)의 그래프

이번에는 (a ≠ 0)의 함수의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y =  그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

함수 (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

(a ≠ 0)의 그래프

a > 0	a < 0
x축, y축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선
제1사분면, 제3사분면	제2사분면, 제4사분면

함수 (a ≠ 0)의 그래프 그리기

는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 함수의 그래프를 보고, 함수를 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제3사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.
y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. 의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

의 그래프군요.

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수직선을 공부했었죠? 이 글의 내용은 수직선을 확장한 내용이에요. 그런데 그게 조금 많이 어렵습니다. 새로운 용어들과 그림이 많이 나오거든요.

어느 하나 중요하지 않은 용어가 없어요. 다음에 공부할 그래프는 물론, 2, 3학년 때도 계속 때도 사용하는 용어들이에요. 주의하고, 집중해서 잘 읽어보세요.

새로운 용어와 그림을 함께 기억하세요. 용어 따로 그림 따로가 아니에요. 문제를 읽고 그림으로 표현할 줄 알아야 하고, 그림을 보고 내용을 파악하려면 당연한 거겠죠?

순서쌍과 좌표

수직선이 뭔지 알고 있죠? 아래 그림처럼 수직선의 2라는 숫자에 점 A가 있다고 해보죠.

수직선의 2위에 점 A가 있다는 건 반대로 점 A에 2가 대응한다고 얘기할 수 있어요.

수직선 위의 한 점에 대응하는 수를 좌표라 하고 기호로는 P(a)라고 표시해요. 점 P가 수직선 위의 a라는 숫자에 있다는 뜻이에요. 만약에 점 A가 수직선의 2위에 있다고 한다면 A(2)라고 표시하고 A의 좌표는 2라고 하는 거예요.

좌표: 수직선 위의 한 점에 대응하는 수
P(a): 점 P의 좌표가 a

순서쌍은 한 쌍의 숫자를 순서대로 쓰는 걸 말해요. 한 쌍을 표시할 때는 괄호 안에 쓰고, 콤마(,)로 구분해요. 1, 2로 된 순서쌍은 (1, 2)로 쓰는 거예요.

순서쌍에서는 순서가 중요해요. (1, 2)와 (2, 1)은 다른 거예요.

좌표평면

수직선은 가로로 된 선이 하나만 있었어요. 그런데 가로로 된 수직선에 수직인 세로선(수직선)을 그어요. 이때 가로인 수직선을 x축, 세로인 수직선은 y축, x축과 y축을 합쳐서 좌표축이라고 하고 좌표축이 그려진 평면을 좌표평면이라고 해요. 또 두 수직선이 만나는 점을 원점 O라고 하고요.

수직선에는 0을 기준으로 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수였죠? 좌표평면에서는 x축은 점 O의 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수예요. y축은 점 O보다 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수예요.

모눈종이나 바둑판을 생각해보세요.

수직선에는 점 P의 좌표를 P(a)라고 표시하는데, 좌표평면에서는 수직선이 2개니까 사용하는 숫자도 2개예요. 그래서 P(a, b)라고 표시해요. a는 점 P에서 x축에 수선을 내려서 만나는 점의 숫자로 x좌표라고 하고, b는 점 P에서 y축에 수선을 그어서 만나는 점의 숫자로 y좌표라고 해요.

좌표평면은 좌표축에 의해서 네 부분으로 나누어져요. 네 부분으로 나누어지니까 사분면이라고 하는데, 오른쪽 위에 있는 영역부터 반시계방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 불러요. 좌표축은 사분면을 나누는 기준일 뿐, 사분면에 포함되지는 않아요.

그림에서 사분면의 이름 옆에 괄호 안에 (+, +), (-, -) 이 표시는 사분면 위 점들 좌표의 부호예요. 제1사분면에 있는 점의 x좌표와 y좌표는 둘 다 양수니까 (+, +)로 표시한 거고, 제2사분면에 있는 점의 x좌표는 음수, y좌표는 양수라서 (-, +)로 표시한 겁니다.

어떤 점이 제1사분면에 있을 때, '제1사분면 위의 점이다' 이런 식으로 표현해요.

x축: 가로로 그어진 수직선
y축: 세로로 그어진 수직선
좌표축: x축, y축
좌표평면: x축과 y축이 그려진 평면
원점: x축과 y축이 만나는 점. O
P(x, y): 점 P의 좌표. x좌표, y좌표 순
사분면: 좌표평면이 좌표축으로 나누어진 네 영역, 제1사분면(+, +), 제2사분면(-, +), 제3사분면(-, -), 제4사분면(+, -)

다음 점들 중에서 제4사분면 위의 점은 무엇인가?
(1) A(2, 3)         (2) B(3, -2)
(3) C(-2, -3)      (4) D(-2, 3)

(1) A(2, 3)에서 x, y좌표의 부호가 둘 다 양수이므로 제1사분면 위의 점이네요.

(2) B(3, -2)에서 x좌표는 (+), y좌표는 (-)이므로 제4사분면 위의 점이네요.

(3) C(-2, -3)에서 x, y좌표 부호가 둘 다 음수이므로 제3사분면 위의 점이고요.

(4) D(-2, 3)에서 x좌표는 (-), y좌표는 (+)이므로 제2사분면 위의 점이네요.

따라서 제4분면 위의 점은 B입니다.

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이번에는 피타고라스의 정리를 도형이 아니라 좌표평면에서 활용해볼 거에요.

어려운 함수 나오는 거 아니니까 너무 걱정하지 마세요. 되게 쉬운 내용이에요.

거듭 얘기하지만, 피타고라스의 정리를 이용한다는 건 기본적으로 직각삼각형을 찾아내는 거에요. 좌표평면에는 격자 무늬가 있으니까 직각삼각형을 만드는 건 어렵지 않을 거에요.

이 글에서는 좌표평면에 있는 두 점 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

좌표평면에서 두 점 사이의 거리

먼저 수직선에서는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구하나요? 점 P(1)와 점 Q(4)의 거리는 4 - 1 = 3이에요.

아래 그림처럼 원점(0, 0)과 P(3, 4)라는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구할까요?

두 점과 x축을 이용해서 직각삼각형을 그려봤어요. 직각삼각형을 그려보니까 O와 P사이의 거리는 삼각형의 빗변의 길이가 되죠?

직각삼각형의 가로 길이는 3, 세로 길이는 4에요. 빗변의 길이 즉,  = 5가 되는 군요.

이번에는 두 점 (2, 1), (5, 5) 사이의 거리를 구해보죠.

두 점과 좌표의 격자를 이용해서 직각삼각형을 그렸어요. 이번에도 두 점 사이의 거리는 삼각형 빗변의 길이와 같아요.

직각삼각형의 가로 길이와 세로 길이는 수직선에서 구했던 것처럼 두 좌표의 차로 구할 수 있어요. 가로 길이는 5 - 2 = 3, 세로 길이는 5 - 1 = 4네요. 그래서 두 점 사이의 거리 = 빗변의 길이 = 5가 되는군요.

좌표평면에서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형을 그려서 풀어요. 

직각삼각형을 그리는 방법은 쉬워요. 두 점 중에 위에 있는 점을 지나고 y축에 평행한 선을 그어요. 그 다음은 아래에 있는 점을 지나고 x축에 평행한 선을 그어서 교점과 세 점을 연결하면 직각삼각형이 되죠. 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하면 돼죠?

어차피 제곱하고 제곱근을 씌우는 거라서 순서는 상관없어요. 로 해도 된다는 거죠.

앞으로는 직각삼각형을 그리지 말고, 위 공식으로 바로 계산하세요. 사실 이건 공식이라고 할 것도 없네요. 두 점의 (x좌표의 차)² + (y좌표 차)²에 루트 씌우면 되거든요. 외우지 말고 어떻게 구하는 지 이해하면 돼요.

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