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그래프를 공부하면 항상 그래프의 이동을 공부했어요. 로그함수의 그래프를 공부했으니 로그함수 그래프의 평행이동과 대칭이동에 대해서 공부할 차례죠.

이차함수든 지수함수든 로그함수든 어떤 함수가 됐든 그래프의 평행이동과 대칭이동은 별거 없어요. 원리는 다 똑같아요. 지금까지 계속 해왔던 거니까 간단히 짚고 넘어가죠.

여기서 공부하는 그래프를 외울 필요는 없어요. 그래프를 보고 "이건 어느 방향으로 어떻게 이동했구나."를 알면 돼요. 물론 함수식을 보고 "그래프가 어디에 어떻게 그려지겠구나."를 예상할 수 있어야 하고요.

로그함수 그래프의 평행이동

점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 적용하면 돼요.

• x축으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p 대입
• y축으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q 대입
• x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p 대입, y 대신 y - q 대입

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)그래프를 평행이동하면 어떻게 되는지 정리해보죠.

• 처음: y = log_ax
• x축으로 p만큼 평행이동한 그래프
  • x 대신 x - p 대입
  • y = log_a(x - p)
• y축으로 q만큼 평행이동한 그래프
  • y 대신 y - q 대입
  • y - q = log_ax → y = log_ax + q
• x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프
  • x 대신 x - p, y 대신 y - q 대입
  • y - q = log_a(x - p) → y = log_a(x - p) + q

아래는 로그함수 y = log_ax (a > 1)의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프예요. 각 그래프의 오른쪽 아래에 식이 쓰여 있어요. 0 < a < 1일 때의 그래프도 원리는 같아요.

로그함수 그래프의 대칭이동

로그함수 그래프의 대칭이동은 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 했던 내용과 똑같아요.

• y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x 대입
• x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y 대입
• 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x 대입, y 대신 -y 대입
• y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y 대입, y 대신 x 대입

참고로 마지막에 있는 y = x에 대하여 대칭이동을 보죠. 로그함수 그래프를 y = x에 대칭이동하면 지수함수의 그래프가 된다는 건 로그함수와 로그함수의 그래프에서 공부했어요.

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)그래프를 대칭이동하면 어떻게 되는지 정리해보죠.

• 처음: y = log_ax
• y축에 대하여 대칭이동한 그래프
  • x 대신 -x 대입
  • y = log_a(-x)
• x축에 대하여 대칭이동한 그래프
  • y 대신 -y 대입
  • -y = log_ax → y = -log_ax
• 원점에 대하여 대칭이동한 그래프
  • x 대신 -x, y 대신 -y 대입
  • -y = log_a(-x) → y = -log_a(-x)

아래는 로그함수 y = log_ax (a > 1)의 그래프를 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 그래프예요. 0 < a < 1일 때의 그래프도 원리는 같아요.

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지수함수 그래프의 평행이동과 지수함수 그래프의 대칭이동이에요. 중학교 3학년 때 이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동을 공부했었죠? 함수의 종류만 달라졌을 뿐 그래프의 평행이동, 대칭이동이라는 건 똑같아요.

게다가 도형의 평행이동, 대칭이동은 1학년 때 공부했잖아요. 이 내용을 그냥 지수함수의 그래프에 적용한 것뿐이에요.

새로운 내용도 아니고 이미 공부했던 걸 아주 살짝 확장하는 것이니까 그냥 한 번 죽 읽어보세요.

지수함수 그래프의 평행이동

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 평행이동하면 어떻게 될까요? 점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 지수함수의 그래프에 적용해보죠.

일단 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요.

점을 평행이동하면 이동한 만큼 원래 점의 좌표에 더해줘요. (x, y)라는 점을 x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 그 결과는 (x + p, y + q)예요.

도형의 평행이동에서 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 f(x - p, y - q) = 0이 된다고 했어요. x 대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하죠.

f(x, y) = 0의 평행이동
x축 방향으로 p만큼 평행이동: x 대신 x - p. f(x - p, y) = 0
y축 방향으로 q만큼 평행이동: y 대신 y - q. f(x, y - q) = 0
x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동: x 대신 x - p, y 대신 y - q. f(x - p, y - q) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 어떤 특징이 있었나요? 그래프 자체뿐 아니라 꼭 지나는 점이 있었어요. (0, 1)과 (1, a)죠. 이 점도 평행이동하죠? 이동한 만큼 더해줘요.

그리고 점근선이 있었죠? 점근선은 x축 즉 y = 0이라는 직선이었어요. 이 직선은 x축 방향으로 평행이동해도 똑같아요. y축 방향으로 평행이동할 때는 y = 0 대신 y - p = 0이니까 y = p가 되지요.

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p를 넣어줘요.
y = a^x → y = a^{x - p}
(0, 1) → (p, 1), (1, a) → (1 + p, a)
점근선: y = 0 → y = 0

지수함수 y = a^x의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 넣어요.
y = a^x → y - q = a^x → y = a^x + q
(0, 1) → (0, 1 + q), (1, a) → (1, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y 대신 y - q를 넣어줘요.
y = a^x → y - q = a^{x - p} → y = a^{x - p} + q
(0, 1) → (p, 1 + q), (1, a) → (1 + p, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

이건 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지, 원래 식에 뭘 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 평행이동

y = ax의 그래프	y = ax - p의 그래프
y = ax + q의 그래프	y = ax - p + q의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

지수함수 그래프의 대칭이동

이번에는 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 대칭이동하면 어떻게 되는지 알아보죠.

이것 역시 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 했던 내용을 지수함수의 그래프에 적용하는 거예요.

f(x, y)= 0의 대칭이동
x축에 대하여 대칭이동: y 대신 -y. f(x, -y) = 0
y축에 대하여 대칭이동: x 대신 -x. f(-x, y) = 0
원점에 대하여 대칭이동: x 대신 -x, y 대신 -y. f(-x, -y) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를
x축에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^x → y = -a^x
y축에 대하여 대칭이동 하면 y = a^-x
원점에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^-x → y = -a^-x

지수함수의 그래프에서 y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이라는 걸 공부했었죠?

이것도 역시 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지 식에 어떻게 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 대칭이동

y = ax의 그래프	y = a-x의 그래프
y = -ax의 그래프	y = -a-x의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

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무리함수의 뜻과 성질을 공부했으니 이제 다른 형태의 무리함수에 대해서 알아보죠. 앞서 유리함수에서도 그랬듯이 기본형을 공부하고 나서 다른 형태의 함수를 공부할 때는 기본형을 평행이동한 걸 공부해요. 따라서 기본형의 성질을 잘 알고 있어야 해요.기본형에서 다른 형태로 평행이동을 하게되면 어떤 성질이 어떻게 바뀌는 지만 잘 파악하면 돼요.

이런 진행과정은 이차함수의 평행이동은 물론이고, 원의 방정식에서도 했던 과정이에요.

여러 형태의 무리함수 중에서 모양을 바꿔야하는 경우도 있으니 이 경우도 잘 봐두세요.

무리함수

무리함수  (a ≠ 0)의 그래프

유리함수 2, 분수함수에서 의 그래프는 의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프라고 했어요.

마찬가지로  (a ≠ 0)의 그래프는 (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프예요.

무리함수의 정의역은 근호 안의 부분이 0 또는 양수가 되는 x의 범위이고 그에 따라 치역도 정해진다고 했어요. a > 0일 때, 의 정의역은 {x|x ≥ p}이고, 치역은 {y|y ≥ q}가 됩니다.

a(x - p) ≥ 0
x - p ≥ 0       (∵ 양변 ÷ a)
x ≥ p

a < 0이라면 (양변 ÷ a)에서 부등호의 방향이 바뀌겠죠? 따라서 a < 0이면 의 정의역은 {x|x ≤ p}가 되고, 치역은 {y|y ≥ q}가 돼요. a의 부호가 정의역 부등호의 방향에 영향을 줘요. 치역은 a의 부호와 상관없이 같고요.

 (a ≠ 0)의 그래프
(a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프
a > 0일 때, 정의역은 {x|x ≥ p}, 치역은 {y|y ≥ q}
a < 0일 때, 정의역은 {x|x ≤ p}, 치역은 {y|y ≥ q}

 (a ≠ 0)의 그래프

의 그래프는 꼴로 바꿔서 풀어요.

식의 모양을 바꾸니  (a ≠ 0)의 그래프)의 그래프는 (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프라는 걸 알 수 있어요.

a > 0일 때, 정의역 {x|x ≥ }이고 치역은 {y|y ≥ c}가 되겠네요. a < 0일 때, 정의역 {x|x ≤ }이고 치역은 {y|y ≥ c}가 되겠네요.

 (a ≠ 0)의 그래프
의 꼴로 변형
  (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프

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평행이동은 이차함수의 그래프에서 공부했던 거예요. 여기서는 이차함수 그래프의 평행이동을 왜 그렇게 하는지 그 이유를 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 그렇다고 대단한 건 아니고 별거 아니에요. 생각보다 쉬워요.

어차피 도형의 평행이동과 이차함수 그래프의 평행이동은 같은 거니까 그 결과만 잘 기억하고 있으면 되는 거죠. 처음 도형과 평행이동한 도형의 관계만 잘 파악하면 돼요.

다만 점의 평행이동과 도형의 평행이동은 작지만 중요한 차이가 있으니 그것만 잘 구별하세요. 점과 도형의 평행이동이 어떻게, 왜 다른지 알아보죠.

점과 도형의 평행이동

좌표평면 위의 점 또는 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리 만큼 옮기는 걸 평행이동이라고 해요. 이때 도형의 모양은 바뀌지 않아요. 그 모습 그대로 위치만 바꾸는 겁니다.

점의 평행이동

좌표평면 위의 점 P(x, y)를 평행이동 시켜보죠. x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표를 P'(x', y')라고 해볼게요.

x' = x + a
y' = y + b

따라서 점 P'(x', y')의 좌표는 P(x + a, y + b)가 돼요.

a > 0이면 x축에서 오른쪽으로, a < 0이면 x축에서 왼쪽으로 이동하고,
b > 0이면 y축에서 위쪽으로, b < 0이면 y축에서 아래쪽으로 이동해요.

점의 평행이동
점 P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는 P'(x + a, y + b)
P(x, y) → P'(x + a, y + b)

도형의 평행이동

도형의 평행이동은 이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q에서 해본 적이 있어요. 이때 y = ax²의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동하면 y = a(x - p)² + q가 된다고 했어요. x대신 x - p를 y대신 y - q를 넣는다고 했지요. 이걸 또 하는 거예요.

함수를 y = f(x)라고 하죠? 좌변은 y, 우변은 x에 관한 식이라서 f(x)라고 하는데, 이 둘을 합치니까 y = f(x)가 되는 거예요. 보통 평면좌표 위의 도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 표현해요. 원의 방정식, 직선의 방정식의 일반형의 좌변은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y)라고 하고, 우변은 0이잖아요. 이 두 개를 합쳐서 f(x, y) = 0이라고 쓰는 거지요.

어떤 도형이 있다고 해보죠. 그 도형 위의 임의의 점 P(x, y)가 있어요. 이 점 P를 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동 시킨 점 P'의 좌표를 P'(x', y')라고 해보죠.

x' = x + a → x = x' - a
y' = y + b → y = y' - b

처음의 도형은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y) = 0이고, 평행이동한 도형은 x', y'에 대한 식이니까 x', y'라는 문자가 들어간 식으로 표현해야 하잖아요. 그런데 이 새로운 식을 몰라요. 그래서 기존에 알고 있던 식을 변형시켜서 구해야 하는데, 기존에 알고 있던 식이 f(x, y) = 0이죠.

처음 식의 x, y에 x = x' - a, y = y' - b를 대입하면 x, y에 관한 원래 식이 x', y'에 관한 새로운 식으로 바뀌는 거예요. f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0

즉, P'(x', y')에 대한 식은 f(x' - a, y' - b) = 0이라는 걸 알 수 있어요.

f(x', y') = 0은 점 P'(x', y')에서 x'와 y'의 관계인데, 가령 점 K(m, n)이라면 f(m – a, n – b) = 0이 될 거고, 점 Z(s, t)라면 f(s – a, t – b) = 0이 될 거예요. 즉 어떤 문자를 사용하든 점의 좌표 중 앞에 있는 문자에서 a를 빼고, 뒤에 있는 문자에서 b를 빼는 식이라는 거죠.

좌표평면에서 도형의 방정식은 x', y'도 아니고 m, n도 아니고 s, t도 아닌 x, y로 나타내죠? 그러니까 x, y의 식 즉 f(x, y)= 0꼴로 나타내야 하니까, 앞에 있는 x에서 a를, 뒤에 있는 y에서 b를 뺀 f(x – a, y – b) = 0이 돼요.

f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0 → f(x - a, y - b) = 0

도형의 평행이동
방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0
f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0 → f(x - a, y - b) = 0

점의 평행이동에서는 평행이동한 것만큼 더해줬는데, 도형의 평행이동에서는 이동한 만큼 빼주는 거예요. 차이를 잘 기억하세요.

다음을 구하여라.
(1) y = 2x²를 x축으로 3만큼, y축으로 5만큼 이동한 이차함수의 그래프
(2) x² + y² - 10 = 0을 x축으로 4만큼, y축으로 -6만큼 이동한 도형의 방정식

도형을 x축으로 a만큼 평행이동하면 x대신 x - a, y축으로 b만큼 평행이동하면 y대신 y - b를 대입해주면 돼요.

(1) 번은 이차함수 그래프의 평행이동이에요.
x축으로 3만큼 평행이동: x → x - 3
y축으로 5만큼 평행이동: y → y - 5

y - 5 = 2(x - 3)²
y = 2(x - 3)² + 5

(2) 번은 원의 방정식의 일반형이네요.
x축으로 4만큼 평행이동: x → x - 4
y축으로 -6만큼 평행이동: y → y - (-6) = y + 6

(x - 4)² + (y + 6)² - 10 = 0
(x - 4)² + (y + 6)² = 10

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이차함수 그래프의 평행이동 마지막입니다. 뭐 거창한 건 아니고요. 앞에서 공부했던 내용들을 한꺼번에 공부하는 거예요.

이차함수그래프를 x축으로도 평행이동 해봤고, y축으로도 평행이동 해봤어요. 이제는 x, y 축 평행이동을 동시에 하는 거예요.

y = ax² 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동한 그래프에 대해서 공부할 거예요. 어렵게 생각하지 마세요. 이 그래프는 y = ax² + q와 y = a(x - p)²의 특징을 모두 갖고 있거든요.

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프

y = ax² 그래프를 y축 방향으로 먼저 q만큼 평행이동한 y = ax² + q 그래프를 다시 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프예요. 순서를 바꿔도 상관없어요.

그래프를 x축으로 평행이동하면 x와 관련된 모든 항목이 바뀌고, y축으로 평행이동하면 y와 관련된 항목이 모두 바꿔요. 그럼 x, y로 평행이동한 그래프는 당연히 x와 y에 관련된 모든 것들이 다 바뀌겠죠π x와 관련된 항목은 p로 y와 관련된 항목은 q로 바꿔보죠.

꼭짓점은 원점 (0, 0) 이었어요. 평행이동하면 어떻게 될까요π (p, q)로 바뀌겠죠π

축의 방정식은요. x하고만 관련이 있잖아요. x = 0 에서 x = p로 바뀌고요.

y값의 범위는 y하고만 관련이 있죠π a < 0이면 y ≤ q가 될 거고, a > 0 이면 y ≥ q가 될 거예요.

이차함수 그래프의 평행이동

a > 0일 때 이차함수 그래프를 평행이동한 그래프에 관한 내용을 정리해볼까요π

그래프
	y = ax2	y = ax2 + q	y = a(x - p)2	y = a(x - p)2 + q
꼭짓점	(0, 0)	(0, q)	(p, 0)	(p, q)
축의 방정식	x = 0	x = 0	x = p	x = p
증가, 감소 기준	x > 0 x < 0	x > 0 x < 0	x > p x < p	x > p x < p
y의 범위	y ≥ 0	y ≥ q	y ≥ 0	y ≥ q

이차함수 그래프가 y축으로 평행이동한 것을 공부했어요. 이 글에서는 이차함수 그래프가 x축으로 평행이동한 경우를 생각해보죠.

이차함수 그래프 y = ax²가 y축으로 q만큼 평행이동하면 y에 관련된 값인 꼭짓점의 y좌표, y의 범위 등이 바뀌죠. 그리고 y와 상관없는 꼭짓점의 x좌표, 축의 방정식 등은 그대로예요.

이차함수의 그래프가 x축 방향으로 평행이동 했을 때는 이차함수 그래프의 특징에서 어떤 값들이 어떻게 바뀌는 지 알아보죠.

이차함수 y = a(x - p)²의 그래프

일차함수든 이차함수든 x, y축 어느 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 일차함수의 그래프에서 기울기나 직선인 모양은 그대로이고요. 이차함수에서도 포물선 모양과 위/아래로 볼록인 것도 그대로예요. 그래프의 폭도 바뀌지 않아요.

특히 이번에는 x축으로 p만큼 평행이동 했을 때를 볼 건데, 이때는 x에 관련된 내용이 모조리 p로 바뀝니다.

y = ax²의 그래프의 꼭짓점은 원점 (0, 0)이었어요. x 관련된 것만 바뀌니까 꼭짓점의 x좌표가 바뀌겠죠? (p, 0)이 돼요.

축의 방정식은 x = 0이었죠? x와 관련된 식이네요. 역시 x = p로 바뀝니다.

x > 0이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 0이면 x가 증가할 때 y는 감소하죠. 여기서 x의 범위도 x > p일 때 x가 증가하면 y가 증가하고 , x < p일 때 x가 증가하면 y가 감소하는 것으로 바뀌죠.

y값의 범위는 x랑 상관없죠? 그래서 바뀌지 않아요.

아래 그래프는 y = x²과 y = (x - 3)²의 그래프에요.

그래프에서 꼭짓점은 (3, 0)이고, 축의 방정식은 x = 3이네요. x > 3이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 3이면 x가 증가할 때 y는 감소하는군요. 찾을 수 있겠죠?

파란색 그래프 위의 점들이 x축 방향으로 3만큼 이동하면 오른쪽 그래프 위의 점들과 일치하죠? 양의 방향으로 3만큼 이동했으니까 x + 3을 해줘야 할 것 같은데, 식은 x - 3이 됐어요. 여기를 주의하세요. 이동한 만큼 빼주는 거예요.

x축으로 p만큼 평행이동한 이차함수 그래프는 x 대신 x - p, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프는 y 대신 y - q를 넣어주세요.

만약 x축 방향으로 -3만큼 이동하면 y = {x - (-3)}² = (x+3)²가 돼요.

y축으로 q만큼 이동한 그래프는 원래는 y - q = ax²인데, q를 이항해서 우리가 아는 y = ax² + + q로 바꾼 거예요.

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일차함수에서 우리는 제일 처음에 y = ax 에 대해서 공부했어요. 그리고 y = ax 그래프를 y축으로 b만큼 평행이동 시킨 y = ax + b 그래프를 공부했고요.

일차함수의 그래프

이차함수에서 y = ax² 그래프를 공부했으니 y축으로 평행이동한 그래프를 공부해야겠죠? 그게 바로 y = ax² + q예요.

그래프를 평행이동 하면 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 그러니까 폭도 그대로이고, 위로/아래로 볼록한 것도 그대로에요.

일차함수의 그래프에서도 그래프의 기울기나 모양이 바뀌지는 않았어요.

이차함수 y = ax² + q의 그래프

y = ax² + q 그래프는 y = ax² 를 y축으로 q만큼 이동한 그래프에요.

y축에 대해서 q만큼 평행이동 했으니까 y와 관련된 항목들만 바꿔요.

y축 대칭이어서 축의 방정식은 x = 0이었어요. 축의 방정식은 x만 있고 y와 상관없죠? 그래서 축의 방정식은 x = 0 그대로예요.

x가 증가할 때 y가 증가/감소하는 구간도 역시 x > 0 일 때와 x < 0 일 때, 즉 x의 범위에 따라 달라지는 거니까 y와는 상관없어요. 그대로예요.

꼭짓점은 원점(0, 0)에서 (0, q)로 바뀝니다. y축으로 이동했으니 꼭짓점의 y좌표도 이동해야겠죠?

y축으로 평행이동 하면 y값의 범위도 바뀌어야 해요. a > 0이라면 y ≥ q가 될 거고, a <0이라면 y ≤ q가 돼요.

기억하세요. y = ax²가 y축 방향으로 q만큼 이동한 y = ax² + q는 y 관련된 항목, 꼭짓점의 y좌표, y값의 범위만 바뀌고, 다른 것은 그대로라는 걸요.

함수를 공부했으니까 그래프에 대해서 알아보죠.

함수 그래프를 그릴 때, x에 1, 2, 3, …을 넣어서 y를 구한 다음 좌표평면에 점을 찍고 그 점들을 이어서 그래프를 그렸어요. 여기까지가 1학년 때 했던 내용이에요.

이제는 그래프도 그려보고, 그래프가 어떤 특징이 있는지, 그래프와 함수식 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.

일차함수 y = ax의 그래프

일차함수 그래프에서 가장 기본이 되는 y = ax의 그래프부터 살펴보죠.

x = 0이면 y = 0이죠. 이 그래프는 (0, 0) 즉 원점을 지나요.

a 값에 따라 그래프가 어떻게 될까요? 아래 y = x와 y = 2x, y = 3x의 그래프를 보세요.

x의 앞의 숫자인 a가 커질수록 그래프는 y축에 더 가까워지죠?

아래는 y = -x, y = -2x, y = -3x의 그래프에요. 여기는 a가 작아질수록 y축에 더 가까워져요.

위 두 그림에서 알 수 있는 것, a > 0일 때는 a가 커질수록 그래프가 y축에 가까워지고, a < 0일 때는 a가 작아질수록 y축에 가까워지죠. 이거를 하나로 묶어서 표현해볼게요. a의 절댓값이 커질수록 그래프는 y축에 가까워진다.

a >0일 때는 x가 증가하면 y도 증가해요. 따라서 그래프의 모양은 오른쪽 위로 향하는 직선이죠. 그래프는 1, 3 사분면을 지나고요.

a < 0일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요. 그래프의 모양은 오른쪽 아래로 향하는 직선이요. 2, 4 사분면을 지나네요.

일차함수 y = ax + b의 그래프

y = ax + b는 y = ax의 그래프를 b만큼 평행이동한 그래프에요. 평행이동은 그래프를 일정한 값만큼 그 모양 그대로 옮기는 걸 말해요.

위 그림에서 보듯이 y = ax 그래프를 b만큼 평행이동했는데요, 어디로 이동했느냐면 y축 방향으로 이동했어요. ax였던 y에 b만큼 더해줬잖아요.

이 그래프는 원점이 아니라 (0, b)를 지나요. b의 값에 따라 지나가는 사분면이 달라지는 것을 빼면 y = ax 그래프와 특징이 같아요.

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