평행이동은 이차함수의 그래프에서 공부했던 거예요. 여기서는 이차함수 그래프의 평행이동을 왜 그렇게 하는지 그 이유를 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 그렇다고 대단한 건 아니고 별거 아니에요. 생각보다 쉬워요.
어차피 도형의 평행이동과 이차함수 그래프의 평행이동은 같은 거니까 그 결과만 잘 기억하고 있으면 되는 거죠. 처음 도형과 평행이동한 도형의 관계만 잘 파악하면 돼요.
다만 점의 평행이동과 도형의 평행이동은 작지만 중요한 차이가 있으니 그것만 잘 구별하세요. 점과 도형의 평행이동이 어떻게, 왜 다른지 알아보죠.
점과 도형의 평행이동
좌표평면 위의 점 또는 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리 만큼 옮기는 걸 평행이동이라고 해요. 이때 도형의 모양은 바뀌지 않아요. 그 모습 그대로 위치만 바꾸는 겁니다.
점의 평행이동
좌표평면 위의 점 P(x, y)를 평행이동 시켜보죠. x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표를 P'(x', y')라고 해볼게요.
x' = x + a
y' = y + b
따라서 점 P'(x', y')의 좌표는 P(x + a, y + b)가 돼요.
a > 0이면 x축에서 오른쪽으로, a < 0이면 x축에서 왼쪽으로 이동하고,
b > 0이면 y축에서 위쪽으로, b < 0이면 y축에서 아래쪽으로 이동해요.
점의 평행이동
점 P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는 P'(x + a, y + b)
P (x, y) → P'(x + a, y + b)
도형의 평행이동
도형의 평행이동은 이차함수 그래프, y = a(x - p)2 + q에서 해본 적이 있어요. 이때 y = ax2의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동하면 y = a(x - p)2 + q가 된다고 했어요. x대신 x - p를 y대신 y - q를 넣는다고 했지요. 이걸 또 하는 거예요.
함수를 y = f(x)라고 하죠? 좌변은 y, 우변은 x에 관한 식이라서 f(x)라고 하는데, 이 둘을 합치니까 y = f(x)가 되는 거예요. 보통 평면좌표 위의 도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 표현해요. 원의 방정식, 직선의 방정식의 일반형의 좌변은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y)라고 하고, 우변은 0이잖아요. 이 두 개를 합쳐서 f(x, y) = 0이라고 쓰는 거지요.
어떤 도형이 있다고 하죠. 그 도형 위의 임의의 점 P(x, y)가 있어요. 이 점 P를 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동 시킨 점 P'의 좌표를 (x', y')라고 해보죠.
x' = x + a → x = x' - a
y' = y + b → y = y' - b
처음의 도형은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y) = 0, 평행이동한 도형은 x', y'에 관한 식이니까 g(x', y') = 0이라고 할 수 있어요.
x', y'에 대한 식이니까 x', y'라는 문자가 들어간 식으로 표현해야 하잖아요. 그런데 이 새로운 식을 몰라요. 그래서 기존에 알고 있던 식을 변형시켜서 구해야 하는데, 기존에 알고 있던 식이 f(x, y) = 0이죠. 처음 식의 x, y에 x = x' - a, y = y' - b를 대입하면 x, y에 관한 원래 식이 x', y'에 관한 새로운 식으로 바뀌는 거예요. f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0
x', y'에 관한 새로운 식이 되었는데, 일반적으로 x, y라고 표현하잖아요. 그래서 그냥 '을 떼 버리고 f(x - a, y - b) = 0이라고 씁니다.
도형의 평행이동
방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0
f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0 → f(x - a, y - b) = 0
점의 평행이동에서는 평행이동한 것만큼 더해줬는데, 도형의 평행이동에서는 이동한 만큼 빼주는 거예요. 차이를 잘 기억하세요.
다음을 구하여라.
(1) y = 2x2를 x축으로 3만큼, y축으로 5만큼 이동한 이차함수의 그래프
(2) x2 + y2 - 10 = 0을 x축으로 4만큼, y축으로 -6만큼 이동한 도형의 방정식
도형을 x축으로 a만큼 평행이동하면 x대신 x - a, y축으로 b만큼 평행이동하면 y대신 y - b를 대입해주면 돼요.
(1) 번은 이차함수 그래프의 평행이동이에요.
x축으로 3만큼 평행이동: x → x - 3
y축으로 5만큼 평행이동: y → y - 5
y - 5 = 2(x - 3)2
y = 2(x - 3)2 + 5
(2) 번은 원의 방정식의 일반형이네요.
x축으로 4만큼 평행이동: x → x - 4
y축으로 -6만큼 평행이동: y → y + 6
(x - 4)2 + (y + 6)2 - 10 = 0
(x - 4)2 + (y + 6)2 = 10
함께 보면 좋은 글
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax2 + q
이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)2
이차함수 그래프, y = a(x - p)2 + q
원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식
f(x,y)를 f(x'-a,y'-b) 식으로 바꿔 줄 수 있다고 하셨잖아요
그리고 이 식에서 ' 을 떼어서 f(x-a,y-b)라고 표현한다고 하셨어요
그러면 이 그래프의 식은 옮겨진 그래프의 식( f(x',y')의 관련된 식 )이 아니라 처음 주어진 f(x,y)에 관한 식이 되는 것 아닌가요?
만약 그렇다고 하더라도 여기서 구해야 할 식의 목적은 옮겨진 그래프의 식을 구하는게 목적이 아닌가요??
이거 때문에 골머리가 아프네요 여기서 해결할 수 있게 도와주세요 ㅡㅠ
평행이동한 식은 f(x', y') = 0이에요. 그런데 이 식을 직접 구할 수 없으니까 f(x, y) = 0을 한 번 거쳐서 구하는 거예요. 구한 결과가 f(x' - a, y' - b) = 0이죠. 그런데 그냥 편의상 '를 뗀 거예요. '을 뗀 f(x - a, y - b) = 0과 처음의 f(x, y) = 0에서 x, y는 전혀 관계가 없는 x, y예요.
아 그리고 또 위 질문은 생각하고 뒤져보다 의문이 든 것이고요
최초의 의문은 왜 이동한 만큼 '-'가 되느냐 입니다.
이것에 대한 답안도내주세요~^*
본문에 설명되어 있어요. 위 댓글과 본문을 다시 읽어보면 이해될 겁니다.
점의 평행이동에서 P(x,y)->f(x+a,y+b) 맞나요?? P(x,y)->P(x+a,y+b)가 맞는거 아닌가요?
f(x+a, y+b)=0 도형표현 아닌가요?
P'(x+a,y+b)이네요.
기존의 도형이 x,y에 대한 식 f(x,y)=0이고 새로운 도형은 x', y'에 대한 식이라는 것까지 이해가 되는데, 그 식을 다시 f(x',y')=0, 그러니까 똑같이 f 로 나타내도 되는건가요? g(x',y')=0 과 같이 새로운 도형으로 나타내야 하는게 아닌가요? 이때 g(x',y')=f(x,y)로 하고요.
"평행이동한 도형은 x', y'에 관한 식이니까 f(x', y') = 0이라고 할 수 있어요." 이 부분을 "평행이동한 도형은 x', y'에 관한 식이니까 g(x', y') = 0이라고 할 수 있어요."로 바꾸는 게 의미가 더 분명해지겠네요.
답변 감사합니다~
안녕하세요.
너무~... 이해가 되지 않아 질문 올려요......
저도 위의 분들 처럼
도형의 평행 이동에 대해 이해가 안가는데요..
' 을 뗀 f(x-a, y-b) = 0 기존의 x,y 와 전혀 관계가 없는 x,y 에요..
(이해 하는데 어려워서요)
그럼 f는 동일 하고 (x-a, y-b) 좌표의 관한 x(x-a),y(y-b) 식이 바뀐 형태 인데요.
몇일 생각 해서 생각된 점은
원점 (0,0) 또는 원래의 도형의 방정식 기준으로(모든 점들을,.. 꼭지점, x절편, y 절편..),
x 좌표 +방향 이동이라면, x 좌표 자체를 - 방향(왼쪽)으로 이동, - 방향은 x 좌표 자체를 + 방향(오른쪽)으로 이동
y 좌표의 관한 식도 위와 같이 상하로 좌표 전체를 이동 했다고 해석하면 이해가 갑니다.
일차식은 x,y 방향 이동이 같은 의미가 되므로, 식의 대입하여 계산에 따라 결과가 나오게 될것 같구요.
이렇게 해석해도 맞는건지, 틀린건지 알려주세요.
만약 맞다고 하면 이후에 이어지는 그래프 관련 해석에도 무리가 없나요?
부탁 드려요....
편의상 x', y'에서 '를 떼서 x, y로 표현한 것일뿐 x', y'를 의미하는 거니까 처음의 x, y와는 다르죠.
이동과 방향에 대한 내용은 제대로 이해하고 있어요. 모든 점의 좌표가 그런 식으로 이동하죠.
x -> x + a가 되었다면 x - (-a)가 된 것이고, 이건 x축 방향으로 -a만큼 이동한 거죠? 여기서 -가 방향(왼쪽)을, a는 이동한 정도를 나타내는 거예요.
x -> x - a라면 이건 x축 방향으로 a만큼 이동한 거고요. a앞에는 (+)가 생략되어 잇는 것으로 + 방향(오른쪽)으로 a만큼 이동했다는 뜻이죠.
이렇게 증명까지 다 써주시고 관련지식까지 쉽게 공부할수 있는 곳은 여기밖에 없네용
^^감사합니당
그러니까 다른 데 가지 말고 자주 찾아주세요. ㅎㅎ
x'=x+a
y'=y+b 입니다
함수 f(x,y)=0 에서
x=x'-a 이고 y=y'-b이니까
x자리에 x'-a 를 넣고 y 좌표에 y'-b 를 넣는것은
그냥 f(x,y)가 아닌가요?
x=x'-a니까요.
f(x,y)=f(x'-a,y'-b) 잖아요
이건 기존의 f(x,y) 함수와 같은데, 어떻게 g(x'y')가 되는겁니까?
기준이 바뀌었어요. x, y가 아니라 x', y'에 대한 식이라서 새로운 식이된 거예요.
기준이바뀌어도 f(x.y)=f(x'-a ,y'-b) 아닌가요
x, y에 대한 식이 아니라 x', y'에 대한 식으로 바뀐 거지요.
책만보며 고민하다가 읽어봤는데,이해가 정말 잘되네요^^ 감사합니다
이해되지 않는 게 생기면 언제든 찾아오세요.^^
이해가 가지 않는 문제가 있어서 질문 드립니다.
마냑에 평행이동(x,y)가 (x-4,y+5)에 이하여 직선L이 y=-3x+1로 옮겨질때 이때는 점의 이동에서는 x축에서 -4만큼 y축에서 5만큼 이동한 거니까 직선으로 옮길때는 반대로 x축으로 4만큼 y축으로 -5만큼 이동한 건가요?
아니요. 평행이동한 건 똑같아요. 다만 그걸 나타내는 식을 쓸 때 부호를 반대로 하는 거죠.
점은 (x, y) -> (x - 4, y + 5)라면
식은 y = -3x + 1 -> y - 5 = -3(x + 4) + 1
오르락내리락 몇번이나 봅니다 자세한설명 고맙습니다 댓글보면서 이해하고 갑니다
아마 내일 다시 보면 이게 뭔소리지 할걸요. ㅎㅎ 며칠 뒤에 서너 번 더 읽어야 제대로 이해될 거예요. ㅋ
f(x,y)식으로부터 g(x',y')를 f(x'-a, y'-a)로 변형했잖아요!
이 때 f(x'+a,y'+b)를 f(x-a,y-b)로 나타낸다고 하셨고요
근데 f(x-a,y-b)의 x,y 값은 f(x,y)값의 x,y와 관계가 없다 하셨는데
왜 그런건지 모르겠어요..ㅠㅠ
x자리에 x-a를 대입하니까 관계가 있는거 아니에요?ㅜㅜ
다른 식이라는 점을 강조하려고 한 말이에요.
기본적으로 원래 식을 평행이동한 식이니까 굳이 따지자면 관계가 있다고 할 수는 있지만 두 식이 서로 독립적으로 있는 식이라는 뜻으로 이해해주세요.
그리고 여기서는 원래 식의 x, y와 평행이동한 식의 x, y가 같은 문자로 표시되어 있더라도 같은 숫자를 뜻하는 것이 아니라는 게 중요해요.
f(x,y)에 x=x'-a y=y'-b 를 대입하면 왜 평행이동한 그래프의 식이 나와요?
평행이동한 그래프의 식을 구하려면 x',y'에 대한 식이니까 x',y'문자가 들어간 식이 나와야 하는건 알겠는데 f(x,y)를 변형해서 구할 때 x=x'-a y=y'-b 이렇게 대입해서 하니까 그냥 식f(x,y)의 모양만 변한것이고 따라서 평행이동한 그래프가 아니라 평행이동하기 전의 그래프 아닌가요?
변형부분이 잘 이해가 안가요ㅠㅠ
기본적으로 모양은 변하지 않고, 평행이동하니까 위치가 바뀌어요.
문자로 하면 이해하기 어려울 수 있으나, 실제로 중3에 나오는 이차함수의 그래프처럼 숫자를 대입해서 해보면 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
감사합니다!
댓글 고맙습니다.
방정식 f(x,y)=0이 나타내는 도형 위의 점을 P(x,y)라고 하고 x축으로 a만큼 y축으로 b만큼 평행이동한 점을 P'(x',y')이라 했을때 x'=x+a이고 y'=y+b이므로 x=x'-a , y=y'-b 잖아요 그리고 이것을 f(x,y)=0에 대입하면 f(x'-a,y'-b)=0이 되고 편의상 '을 땐다고 했는데 그래도 본질은 P'에 있는 점인 (x',y')인데 여기서 a와b를 빼버리면 이동하기 전인 (x,y)로 돌아오는거 아니에요? 위에 댓글 읽어봤는데 이해가 안되요
(x, y)가 아니라 (x', y')죠.
처음 f(x,y)와 이동한 식f(x`,y`)에서 `기호를 뗀 f(x,y)는 서로 다른거군요.
문자가 같아서 헷갈렸는데 정리가 됐습니다. 3일동안 앓다가 해결됐네요 감사합니다
3일동안 앓았으니 이제 3년동안 알아두세요.
라임을 한 번 맟줘봤어요. ㅎ
저 근데 제가 문제를 푸는데 평행이동(x,y)-->(x+6,y-1)에 의하여 직선 3x-2y-4=0으로 옮겨지는 직선의 방정식을 구하라고 하였는데 이 경우는 도형의 평행이동이 아닌건가요?
도형의 평행이동 증명에서 왜 '을 때는게 평행이동과 관련이 있는건지 이해가 되지 않습니다... 그냥 그대로인 함수인거 아닌가요??
그런건 없어용~
안녕하세요^^ 수학방 예전부터 잘 이용해왔지만 댓글은 처음 남겨봅니다.
혹시 도형의 방정식도 함수같은 개념인가요? 또한 사람들은 보통 x,y로 함수같은 것들을 많이 나타내기에 거기에 맞춰서 표현을 해준거죠?
마지막으로.. 도형의 방정식과 도형 f(x,y)=0은 똑같은 표현인지 궁금합니다. 또, 꼭 도형의 방정식에서는 =0을 붙여야 하는지요?
답변 미리 감사드립니다ㅎㅎ 앞으로 자주 들르겠습니다 :)
안녕하세요... 아무리봐도 이해가 안가는 부분이 있어서 적어봅니다. x'-a를 하고 y'-b를 하면 원래있던 x,y로 돌아오는게 아닌가요?? 왜냐하면 x,y를 x를 +a만큼 y를 +b만큼평행이동 한 좌표가 x',y'이잖아유
공부에 도움이 되었습니다.