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앞서 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)에서는 직선과 이차함수 등 y = f(x) 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아봤는데요. 이번에는 f(x, y) = 0 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아볼 거예요.

부등식의 모양만 다를 뿐 원리나 그리는 방법 등은 같아요. 특히, 마지막에 나오는 부등식의 영역 그리는 순서는 그래프의 모양과 상관없이 모든 부등식의 영역을 구할 때 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

다음에 공부할 연립부등식의 영역을 구하려면 이 글의 내용을 꼭 이해하고 넘어가야 해요.

원의 내부와 외부를 나타내는 부등식

원의 방정식 표준형은 (x - a)² + (y - b)² = r²이죠. 좌변은 임의의 점 (x, y)에서 (a, b)까지의 거리를 제곱한 거고 우변은 반지름의 제곱이죠. 즉 원의 방정식은 (a, b)로부터 r만큼의 거리에 있는 점들을 말하는 거예요.

그렇다면 (x - a)² + (y - b)² > r²은 무슨 뜻일까요? (a, b)로부터 r보다 더 먼 거리에 있는 점들을 얘기하죠?

그림의 P(x₁, y₁)에서 원의 중심 C(a, b)까지의 거리는 반지름 r보다 더 커요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 식으로 나타내보죠.

즉 원 밖의 임의의 점에서는 (x - a)² + (y - b)² > r²이 성립해요. 거꾸로 말해 (x - a)² + (y - b)² > r²이 성립하는 점들은 원의 바깥쪽에 있다는 거지요.

같은 방법으로 (x - a)² + (y - b)² < r²이 성립하는 점들은 원의 안쪽에 있다는 걸 알 수 있어요.

원의 내부와 외부를 나타내는 부등식
(x - a)² + (y - b)² > r²의 영역은 (x - a)² + (y - b)² = r²의 바깥쪽
(x - a)² + (y - b)² < r²의 영역은 (x - a)² + (y - b)² = r²의 안쪽

부등식 f(x, y) > 0, f(x, y) < 0의 영역

도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 나타내잖아요? 그래서 이를 이용한 부등식은 f(x, y) > 0 또는 f(x, y) < 0으로 표시합니다.

이 부등식의 영역을 나타내는 순서는 다음과 같아요.

1. 좌표평면에 f(x, y) = 0의 그래프를 그린다.
   • 등호가 포함되어 있으면 실선
   • 등호가 포함되어있지 않으면 점선
2. f(x, y) = 0 위에 있지 않은 임의의 점의 좌표를 대입한다.
3. 조건에 맞는 영역을 칠한다.
   • 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역
   • 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역

2단계에서 임의의 점은 (0, 0), (1, 0)처럼 계산을 쉽게 할 수 있는 점들이 좋아요.

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1) x² + y² > 9
(2) (x - 2)² + (y - 1)² < 16

일단 f(x, y) = 0의 그래프를 그리고 임의의 점을 대입한 다음 부등식을 만족하면 점이 있는 영역, 부등식을 만족하지 않으면 점이 속하지 않은 영역을 칠하면 돼요.

(1)에 (0, 0)을 대입해보면 0 + 0 > 9로 부등식을 만족하지 않아요. 따라서 (0, 0)이 속하지 않은 영역을 칠해야 해요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 크기 때문에 원의 바깥쪽을 바로 칠해도 되고요.

(2)에 (0, 0)을 대입하면 (-2)² + (-1)² < 16으로 부등식을 만족하죠. 따라서 (0, 0)이 속한 영역을 칠하면 되겠네요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 작기 때문에 원의 안쪽을 바로 칠해도 되고요.

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아폴로니오스의 원은 고대 수학자 아폴로니오스가 발견해서 그의 이름을 따서 불러요. 발견한 사람의 이름을 붙이는 건 히포크라테스의 초승달도 있었고 에라토스테네스의 체도 있었죠?

아폴로니오스의 원은 그렇게 중요한 내용은 아니니까 그냥 참고용으로 쉬워가는 길에 잠깐 읽는 정도라고 생각하세요. 이런 유형의 문제를 어떻게 푸는지만 알고 있으면 돼요.

증명과정의 계산이 조금 복잡하긴 하지만 어렵지는 않으니까 직접 증명을 해보는 것도 괜찮을 듯싶네요. 꼭 해보라는 건 아니고 그냥 해보는 것도 괜찮다는 거예요.

아폴로니오스의 원

두 점 A, B에 대하여  :  = m : n (m ≠ n)을 만족하는 점 P을 다 모으면 원이 되는데, 이를 아폴로니오스의 원이라고 합니다.

P(x, y), A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)이라고 하고 두 점 사이의 거리를 이용하여 거리를 구해서 비례식을 세우고 정리해보죠.

중간과정은 복잡하니까 그냥 넘어가고 마지막 줄을 보면 x² + y² + Ax + By + C = 0꼴로 이건 원의 방정식 일반형이에요. 두 점에서 m : n의 거리에 있는 점들을 모두 모으면 원이 된다는 것을 알 수 있어요.

조금 더 쉽게 증명해보려면 점 A, B를 그대로 평행이동시켜서 A(0, 0), B(a, 0)으로 놓고 해보세요.

아폴로니오스의 원에서 선분 AB의 중간에 있는 점 P는 내분점이 되고, 선분 AB의 연장선에 있는 점은 외분점이에요.

원의 방정식이니까 원의 중심과 반지름을 구해야겠죠? 원을 잘 보면 내분점 P와 외분점 Q를 지름의 끝점으로 하는 원이에요. 원의 방정식에서 두 점을 지름의 끝점으로 하는 원의 중심은 양 끝점의 중점이라고 했지요? 아폴로니오스 원에서는 내분점 P와 외분점 Q의 중점이 원의 중심이고, 반지름은 선분 PQ 길이의 절반이에요.

두 점 A(-2, 5), B(4, 5)에 대하여  :  = 2 : 1를 만족하는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.

P(x, y)라고 해보죠. 두 점 사이의 거리를 이용하여 비례식을 세워보죠.

답은 x² + y² - 12x - 10y + 45 = 0 네요.

표준형으로 고쳐볼까요?

x² + y² - 12x - 10y + 45 = 0
x² - 12x + y² - 10y + 45 = 0
x² - 12x + 36 - 36 + y² - 10y + 25 - 25 + 45 = 0
(x - 6)² + (y - 5)² - 16 = 0
(x - 6)² + (y - 5)² = 16

원의 중심이 (6, 5)고 반지름은 4인 원의 방정식이었군요.

m = n일 때

아폴로니오스의 원이 만들어지려면 나누는 비율인 m, n이 서로 같지 않아야 해요. (m ≠ n)

만약에 m = n이라면 원이 아니라 직선이 생겨요.

이 직선은 선분 AB를 수직이등분하는 선이 됩니다.

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원의 방정식 표준형에 이어서 원의 방정식 일반형에 대해서 알아볼 거예요. 식의 일반형은 좌변에 모든 항이 있고, 우변 = 0인 꼴을 말해요.

이차함수 식 구할 때 이차함수의 일반형을 이용했어요. 바로 세 점의 좌표를 알려줬을 때죠. 원의 방정식도 비슷합니다. 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 일반형을 이용해요.

표준형을 일반형으로 바꾸는 건 간단히 전개만 하면 되지만, 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 조금 달라요. 하지만 이미 많이 해봤던 거라서 금방 할 수 있어요.

세 점을 지나는 원의 방정식

원의 방정식의 표준형은 (x - a)² + (y - b)² = r²이에요. 전개해보죠.

(x - a)² + (y - b)² = r²
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

여기서 -2a = A, -2b = B, a² + b² - r² = C라는 문자로 치환하면
x² + y² + Ax + By + c = 0

원의 방정식 일반형
x² + y² + Ax + By + C = 0

원의 방정식 표준형은 원의 중심과 반지름을 바로 확인할 수 있는 장점이 있어요. 일반형은 그렇지 못하죠? 그런데도 일반형을 쓰는 이유는 세 점의 좌표를 알고 있을 때 조금 더 쉽게 원의 방정식을 구할 수 있기 때문이에요.

세 점 (-2, 2), (4, -6), (5, -5)을 지나는 원의 방정식을 구하여라.

x² + y² + Ax + By + C = 0에 세 점의 좌표를 대입해보죠.

(-2)² + 2² - 2A + 2B + C = 0
2A - 2B - C = 8 ……… ①

4² + (-6)² + 4A - 6B + C = 0
4A - 6B + C = -52 ……… ②

5² + (-5)² + 5A - 5B + C = 0
5A - 5B + C = -50 ……… ③

A, B, C에 관한 연립방정식이 만들어졌어요. 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀어봤었죠?

① + ② = 6A - 8B = -44
              3A - 4B = -22 ……… ④

① + ③ = 7A - 7B = -42
              A - B = -6  ……… ⑤

④, ⑤를 연립해서 풀면 A = -2, B = 4

①에 A = -2, B = 4를 대입하면 C = -20

답은 x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0

원의 방정식 일반형을 표준형으로

원의 방정식 일반형을 다시 표준형으로 바꿔보죠. 이차함수 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법과 똑같아요.

원의 중심의 좌표는 이고, 반지름은 에요.

표준형에서 우변은 반지름의 제곱이므로 0보다 커야 해요. 값을 다 비교할 필요는 없고 반지름의 분자에 있는 제곱근 안의 값만 0보다 크면 되죠.

A² + B² - 4C > 0

이차방정식의 판별식처럼 주어진 식이 원의 방정식 원인지 아닌지를 판단할 때 사용해요. 자주 사용하는 건 아니니까 꼭 알아야 하는 건 아니지만 알아두면 편리하긴 하죠.

x² + y² - 6x + 8y + k = 0이 원의 방정식일 때, 상수 k의 범위를 구하여라.

A² + B² - 4C > 0
(-6)² + 8² - 4k > 0
36 + 64 - 4k > 0
4k < 100
k < 25

일반형을 표준형으로 바꿔서 계산해볼까요?

x² + y² - 6x + 8y + k = 0
x² - 6x + y² + 8y + k = 0
x² - 6x + 9 - 9 + y² + 8y + 16 - 16 + k = 0
(x - 3)² + (y + 4)² + k - 25 = 0
(x - 3)² + (y + 4)² = 25 - k

우변 25 - k는 반지름의 제곱이므로 25 - k > 0. 따라서 k < 25

어떤 방법으로 해도 답은 똑같아요. 편한 방법을 선택하세요.

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두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.

직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.

두 직선의 위치관계 - 일반형

ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -x -

a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.

a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -x -

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서

기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
- = - →  =  →  =
- ≠ - →   ≠  →  ≠

기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
- = - →  =  →  =
- = - →   =  →  =

기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.

기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
- ≠ - →  ≠  →  ≠

앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?

연립방정식의 해의 개수

미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.

해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.

해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?

해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔  =  =

해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔  =  ≠

직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.

두 직선의 위치관계 - 일반형, 연립방정식

	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	연립방정식 근의 개수
평행	=  ≠	해가 없다.
일치	=  =	해가 무수히 많다
수직	aa' + bb' = 0	1개
한 점에서 만난다.	≠	1개

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이차함수의 마지막 이차함수의 활용입니다. 이차함수는 1학기의 마지막 단원이니까 오늘 내용만 하면 1학기 수학이 다 끝나네요.

활용은 모든 단원에서 하지만 원리는 같아요. 구하는 미지수가 뭔지 찾고, 식 세우고, 계산하는 거죠.

이차함수의 활용은 그런 면에서 이차방정식의 활용과 비슷한 유형의 문제가 많이 나와요. 이차방정식의 활용을 열심히 공부했던 학생이라면 어렵지 않게 느껴질 겁니다.

이차함수의 활용

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
3. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
4. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

함수의 활용 문제에서 대부분 변하는 값을 x로 놓아요. 시간이라든가 길이 같은 게 되죠. 그리고 x에 따라 바뀌는 종속적인 값을 y로 놓아요. 시간에 따라 바뀌는 온도, 가로 길이에 따라 바뀌는 넓이 같은 거죠.

이차함수의 활용에서는 최대, 최소를 구하는 문제가 많이 나오거든요. 최대/최소를 직접 구하거나 최댓값, 최솟값을 가질 때 변수의 값을 구하는 문제요. 따라서 일반형이 아닌 표준형을 많이 사용해요.

또 표준형 y = a(x - p)² + q에서 a에 따라서 최댓값, 최솟값 중 하나만 가지니까 a의 부호도 잘 보죠.

두 수의 합을 주고 곱을 구하는 문제

두 수의 합의 관계식을 주고, 곱의 최댓값을 구하거나 곱이 최대일 때 두 수를 구하는 문제 유형이에요.

실제로 두 수를 주는 건 아니고 두 수의 관계식을 주는 거죠. 예를 들어 두 수의 합이 10이다. 두 수의 차가 20이다 이런 식으로요.

한 수를 x라고 놓으면 다른 수는 관계식에서 구할 수 있어요. 두 수의 합이 10일 때, 한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 10 - x가 되는 거지요. x(10 – x)는 두 수의 곱이 되겠죠?

합이 16인 두 수의 곱이 가장 클 때 그때의 두 수와 곱의 최댓값을 구하여라.

한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 16 - x가 되겠죠? 곱은 x(16 - x)가 될 거고요.

y = x(16 - x)
y = 16x - x²
y = -x² + 16x
y = -(x² - 16x)
y = -(x² - 16x + 8² - 8²)
y = -(x - 8)² + 64

x = 8일 때 곱이 최대가 되고 그 때 곱은 64네요. 한 수가 8이니까 다른 한 수는 16 - 8 = 8이겠고요. 답은 두 수는 8, 8, 곱의 최댓값은 64가 되겠습니다.

도형의 둘레, 넓이 문제

자주 나오는 유형 중 하나가 도형의 둘레와 넓이에 관한 문제예요. 이 유형도 위의 유형과 같아요. 도형의 둘레는 가로, 세로 길이의 합이고 도형의 넓이는 가로, 세로 길이의 곱이잖아요.

둘레의 길이가 36cm인 사각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 가로, 세로 길이를 구하여라.

가로, 세로 길이를 구하라고 했으니까 가로를 x, 세로를 y로 놓으면 될까요? 그렇게 하지 않아요. 가로를 x로 놓으면 가로 x에 따라 바뀌는 넓이를 y로 놓는 거예요.

가로를 x라고 놓으면 세로는 둘레의 길이에서 구할 수 있어요. 둘레는 2 × (가로 + 세로) = 36이니까 세로 길이는 18 - x네요.

직사각형의 넓이는 가로 × 세로니까 y = x (18 - x)라는 함수식을 세울 수 있어요

y = x(18 - x)
y = -x² + 18x
y = -(x² - 18x)
y = -(x² - 18x + 9² - 9²)
y = -(x - 9)² + 81

x = 9일 때 최댓값 81을 가지므로 가로가 9cm일 때 넓이가 최대예요. 가로가 9cm니까 세로는 18 - 9 = 9cm군요.

가로, 세로 길이가 모두 9cm인 정사각형일 때 넓이가 최대네요.

이차함수의 그래프에 대해서 공부하고 있는데, y = a(x - p)² + q꼴 이었어요. 이런 형태를 이차함수의 표준형이라고 해요.

이차방정식에서는 ax² + bx + c = 0 꼴을 이차방정식의 일반형이라고 하는데, 이차함수에도 일반형이 있어요. 이차함수의 일반형은 이차방정식 우변의 0을 y로 바꾸고, 좌우변을 바꾼 y = ax2 + bx + c이에요.

이차함수의 일반형 y = ax² + bx + c

y = ax² + bx + c의 특징을 먼저 알아볼까요?

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프에서 그래프의 모양과 폭을 결정하는 건 뭐죠? 이차항의 계수인 a죠. 일반형에서도 이차항의 계수가 그래프의 폭과 모양을 결정합니다.

y = ax²+ bx + c에서 이차항의 계수는 a이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록이에요. 또 |a|가 클수록 그래프의 폭은 좁아집니다.

x절편은 y = 0일 때의 x좌표죠? y = 0을 넣어볼까요? 0 = ax² + bx + c가 되어서 이차방정식의 해가 x절편이 되는 걸 알 수 있어요.

y절편은 x = 0일 때의 y좌표죠? x = 0을 넣어보면 y = c가 나와요.

일반형은 표준형보다 x, y 절편 찾기가 쉬워요.

표준형은 꼭짓점이나 축의 방정식, y값의 범위를 알아보기가 쉽죠. y = a(x - p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)라는 걸 알 수 있잖아요.

그러니까 꼭짓점을 찾을 때는 표준형, y절편을 찾을 때는 일반형이 편하겠죠. 그래프의 모양이나 폭은 어떤 것이든 상관없고요.

그런데 함수식을 두 가지 형태로 다 주는 건 아니잖아요. 식이 표준형이면 x = 0, y = 0을 대입해서 x, y 절편을 찾을 수 있어요. 하지만 일반형일 때는 그 상태 그대로 꼭짓점이나 y값의 범위를 찾을 방법이 없죠.

그래서 일반형을 표준형으로 바꿔야 해요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

일반형은 x에 관해 내림차순으로 쓰인 식이고, 표준형은 완전제곱식을 포함하고 있는 식이에요. 그러니까 완전제곱식 + 상수항의 꼴이죠.

일반형을 완전제곱식으로 바꾸는 걸 우리는 이미 해봤어요. 바로 “완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이”에서요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 어떻게 했는지 보죠.

1. 이차항의 계수로 양변을 나눈다.
2. 상수항을 우변으로 이항
3. 을 양변에 더해준다.
4. 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x + p)² = k
5. 제곱근을 이용하여 해를 구한다.

x² - 2x - 6 = 0

기억나죠? 정말 많이 해봤던 문제잖아요.

y = ax² + bx + c를 y = a(x-p)² + q로 바꾸기 (일반형을 표준형으로)

이차방정식에서 완전제곱식을 만들었던 것과 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 80% 비슷해요.

다른 건 두 가지. 위의 순서에서 2번에 있는 상수항을 우변으로 이항하는 게 없어요. 그리고 해를 구하는 게 아니니까 5번 단계가 필요 없어요. 두 단계가 줄었으니까 더 편하겠죠?

그다음에는 이차항의 계수로 양변을 나눈다고 했는데, 이걸 “이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶는다.”로 바꾸면 돼요. 인수분해한다는 얘기예요. 을 양변에 더해주는 건 좌변에만 한 번 더해주고 빼주는 걸로 바꿔요. 그 외 나머지는 다 똑같아요.

연습을 한번 해보죠.

y = 2x² + 4x + 5의 꼭짓점의 좌표과 축의 방정식을 구하여라.

먼저 이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶어요.
y = 2(x² + 2x) + 5

을 더해줘야 하는데 어디에 더하냐면 괄호로 묶인 부분 안에 더해줘요. 그리고 원래 식에 없던 값을 더해줬으니까 한 번 빼줘야 원래 식과 같은 식이 되겠죠? 빼주는 것도 괄호 안에 빼줘요. 문제에서는 (2 / 2)² = 1을 더해주고 빼줘야겠네요.

y = 2(x² + 2x + 1 - 1) + 5

괄호 안에 있는 부분 중 앞의 세 항(x₂ + 2x + 1)을 완전제곱식으로 바꿔요.

y = 2{(x + 1)² - 1} + 5

괄호 안에는 완전제곱식과 상수항이 남아있는데, 이 상수항을 괄호 밖으로 빼네요. 이때 주의해야할 건 괄호 앞에 이차항의 계수였던 2가 있으니까 분배법칙을 이용해서 빼내야 한다는 거예요.

y = 2(x + 1)² - 2 + 5
y = 2(x + 1)² + 3

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이와 거의 비슷하죠? 이렇게 표준형으로 바꿨더니 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 구할 수 있겠네요. 꼭짓점은 (-1, 3), 축의 방정식은 x = -1이군요.

한 문제 더 해보죠.

y = -x² + 4x -2의 꼭짓점과 y절편을 구하여라.

꼭짓점은 표준형에서 y절편은 일반형에서 구하는 게 편해요.

문제의 식이 일반형이니까 y절편부터 구해보죠. 이차함수 y = ax² + bx + c에서 x = 0일 때 y 좌표가 y절편이니까 –2네요.

꼭짓점을 구하기 위해서 일반형을 표준형으로 바꿔보죠.

꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이고 y 절편은 -2네요.