중근
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
보통 도형에서의 위치관계는 수직, 평행 등을 묻는데 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 그런 게 아니에요. 교점이 몇 개 생기느냐를 말하죠. 앞서 했던 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근의 내용과 비슷하니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 거의 한 쌍둥이라고 할 수 있어요.
이차함수 그래프의 대략적인 모습과 직선을 그리면 조금 더 쉽게 이해할 수 있으니까 그림도 함께 외우세요.
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 했던 내용을 살짝만 바꾸면 돼요.
이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
= 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해
중학교 2학년 때 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식에 대해서 잠깐 공부한 적이 있어요. x축은 식으로 나타내면 y = 0이라는 직선의 방정식으로 나타낼 수 있죠? x축도 직선이니까 이걸 확장하면 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 구할 수 있는 거죠.
이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축이 몇 개의 교점을 가지느냐를 알아볼 때 어떻게 했나요? x축이 y = 0이니까 이걸 이차함수 식에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식 D의 부호를 구했죠? D > 0이면 교점이 2개, D = 0이면 교점이 1개, D < 0이면 교점이 0개예요.
이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 직선 y = mx + n 사이의 관계를 구할 때도 똑같아요. 직선 y = mx + n를 이차함수 y = ax2 + bx + c에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식의 부호를 구하면 교점의 개수를 알 수 있어요.
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b - m)x + c - n = 0
위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.
D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 서로 다른 두 허근 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.
이차함수의 그래프와 직선 둘 다좌표평면 위에 있어서 실수 범위에서만 다루기니까 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.
위 내용을 표로 정리해 볼게요.
| 이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용 | |||
| 판별식 | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
| 위치관계 | 서로 다른 두 점에서 만난다. | 한 점에서 만난다. (접한다.) | 만나지 않는다. |
| 그래프 |  |
 |
 |
| 교점의 개수 | 2개 | 1개 | 0개 |
표에서는 a > 0일 때의 그래프만 그렸는데, a < 0이면 그래프가 위로 볼록이니까 그림을 180° 뒤집으면 돼요.
이차함수 y = x2 + 3x - 3의 그래프와 접하고, 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하여라.
기울기가 1이라고 했으니까 직선은 y = x + b가 되겠네요.
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.
이 직선이 y = x2 + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.
x2 + 3x - 3 = x + b
x2 + 2x - 3 - b = 0
D/4 = 12 - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4
따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.
함께 보면 좋은 글
이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근
이차함수, 이차함수 총정리
이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소
원과 직선의 위치관계
두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이
이차방정식의 판별식, 실근, 허근
이차방정식의 근은 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 근의 공식을 이용해서 구한 근이 실수인지 허수인지에 따라서 부르는 이름이 달라져요. 실근과 허근이라는 표현을 언제 사용하는지 알아보죠.
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)에서 b2 - 4ac를 이차방정식의 판별식이라고 하고 D라고 써요. 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수를 알 수 있었죠.
이 글에서는 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수뿐 아니라 근의 종류를 알아볼 거예요. D > 0, D = 0일 때는 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용과 똑같으니까 D < 0일 때를 주목해서 보세요.
이차방정식의 실근, 중근, 허근
이차방정식 x2 + 3x + 2 = 0의 해를 구해보죠.
x2 + 3x + 2 = 0
(x + 1)(x + 2) = 0
x = -1 or -2
두 개의 근을 구했어요. 두 수는 모두 실수죠? 실수인 근이니까 실근이라고 해요.
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0
x = -2
완전제곱식일 때는 근이 두 개인데, 두 개가 같아서 중근이라고 하지요?
이번에는 이차방정식 x2 + x + 1 = 0의 두 근을 구해보죠. 인수분해가 안 되니까 근의 공식으로 해를 구해야 해요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
근호 안이 -3이어서 허수단위 i를 이용해서 표현해봤어요. 근이 허수에요. 허수인 근이니까 허근이라고 합니다.
이차방정식의 판별식
중3 때, 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용에서 판별식을 이용해서 근의 개수를 구할 수 있었어요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)의 판별식
D = b2 - 4ac
판별식 D > 0이면 두 개의 근, D = 0이면 중근, D < 0이면 근이 없다고 했지요.
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근은 
전에는 실수 체계에 대해서만 알고 있어서 D < 0이면 제곱근 안이 음수니까 D < 0일 때는 근이 없다고 공부했던 거예요. 복소수 체계에서는 제곱근 안이 0보다 작은 걸 허수라고 하죠. 따라서 D < 0일 때는 허수가 근이라는 걸 알 수 있어요.
D < 0이면 
D > 0일 때는 두 개의 근을 갖는데, 이들은 모두 실수에요. 제곱근 안이 양수로 무리수니까요.
D = 0일 때는 중근을 갖는데 이것 역시 실수죠.
이처럼 판별식 D를 이용해서 근의 개수와 근의 종류를 알 수 있어요.
| 판별식 | 근의 개수 |
|---|---|
| b2 - 4ac > 0 | 서로 다른 두 실근 |
| b2 - 4ac = 0 | 서로 같은 두 실근(중근) |
| b2 - 4ac < 0 | 서로 다른 두 허근 |
문제를 풀 때, 실근인지 허근인지 두 근이 서로 같은지 다른지를 잘 구별해야 해요.
복소수 단원을 제외한 문제에서 특별한 언급이 없으면 답을 실수범위에서만 구했는데, 방정식에서는 특별한 언급이 없는 한 허근까지도 구해야 합니다.
x2 + 3x - 4 + k = 0가 실근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.
실근을 갖는다는 얘기는 D > 0이어서 서로 다른 두 실근을 가질 수도 있지만, D = 0으로 중근을 가질 수도 있어요. 따라서 D ≥ 0이어야 해요.
b2 - 4ac ≥ 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) ≥ 0
9 + 16 - 4k ≥ 0
4k ≤ 25
함께 보면 좋은 글
[중등수학/중3 수학] - 근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
[중등수학/중3 수학] - 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
복소수, 허수와 허수단위
삼차방정식의 허근 ω 오메가의 성질
이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근
한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
이차방정식 구하기 두 번째입니다. 이전 글 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서는 두 근이 주어졌을 때와 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식을 구하는 법을 알아봤어요.
이번 글에서는 두 근이 아니라 한 근만 알려줬을 때, 이차방정식을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 근을 하나만 알려줬다고 해서 근이 하나만 있는 건 아니에요. 중근이라서 하나만 가르쳐주는 경우도 있지만 근이 두 개인데 그 중 하나만 알려주는 경우도 있거든요. 두 경우를 잘 구분하고, 어떻게 근을 구하는 지 알아보죠.
중근을 알려주었을 때
중근이라는 건 같은 근이 두 개가 있다는 뜻이죠? 따라서 한 근을 α라고 한다면 다른 근 역시 α라고 할 수 있죠.
두 근이 α, β이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0
위 식에 대입해보면 a(x - α)(x - α) = 0이라서 좌변을 정리하면 a(x - α)2 = 0라는 식이 돼요.
주어진 근이 중근이라면 기존에 사용했던 방법에 그대로 대입해서 구할 수 있다는 얘기에요. 공식의 모양이 아래처럼 바뀝니다.
중근이 α이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)2 = 0
x = 3을 중근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.
공식에 바로 대입하죠.
2(x - 3)2 = 0
2(x2 - 6x + 9) = 0
2x2 - 12x + 18 = 0
생각보다 어렵지 않죠?
계수가 유리수인 이차방정식
계수가 유리수인 이차방정식은 새로운 내용이 아니에요. 복잡한 이차방정식의 풀이에서 봤던 계수가 소수나 분수인 이차방정식을 말합니다. 물론 여기에는 계수가 정수인 이차방정식도 포함하는 거죠. 즉, 우리가 다루었던 모든 이차방정식을 그냥 이름만 거창하게 붙여놓은 거예요.
계수가 유리수인 이차방정식의 특징이 있어요. 계수가 유리수고 한 근이 무리수면 다른 한 근을 계산해보지 않아도 구할 수 있어요.
근의 공식을 한 번 생각해보세요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
근은 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠져 있어요. 그런데 유리수 부분은 같고, 무리수 부분은 부호만 다르죠. 한 근은
그러니까 주어진 근이 무리수라면 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 것이죠. 한 근만 알려줬지만 실제는 두 근 모두를 알려준 거예요.
계수가 유리수고 한 근이 m + n
⇒ 다른 한 근은 m - n
(m, n은 유리수,
두 근을 구한 다음에는 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 구합니다.
두 근의 합이 m이고, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x2 - mx + n) = 0
a(x2 - 합x + 곱) = 0
한 근이 2 -
일단 계수가 유리수이고, 근은 무리수에요. 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대라고 했죠? 한 근이 2 -
두 근의 합은 (2 -
두 근의 곱은 (2 -
따라서 문제에서 구하는 답은 아래와 같아요.
2(x2 - 4x - 1) = 0
2x2 - 8x - 2 = 0
주의 해야할 내용 - 근이 유리수라면
여기서 주의해야할 것이 하나 있는데요. 계수가 유리수이더라도 근이 유리수면 위 관계는 성립하지 않는다는 거예요.
예를 들어 한 근이 3이라고 하죠. 3은 3 +
절대 안됩니다. 중근이었다면 중근이라고 분명히 얘기를 해 줬을 거예요.
(x – 1)(x – 3) = 0의 경우처럼 한 근이 3일 때 다른 근이 1이 될 수도 있거든요. 이런 경우에는 이차방정식의 해의 정의에 따라 3을 식에 대입해서 다른 계수를 구하는 방법으로 풀어야 해요
함께 보면 좋은 글
합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식의 해가 하나일 때, 이 해를 중근이라고 해요. 사실 해는 두 개인데, 이 두개가 중복되기 때문에 중근이라고 하는 겁니다.
해가 하나만 있다고 해서 중근이라고 하면 안되요. 예를 들어 x = 2, x = -5라는 해가 나왔는데, 문제에서 x > 0 이라는 조건이 주어져서 x = 2라는 해만 답이 될 때는 중근이라고 하지 않아요. x는 중복되는 게 아니니까요.
이차방정식이 중근을 가지는 지 확인하는 방법은 두 가지가 있는데, 이 글에서는 먼저 한가지만 알아볼꺼에요. 다른 한 가지는 판별식을 이용하는데 나중에 보도록 하죠.
이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식이 중근을 가지려면 AB = 0 에서 살펴봤듯이 A2 = 0이라는 완전제곱식 형태가 되어야 해요. 이렇게 됐을 때 다항식 A = 0 이 되어서 똑같은 근이 두 개 생기잖아요.
이차방정식의 해가 중근 = 완전제곱식
전개의 반대과정이 인수분해니까 인수분해해서 완전제곱식이 되는 건 거꾸로 완전제곱식을 전개해서 이차방정식과 비교해도 되겠죠?
이차항의 계수가 1일 때
완전제곱식 (x + a)2을 전개해보면 x2 + 2ax + a2가 돼요.
여기서 x의 일차항의 계수와 상수항을 비교해 볼께요. 어떤 관계가 있나요?
x2 + □x + 9 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
일차항의 계수인 □의 절반의 제곱이 상수항인 9와 같아야하니까 아래처럼 풀 수 있어요.
따라서 □는 6 또는 -6이 되네요.
일차항의 계수는 ± 값 2개가 있다는 점 주의하세요.
x2 - 10x + △ = 0가 중근을 가질 때 △의 값은?
일차항과 상수항의 관계를 이용해서 중근을 가질 때 계수들을 구할 수 있겠죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때
위 경우에는 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때에 사용하는 방법이고요. 만약에 이차항의 계수가 1이 아니라면 양변을 이차항의 계수로 나눈 다음에(이차항의 계수를 1로 만든 다음) 같은 방법으로 하면 되겠지요.
아니면 아래 방법으로 구해도 되고요.
3x2 + □x + 75 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
함께 보면 좋은 글
이차방정식이란, 이차방정식의 뜻
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기