수학방

그래프와 행렬의 관계에 대해서 알아보죠.

그래프를 행렬로 바꿔볼 거예요. 그래프를 행렬로 바꿨을 때 행렬이 그래프의 특징들을 잘 드러내는지도 알아볼 거예요. 행렬이 나타내는 그래프의 특징을 보고 그래프를 예상할 수 있어야 해요.

정말 어려울 것 같지만 따지고 보면 별거 아닌 내용이에요.

행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기

다음과 같은 그래프가 있다고 해보죠.

한 점이 다른 점과 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0이라고 써서 표로 나타내 보죠. 예를 들어 A는 B와 변으로 연결되어 있으니까 1, D와는 변으로 연결되어 있지 않으니까 0이라고 쓰는 거예요.

이번에는 이 표를 행렬로 나타내보죠.

4차 정사각형렬이네요. (꼭짓점의 개수) × (꼭짓점의 개수) 행렬이죠.

이 행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 그어지는 대각선에 대해서 대칭이에요. A와 B가 변으로 연결되어 있으면 B와 A도 연결되어 있어서 같은 값을 가지니까요.

행렬의 성분으로 표현하자면 (i, j)의 성분 = (j, i)의 성분이 되는 거예요.

반대로 행렬만 보고 그래프의 특징을 알아낼 수 있나요?

예를 들어 이 행렬은 4차 정사각행렬이에요. 꼭짓점이 4개 있다는 뜻이에요.

변의 개수를 알 수 있을까요? 변은 꼭짓점과 꼭짓점을 연결한 선이에요. 행렬에서 1이 의미하는 건 두 꼭짓점 사이가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠? 그래서 행렬에 있는 1을 모두 더하면 돼요. 하지만 AB와 BA를 모두 1로 나타냈으니까 중복되는 걸 빼려면 행렬에서 1을 모두 더한 값을 2로 나눠줘야 하죠.

변의 개수 = (행렬의 모든 성분의 합) ÷ 2

한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점에 연결된 변의 개수도 구할 수 있어요. 행렬에서 1은 다른 꼭짓점과 연결되었는지를 나타내는 거니까 A에서 다른 꼭짓점으로 연결된 변의 개수는 A가 있는 제 1 행의 모든 성분을 다 더한 값과 같아요.

꼭짓점에 연결된 변의 개수 = 해당 꼭짓점이 나타내는 행(또는 열)의 모든 성분의 합

A에 연결된 변의 개수는 A를 나타내는 제 1 행 (또는 제 1 열)의 성분을 모두 더한 2가 되는 거죠.

행렬의 성분과 경우의 수

행렬을 P라고 해볼게요.

P =

p₁₂ = 1이 의미하는 건 A와 B가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠.

P를 제곱했더니 위와 같은 행렬이 만들어졌어요. P는 두 꼭짓점이 서로 변으로 연결되어 있는지 아닌지를 나타내요. 즉 1이면 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 하나만 지나는 된다는 걸 말하죠. P²은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 두 번 지나면 된다는 걸 의미해요. 여기서는 1이 아닌 2, 3이라는 숫자도 있죠? 이건 경우의 수를 말해요.

p₁₁ = 2죠? A에서 변을 두 개 지나서 A로 오는 방법이 두 가지가 있다는 얘기예요. A - B - A, A - C - A의 두 가지예요.

p₂₁ = 1이죠? B에서 변을 두 개 지나서 A로 가는 방법이 한 가지가 있다는 얘기예요. B - C - A뿐이네요.

Pⁿ의 p_ij = k (n, k는 자연수)
→ i에서 n개의 변을 지나서 j로 가는 방법은 k가지이다.

그래프와 행렬 1 - 그래프에서 경로에는 한 번 지나간 변은 다시 지나지 않는 것으로 한다고 했는데 행렬에서는 한 번 더 지나는 것도 포함된다는 차이가 있어요.

다음 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 그래프를 행렬로 나타내어라.
(2) A에서 변을 두 개 지나서 B까지 가는 방법의 수를 구하여라.

표 그리는 건 그냥 생략하고 바로 행렬를 나타내보죠. 두 점이 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0을 넣어요.

(2) A에서 B까지 변을 두 개 지난다고 했으니까 행렬을 제곱해야겠네요.

A에서 B까지 이동하는 걸 나타내는 성분은 1행 2열의 성분이니까 2이네요. A - C - B, A - D - B의 두 가지 방법이 있어요.

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그래프인데요. 이제까지 우리가 봤던 함수의 그래프와는 조금 다른 형태의 그래프예요. 오히려 일반적인 도형과 더 비슷해요. 모양뿐 아니라 용어도 같고 부르는 이름도 같고요. 그래프와 도형은 비슷하니까 둘을 잘 비교해서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

내용을 이해하는 데 도움을 받을 수 있지만 일단 이해하고 나면 서로 헷갈릴 수 있으니까 그 차이점을 분명히 알아야 해요. 분명히 도형과 그래프는 다른 영역의 내용이니까 그래프의 내용을 도형에 적용하거나 도형의 성질을 그래프에 적용하면 안 돼요.

그래프와 행렬 1 - 그래프

함수에서의 그래프는 함수식을 만족하는 점들의 순서쌍은 좌표평면 위에 나타낸 것을 말하죠? 여기에서 그래프는 그냥 점과 선으로 이루어진 그림을 말해요. 아래 그림처럼 생긴 게 그래프예요.

점 A, B, C, …가 있는데 그래프에서 점을 꼭짓점이라고 하고 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 해요.

도형에서 점을 A, B, … 부르듯이 그래프에서도 꼭짓점을 A, B, … 라고 불러요. 도형에서 변을 부를 때 양쪽 점의 이름을 이용해서 AB, BC, … 부르듯이 그래프에서도 변을 부를 때는 AB, BC, …라고 부르고요. 또 도형에서 AB와 BA는 같죠? 그래프에서도 마찬가지예요.

다각형에서의 변은 직선이었죠? 그런데 그래프에서의 변은 곡선도 괜찮고 이상하게 생긴 찌그러진 선도 상관없어요. 그냥 꼭짓점을 연결한 선이면 모두 변이에요. 꼭짓점 E와 H를 연결한 선은 곡선이죠? 이 곡선도 변이에요.

다만 변에서 주의해야 할 건 두 꼭짓점을 연결하는 변이 하나만 있어야 해요. 아래 그림의 IJ처럼 서로 다른 선으로 연결되면 안 돼요.

서로 같은 그래프

꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘려서 두 그래프가 같은 그림으로 그려질 수 있으면 두 그래프는 같다고 해요.

두 번째 그림은 첫 번째 그림의 AD를 구부려서 그린 거예요.

세 번째 그림은 첫 번째 그림의 A의 위치를 바꿔서 그린 거고요.

네 번째는 첫 번째 그림에서 A의 위치를 바꾸고 BC를 구부려서 그린 거예요.

따라서 네 개의 그림이 모두 서로 같은 그래프죠.

네 그림 모두 꼭짓점이 A, B, C, D이고 변은 AB, BC, CD, DA예요. 이처럼 꼭짓점과 변이 같은지 비교해보면 서로 같은 그래프인지 알 수 있어요.

경로

경로는 지나가는 길을 말하죠. "집에서 출발해서 서점 들렀다가 버스를 타고 학교에 간다." 이때의 경로는 학교 → 서점 → 버스 정류장(승차) → 버스 정류장(하차) → 학교가 되겠죠?

수학에서 경로도 같아요. 그래프의 한 꼭짓점에서 출발해서 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 순서대로 꼭짓점을 나열한 것을 경로라고 해요. 차이가 있다면 한 번 지난 변을 다시 지나지 않는 거예요. AB를 지났으면 BA를 지나지 않고 가야 해요. AB = BA니까요.

그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로
(2) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로(단, 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나지 않는다.)

(1) 경로는 한 번 지난 변을 지나지 않고 꼭짓점을 이동할 때 이 꼭짓점들을 순서대로 나열한 것을 말해요. 한 번 지난 변을 또 지나지 않으면 되고, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나도 상관없어요. 꼭짓점 별로 세 가지 방향이 있네요.

모양이 좀 이상하긴 한데요. 경우의 수 구할 때처럼 <을 이용해서 구하면 쉽게 구할 수 있어요.

ABC, ABDAC, ABDC, AC, ADBAC, ADBC, ADC로 총 7가지 경로가 있네요.

(2) 똑같이 경로를 구하는 문제인데, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않는다고 했어요. (1)에서 구했던 경로 중에 같은 꼭짓점을 두 번 지나지 않는 걸 찾아보죠.

7개의 경로 중에서 ABDAC와 ADBAC는 꼭젓점 A가 반복되니까 제외해야 겠죠? 결국 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나는 않는 경로는 ABC, ABDC, AC, ADBC, ADC로 총 5가지 네요.

차수

다항식에서의 차수는 문자가 곱해진 횟수를 말하죠. 여기서의 차수는 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수를 말해요.

이 그림의 A에서는 AB, AC, AD의 세 변이 있으니까 3차예요. 다른 꼭짓점들도 모두 3차네요.

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이제부터는 이차함수를 공부할 건데요. 이차함수뿐 아니라 이차함수를 중심으로 해서 이차방정식, 이차부등식 등 다른 이차식과의 관계를 공부할 거예요. 그래서 그 전에 공부했던 이차식들에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요. 이차방정식과 이차부등식은 고등학교에 올라와서 공부했으니까 이 글에서는 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수의 내용에 대해서 간단히 총정리를 해보죠.

중요한 내용만 요약할 건데, 생각나지 않는 내용이나 이런 결과가 나오는 이유를 모르겠다면 관련 글을 보면서 이해해보세요. 다음 단원을 공부하려면 이 내용이 필수니까 절대로 잊어버려서는 안 돼요.

이차함수

함수 y = f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때 이 함수를 이차함수라고 해요.(이차함수의 뜻)

• 일반형: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
• 표준형: y = a(x - p)² + q (a ≠ 0)

x의 이차항의 계수 a > 0이면 아래로 볼록한 그래프이고, a < 0이면 위로 볼록한 그래프죠. |a|가 커질수록 그래프의 폭이 좁아지고요. (이차함수 그래프의 특징)

표준형에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)예요. 축의 방정식은 x = p이고, y값의 범위는 y ≥ q이에요. (이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q)

일반형은 표준형으로 바꾼 후에 꼭짓점을 찾죠. 축의 방정식과 y값의 범위도 마찬가지고요. 일반형에서는 x, y절편을 찾기 쉬워요 x절편은 ax² + bx + c = 0의 해이고, y절편은 c예요. (y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형)

이차함수의 그래프를 보고 계수의 부호를 구하는 것도 했어요. (이차함수 계수 부호 찾기)

표준형 y = a(x - p)² + q에서

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• p와 q의 부호는 꼭짓점의 좌표를 보고 판단해요.
  • 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p > 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p < 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p < 0, q < 0
  • 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p > 0, q < 0
  
  

일반형 y = ax² + bx + c에서 a, b, c의 부호를 구하는 방법이에요.

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요. 표준형에서와 똑같아요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• b의 부호는 좌동우이
  • 그래프의 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고
  • 그래프의 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 달라요.
  
  
• c는 y절편의 위치를 보고 판단해요.
  • y절편이 x축 위에 있으면 c > 0
  • y절편이 x축 아래에 있으면 c < 0
  
  

이차함수의 식을 구하는 방법도 했어요. (이차함수 식 구하기)

• 꼭짓점의 좌표(p, q)와 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 (m, n) 대입
• 축이 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 두 점의 좌표 대입
• 세 점의 좌표(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)를 알려줬을 때: y = ax² + bx + c에 세 점의 좌표를 대입
• x축과의 교점(α, 0), (β, 0)과 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - α)(x - β)에 (m, n)을 대입

이차함수에서 최댓값과 최솟값은 꼭짓점의 y좌표에서 정해져요. 보통은 실수 전체에서 구하니까 최댓값과 최솟값 중 하나만 갖게 되지요. (이차함수의 최댓값과 최솟값)

• a > 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값
• a < 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최댓값

여기까지가 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수에요. 정리해놓으니까 양이 별로 안되네요. 그러니까 절대로 잊어버려서는 안돼요.

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