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두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.

직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.

두 직선의 위치관계 - 일반형

ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -x -

a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.

a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -x -

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서

기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
- = - →  =  →  =
- ≠ - →   ≠  →  ≠

기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
- = - →  =  →  =
- = - →   =  →  =

기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.

기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
- ≠ - →  ≠  →  ≠

앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?

연립방정식의 해의 개수

미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.

해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.

해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?

해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔  =  =

해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔  =  ≠

직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.

두 직선의 위치관계 - 일반형, 연립방정식

	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	연립방정식 근의 개수
평행	=  ≠	해가 없다.
일치	=  =	해가 무수히 많다
수직	aa' + bb' = 0	1개
한 점에서 만난다.	≠	1개

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중학교 2학년 때 공부했던 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개 있는 일차방정식 두 개를 묶은 연립일차방정식이었어요. 고등학교에서 공부할 연립방정식은 미지수의 개수도 한 개 늘어났고, 식의 개수도 한 개 늘어나요. 미지수가 x, y, z 세 개있는 일차방정식 세 개를 묶은 연립일차방정식이지요.

연립방정식을 푸는 방법으로 가감법과 대입법을 공부했어요. x, y중 한 미지수의 계수의 절댓값을 똑같게 해서 식을 더하고 빼는 게 가감법, 두 식 중 한 식을 한 문자에 대하여 정리해서 다른 식에 대입하는 게 대입법이었지요.

미지수가 3개인 연립일차방정식

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수의 개수를 줄이는 것이에요. 미지수의 개수가 2개인 연립일차방정식은 우리가 풀 수 있잖아요. 그래서 미지수의 개수가 3개인 연립방정식은 우리가 풀 수 있는 형태로 바꿔서 풀어요.

미지수의 개수 줄이기
미지수가 3개인 연립일차방정식
→ 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 변환
→ 미지수가 1개인 일차방정식으로 변환

그럼 미지수의 개수를 어떻게 줄이느냐? 바로 가감법과 대입법으로 줄이죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

미지수 2개인 연립일차방정식인데, 연습 삼아 풀어보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더하면 되겠네요.

3x = 6
x = 2

x = 2를 두 식 중 아무 식에나 대입해요.
2 - y = 1
y = 1

x = 2, y = 1이라는 해를 구했어요.

가감법을 통해서 x, y 2개의 미지수 중 y를 없앴더니 남은 x의 값을 구할 수 있었어요. 그리고 x를 원래 식에 대입해서 y의 값을 구했지요.

이번에는 미지수가 3개이고 식도 3개인 연립일차방정식을 풀어보죠.

미지수가 x, y, z 세 개이고, 식이 세 개예요. 위에서부터 차례대로 ①, ②, ③식이라고 해보죠.

세 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요. 한 번의 계산으로 미지수의 값을 구할 수 없어요. 일단 미지수가 3개니까 2개로 줄여야 해요. 세 식 중에서 아무거나 두 개를 고르세요. ①, ②를 골라보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대네요. 가감법으로 두 식을 더하면 y가 없어지고, x, z 두 개의 미지수만 남겠죠?

x + y - z = 0 … ①
2x - y + 3z = 9 … ②

3x + 2z = 9 … ① + ② = ④

다음은 문제에서 또 두 개의 식을 골라요. ①, ③을 골라보죠. 앞에서 y를 없앴죠? 그럼 여기서도 y가 없어지도록 가감법을 해요. y를 없애려면 ① × 2 - ③을 해야겠네요.

2x + 2y - 2z = 0  … ① × 2
x + 2y + z = 8 … ③

x - 3z = -8 … ① × 2 - ③ = ⑤

④, ⑤ 식을 보면 x, z만 있는 연립방정식이에요. 미지수가 두 개인 것은 금방 해결할 수 있죠?

3x + 2z = 9 … ④
3x - 9z = -24 … ⑤ × 3

11z = 33 … ④ - ⑤ × 3
z = 3

z = 3을 ⑤에 대입하면 x = 1

x = 1, z = 3을 원래 식 중 아무 식에나 대입해요. ①에 대입하면 y = 2네요.

x = 1, y = 2, z = 3이 답이에요.

미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법이에요. 상당히 복잡하지만 하나씩 따지고 보면 어렵지는 않아요. 가감법으로 미지수의 개수를 줄여나간다는 것만 잘 기억하세요.

1. 세 식 중 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 한 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
2. 다른 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 ①에서 제거한 것과 같은 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
3. ①, ②에서 만들어진 두 식을 연립하여 미지수의 값을 구함
   ⇒ 미지수가 2개인 연립방정식의 풀이
4. ③에서 구한 두 미지수의 값을 원래 식 중 하나에 대입하여 나머지 미지수를 구함
   ⇒ 마지막으로 구하는 미지수는 ①, ②에서 제거한 미지수

다음 연립방정식을 풀어라.

순서대로 ①, ②, ③이라고 할게요.

①, ③을 골라서 z를 없애보죠.

2x + y - z = 8 … ①
3x + 2y + z = 11 … ③

5x + 3y = 19 … ① + ③ = ④

이번에는 ②, ③을 골라볼까요. 앞에서 z를 없앴으니 여기서도 z를 없애야 해요.

x - y + 3z = -4 … ②
9x + 6y + 3z = 33 … ③ × 3

-8x - 7y = -37 … ② - ③ × 3 = ⑤

④, ⑤식은 x, y만 있는 연립방정식이니까 풀 수 있어요.

35x + 21y = 133 … ④ × 7
-24x - 21y = -111 … ⑤ × 3

11x = 22  … ④ × 7 + ⑤ × 3
x = 2

x = 2를 ④에 대입하면 y = 3

x = 2, y = 3을 ①에 대입하면 z = -1

x = 2, y = 3, z = -1이 답이네요.

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이번은 일차함수의 활용에 대해서 공부할 거예요.

매 단원의 마지막에 공부하는 내용이 활용이죠. 방정식의 활용, 연립방정식의 활용, 부등식의 활용 등이요. 바꿔말하면 활용을 배우면 그 단원이 끝나는 거예요. 멀게만 보였던 일차함수 단원이 이제 끝나는군요.

매 단원의 끝에 활용이 나오는 것처럼 일차함수의 활용도 다른 단원의 활용 문제와 별로 차이가 없어요. 문제는 푸는 순서와 요령은 같은데, 식을 세우는 과정에 함수라는 게 들어가는 것뿐이에요.

1학기 마지막 단원을 시작해보죠.

일차함수의 활용

일차함수의 활용도 다른 단원의 활용에서와 같은 순서로 진행돼요.

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고, 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
   함수는 x에 대응하는 y 값이니까 일반적으로 변화하는 값을 x, 그에 따라 결정되는 값을 y로 놓아요.
2. x, y의 관계식(함수식) 세우기
   문제에 나온 내용을 식으로 만든다.
3. 해 구하기
   만든 함수식을 이용하여 해를 구한다.
4. 확인하기
   구한 해가 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

다른 식의 활용에서도 이런 순서로 진행되었죠?

일차함수의 활용은 연립방정식의 활용이나 부등식의 활용에 나왔던 문제보다 쉽다고 할 수 있어요. 미지수가 2개인 일차방정식을 하나만 만들면 되니까요. 방정식, 부등식에서 했던 활용과 별로 다르지도 않을뿐더러 식의 개수도 줄었으니 어렵게 생각하지 마세요.

일차함수의 활용 예제

지면에서 100m 높아질 때마다 기온은 0.6℃씩 내려간다고 한다. 지면 온도가 15℃일 때, 지면에서 2,700m 떨어진 곳 기온은 몇 ℃인가?

문제를 읽어보면 온도에 영향을 주는 건 지면으로부터의 높이네요. 그러니까 온도와 높이에 대한 관계식을 만들어야 해요.

여기서는 높이가 바뀌면 온도가 따라서 바뀌니까 높이를 x, 온도를 y로 놓으면 되겠네요.

100m 높아질 때마다 기온은 0.6℃씩 내려가면 1m 높아질 때마다 0.006℃씩 내려가고 xm 높아지면 0.006x℃ 내려가겠네요. 지면에서의 온도(처음 온도)가 15℃라고 했으니까 xm에서의 온도 y = 15 - 0.006x라고 할 수 있겠군요.

2,700m일 때 온도를 구하라고 했으니 식에 대입하면
y = 15 - 0.006x
y = 15 - 0.0060 × 2700
y = 15 - 16.2
y = - 1.2

온도는 영하라는 게 있어서 음수로 나와도 괜찮죠? 따라서 구하는 답은 영하 1.2℃가 되겠네요.

20L의 물이 들어있는 물통에서 10분마다 0.5L의 물이 흘러나간다. 물이 흘러나가기 시작하여 1시간 30분 후에 물통에 남아있는 물의 양은 몇 L인가?

이 문제에서는 시간과 빠져나가는 물의 양, 남은 물의 양 사이의 관계식이 필요하죠? 시간을 x라고 하면 시간에 따라 흘러나가는 물의 양은 x항이 되고, 남은 물의 양은 y로 놓을 수 있어요.

10분마다 0.5L가 흘러나가니까 1분에는 0.05L, x분 후에는 0.05xL가 흘러나가겠네요. 남은 양은 처음 양 20L에서 흘러나간 양을 빼주면 되겠고요.

y = 20 - 0.05x

1시간 30분은 90분이니까 식에 대입하면
y = 20 - 0.05 × 90
y = 20 - 4.5
y = 15.5

1시간 30분 후에 남은 물의 양은 15.5L가 되겠습니다.

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이번 글에서는 직선의 방정식과 일차함수, 일차방정식의 관계에 대해서 공부합니다.

일차함수와 일차방정식, 직선의 방정식은 서로 깊은 관계가 있어요. 용어의 뜻을 제대로 이해하고 식을 자유자재로 왔다 갔다 할 수 있어야 해요.

일차함수와 일차방정식 모두 일차식이라는 공통점이 있지요. 둘 사이의 공통점을 알아보고 그 특징까지 공부해봐요. 또 직선의 방정식이라는 용어를 쓰는데, 이게 무슨 뜻인지까지 알아보죠.

일차방정식의 그래프

미지수가 2개인 일차방정식에서 공부했던 것처럼 미지수가 2개면 하나는 x, 다른 하나는 y라고 써서 ax + by + c = 0이라고 나타내죠. 이 일차방정식을 만족하는 x, y의 순서쌍이 있겠죠? 이런 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 일차방정식의 그래프라고 해요.

직선의 방정식

특히 일차방정식의 해가 무수히 많을 때, xy 순서쌍을 좌표평면에 점으로 찍어보면 하나의 직선으로 나타나는데 이것을 직선의 방정식이라고 부릅니다.

일차방정식 ax + by + c = 0을 y에 대해서 풀어볼까요?

ax + by + c = 0
by = -ax - c

ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0)
→ (a ≠ 0, b ≠ 0)

y에 대하여 풀었더니, 일차함수의 모양과 같은 모습이죠? 좌변에 y, 우변에 x항과 상수항

무슨 말이냐 하면 미지수가 2개인 일차방정식의 그래프, 즉 직선의 방정식의 그래프가 일차함수의 그래프와 같다는 거지요.

일차방정식 4x + 2y = 8의 그래프를 그리시오.

일차방정식을 일차함수 형태인 y = -2x + 4로 바꾼 다음에 일차함수 그래프 그리기에서 썼던 방법으로 그래프를 그려도 돼요. 하지만 그보다 쉬운 방법은 x절편과 y절편을 이용해서 그리는 방법인데요. x절편은 y = 0일 때의 x좌표, y절편은 x = 0일 때의 y좌표니까 각각을 일차방정식에 대입해서 풀어서 x, y축과 만나는 점의 좌표를 구한 다음 직선을 그어서 그래프를 그리면 돼요.

y = 0을 대입하면 x축과 만나는 점의 좌표는 (2, 0), x = 0을 대입하면 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 4)네요. x, y 절편을 그래프에 찍고 선을 그어보죠.

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1학년 때 공부했던 방정식에 대해서 정리해 볼게요.

먼저 등식이라는 게 있었어요. 등호(=)를 기준으로 양쪽에 수나 식이 있어서 양쪽의 값이 같다는 것을 나타내는 식이죠. 방정식은 미지수를 포함하고 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠. 다른 말로는 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 식이라고도 해요. 그리고 식을 참이 되게 하는 특정한 값을 해 또는 근이라고 하고요.

차수는 미지수가 곱해져 있는 횟수죠. 미지수 x가 한 번 곱해져 있으면 일차식, 두 번 곱해져 있으면 이차식 이렇게요. 일차방정식은 미지수의 차수가 1인 방정식을 말해요.

방정식을 푼다는 말은 방정식의 해를 구한다, 즉 방정식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 구한다는 뜻이죠.

여기까지 이해가 다 되죠?

미지수가 2개인 일차방정식

1학년 때 배웠던 방정식은 미지수가 하나이고, 차수도 1인 방정식이었죠. 아래 같은 모양이었어요.

ax + b = 0 (a, b는 상수)

이제 공부할 방정식은 미지수가 2개인 방정식이에요. 차수는 일차이고요. 미지수가 2개이기 때문에 보통은 하나를 x, 다른 하나를 y라고 써요.

ax + by + c = 0 (a, b, c는 상수)

해를 쓰는 방법도 약간 달라요. 1학년 때 방정식의 해를 쓸 때 x = 2 이런 식으로 썼죠. 미지수가 2개인 방정식에서는 해를 x = 2, y = 3 이렇게 쓰기도 하고 (2, 3)처럼 순서쌍으로 나타내기도 해요. 중요한 건 x와 y 두 개를 동시에 써야 한다는 거예요. 순서쌍으로 쓸 때는 (x, y)의 순서로 씁니다.

예제 문제를 하나 풀어볼까요?

일차방정식 2x + y = 10을 만족하는 자연수 x, y를 구하여라.

x, y가 자연수라고 했으니까 x에 1부터 숫자를 계속 넣어가면서 식을 만족시키는 y값을 구했더니 위 표처럼 나왔어요. 그럼 이 표를 보고 방정식의 해를 어떻게 쓸까요?

x = 1, y = 8 또는 x = 2, y = 6 또는 x = 3, y = 4 또는 x = 4, y = 2 이렇게 총 네 개를 쓰면 돼요. 순서쌍으로 표시해보면 (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)가 됩니다.

이런 방정식을 풀 때에는 미지수 x, y가 정수인지 자연수인지 잘 확인한 다음에 각각에 알맞은 수를 넣어서 찾으면 돼요.