수학방

2015년 제2회 고졸 검정고시 수학 문제 풀이

1. 집합 U = {x|x는 8 이하의 자연수}의 두 부분집합 A = {2, 4, 6, 8}, B = {x|x는 8 이하의 소수}에 대하여 그림과 같이 벤 다이어그램의 색칠한 부분에 속하는 원소는?
① 1     ② 4     ③ 5     ④ 8

조건제시법으로 표현된 집합을 원소나열법으로 써보죠.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 4, 6, 8}
B = {2, 3, 5, 7}

벤 다이어그램에서 색칠된 부분은 A도 아니고 B도 아닌 부분으로 집합으로 표현하면 (A ∪ B)^C죠.

(A ∪ B)^C = U - (A ∪ B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1}

따라서 답은 ①번입니다.

교집합과 합집합
전체집합, 여집합, 차집합

2. 명제 p → q가 참일 때, 다음 중 항상 참인 것은? (단 ~p는 명제 p의 부정, ~q는 명제 q의 부정)
① p → ~q     ② q → ~p     ③ ~p → ~q     ④ ~q → ~p

어떤 명제가 참일 때 항상 참인 것 그 명제의 대우 명제예요. 대우 명제는 가정과 조건을 부정해서 서로 위치를 바꾼 부정한 명제죠.

명제: p → q
대우 명제: ~q → ~p

따라서 답은 대우 명제인 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법

3. 실수의 집합에서 임의의 두 실수 a, b에 대하여 연산 ◎을 a ◎ b = a - b + 로 정의할 때, ◎의 값은?
①      ②      ③ 2     ④ 3

연산 ◎은 (연산 기호 앞의 실수) - (연산 기호 뒤의 실수) + 로 정의된 연산이에요.

◎ =  -  +  = 

따라서 답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 항등원과 역원, 연산법칙

4. 복소수 a - 2i의 켤레복소수를 3 + bi라고 할 때, a + b의 값은? (단, a, b는 실수, i = )
① 1     ② 3     ③ 5     ④ 7

복소수 a + bi에서 켤레복소수는 실수 부분은 같고, 허수 부분의 부호가 반대인 복소수 a - bi를 말하죠.

a - 2i의 켤레복소수는 실수 부분은 그대로 a, 허수 부분은 부호가 반대인 +2인 a + 2i예요. 이게 3 + bi라고 했네요. 둘을 비교해보면 a = 3, b = 2죠.

a + b = 2 + 3 = 5

따라서 답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 켤레복소수, 켤레복소수의 성질

5. 그림은 네 개의 작은 직사각형 네 개를 붙여서 정사각형 ABCD를 만든 것이다. 정사각형 ABCD의 넓이를 나타낸 것은? (단, x > 0)
① x² - 4x + 4     ② x² + 4x + 4     ③ x² - 4x + 5     ④ x² + 4x + 5

사각형의 넓이 = (가로 길이) × (세로 길이)
□ABCD의 넓이 = (x + 2)² = x² + 4x + 4

답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 곱셈공식, 곱셈공식 유도, 고1 곱셈공식

6. 다항식 2x² + x + a가 x - 1로 나누어떨어질 때, 상수 a의 값은?
① -3     ② -1     ③ 1     ④ 3

f(x) = 2x² + x + a라고 해보죠. f(x)를 x - 1로 나누는 걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)Q(x) + R이에요.

그런데 f(x)가 x - 1로 나누어떨어진다고 했으니 R = 0이죠. f(x) = (x - 1)Q(x)

결국 인수정리때문에 f(1) = 0이므로 f(x)에 x = 1을 대입하면 a를 구할 수 있어요.

f(1) = 2 × 1² + 1 + a = 0
a = -3

따라서 답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 나머지정리, 인수정리

7. x = , y = 일 때, x + y는?
① 0     ②      ③ 2     ④ 3

이중근호를 계산하는 문제예요. 더해서 4, 곱해서 3이 되는 수는 3과 1이네요.

x =  =  + 1
y =  =  - 1

x + y =  + 1 +  - 1 = 2

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이중근호, 이중근호 풀기

8. 이차방정식 x² - 3x + 4의 두 근을 α, β라고 할 때 αβ(α + β)의 값은?
① -12     ② -3     ③ 4     ④ 12

이차방정식의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근의 합과 곱을 알아야 하는 문제네요. 이건 근과 계수와의 관계를 통해서 알 수 있어요.

α + β = = 3
αβ = = 4

αβ(α + β) = 4 × 3 = 12

답은 ④번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 이차방정식의 근과 계수와의 관계

9. 연립방정식 의 해가 x = 2, y = b라고 할 때, a + b의 값은?
① 7     ② 8     ③ 9     ④ 10

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 해보죠.

x = 2라고 했으니까 이걸 ②식에 대입하면 y를 바로 구할 수 있어요. y = 3 = b

x = 2, y = 3을 ①식에 대입하면 a를 구할 수 있죠? 2 + 3 = 5 = a

a = 5, b = 3으로 a + b = 8이므로 답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이

10. 좌표평면 위에 두 점 A(4, 1), B(1 , 5)가 있다. 선분 AB의 길이는?
① 3     ② 4     ③ 5     ④ 6

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구하는 문제네요. 공식에 바로 대입해보죠.

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 두 점 사이의 거리, 좌표평면위의 두 점 사이의 거리

2014년도 제 2회 고등학교 입학자격 검정고시 수학 기출문제 풀이

두 문자에 해당하는 수를 주고 문자를 포함한 식의 값을 구하는 문제입니다. 바로 대입해서 풀 수 있어요.

-3x + 4y
= -3 × x + 4 × y
= -3 × 2 + 4 × (-3)
= -6 - 12
= -18

답은 ①번 18이네요.

[중등수학/중1 수학] - 대입, 식의 값

소인수분해는 수를 소인수의 거듭제곱으로 나타낸 것을 말하죠?

소인수분해를 해보죠.

36 = 2² × 3²

a = 2, b = 2이므로 a + b = 4

답은 ③번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 소인수분해, 소인수분해 하는 법, 소인수 뜻

정수의 크기를 비교하는 문제입니다.

정수는 일단 부호를 보고 크기를 비교할 수 있어요. 음수, 0, 양수의 순서죠. 일단 음수끼리, 양수끼리 모아보죠.

-7, -3, 0, 5, 4

음수는 절댓값이 작은 수가 더 큰 수고, 양수는 절댓값이 클수록 더 큰 수예요. 음수 -3은 -7보다 절댓값이 더 작으니까 더 큰 수고, 양수 5는 4보다 절댓값이 더 크니까 큰 수예요.

-7, -3, 0, 4, 5

작은 것부터 순서대로 나열했더니 위처럼 되었어요. 두 번째 수는 -3, 네 번째 수는 4니까 두 수를 더하면 -3 + 4 = 1이네요.

답은 ②번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 정수의 대소관계, 정수의 크기비교

일차방정식의 해를 구하는 문제입니다.

일차방정식은 좌변에 미지수가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항해서 동류항 계산을 한 다음에 미지수의 계수로 양변을 나눠서 해를 구해요.

4x - 3 = 3x + 1
4x - 3x = 1 + 3
x = 4

답은 ④번이네요.

[중등수학/중1 수학] - 일차방정식의 풀이, 일차방정식의 뜻, 이항

연필의 개수가 몇 개냐고 물어봤으니까 연필의 개수를 x라고 해보죠. 200원짜리 연필을 x자루 사면 연필값은 200x 원이에요. 여기에 2,000원짜리 필통을 1개 사니까 총 구입 금액은 (200x + 2000) 원이겠죠. 이 총 구입액이 3,200원이 되도록 한다고 했으니 식을 세워보죠.

200x + 2000 = 3200
200x = 3200 - 2000
200x = 1200
x = 6

연필을 6자루 사면 총 구입액이 3,200원이 되네요. 답은 ②번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 문자와 식, 문자를 포함한 식
[중등수학/중1 수학] - 일차방정식의 풀이, 일차방정식의 뜻, 이항

히스토그램에서 도수를 구하는 문제네요. 히스토그램의 가로축은 계급, 세로축은 도수예요. 조건에 맞는 계급을 찾아서 도수를 세면 되겠지요?

상영 시간이 100분 미만이니까 여기에 해당하는 계급은 80분 이상 90분 미만, 90분 이상 100분 미만인 두 계급이 되겠네요.

80분 이상 90분 미만의 도수는 4, 90분 이상 100분 미만의 도수는 8이니까 전체적으로 100분 미만인 영화는 12편입니다.

답은 ②번이네요.

[중등수학/중1 수학] - 히스토그램과 히스토그램의 특징, 히스토그램 그리기

부채꼴 호의 길이를 구하는 문제군요.

하나의 원에서 부채꼴 호의 길이는 중심각에 비례해요. 비례니까 비례식을 세워보죠.

4cm : 50° = x cm : 150°
50 × x = 150 × 4
x = 12

오른쪽 부채꼴 호의 길이는 12cm로 답은 ④번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각

단항식의 곱셈이에요.

단항식을 곱할 때는 기본적으로 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 곱해요. 이때 밑인 문자가 같고 곱셈이면 지수는 서로 더하죠. 여기서는 문자가 x로 서로 같네요.

3x⁵ × 4x²
= 3 × 4 × x⁵ × 4²
= 12x^{5 + 2}
= 12x⁷

답은 ③번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 단항식의 곱셈과 나눗셈

부등식의 성질을 묻는 문제입니다.

부등식의 양변에 같은 수를 더해도 부등호는 그대로, 부등식의 양변에서 같은 수를 빼도 부등호는 그대로, 부등식의 양변에 양수를 곱해도 부등호는 그대로, 부등식의 양변을 양수로 나눠도 부등호는 그대로예요. 즉, 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눌 때만 부등호가 반대로 바뀌는 거죠.

문제에서 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나누는 경우를 찾으면 되겠네요. 그래서 답은 ④번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 부등식의 성질

경우의 수 문제네요.

일단 상의를 고를 수 있는 경우의 수는 3가지, 하의를 고를 수 있는 경우의 수는 2가지예요.

그런데 짝지어 입는다고 했으니 두 사건은 모두 일어나야 하는 사건이에요. 따라서 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구합니다.

(상의를 고를 수 있는 경우의 수) × (하의를 고를 수 있는 경우의 수)
= 3 × 2
= 6

경우의 수는 6가지로 답은 ②번이네요.

[중등수학/중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙

2014년도 제 1 회 고등학교 입학자격 검정고시 수학 기출문제 풀이

경우의 수를 구하는 문제입니다. 식사를 고르는 사건, 음료를 고르는 사건으로 사건이 두 개네요.

식사를 고를 수 있는 경우의 수는 3가지, 음료를 고를 수 있는 경우의 수는 2가지예요. 그런데 한 가지씩 동시에 주문한다고 했으니 두 사건이 모두 일어나야 하는 사건이므로 곱의 법칙을 이용해야 합니다.

3 × 2 = 6(가지)

답은 ②번

[중등수학/중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙

평면도형에 대한 내용이네요.

①번 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형인데, 이 정사각형의 두 쌍의 대변이 모두 평행하니까 평행사변형의 한 종류예요.

②번 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은데, 길이가 같은 두 변의 대각의 크기 즉, 두 밑각의 크기가 같죠.

③번 세 변의 길이가 같고, 세 내각의 크기가 같은 삼각형은 정삼각형이죠.

④번 네 변의 길이가 같은 사각형은 마름모예요. 직사각형은 네 내각의 크기가 같은 사각형이므로 틀렸네요.

그래서 답은 ④번

[중등수학/중2 수학] - 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
[중등수학/중2 수학] - 평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징
[중등수학/중2 수학] - 직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
[중등수학/중2 수학] - 마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
[중등수학/중2 수학] - 정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건

정삼각형, 정사각형 등 정다각형은 따로 얘기하지 않아도 서로 닮음이에요. 따라서 닮음비를 구할 수 있죠.

가장 작은 정삼각형은 빨대 3개로 된 정삼각형으로 한 변의 길이는 빨대 1개의 길이와 같아요. 가장 큰 정삼각형은 빨대 6개로 된 정삼각형으로 한 변의 길이는 빨대 2개의 길이와 같죠. 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 빨대 1개의 길이 : 빨대 2개의 길이의 비이므로 1 : 2입니다.

답은 ①번이네요.

[중등수학/중2 수학] - 닮은 도형의 성질

제곱근의 대소관계를 묻는 문제네요.

제곱근의 대소관계를 구할 때는 모든 수를 다 제곱근 형태로 바꿔서 비교해요.

과  사이에는 무수히 많은 수가 있는데요. 그중 자연수가 될 수 있는 예비후보는 과 이에요. 이중  = 3으로 자연수네요.

따라서 답은 ②번 3입니다.

이런 문제는 그냥 다 제곱해서 푸는 방법도 있어요. 식의 모든 항을 다 제곱해보죠.

7 < x² < 10

x가 자연수면 x²도 자연수니까 x²이 될 수 있는 자연수는 8, 9인데, 이중 제곱수는 9죠. x² = 9이므로 x = 3입니다.

답은 ②번 3.

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 성질, 제곱수의 근호풀기
[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 대소관계, 제곱근의 크기비교

이차항의 계수가 1인 이차식을 인수분해하는 문제입니다. x² - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b) 공식을 이용해서 풀어요.

일차항의 계수가 -1, 상수항이 -6이므로 더해서 -1이 되고 곱해서 -6이 되는 두 수를 찾아서 인수분해 해야겠네요. +2와 -3으로 하면 되겠군요.

x² - x - 6 = (x +2)(x - 3)

답은 ④번

[중등수학/중3 수학] - 인수분해 공식 두 번째

이차방정식의 근을 알려주고 계수를 구하는 문제입니다.

이차방정식뿐 아니라 모든 방정식에서 근은 식을 참이 되게 하는 미지수의 값이에요. 따라서 근을 식에 대입하면 그 식은 참이됩니다.

한 근이 1이라고 했으니 x = 1을 식에 대입해보죠.

x² + kx - 2 = 0
1² + k × 1 - 2 = 0
k - 1 = 0
k = 1

답은 ③번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 이차방정식이란, 이차방정식의 뜻

이차함수의 그래프를 보고 그 특징을 찾아내는 문제네요.

①번 이차함수 그래프에서 최댓값은 그래프의 가장 높은 부분이에요. x의 범위가 실수 전체인 이차함수의 최대, 최소는 그래프의 꼭짓점에서 나오니까 꼭짓점의 y값인 0이 최댓값입니다.

②번 그래프의 모양을 보면 알 수 있지만 위로 볼록이에요. 틀렸네요. 이차함수의 이차항의 부호가 (-)이면 위로 볼록인데, 이차항의 계수가 -1로 음수예요.

③번 점의 좌표가 있을 때, 이 좌표를 이차함수 식에 대입해서 참이면 그래프는 이 점을 지나고 참이 아니면 해당 좌표의 점을 지나지 않아요. (2, -2)를 이차함수 식에 대입하면 식이 성립하지 않으므로 이차함수는 (2, -2)를 지나지 않습니다.

④ 꼭짓점의 좌표는 (1, 0)이죠. 틀렸어요.

따라서 답은 ①번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 이차함수 그래프의 특징
[중등수학/중3 수학] - 이차함수 그래프, y = (x-p)² + q
[중등수학/중3 수학] - 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대 최소

직사각형의 넓이는 (가로) × (세로)니까 48 = 8 × (세로)에서 세로 길이는 6cm입니다.

대각선 BD의 길이는 △BCD의 빗변의 길이와 같은데, △BCD가 직각삼각형이죠? 피타고라스의 정리를 이용해서 길이를 구할 수 있어요.

아니면 피타고라스의 수를 이용할 수도 있죠. 길이의 비가 3 : 4 : 5인 삼각형은 직각삼각형이에요.

3 : 4 : 5 = 6 : 8 : x에서 x = 10(cm)인 걸 바로 구할 수 있어요.

답은 ①번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명

한 원에서 중심각의 크기는 원주각 크기의 2배예요. 반대로 말하면 원주각의 크기는 중심각의 크기의 절반이죠.

중심각의 크기가 80°니까 원주각의 크기는 절반인 40°예요.

답은 ③번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질

한 원에 두 현을 그었을 때, 두 현이 만나는 교점에서 두 현에 이르는 거리의 곱은 서로 같아요.

공식에 바로 대입해보죠.

3 × x = 2 × 6
x = 4

답은 ①번이네요.

[중등수학/중3 수학] - 원과 비례, 원과 비례 증명

2009년 교육과정 개정에 따라 2014년부터 수학 과목의 이름과 내용이 일부 수정되었습니다. 따라서 2013년 이전에 고등학교에 입학한 학생과 2014년 이후에 고등학교에 입학한 학생들은 서로 다른 교육 과정에 따라 수학을 공부하게 됩니다.

과목명이 같더라도 서로 완전히 다른 내용을 학습하므로 절대로 헷갈리면 안 됩니다. 예를 들어 2013년 이전 입학생이 공부하는 수학 Ⅰ과 2014년 이후 입학생이 공부하는 수학 Ⅰ은 전혀 다른 과정입니다.

아래 표를 보고 자신의 입학연도에 맞는 과목명을 클릭해서 나오는 목록에 따라 학습하세요.

2018년 이후 1학년 학생은 교육과정이 또 다릅니다. 다만, 2013년 이전 1학년과 거의 비슷하니 해당 목차를 이용해서 공부하면 별 무리는 없을 겁니다.

참고로 현재 이 블로그는 2013년 이전 입학생 기준에 맞춰서 만들어진 블로그입니다. 각 페이지의 하단에 있는 이전 목록, 다음 목록은 2013년에 맞게 되어있으므로 2014년 이후 입학생들은 각 페이지 하단에 있는 목록과 페이지 이동 버튼을 이용하지 말고 전체 목록 페이지를 이용하세요.