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행렬의 곱셈 방법에 대해 알아봤으니 이제 행렬의 곱셈에 대한 성질을 알아볼 차례에요. 덧셈, 곱셈에 대한 성질은 자리를 바꿔도 되는 교환법칙, 연산 순서를 바꿔도 되는 결합법칙, 괄호를 풀 수 있는 분배법칙이 대표적이죠. 행렬의 곱셈에서 이 세 가지 법칙이 어떻게 적용되는지 알아볼 거예요.

그리고 일반적으로 수와 다항식에서 사용했던 곱셈에 대한 성질이 행렬의 곱셈에 대해서도 똑같이 성립하는지도 알아볼 거고요. 수와 다항식, 행렬에서의 곱셈에 대한 성질 중에 같은 것과 다른 것을 구별하고 왜 다른지도 이해할 수 있도록 하세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질

행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬의 덧셈에는 교환법칙, 결합법칙이 성립한다는 걸 공부했어요. 분배법칙은 곱셈과 덧셈을 함께 해야 하니까 여기서 다루기로 하죠.

세 행렬 A, B, C가 있어요. 행렬 A = 2 × 3 행렬, 행렬 B는 3 × 2 행렬, C는 2 × 2 행렬이라고 해보죠.

계산을 해보면 AB는 2 × 2 행렬이 될 거고, BA는 3 × 3 행렬이 돼요. AB ≠ BA죠? 즉 행렬의 곱셈에서는 교환법칙은 성립하지 않아요.

결합법칙은 성립해요. (AB)C = A(BC) 실제로 해보면 결과가 같다는 걸 알 수 있는데 너무 길어질 것 같으니까 생략할게요.

분배법칙도 성립해요. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 역시 생략하죠.

k가 실수이면 kAB = (kA)B = k(AB) = A(kB)도 성립해요. 행렬의 실수배에 대한 성질과 관련지어서 생각해보세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질과 수, 다항식에서의 곱셈에 대한 성질 비교

곱셈에 대한 성질이 행렬과 수, 다항식에서 모두 똑같이 적용되는 게 아니에요. 위에서 알아봤듯이 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.

곱셈공식에서 (a + b)² = a² + 2ab + b²가 될 수 있었던 건 ab = ba였기 때문이에요. 그런데 행렬에서 (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + AB + BA + B²이에요. AB ≠ BA이므로 A² + 2AB + B²이 될 수 없어요.

또, 실수나 다항식에서는 ab = 0이면 a = 0 or b = 0이에요. 하지만 행렬에서는 그렇지 않은 경우도 있어요. 행렬에서는 0이 아니라 영행렬 O를 사용하니까 AB = O이라도 A ≠ O, B ≠ O일 수 있어요.

일 때를 보죠.

AB = O이지만 A ≠ O, B ≠ O이죠?

또 실수와 다항식에서는 a ≠ 0 일 때, ab = ac이면 b = c죠? 행렬에서는 A ≠ O 일 때, AB = AC이더라도 B ≠ C일 수 있어요.

일 때를 보죠.

A ≠ O이고 AB = AC이지만 B ≠ C에요.

일반적인 곱셈에 대한 성질들이 행렬에서는 적용되지 않는다는 걸 알 수 있어요. 이 차이를 잘 알아두세요.

위 내용을 표로 정리해보죠.

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행렬의 곱셈에 대한 성질

행렬의 실수배는 이름 그대로 행렬에 실수를 곱한 거예요. 그냥 곱하기라서 굉장히 쉬워요. 이제까지 해왔던 다항식과 숫자의 곱과 아주 많이 비슷하니까 특별히 더 공부할 것도 없어요.

행렬의 실수배에 대한 성질에 대해서도 알아볼 거예요. 성질이라고 해서 외울 필요는 없고 그냥 계산하다 보면 자연스럽게 익히게 될 거예요.

행렬의 실수배는 그냥 숫자와 행렬을 곱하는 거라서 앞으로 공부할 행렬끼리 곱하는 것과 차이가 있으니 잘 구별하세요.

행렬의 실수배

행렬 A의 각 성분에 실수 k를 곱한 것을 각 성분으로 하는 행렬을 행렬 A의 k배라고 하고 기호로 kA로 나타내요. kA 사이에는 곱셈기호가 생략되어 있고요.

이고 k가 실수일 때 

행렬을 다항식이라고 생각하면 행렬 앞의 괄호를 그냥 다항식에서의 괄호라고 여기고 괄호 앞에 실수 k가 있다고 할 수 있어요. 그리고 마치 분배법칙처럼 괄호 앞의 k를 괄호 안의 모든 성분에 곱해주는 거죠.

행렬의 실수배에 대한 성질

행렬의 실수배는 다음과 같은 성질을 가져요.

행렬 A, B가 같은 꼴이고, k, l이 실수일 때
1A = A, (-1)A = -A
0A = O, kO = O
k(lA) = (kl)A
(k + l)A = kA + lA
k(A + B) = kA + kB

첫 번째는 1과 (-1)을 곱하는 거네요.

두 번째는 행렬 A의 모든 성분에 0을 곱하니까 모든 성분이 0이 되어 영행렬 O가 되는 거고요. 영행렬의 모든 성분은 0이니까 어떤 실수를 곱해도 그대로 0이라서 그 결과도 영행렬이 되지요.

세 번째는 실수의 결합법칙이 그대로 적용된다는 뜻이에요.

네 번째, 다섯 번째만 증명해볼까요? 이라고 해보죠.

∴ (k + l)A = kA + lA

∴ k(A + B) = kA + kB

일 때 다음을 구하여라.
(1) 2(A + B) - B
(2) 2(A - 2B) + 3(2A + B)

주어진 식을 먼저 간단히 한 후에 행렬을 대입해야 해요.

(1)

(2)

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행렬도 숫자처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 기본적으로 행렬은 숫자와 문자를 모아놓은 거예요. 따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈도 실수의 덧셈과 뺄셈의 속성을 따릅니다.

물론 행렬 자체가 가지는 특징도 있으니 완전히 같지는 않죠. 어떤 부분에서 실수의 덧셈과 뺄셈과 같은지 어떤 부분이 다른지 알아보죠.

실수의 덧셈에서 성립했던 두 가지 법칙이 있었어요. 교환법칙과 결합법칙이죠. 이 두 법칙이 행렬의 덧셈에서도 성립하는지 알아보죠.

행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬도 숫자처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 그런데 한 가지 조건이 있어요. 바로 같은 꼴의 행렬일 때만 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 두 행렬 A, B가 있을 때 A가 3 × 2이라면 B도 3 × 2 행렬이어야 두 행렬을 더할 수 있는 거죠.

서로 같은 꼴이 아니면 덧셈과 뺄셈을 할 수 없어요.

덧셈은 +, 뺄셈은 기호 -를 사용하는데 행렬의 덧셈과 뺄셈에서도 같아요. 두 행렬 A, B를 더하는 건 A + B, 두 행렬을 빼는 건 A - B라고 써요.

행렬의 덧셈과 뺄셈을 한 결과도 행렬이에요.

두 행렬을 더할 때는 서로 같은 성분끼리 더해요. 행렬 A의 (1, 2) 성분과 행렬 B의 (1, 2) 성분을 더한 결과가 A + B 행렬의 (1, 2) 성분이 되는 거예요. 뺄셈도 마찬가지고요.

행렬의 덧셈과 뺄셈
두 행렬 A, B가 서로 같은 꼴일 때
서로 같은 위치에 있는 성분끼리 +, -
 일 때

두 행렬 에 대하여 A + X = B가 성립할 때 행렬 X를 구하여라.

일단 덧셈을 했으니까 행렬 X는 2 × 2행렬이에요. 각 성분을 모르니까 a, b, c, d라고 해보죠.

3 + a = 5 → a = 2
-1 + b = 6 → b = 7
4 + c = 10 → c = 6
2 + d = 3 → d = 1

행렬 

참고로 행렬에서도 이항이 성립해요.

A + X = B
X = B - A

위 방법을 이용해서 X를 구할 수 있어요.

행렬의 덧셈에 대한 성질

실수에서 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립하죠? 행렬의 덧셈에서도 교환법칙과 결합법칙이 성립해요. 실수에서와 마찬가지로 행렬의 뺄셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않고요.

행렬의 덧셈에 대한 성질
행렬 A, B, C가 같은 꼴일 때
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)

2 × 2 행렬 A, B에 대하여 A + B = B + A임을 보여라.

행렬 A, B를 아래와 같다고 해보죠.

풀이 중에 있는 덧셈에 대한 교환법칙은 행렬에서의 교환법칙이아니라 성분을 이루고 있는 실수에서의 교환법칙이에요.

결합법칙이 성립하는지는 직접 한 번 해보세요.

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합성함수는 여러 가지 형태로 응용할 수 있는 문제니까 합성함수의 정의와 계산 순서, 어떻게 계산하는지를 잘 이해해야 해요. 대게 간단한 일차식과 이차식이 주어지니까 계산 자체가 어렵지는 않을 거예요.

이 글에서는 합성함수의 성질을 공부할 건데 크게 중요한 내용은 아니에요. 실제로 활용하는 경우는 거의 없으니까 그냥 이런 게 있다 정도로만 알아두세요.

실수의 성질 등에서 공부했던 결합법칙, 교환법칙이 합성함수에서도 성립하는지 알아보죠.

합성함수의 성질

합성함수의 성질은 크게 세 가지예요.

(1) f ο g ≠ g ο f
(2) (f ο g) ο h = f ο (g ο h)
(3) f ο I = I ο f = f (I는 항등함수)

(1) (f ο g)(x) = f(g(x))이고, (g ο f)(x) = g(f(x))로 서로 달라요. 이 말은 교환법칙이 성립하지 않는다는 뜻이에요. 순서가 중요하다는 얘기죠.

(2) ((f ο g) ο h)(x) = (f ο g)(h(x)) = f(g(h(x)))
f ο (g ο h)(x) = f(g(h(x)))

(f ο g) ο h = f ο (g ο h)가 되는데, 이는 결합법칙이 성립한다는 뜻이에요.

합성함수에서 계산은 제일 오른쪽에 있는 함수부터 계산하니까 어떻게 묶든 상관없어요.

(3) I는 항등함수에요. 항등함수는 f(x) = x인 함수이죠. 여기서는 I로 표시하니까 I(x) = x죠.

(f ο I)(x) = f(I(x)) = f(x)
(I ο f)(x) = I(f(x)) = f(x)
f(x)

f ο I = I ο f = f 가 성립해요. 항등함수를 포함한 합성함수는 원래 함수와 같아요.

항등함수는 숫자에서 항등원과 같은 역할을 합니다.

f(x) = ax + 1, g(x) = x - 1일 때, f ο g = g ο f가 성립한다. f(1)을 구하여라.

보통 합성함수에서 교환법칙은 성립하지 않는데, 이 경우에는 성립한다고 했네요.

(f ο g)(x) = f(g(x)) = a(x - 1) + 1
(g ο f)(x) = g(f(x)) = (ax + 1) - 1

(f ο g)(x) = (g ο f)(x)
a(x - 1) + 1 = (ax + 1) - 1
ax - a + 1 = ax
a = 1

f(x) = x + 1
f(1) = 1 + 1 = 2

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항등원과 역원, 연산법칙

복소수의 연산법칙과 실수의 연산법칙이 같고, 복소수의 항등원과 역원은 실수의 항등원과 역원하고 같아요. 하나도 새로울 게 없어요. 숫자만 실수에서 복소수로 바뀐 것뿐이에요. 항등원과 역원을 구하려면 연산에 대해 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야한다는 것도 같아요. 이 글을 통해서 복습하는 거로 생각하세요.

그냥 쭉 한 번 읽어보고 기억해두시면 됩니다.

실수 체계, 실수의 분류, 연산에 대하여 닫혀있다
항등원과 역원, 연산법칙

복소수의 연산법칙

실수는 사칙연산에 대하여 닫혀있다고 했어요. 그럼 복소수는 어떤 연산에 대해서 닫혀있을까요? 복소수 실수보다 더 큰 수의 체계이므로 실수와 마찬가지로 사칙연산에 대해서 모두 닫혀있어요. 그리고 실수에서 성립하는 연산법칙도 모두 성립합니다.

복소수 전체의 집합 C의 임의의 원소 z₁, z₂, z₃에 대하여
사칙연산에 대하여 닫혀있다: z₁ + z₂ ∈ C, z₁z₂ ∈ C
교환법칙: z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁z₂ = z₂z₁
결합법칙: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃), (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)
분배법칙: z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

교환법칙과 결합법칙은 덧셈, 곱셈에서만 성립하고 뺄셈, 나눗셈에서는 성립하지 않아요. 실수하고 다 똑같아요.

복소수의 항등원과 역원

연산에 대해서 닫혀있고, 교환법칙이 성립하니까 항등원을 구할 수 있겠죠? 실수에는 덧셈과 곱셈에서만 항등원이 존재합니다.

실수의 덧셈에 대한 항등원은 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이었지요? 복소수의 덧셈에 대한 항등원도 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.
복소수의 덧셈에 대한 항등원: z + 0 = z
복소수의 곱셈에 대한 항등원: z × 1 = z

실수의 덧셈에 대한 역원은 부호를 바꾼 것이였고, 곱셈에 대한 역원은 역수였어요. 복소수도 같습니다.
복소수의 덧셈에 대한 역원: z + (-z) = 0
복소수의 곱셈에 대한 역원: z ×  = 1

결론은 실수와 복소수에 대한 성질이 같다는 거예요. 실수에서 성립하는 연산법칙은 모두 복소수에서 성립하고, 실수의 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원도 복소수에서 똑같아요.

3 - 2i의 덧셈에 대한 역원과 곱셈에 대한 역원을 구하여라.

덧셈에 대한 역원은 부호를 반대로 하는 거고, 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

덧셈에 대한 역원: - (3 - 2i) = -3 + 2i

곱셈에 대한 역원:

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사칙연산이 아닌 새로운 연산을 공부할 겁니다. 공통으로 사용되는 연산이 아니라 특정한 문제에서만 사용되는 연산이 있는데, 이들 연산을 계산하는 방법과 중학교에서 공부했던 연산법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙) 사이의 관계를 공부할 거예요.

역수 알죠? 분자와 분모를 뒤집어서 쓰는 숫자잖아요. 오늘 이 글에서 항등원과 역원을 공부하면 왜 역수라고 하는지 이해할 수 있을 거예요. 항등원과 역원은 간단한 계산 문제니까 덧셈, 뺄셈만 잘 하면 맞출 수 있어요. 용어만 헷갈리지 않도록 주의하세요.

실수의 연산법칙

중학교 때 배웠던 연산법칙 세 가지가 있죠?

• 교환법칙: a + b = b + a, ab = ba
• 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
• 분배법칙: (a + b)c = ac + bc

교환법칙과 결합법칙은 덧셈과 곱셈에서만 성립해요. 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않습니다. 분배법칙은 괄호 안은 덧셈이나 뺄셈이어야 하고, 괄호 밖은 곱셈이나 나눗셈이어야 해요. 괄호 안이 곱셈이거나 괄호 바깥이 뺄셈이면 성립하지 않아요.

이제부터는 사칙연산뿐 아니라 새로운 연산들이 많이 나와요. 심지어는 해당 문제에서만 사용되는 새로운 연산을 만들 수 있어요. 예를 들어서 "a ⊙ b = 2a + b + 1로 정의할 때" 같은 문장을 넣을 수 있다는 거죠. 그러면 그 문제는 문장에 나온 그대로 계산을 해야 해요. 참고로 이 기호는 이름이 없으니까 "a 연산 b"라고 읽으세요.

이처럼 새로운 연산을 만든다 하더라도 위 법칙은 유효합니다.

임의의 세 수 a, b, c에 대하여
교환법칙 성립 ⇔ a ⊙ b = b ⊙ a
결합법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c)
분배법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) △ c = (a △ c) ⊙ (b △ c)

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + kb - 3
라고 정의할 때, 이 연산에 대해서 교환법칙이 성립한다고 한다. 상수 k의 값을 구하여라.

일단 연산 △은 (연산 기호 앞의 숫자) + k × (연산 기호 뒤의 숫자) - 3이라고 정의되어 있어요.

교환법칙이 성립한다면 두 실수 a, b에 대하여 a △ b = b △ a가 성립해요. 대입해보죠.

a △ b = b △ a
a + kb - 3 = b + ka - 3
k(b - a) = b - a
k = 1

항등원과 역원

항등원과 역원에 대해 설명을 하기 전에 알아야 할 게 있어요. 항등원과 역원을 구하려면 일단 그 연산에 대하여 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야 합니다. 이 두 가지 조건이 갖추어지지 않았으면 항등원과 역원을 구할 수 없어요.

항등원과 역원을 구하라는 문제는 이 두 조건을 만족한다는 전제가 깔렸으니까 따로 확인해볼 필요는 없어요. 단, 항등원을 구할 수 있는가를 물어보는 경우에는 이 두 가지를 확인하세요.

항등원

집합 S의 임의의 원소 a와 원소 e를 연산한 결과가 a가 될 때 e를 연산에 대한 항등원이라고 해요. 쉽게 말하면 연산을 한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 수지요.

10에 0을 더하면 원래 수인 10이 돼요. 100에 0을 더해도 100이 되죠. 덧셈에서는 어떤 수에 0을 더하더라도 원래 수가 나오잖아요. 이때 0을 덧셈에 대한 항등원이라고 해요.

곱셈에서는 어떤 수에 1을 곱하더라도 원래 수가 나와요. 따라서 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.

항등원: a ∈ S일 때 a ⊙ e = e ⊙ a = a를 만족하는 e (e ∈ S)

항등원은 그 연산에서 딱 하나만 있어요. 덧셈에는 0, 곱셈에는 1만 항등원이에요.

연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원이 없을 수도 있어요.

역원

집합 S의 임의의 원소 a와 x를 연산한 결과가 항등원 e가 될 때 x를 연산에 대한 a의 역원이라고 해요. 항등원이 나오게 하는 수지요.

10에 -10을 더하면 덧셈의 항등원인 0이 되죠? 그래서 덧셈에 대한 10의 역원은 -10이에요. 덧셈에 대한 20의 역원은 -20이죠.

10에 얼마를 곱해야 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오나요? 이에요. 20에 을 곱하면 1이 나오죠? 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

역원: a ∈ S일 때, a ⊙ x = x ⊙ a = e를 만족하는 x (x ∈ S)

역원은 하나의 연산에서 하나만 있는 게 아니에요. 같은 연산이라 하더라도 숫자마다 달라져요. 덧셈에 대한 10과 20의 역원이 달랐죠?

역원은 연산 결과가 항등원이 나오는 수에요. 따라서 역원을 구하려면 항등원을 미리 구해야 해요. 항등원이 없으면 역원도 없어요. 또, 연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원만 있고, 역원이 없는 경우도 있습니다.

항등원은 연산에 대해서 하나만 존재하기 때문에 문제에서도 그냥 항등원을 구하라고 나와요. 역원은 숫자마다 달라져요. 따라서 문제에서는 "3의 역원을 구하여라. 4의 역원을 구하여라."처럼 숫자를 하나 지정해주고 그 숫자의 역원을 구하게 됩니다.

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + b - 3
라고 정의할 때, 연산 △에 대한 항등원과 5의 역원을 구하여라.

항등원을 e, 5의 역원을 x라고 해보죠.

항등원은 a △ e = e △ a = a를 만족하는 e를 구하는 거니까 식에 대입해보면
a + e - 3 = a
e = 3

연산 △에 대한 항등원은 3이네요.

5의 역원은 연산한 결과가 항등원 3이 나오는 x에요.
5 △ x = x △ 5 = 3
5 + x - 3 = 3
x = 1

연산 △에 대한 5의 역원은 1이네요.

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집합의 연산법칙은 쉬우면서도 어려운 내용이에요. 연산법칙이라고 부르는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙은 숫자와 식의 계산에서 이미 다 들어본 용어들이에요. 그래서 집합에 적용해도 이해하기에 어렵지는 않을 거예요.

하지만 실제 문제에서 집합의 연산법칙들을 이용해서 계산하기는 어려울 거예요. 기호도 비슷하고 숫자가 아니라 알파벳으로 되어 있으니까요. 하지만 이미 알고 있는 법칙이고 수와 식에서 계산을 해봤다는 자신감을 느낀다면 충분히 해낼 수 있을 거로 생각합니다.

집합의 연산

집합의 연산에 대해서 정리해보죠. 교집합과 합집합, 전체집합, 여집합, 차집합

교집합은 A와 B 양쪽 모두에 속한 원소들로 이루어진 집합이에요. A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}
합집합은 A에 속하거나 B에 속하거나 A, B 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이고요. A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}
차집합은 A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이죠. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}
여집합은 전체집합 U에 속하는 원소 중 A에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이에요. A^C = {x|x ∈ U이고 x A}

집합의 연산법칙

숫자를 더하고 빼고 곱하고 나누는 걸 사칙연산이라고 하지요? 집합도 연산을 합니다. 덧셈, 뺄셈이 아니고 합집합(∪), 교집합(∩), 여집합(^C), 차집합(-)의 연산이요. 마치 숫자들을 계산하듯이 집합들도 식으로 풀어내는 거죠.

정수와 유리수의 덧셈, 곱셈에서 교환법칙이라는 게 성립해요. +, × 기호 양옆에 있는 숫자의 자리를 바꿔서 계산해도 값이 같은 걸 말하죠.
x + y = y + x
xy = yx

집합에서도 교환법칙이 성립해요. 단, 교집합과 합집합에서만 성립해요. 여집합과 차집합에서는 성립하지 않습니다.

결합법칙이라는 것도 있죠? 괄호를 쳐서 계산의 우선순위를 바꿔도 되는 거요. 집합에서도 성립합니다. 교환법칙과 마찬가지로 교집합과 합집합에서만 성립해요.

교환법칙, 결합법칙 말고 하나 더 있죠? 분배법칙이요.

위 그림에서 +, × 기호가 ∩, ∪으로 바뀐 것뿐이에요.

위에서 설명한 세 가지 법칙들을 잘 이해해야 해요. 다항식의 계산 보면 항이 여러 개 있는 식을 간단히 정리하는 문제가 나오죠? 고등학교에서는 집합이 그런 식으로 나와요. 집합 여러 개를 써놓고 연산법칙을 이용해서 간단하게 정리하는 문제가 나오죠.

아래 연산과정에서 사용된 연산법칙은 무엇인가?
A ∪ (B ∩ A)
= A ∪ (A ∩ B)            ∵ (1)
= (A ∪ A) ∩ (A ∪ B)   ∵ (2)
= A ∩ (A ∪ B)
= A                            ∵ A ⊂ (A ∪ B)

(1)에서는 괄호 안의 (B ∩ A)가 (A ∩ B)로 바뀌었네요. A와 B가 자리만 바꿨어요. 교환법칙이에요.

(2)에서는 괄호 밖의 A가 괄호 안의 (A ∩ B)에 각각 연산을 했네요. 분배법칙이 사용되었어요.

이어지는 집합의 연산법칙 2 - 드모르간의 법칙을 본 다음에 예제 문제를 풀어보죠.

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연산할 때 많이 사용하는 분배법칙이에요. 분배법칙의 뜻이 뭔지, 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

계산식에 분배법칙을 적용하는 걸 전개한다고 하는데, 분배법칙에서 제일 중요한 게 바로 식을 어떻게 전개하느냐에요. 이 점을 가장 중점적으로 보세요. 그리고 이름이 법칙이죠. 그러니까 당연히 공식처럼 외워야 해요.

또, 정수의 덧셈과 정수의 곱셈에서 공부했던 교환법칙, 결합법칙과 어떻게 다른지도 알고 있어야 해요.

분배법칙

사각형의 넓이는 (가로) × (세로)에요. 위 그림에서 왼쪽의 분홍색 사각형의 넓이는 a × c죠. 오른쪽 하늘색 사각형의 넓이는 b × c에요.

큰 사각형의 전체 넓이는 (a + b) × c잖아요. 그런데 전체 사각형은 분홍색, 하늘색 사각형으로 되어 있으니까 두 사각형의 넓이의 합과 같아요.

(a + b) × c = a × c + b × c

여기에서 얻은 공식이 바로 분배법칙이에요. 괄호 안에 a + b를 두 부분으로 나눠서 각각에 c를 곱해줘도 계산 결과가 같아요.

(6 + 9) × 3 = 15 × 3 = 45
(6 + 9) × 3 = (6 × 3) + (9 × 3) = 18 + 27 = 45

(6 + 9) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5
(6 + 9) ÷ 3 = (6 ÷ 3) + (9 ÷ 3) = 2 + 3 = 5

왼쪽에 있는 식을 오른쪽 식으로 모양을 바꾸는 걸 전개한다고 하는데요, 전개 방법을 잘 이해해야 해요.

1. 괄호 안의 앞쪽에 있는 수 a와 괄호 바깥에 있는 수 c를 곱하고
2. 괄호 안의 뒤쪽에 있는 수 b와 괄호 바깥쪽에 있는 수 c를 곱해요.
3. 마지막으로 ①, ②를 더해요. 원래 괄호 안에 두 수 a, b를 더하는 것이었으니까요.

(a + b) × c = a × c + b × c
c × (a + b) = c × a + c × b

그리고 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하죠? 위 두 식에서 (a + b)를 하나의 숫자라고 생각하면 (a + b) × c = c × (a + b)가 돼요. 결국, 네 가지가 모두 같아요.

다음을 계산하여라.
(1) (20 + 36) ÷ 4
(2) 5 × (40 – 15)
(3) 56 × 13 + 44 × 13

분배법칙은 괄호 안의 수를 하나 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산한 다음, 괄호 안에서 다른 수를 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산하죠. 그리고 이것들을 다시 모으는 거예요.

(20 + 36) ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14처럼 계산할 수도 있어요. 하지만 분배법칙을 이용해서 계산해보죠.
(20 + 36) ÷ 4 = (20 ÷ 4) + (36 ÷ 4) = 5 + 9 = 14

(2) 5 × (40 - 15) = (5 × 40) - (5 × 15) = 200 - 75 = 125

(3)번은 분배법칙을 거꾸로 하는 거예요. a × c + b × c = (a + b) × c
13이 공통으로 곱해져 있으니까 56 × 13 + 44 × 13 = (56 + 44) × 13 = 100 × 13 = 1300이 되는 거죠. 그냥 계산하는 것보다 분배법칙을 이용하니 계산이 훨씬 간단해졌죠?

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

교환법칙은 간단히 말해서 연산 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔서 계산해도 계산 결과가 같은 성질이에요. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립하죠.

결합법칙은 세 수 이상의 연산에서 연산의 순서를 바꿔도 계산 결과가 같다는 거고요. 연산의 순서는 괄호를 이용해서 나타내었죠. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립해요.

분배법칙은 괄호 안의 수들을 따로 나눠서 괄호 밖의 수와 연산을 하더라도 결과가 같은 거예요.

세 정수 a, b, c에 대하여
교환법칙: a + b = b + a, a × b = b × a
결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (a × b) × c = a × (b × c)
분배법칙: (a + b) × c = a × c + b × c

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숫자를 처음 배우고 난 다음에 하는 거 뭔가요? 덧셈, 뺄셈이죠? 자연수, 분수, 소수를 처음 배웠을 때 그렇게 했잖아요.

이제 정수를 공부했으니까 정수의 덧셈, 정수의 뺄셈을 배워봐야겠죠? 첫 번째로 정수의 덧셈입니다.

정수의 덧셈의 기본 원리는 수직선을 이용하면 이해하기 쉬워요. 그렇다고 계산할 때마다 수직선을 긋는 건 어렵겠죠. 그래서 실제 계산에서는 절댓값을 이용해요. 정수의 덧셈에서 절댓값을 어떻게 이용하는지 공부해보죠.

또, 정수의 덧셈에는 특이한 법칙이 두 개 있어요. 교환법칙과 결합법칙이라고 하는데, 이게 뭔지도 알아보고요.

정수의 덧셈

먼저 정수는 부호와 함께 쓰니까 +, - 등의 연산기호와 헷갈릴 수 있어요. 그래서 정수는 (+3), (-2), (+10)처럼 괄호를 써요.

정수의 덧셈을 더하는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 살펴봐요.

정수의 부호가 같을 때

양의 정수끼리 더하고, 음의 정수끼리 더하는 경우예요.

2 + 3 = 5 에요. 자연수의 덧셈인데, 자연수는 양의 정수니까 이 식은 (+2) + (+3) = (+5)라고 쓸 수 있겠죠? 부호가 같은 양의 정수의 덧셈은 자연수의 덧셈과 같아요. 그냥 절댓값만 더해주면 돼요. 그리고 양의 정수니까 (+) 기호를 붙여주는 거죠.

수직선에서 오른쪽으로 이동하면 (+)고, 왼쪽으로 이동하면 (-)에요. 오른쪽으로 다섯 칸 이동하면 (+5), 왼쪽으로 다섯 칸 이동하면 (-5)죠.

(+2) + (+3)을 수직선에서 표현하면 아래 그림처럼 돼요. 마지막 화살표가 (+5) 위에 있죠? 위에서 계산한 결과와 같네요.

음의 정수끼리 더하는 것도 양의 정수끼리 더하는 것과 같아요. 두 수를 더하고 부호만 붙여주는 거죠.

(-3) + (-2)에서 부호는 (-)고 절댓값은 2와 3이에요. 두 수의 절댓값을 더하고 앞에 부호만 붙여주는 거니까 (-3) + (-2) = (-5)가 돼요.

수직선을 한 번 보세요. 0에서 왼쪽으로 세 칸 가고, 다시 왼쪽으로 두 칸 간 건 (-3) + (-2) 한 것과 같아요. (-5) 위에 있죠? 식으로 구한 것과 같아요.

정수의 부호가 다를 때

이제는 양의 정수와 음의 정수를 더할 때에요.

(+3) + (-2)를 보죠. 아래 수직선을 보세요.

(+3)은 오른쪽을 세 칸, (-2)는 왼쪽으로 두 칸이에요. 그랬더니 (+1)이 나왔어요.

(+2) + (-3)는 오른쪽으로 두 칸, 왼쪽으로 세 칸이죠? (-1)이 나왔네요.

부호가 다른 두 정수의 덧셈에서 부호는 절댓값이 더 큰 정수의 부호를 따르고 숫자는 두 정수의 절댓값의 차를 써요. (+3) + (-2)에서는 (+3)의 절댓값이 크니까 부호는 (+), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (+1)이라는 결과가 나오는 거예요.

(+2) + (-3)에서는 (-3)의 절댓값이 크니까 부호는 (-), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (-1)이에요.

부호가 같은 정수의 덧셈: 절댓값을 더해주고 부호는 그대로
부호가 다른 정수의 덧셈: 절댓값의 차에 절댓값이 큰 정수의 부호

다음을 계산하여라.
(1) (+4) + (+2)       (2) (-2) + (-3)
(3) (-3) + (+6)       (4) (+4) + (-8)

(1)번 (+4) + (+2)는 부호가 같은 두 정수의 덧셈이니까 부호는 그대로 쓰고, 절댓값만 더해주면 돼요. (+4) + (+2) = (+6)

(2)번 (-2) + (-3)도 부호가 같으므로 공통 부호인 (-)를 그대로 쓰고, 절댓값의 합은 5이므로 (-2) + (-3) = (-5)

(3)번 (-3) + (+6)는 부호가 다른 정수의 덧셈이네요. 부호가 다를 때는 부호는 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따르고, 절댓값의 차를 쓰죠. 절댓값이 (+6)이 더 크니까 부호는 (+)에요. 절댓값의 차가 3이니까 결과는 (-3) + (+6) = (+3)이 되죠.

(4)번 (+4) + (-8)에서 절댓값이 (-8)이 더 크니까 부호는 (-)에요. 절댓값의 차는 4니까 (-4) + (-8) = (-4)가 되는군요.

덧셈의 연산법칙

먼저 교환법칙이에요. 교환이라는 말은 바꾸는 거잖아요. 교환법칙에서는 정수의 자리를 바꿔요. (+4) + (+2)에서 두 정수의 자리를 바꿔서 (+2) + (+4)처럼 쓰는 거죠. 4 + 2와 2 + 4는 둘 다 6으로 서로 같죠? 그러니까 (+4) + (+2) = (+2) + (+4)도 되는 거예요. 덧셈에서는 더하는 두 수의 자리를 바꿔도 계산한 결과가 같다는 게 교환법칙이에요.

결합법칙에서 결합은 괄호로 묶는 거예요. 괄호로 묶인 곳을 먼저 계산하는 건 알고 있죠?

2 + 3 + 4를 보세요. 앞의 두 수를 먼저 계산하나, 뒤의 두 수를 먼저 계산하다 값이 같아요.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

정수로 바꿔볼게요.
{(+2) + (+3)} + (+4) = (+2) + {(+3) + (+4)}로 쓸 수 있어요.

괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 결과가 같다는 거지요. 괄호를 치는 이유는 계산을 먼저 하라는 뜻이니까 어떤 걸 먼저 계산하든지 결과가 같다는 얘기예요.

뺄셈에서는 두 법칙이 성립하지 않아요. 이유는 정수의 뺄셈을 공부한 후에 알아보죠.

덧셈에 대한 연산법칙
덧셈일 때만 가능. 뺄셈에서는 안 됨.
계산 순서에 상관없이 결과가 같다.
1. 덧셈에 대한 교환법칙: (+) 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 계산 결과가 같음. a + b = b + a
2. 덧셈에 대한 결합법칙: 어느 것이나 두 개씩 묶어서 계산해도 결과가 같음. (a + b) + c = a + (b + c)

다음 보기 중 잘못된 것을 고르시오.
(1) (+3) + (-1) = (-1) + (+3)
(2) {(+3) + (-1)} + (+2) = (+3) + {(-1) + (+2)}
(3) (+2) + (-1) - (-3) = (+2) + (-3) - (-1)
(4) {(+3) + (-2)} + {(-2) - (-3)} = {(-2) - (-3)} + {(+3) + (-2)}

교환법칙과 결합법칙이 제대로 적용되었는지 찾아보는 문제에요.

(1)은 (+) 기호 양쪽에 있는 두 정수의 자리를 바꿨으므로 교환법칙에 의해 결과가 같고요.
(2)는 앞의 두 정수를 괄호를 묶었고, 뒤 두 개의 정수를 괄호로 다시 묶은 결합법칙이라서 결과가 같고요.
(3)은 뒤에 있는 두 정수의 자리를 바꿨는데, 가운데 기호가 (-)에요. 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않아서 틀렸어요.
(4)는 중괄호로 묶여 있는 두 정수를 한 덩어리로 봐야죠. 그래서 (+) 부호 양쪽에 있는 중괄호로 묶인 두 정수들의 자리를 바꿨으니까 교환법칙에 의해 결과가 같아요.
(3)번이 틀렸네요.

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