수학방

삼각방정식이에요. 삼각방정식은 삼각함수 + 방정식이에요. 삼각함수보다 어렵긴 하지만 그래도 이차, 삼차방정식보다는 조금 더 쉬운 단원입니다. 삼각방정식 푸는 법 자체가 어렵지도 않을뿐더러 문제도 비교적 쉽게 나오는 편이거든요.

또 풀이 방법도 여러 가지여서 가장 쉽고 편한 방법을 골라서 문제를 풀 수도 있으니 금상첨화죠. 그래프를 그릴 수 있으면 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

별로 어려운 내용은 아니니까 쭉 한 번 훑어보세요.

삼각방정식

삼각방정식은 삼각함수의 각 또는 각을 나타내는 식 중에 미지수를 포함하는 방정식을 말해요. 그냥 쉽게 삼각함수의 각에 미지수 x가 있는 방정식이라고 생각하세요.

삼각함수의 각 자리에 x가 있으니까 위와 같은 식이 삼각방정식이에요.

삼각함수는 주기함수라서 똑같은 값을 가지는 경우가 많아요. 그래서 보통은 범위를 한 번의 주기로 제한합니다. 0 ≤ x < 2π

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

삼각방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있는데 하나씩 알아보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그리면 그 교점의 x좌표가 해에요.

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점에서 만나요. 해가 두 개라는 걸 알 수 있어요.

교점의 x좌표는 , 에요. 따라서 의 해는 x =  또는 x = 에요.

단위원을 이용하는 방법

삼각함수 그래프 그리는 법에서 단위원 위에서 동경의 위치를 바꿔가면서 그래프를 그렸었죠? 그걸 이용하는 거예요.

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 바로 삼각방정식의 해에요.

점 P와 점 Q에서 만나네요. 이때 동경 가 나타내는 크기가 삼각방정식의 해니까 x =  또는 x = 에요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 :  : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

삼각형을 그렸더니 우리가 외우고 있던 직각삼각형이 됐죠? 제 1 사분면의 x는 ∠POH로 육십분법으로 하면 30°, 호도법으로 하면 에요. 제 2 사분면의 x는 ∠HOQ = π - ∠QOH' = π -  = 에요.

따라서 x =  또는 x = 이네요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

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닮은 도형 이번에는 직각삼각형이에요. 직각삼각형의 닮음에서는 그동안 해왔던 합동과의 비교가 아니라서 조금 어려울 수 있어요.

비슷하게 생긴 그림도 많이 나오고, 공식도 나오니까 주의하여 잘 보세요.

이 글에서는 3개의 공식이 나오는데, 이건 그림으로 외우세요. 알파벳으로 된 공식 그 자체를 외우는 건 바보스러운 짓이라는 걸 미리 말해둘게요. 그러니까 알파벳은 공식을 유도하는 과정에서만 이해하시면 돼요.

직각삼각형에서의 닮음

직각삼각형 ABC의 직각이 있는 점 A에서 에 수선을 내리고, 수선의 발을 H라고 해보죠.

원래 있던 직각삼각형 ABC 외에 두 개의 직각삼각형이 더 생겼어요. △HBA와 △HAC요. 큰 직각삼각형, 중간 직각삼각형, 작은 직각삼각형 세 삼각형을 이용해서 각 변의 길이 사이에는 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

먼저 △ABC와 △HBA를 볼까요? 큰 직각삼각형과 중간 직각삼각형이죠. 한 쌍의 대응각은 직각(∠A = ∠H = 90°)이고, ∠B는 공통각이예요. 두 쌍의 대응각의 크기가 같으니까 나머지 한 쌍의 대응각의 크기도 같겠죠? ∠C = ∠BAH. 두 대응각의 크기가 같으니까 AA 닮음이지요. △ABC ∽ △HBA

닮은 도형에서 대응변의 길이의 비는 같으므로 라는 식을 세울 수 있어요. 첫 번째 항과 두 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

식을 정리했더니 길이에 대한 공식이 하나 나왔네요. 두 삼각형으로 나누어져 있던 그림 말고 원래대로 처음의 삼각형 그림으로 돌아와서 보세요.

위 공식에 있는 변들이 그림에서 어떤 위치에 있는지 확인하세요. 직각이 아닌 꼭짓점에서 시작하는 세 변의 길이에 대한 공식이에요. 직각이 아닌 꼭짓점(점 B)에서 직각(점 A)으로 가는 변의 길이는 제곱해주고, 점 B에서 다른 꼭짓점(점 H, 점 C)으로 가는 두 변의 길이는 서로 곱해주는 거죠.

이 공식을 알파벳을 이용하거나 위 설명처럼 외울 수는 없어요. 대신 그림으로 외워야 해요. 그림에서 변을 짚어가면서 "이 변의 제곱은 이 변 곱하기 이 변" 이런 식으로요.

이번에는 △ABC와 △HAC에요. 처음의 큰 직각삼각형과 작은 직각삼각형이요. 한 쌍의 대응각은 직각(∠A = ∠H = 90°)이고요, ∠C라는 공통각을 가져요. 두 쌍의 대응각의 크기가 같으니까 나머지 한 쌍의 대응각의 크기도 같겠죠? ∠B = ∠CAH. 두 대응각의 크기가 같으니까 AA 닮음이에요. △ABC ∽ △HAC

여기서도 마찬가지로 대응변의 길이의 비를 이용해서 비례식을 만들어 보죠. 라는 식을 세울 수 있어요. 두 번째 항과 세 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

식을 정리했더니 공식이 또 하나 나왔네요. 다시 처음의 삼각형 그림으로 돌아오세요.

이 공식도 마찬가지로 그림으로 외우세요. 직각이 아닌 꼭짓점(점 C)에서 직각(점 A)으로 가는 변의 길이는 제곱해주고, 점 C에서 다른 꼭짓점(점 H, 점 B)으로 가는 두 변의 길이는 서로 곱해주는 거죠.

마지막으로 중간 직각삼각형과 작은 직각삼각형이에요. △HBA와 △HAC요. ∠H는 직각으로 같아요. 삼각형 내각의 합은 180°고 ∠H = 90°이므로 나머지 두 각의 합이 90°에요. ∠B + ∠BAH = 90°, ∠C + ∠CAH = 90°

큰 삼각형에서 ∠A = ∠BAH + ∠CAH = 90°죠.

∠B + ∠BAH = ∠BAH + ∠CAH = 90°이므로 ∠B = ∠CAH
∠C + ∠CAH = ∠BAH + ∠CAH = 90°이므로 ∠C = ∠BAH

∠H는 직각으로 같고, ∠C = ∠BAH, ∠B = ∠CAH로 세 쌍의 대응각이 같아요. AA 닮음이죠. △HBA ∽ △HAC

대응변의 길이의 비를 이용하면 라는 식을 세울 수 있어요. 첫 번째 항과 세 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

처음의 삼각형 그림으로 돌아오세요.

역시 그림으로 외우세요. 직각삼각형에서 내린 수선의 길이의 제곱은 반으로 나뉜 변의 길이를 각각 곱한 것과 같죠?

이제 삼각형을 따로 떼어놓지 않아도 직각삼각형을 보면 이 공식이 바로 나올 수 있도록 해야겠죠? 그리고 직각이 어느 위치에 있든지 수선을 내려서 그 길이의 관계를 알 수 있어야 해요. 위 그림에서는 직각이 위쪽에 있지만, 문제에서는 직각이 오른쪽 아래에 있을 수도 있고, 왼쪽 아래에 있을 수도 있거든요.

다음 그림에서 x, y를 구하여라.

x를 구하려면 x² = y(y + 3)라는 식을 세워야 하는데 미지수가 2개라서 이 식만 가지고는 x를 구할 수 없네요. y를 먼저 구해보죠.

y를 이용해서 4² = y × 3이라는 식을 세울 수도 있고요. 5² = 3(3 + y)이라는 식을 세울 수도 있어요. y = (cm)

y를 첫 번째 식에 대입해서 x를 구하면 x = (cm)

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특수한 각의 삼각비, 30°, 45°, 60°에서 했던 내용 기억하죠? 특수한 각의 삼각비를 공부했고요. 삼각형을 그려놓고 각을 알려준 다음에 삼각형 변의 길이를 구하는 예제를 풀어봤어요.

이 글에서도 직각삼각형에서 삼각형의 변의 길이를 구하는 걸 할 거예요. 대신 특수한 각이 아니라는 게 다를 뿐이죠. 전에는 sin30°의 값을 외워서 했다면 이제는 30° 대신 다른 예각이 들어가고, 해당하는 삼각비 값을 알려줘요. sin30° 자리에 다른 예각의 sin 값을 넣으면 되는 거예요.

방법은 똑같고 각의 크기만 달라지는 거니까 어렵지 않아요. 삼각비의 정의를 잘 이용하면 됩니다.

직각삼각형 변의 길이

△ABC에서 ∠C = 90°이고, 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때 한 변의 길이와 직각이 아닌 한 각의 크기를 알면 다른 두 변의 길이를 구할 수 있어요.

물론 각을 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 뜻이에요. 각만 알고 삼각비를 모르면 삼각비표를 보면 돼요.

크기를 알고 있는 각이 ∠A라고 해보죠.

한 각의 크기와 한 변의 길이를 알고 있을 때 다른 두 변의 길이를 알 수 있다고 했지요? 한 각은 알고 있으니 어떤 변의 길이를 알고 있는지에 따라 길이를 구해야 하는 다른 두 변이 달라지겠죠?

∠A와 빗변의 길이(c)를 알고 있을 때

높이(a)와 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 빗변을 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 밑변과 빗변의 식인 cosA를 사용해서 길이를 구해요.

높이 a	밑변 b

∠A와 높이(a)를 알고 있을 때

빗변(c)과 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 높이를 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 높이와 밑변의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.

빗변 c	밑변 b

∠A와 밑변의 길이(b)를 알고 있을 때

빗변(c)과 높이(a)를 구해야겠죠? 밑변을 알고 있으니까 빗변과 밑변의 식인 cosA와 밑변과 높이의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.

빗변 c	높이 a

위에 총 여섯 개의 공식이 나왔는데, 이걸 외울 수는 없어요. 그러니까 공식을 외우지 말고, 공식의 첫 줄에 나와 있는 것처럼 이런 식으로 쓴 다음에 문자를 이항하고 값을 대입해서 그냥 푸세요.

다음 직각삼각형에서 한 각이 40°이고, 그 대변의 길이가 6cm일 때, 다른 두 변의 길이를 소수 둘째 자리까지 구하여라. (단, sin40° = 0.64, tan40° = 0.83이고 소수 셋째자리에서 반올림할 것)

한 각의 크기와 높이를 줬네요. 구해야 하는 길이는 빗변과 밑변의 길이고요.

빗변과 높이의 식인 sin과 밑변과 높이의 식인 tan를 이용해서 구해야겠군요.

빗변	밑변

빗변은 9.38cm, 밑변은 7.23cm네요.

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피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명에서 잠깐 얘기한 적이 있는데, 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 수들이 있어요. 피타고라스의 수라고 하는데, 직각삼각형 세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5, 5 : 12 : 13인 것들이지요. 이건 자연수로 된 비고, 오늘은 무리수가 포함된 세 변의 길이의 비에 대해서 알아보죠.

이 글에서 얘기할 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 나중에 공부할 삼각비에 또 나와요. 어차피 공부할 거니까 한 번에 잘 이해해두면 좋겠죠?

직각삼각형의 모양과 세 변의 길이의 비, 삼각형의 세 내각 사이의 관계를 잘 알아두세요.

특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비

내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비

대각선의 길이 구하는 공식을 유도할 때, 정사각형에서 대각선을 구했던 것 기억하죠? 한 변의 길이가 a인 정사각형에서 대각선을 그으면 두 변의 길이가 a이고 빗변의 길이가 인 직각이등변삼각형 두 개가 만들어져요. 직각이등변삼각형이니까 ∠C = 90°고, 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라 ∠CAB = ∠CBA = 45°에요.

위의 내용을 정리해볼게요. 한 변의 길이가 a이고 세 내각의 크기가 45° 45°, 90°인 직각이등변삼각형 빗변의 길이는 인 거죠.

45°, 45°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가 a : a :  = 1 : 1 : 에요.

세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : 1 :

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

직각삼각형인데 한 각은 직각이고, 다른 한 각이 45°에요. 그럼 표시되지 않은 나머지 한 각은 45°겠지요? 세 내각이 45°, 45°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 5 : y : x = 1 : 1 : 네요.

따라서 y = 5(cm), x = (cm)입니다.

내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비

이번에는 정삼각형 높이와 넓이 공식을 유도할 때를 생각해보세요. 정삼각형의 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내렸더니 빗변은 a, 밑변은 , 높이는 인 삼각형이 만들어졌어요.

원래 정삼각형이었으니까 ∠B = 60°에요. 그리고 꼭짓점에서 수선을 내렸으니까 ∠AHB = 90°고, ∠HAB = 30°에요.

위 내용을 정리해보죠. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형에서 밑변은 , 높이는 , 빗변은 a에요.

30°, 60°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가  :  : a = 1 :  : 2입니다.

세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : : 2

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

한 내각의 크기는 직각, 다른 내각의 크기가 60°이므로 남은 한 각의 크기는 30°에요. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 3 : x : y = 1 : : 2죠.

따라서 x = (cm), y = 6(cm)입니다.

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피타고라스의 정리는 기본적으로 직각삼각형에서 출발한 정리잖아요. 그래서 이번에는 조금 복잡한 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하는 방법들을 설명할 겁니다.

하나의 직각삼각형 안에 다른 직각삼각형들이 들어있을 때, 각 변들의 관계에 대해서 알아보죠. 숨어있는 직각삼각형을 잘 찾아내는 게 중요한 문제들입니다.

그리고 히포크라테스의 초승달이라고 불리우는 직각삼각형을 중심으로 그려진 반원들에 대해서도 알아보죠. 반원의 넓이와 직각삼각형의 넓이는 어떤 관계가 있는 지 말이죠.

직각삼각형과 피타고라스의 정리

직각삼각형 △ABC에서 빗변이 아닌 두 변에 임의의 점 D, E를 잡아요. D, E에서 반대편 꼭짓점으로 선을 그었더니 아래 그림처럼 됐어요.

위 그림에서 직각삼각형을 몇 개나 찾을 수 있나요? △ABC, ADE, △ADC, △ABE 총 네 개의 직각삼각형을 찾을 수 있어요. 각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해볼까요?

△ABC에서  = (a + c)² + (b + d)²       ①
△ADE에서  = a² + b²                       ②
△ADC에서  = a² + (b + d)²              ③
△ABE에서  = (a + c)² + b²              ④

① + ② = ③ + ④ = a² + b² + (a + c)² + (b + d)²이 돼요.

 +  =  + 이 되는 거죠.

공식이나 말로 외우려면 절대 외워지지 않아요. 선을 찾아서 그으면서 그림으로 외우세요.

다음 그림을 보고  + 을 구하여라.

 +  =  +
                       = 8² + (3² + 4²)
                       = 64 + (9 + 16)
                       = 89

히포크라테스의 초승달

직각삼각형의 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원들 사이의 관계에도 재미있는(?) 특징이 있어요.

아래 그림처럼 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원을 그렸어요. 각 부분의 넓이를 P, Q, R이라고 해보죠.

P, Q, R을 구해보면 아래처럼 나오네요. 원의 넓이 구하는 법 모르는 사람은 없겠죠?

(P의 넓이) =  = 
(Q의 넓이) =  = 
(R의 넓이) =  = 

여기에서 P와 Q를 더해보면,
P + Q =  + 
         =(a² + b²)
        =       (∵ a² + b² = c²)
         = R

빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이는 다른 두 변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같음을 알 수 있어요.

이 성질을 이용해서 다른 문제를 풀어보죠. 아래 그림을 보세요.

이번에는 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원을 반대방향으로 즉, 삼각형과 겹치게 그려봤어요. 겹치는 부분을 뺀 나머지 넓이를 S₁, S₂라고 해볼까요?

S₁ + S₂는 전체의 넓이에서 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이를 빼면 되겠죠?

S₁ + S₂ = P + Q + △ABC - R
            = R + △ABC - R      (∵ P + Q = R)
            = △ABC

두 영역의 넓이의 합은 △ABC의 넓이와 같다는 걸 알 수 있어요.

다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. ()

일단 색칠한 부분은 직각삼각형 부분과 반원의 일부이죠? 반원의 일부는 직각삼각형의 넓이와 같아요. 따라서 문제의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배가 되겠네요.
S₁ + S₂ + △ABC = 2 × △ABC = 2 × ½ × 3 × 4 = 12(cm²)

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삼각형은 각의 크기에 따라 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형으로 나눠요.

삼각형의 세 각의 크기가 주어지지 않더라도, 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 피타고라스 정리의 역을 이용하면 직각삼각형인지 아닌지 알 수 있죠?

직각삼각형이 아니면 예각삼각형인지 둔각삼각형인지 알 수도 있을까요? 물론 알 수 있어요. 피타고라스의 정리의 역을 이용할 건데, 이걸 그대로 이용하는 게 아니라 아주 살짝 모양을 바꿔서 이용하면 알 수 있어요.

삼각형 세 변의 길이와 각의 크기

물론 다들 알고 있겠지만, 피타고라스의 정리의 역을 확인해보죠.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라고 놓고 위 피타고라스 정리의 역을 이용해보죠.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 5cm에요. 5² = 3² + 4²이 성립하므로 이 삼각형은 직각삼각형이에요.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 6cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 6cm네요. 6² ≠ 3² + 4²이므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니에요. 직각삼각형이 아니니까 예각삼각형이거나 둔각삼각형일 거예요. 어떻게 알 수 있을까요?

아래 그림을 보세요.

첫 번째 그림은 예각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 왼쪽으로 살짝 돌렸더니 예각삼각형이 되었어요. 이 예각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 줄어들었죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 줄었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 예각삼각형에서는 a² + b² > c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² > c²이면 이 삼각형은 예각삼각형인 거예요.

세 번째 그림은 둔각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 오른쪽으로 살짝 돌렸더니 둔각삼각형이 되었어요. 이 둔각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 늘어났죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 늘었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 둔각삼각형에서는 a² + b² < c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² < c²이면 이 삼각형은 둔각삼각형인 거예요.

• △ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때
• a² + b² > c² ↔ ∠C < 90°인 예각삼각형
• a² + b² = c² ↔ ∠C = 90°인 직각삼각형
• a² + b² < c² ↔ ∠C > 90°인 둔각삼각형

가장 긴 변의 길이를 c로 하는 것에 주의하세요.

세 변의 길이가 5cm, 12cm, xcm 인 삼각형이 둔각삼각형이 될 x의 범위를 구하여라. (단 x가 가장 긴 변)

삼각형의 세 변의 길이가 주어졌으니까 가장 긴 변의 길이를 c로 놓고 위 내용을 적용해보죠. 문제 마지막에 x가 가장 긴 변이라고 했네요.

5² + 12² < x²
169 < x²
13² < x²
13 < x

여기서 끝내면 안 돼요. 삼각형의 조건 중에서 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 하는 거 알고 있죠? 따라서 x < 5 + 12가 되어야 해요. x < 17이죠.

따라서 x의 범위는 13cm < x < 17cm입니다.

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이번에는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심이 어디에 있는지 알아볼 거예요. 또 삼각형의 외심을 여러 가지 활용하는 방법도 알아볼 거고요.

먼저 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질을 간단히 정리해보죠.

다각형의 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원이라고 하고, 외접원의 중심을 외심이라고 해요. 삼각형에서 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같지요.

삼각형 외심의 위치

예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심의 위치

삼각형은 세 내각이 모두 예각이면 예각삼각형, 한 각이 둔각이면 둔각삼각형, 한 각이 직각이면 직각삼각형으로 나눠요.

예각삼각형은 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질에서 본 것처럼 삼각형의 외심이 삼각형의 내부에 있어요. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 외심이 있고요. 정확하게 말하면 둔각의 대변, 길이가 가장 긴 변의 바깥쪽에 외심이 있어요.

직각삼각형은 외심이 빗변에 있는데, 바로 빗변의 중점이 외심이 됩니다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 빗변 길이의 절반이죠.

△ABC가 직각삼각형이고, 일 때, ∠DBC의 크기를 구하여라.

직각삼각형에서 빗변의 중점은 삼각형의 외심이에요. 따라서 이죠. 즉 △DBC는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 같으니까 ∠DBC = ∠DCB = 20°네요.

삼각형 외심의 활용

점 O가 △ABC의 외심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°

점 O가 삼각형의 외심이니까 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같아요.  =  = 니까 △OAB, △OBC, △OCA는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라서 ∠OAB = ∠OBA = ∠x, ∠OBC = ∠OCB = ∠y, ∠OCA = ∠OAC = ∠z가 되죠.

삼각형 내각의 합은 180°이므로 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이고, ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.

∠BOC = 2∠A

아래 그림처럼 △OAB만 따로 떼서 생각해보죠. 선분 OA의 연장선을 그어요.

삼각형 외각의 크기, 외각의 합에 따르면 삼각형의 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같아요. ∠BOD = ∠OAB + ∠OBA

여기서, ∠OAB = ∠OBA니까 ∠BOD는 2∠OAB에요.

마찬가지로 △OAC에서 삼각형의 외각과, ∠OCA = ∠OAC에 따라 ∠COD = 2∠OAC가 되지요.

결국, ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠OAB + 2∠OAC = 2∠A가 됩니다.

점 O가 △ABC의 외접원의 중심일 때, ∠C의 크기를 구하여라.

점 O가 외심이므로, △OAB는 인 이등변삼각형이에요. 따라서 ∠OAB = ∠OBA = 30°입니다. ∠AOB = 180° - 60° = 120°예요.

∠AOB = 2∠C이므로 ∠C = 120 ÷ 2 = 60°네요.

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각의 이등분선에 대해서 알죠? 1학년 때 각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도에서 봤던 기억이 날 거예요.

이제는 그리는 것을 넘어서 각의 이등분선이 어떤 특징이 있는지 알아보죠. 그리는 것보다는 이게 더 쉬울 수 있어요.

각의 이등분선의 특징을 알아보려면 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건을 알아야 해요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

각의 이등분선

각의 이등분선은 이름 그대로 어떤 각을 똑같은 크기로 둘로 나누는 선이에요. 이등분선 위의 한 점과 각의 두 변 사이에 어떤 특징이 있을까요?

각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.

수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 배웠어요. 점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 내려서 만나는 점, 즉 수선의 발과의 거리를 구하죠.

각의 이등분선 위의 한 점에서 각 변에 수선의 발을 내리게 되면 각의 꼭짓점과 수선의 발, 이등분선위 점으로 이루어진 삼각형을 만들 수 있어요. 그런데 이게 직각삼각형이에요.

직각삼각형이 나오면 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다는 걸 눈치채야 해요

아래 그림을 보세요.

∠AOB가 있어요. 이 각의 이등분선을 긋고 이등분선 위의 점 P에서 각의 변 OA와 변 OB에 수선을 내렸더니, △AOP와 △BOP가 생겨요.

일단 여기까지 해놓고, 위 성질을 증명해보죠.

가정: ∠AOP = ∠BOP(각의 이등분선), ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론:

증명: (1) ∠AOP = ∠BOP (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

두 직각삼각형이 있는데, 빗변은 공통이고 한 예각의 크기가 같아요. RHA 합동이죠? △AOP ≡ △BOP

따라서 가 됩니다.    (증명 끝.)

각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다.

이 성질은 위의 성질을 거꾸로 뒤집은 거예요. 마찬가지로 점과 직선 사이의 거리를 구해야 하니 수선의 발을 내려야 해요.

가정: , ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론: ∠AOP = ∠BOP

증명: (1) (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

(1), (2), (3)에 의해서 빗변은 공통이고, 한 변의 길이가 같은 두 직각삼각형이기 때문에 RHS 합동이에요. △AOP ≡ △BOP

따라서 대응각인 ∠AOP = ∠BOP이 되죠.     (증명 끝.)

직각삼각형의 합동 조건을 이용해서 각의 이등분선의 성질을 알아봤어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

△ABC가 직각삼각형인데, 그 안에 △ABD와 △AED, △CDE라는 직각삼각형 세 개 가 더 있네요.

△ABD에서 한 각은 직각, 다른 각은 60°니까 남은 ∠BAD는 30°겠죠?

△ABD와 △AED는 빗변 가 공통이고 한 변의 길이가 같은 () 직각삼각형으로 RHS 합동이에요. 따라서 ∠BAD와 ∠EAD는 같아요. ∠BAD = ∠EAD = 30°

따라서 ∠BAE = ∠BAD + ∠EAD = 60°죠.

큰 삼각형 △ABC에서 ∠A는 60°, ∠B는 90°니까 x = 30°이 되겠네요.

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이번 글에서는 직각삼각형에 대해서 공부할 거예요. 직각삼각형이란 무엇인지 두 직각삼각형이 합동이 되려면 어떤 조건이 있는지요.

먼저 삼각형의 합동 조건을 혹시 기억하고 있나요? 삼각형의 합동조건은 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도와 같아요.

SSS 합동: 세 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이다.
SAS 합동: 두 변의 길이와 사이에 끼인각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.
ASA 합동: 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.

직각삼각형

직각삼각형은 삼각형의 세 내각 중에서 한 각이 직각(90°)인 삼각형을 말해요. 한 각이 직각이면 나머지 두 각은 모두 예각이 되겠죠? 삼각형 내각의 합은 180°인데, 한 각이 90도면 나머지 두 각을 더해서 90°가 되어야 하잖아요.

직각삼각형에서 직각인 각은 영어 Right Angle의 첫 글자를 따서 R이라고 씁니다. 직각이 아닌 두 예각은 그냥 Angle의 A를 따서 쓰고요. 직각의 대변인 변을 빗변이라고 하는데, 알파벳 H(Hypotenuse)로 쓰고요. 빗변이 아닌 다른 두 변은 S(Side)라고 해요.

직각삼각형의 합동조건

직각삼각형도 삼각형이기 때문에 삼각형의 합동조건을 그대로 따릅니다. 하지만 이름에서 알 수 있듯이 한 각이 직각이에요. 그래서 일반적인 삼각형의 합동 조건에 추가로 두 가지 경우가 더 있어요.

삼각형의 합동을 SSS, SAS, ASA합동이라고 불렀던 것처럼 직각삼각형에도 이런 이름으로 합동 조건을 불러요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

일단 직각이 있고, 빗변의 길이는 같아요.(RH) 거기에 추가로 다른 한 변의 길이가 같은지 예각의 크기가 같은지 보는 거죠.

RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, , ∠B = ∠E

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: 삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이가 같고(가정) 빗변의 양쪽 끝각의 크기가 같은 ASA 합동입니다.

따라서 △ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, ,

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: △DEF를 빗변이 왼쪽에 있는데, 오른쪽으로 오게 반 바퀴만 돌려보죠.  니까 두 변이 겹치게 해서 △ABC와 △DEF를 하나로 합쳐볼까요?

그러면 인 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에서 이등변삼각형은 밑각의 크기가 같다고 했잖아요. 그럼 ∠B = ∠E가 돼요.

삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 (1) ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이와 한 변의 길이가 같고(가정) 그 사이에 끼인각의 크기가 같은 SAS 합동이에요.

△ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

다음 그림에서 ∠BAC = 90°이고, 이다. 선분 AD의 길이를 구하여라.

△ABD를 보세요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데 ∠ADB가 90°니까 다른 두 각의 합은 90°에요. ∠BAD + ∠ABD = 90°
∠DAE는 평각이라서 180°인데, ∠BAC가 90°니까 ∠BAD + ∠CAE = 90°가 되어야겠죠?

∠BAD + ∠ABD = 90°
∠BAD + ∠CAE = 90°
두 식을 빼면, ∠ABD = ∠CAE가 돼요.

, 한 각은 직각이고, 예각 중 하나가 같으니까 △ABD와 △ACE는 RHA합동이에요.

변 AE의 길이는 대응변인 변 BD의 길이와 같아요. 5cm죠? 선분 DE의 길이가 8cm이고 선분 AE의 길이가 5cm이므로 선분 AD의 길이는 3cm가 됩니다.

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