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수학적 귀류법은 어떤 명제가 참임을 증명하고 싶은데, 직접 증명하기 어려울 때 사용하는 간접 증명 방법이에요.

쉽게 말해 명제를 거짓이라고 가정했더니 말이 안된다(모순이 발생한다)는 걸 보임으로써 결국 그 명제가 참이라는 걸 증명하는 거예요.

수학적 귀류법은 다음의 3단계를 거쳐요.

1. 어떤 명제가 있는데, 이 명제가 거짓이라고 가정해요.
   증명하고 싶은 명제의 결론을 부정해서 가정으로 삼아요.
2. 가정에서 논리적 결론을 이끌어 내어, 모순이 생기는 걸 보여서, 가정이 틀렸다는 걸 확인해요.
   가정을 바탕으로 논리적으로 전개하다 보면 기존에 알려진 사실이나 정의에 모순되는 결과가 나오는 걸 보여줘요. 모순이 생겼으니 처음에 세웠던 가정이 거짓이에요.
3. 결국 원래 명제가 참이라는 결론에 도달해요.
   원래 증명하고 싶었던 명제가 참이라는 결론을 내려요.

예를 들어보죠. "김철수는 남자이다."를 증명해볼까요?

1. 명제가 거짓이라고 가정: 김철수는 남자가 아니다. → 김철수는 여자이다.
2. 모순: 여자는 OOO, ~~~ 같은 신체적, 생물학적 특징이 있어야 하는데, 김철수는 그런 특징이 없으므로 "김철수는 여자"라는 가정이 틀렸다.
3. 결론: 김철수는 여자가 아니다. → "김철수는 남자다."는 참이다.

"$\sqrt{2}$는 무리수"임을를 수학적 귀류법으로 증명하시오.

1. 명제가 거짓이라고 가정: $\sqrt{2}$는 무리수가 아니다. → $\sqrt{2}$는 유리수이다.
   유리수는 $\frac{a}{b}$ (a, b는 서로소인 정수, b ≠ 0) 꼴로 나타낼 수 있는 수예요.
2. $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$
     2 = $\frac{a^{2}}{ b^{2}}$           (∵양변 제곱)
   2b² = a²
   
   a²이 2의 배수니까 a도 2의 배수여야 해요. 따라서 a = 2k (k는 정수)라고 둘 수 있어요.
   
   a = 2k를 2b² = a²에 대입하면
   2b² = a²
   2b² = (2k)²
   2b² = 4k²
   b² = 2k²
   
   b²도 2의 배수이므로 b도 2의 배수여야 해요.
   
   a, b 모두 2의 배수이므로 a, b는 서로소인 정수라고 했던 가정과 모순이 생겨요. 가정 "$\sqrt{2}$는 유리수"가 틀렸다는 걸 알 수 있어요.
3. 명제 "$\sqrt{2}$는 무리수이다."는 참인 명제예요.

명제 “모든 홀수는 짝수가 아니다.”를 귀류법으로 증명하시오.

명제를 부정해야 하는데, 조건의 부정에 나온 것처럼 "모든"은 "어떤"으로 바꿔요.

1. 명제가 거짓이라고 가정: 어떤 홀수가 짝수이다.
2. 홀수는 2n+1, 짝수는 2n (n은 정수)이므로 어떤 홀수가 짝수이면
   2n + 1 = 2m
   2n + 1 = 2m
   1 = 2m - 2n
   1 = 2(m - n)
   
   1이 2의 배수라는 결론이 나오는데, 이는 말이 안되죠. 모순이에요. 가정이 틀렸어요.
3. 모든 홀수는 짝수가 아니다. (명제는 참이다)

삼각형의 중선에 이어서 삼각형의 무게중심이라는 걸 공부합니다. 삼각형의 내심, 외심과 달리 삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유에 대한 내용이 빠져있어서 이 글에서 추가로 설명합니다. 삼각형의 외심, 내심은 합동인 삼각형을 이용해서 증명했는데, 삼각형의 중선이 한 점에서 만나 삼각형의 무게중심이 되는 이유는 닮음인 삼각형을 이용해서 증명합니다.

이 글에는 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유만 설명되어 있으므로 삼각형의 중선과 삼각형의 무게중심에 대한 더 자세한 내용은 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선을 참고하세요.

삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유를 이해하려면 삼각형의 중점 연결 정리에 대해 알고 있어야 합니다. 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유를 증명하는 내용은 무게중심의 성질을 설명하는 내용과 거의 비슷하니까 잘 이해할 수 있을 거예요.

삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유

△ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 E라고 해보죠. 점 B와 점 E를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 M이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△MEF와 △MBC를 보세요.

∠MEF = ∠MBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠MFE = ∠MCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △MEF ∽와 △MBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 M은 를 2 : 1로 나누는 점이에요. (※ 고등학교에 가면 선분의 내분점이라는 걸 공부하는데, 여기서는 그냥 선분을 나누는 점이라는 정도만 알고 있으면 됩니다.)

이번에는 △ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 D라고 해보죠. 점 A와 점 D를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 N이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△NDF와 △NAC를 보세요.

∠NDF = ∠NAC (이므로 평행선에서 엇각)
∠NFD = ∠NCA (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △NDF ∽와 △NAC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 N은 를 2 : 1로 나누는 점이에요.

를 2 : 1로 나누는 점이 점 M과 점 N 두 개가 있죠? 이 두 점 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

중점은 선분의 두 점 사이의 거리를 절반으로 나누는 점이에요. 이때 두 점과 중점 사이의 거리의 비는 1 : 1이죠? 한 선분에서 중점은 하나밖에 없죠? 그럼 선분의 두 점 사이의 거리를 2 : 1로 나누는 점은 몇 개가 있을까요? 이것도 마찬가지로 하나밖에 없어요. 따라서 를 2 : 1로 나누는 점인 점 M과 점 N은 같은 점이죠.

와 가 한 점 M에서 만나고, 와 가 한 점 N에서 만나는 데 이 두 점 M과 N이 서로 같은 점이므로 삼각형 △ABC의 세 중선 , , 는 한 점에서 만나요.

그리고 삼각형의 세 중선이 만나는 점을 삼각형의 무게중심 G라고 하는데, 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선에 더 자세히 소개되어 있습니다.

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다.

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1학기 마지막이네요. 마지막이니까 짧게 한 가지만 하고 금방 끝내죠.

이번 시간에는 절대부등식 중에서 코시 슈바르츠 부등식이라는 걸 공부할 거예요. 코시 슈바르츠 부등식은 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만들고 발전시킨 절대부등식이에요. 두 사람의 이름을 따서 부르지요.

산술, 기하평균처럼 계산할 때 자주 사용하는 절대부등식이니까 왜 항상 성립하는지를 증명할 수 있어야 하고, 공식도 외우고 있어야 해요.

코시 슈바르츠 부등식

이게 외우기가 살짝 헷갈리는데, 문자 그대로 외우기보다는 문자의 위치와 차수를 이용해서 그림처럼 외우는 게 조금 더 잘 외워질 거예요. 부등호의 왼쪽은 모두 제곱인 항이고, 부등호의 오른쪽은 완전제곱식이에요.

코시 슈바르츠 부등식

(ay = bx일 때 등호 성립)

이 부등식이 진짜로 항상 참인 절대부등식인지 증명해볼까요? 양변을 전개해서 정리해보죠

(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
a²x² + a²y² + b²x² + b²y² ≥ a²x² + 2abxy + b²y²
a²y² - 2abxy + b²x² ≥ 0
(ay - bx)² ≥ 0

등식이 성립하니까 이 부등식은 참이에요. 그리고 ay - bx = 0일 때 즉 ay = bx이면 등호가 성립하고요.

다음을 구하여라.
(1) x² + y² = 5일 때, x + 3y의 최댓값과 최솟값
(2) m² + 4n² = 4일 때, 4m + 6n의 최댓값과 최솟값

코시-슈바르츠 부등식 (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²의 자리에 대입해보죠.

(1) a = 1, b = 3이네요.

(1² + 3²)(x² + y²) ≥ (x + 3y)²
(1 + 9)(x² + y²) ≥ (x + 3y)²
10 × 5 ≥ (x + 3y)²
50 ≥ (x + 3y)²
- ≤ x + 3y ≤

x + 3y의 최댓값은 , 최솟값은 -

(2) 4n² = (2n)²인데, 헷갈리니까 m = x, 2n = y로 치환하죠. 식을 다시 써보면 x² + y² = 4일 때 4x + 3y의 최대, 최소를 구하는 문제예요. 이때 a = 4, b = 3이네요.

(4² + 3²)(x² + y²) ≥ (4x + 3y)²
(16 + 9)(x² + y²) ≥ (4x + 3y)²
25 × 4 ≥ (4x + 3y)²
100 ≥ (4x + 3y)²
-10 ≤ 4x + 3y ≤ 10
-10 ≤ 4m + 6n ≤ 10

4m + 6n의 최댓값은 10, 최솟값은 -10이군요.

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절대부등식이라는 새로운 용어가 나오는데, 이 절대부등식은 증명을 통해서 이게 절대적인 힘(?)을 가지고 있다는 것을 보여줘야 해요.

절대부등식을 증명할 때 여러 가지 조건들과 성질들을 이용하는데, 이런 성질들을 잘 기억하고 있어야 해요. 새로운 성질을 공부하는 건 아니고 그동안 공부했던 여러 가지를 정리하는 차원이라고 생각하세요.

증명을 해야 하니까 내용이 조금 어려울 수 있으니 집중해서 보세요.

절대부등식

등식에 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요. 부등식에도 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 성립하는 부등식이 있는데 그걸 바로 절대부등식이라고 하지요.

이차부등식이 항상 성립할 조건을 공부했었죠? 이처럼 항상 성립하는 부등식이 절대부등식이에요.

어떤 부등식을 보고 이게 진짜로 항상 참이 되는지 알아볼 필요가 있겠죠? 절대부등식은 증명을 통해서 그게 항상 참인지 밝혀야 해요.

부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질

부등식은 부등호로 되어 있는데, 부등호는 기본적으로 대소관계를 나타내는 거죠? 그래서 부등식의 증명에서는 실수의 대소관계에 대한 기본 성질을 이용합니다.

그 외에도 몇 가지가 더 있는데, 부등식의 증명에 사용하는 실수의 성질을 정리해보면 아래와 같아요.

• a > b ⇔ a - b > 0
• a² ≥ 0
• a > 0, b > 0일 때
  • a > b ⇔ a² > b²
  • a > 0, b > 0일 때,
• |a| ≥ a, |a|² = a², |a||b| = |ab|

실수의 대소비교를 할 때는 차를 이용해서 비교해요. 차가 양수면 앞에 있는 수가 더 큰 수잖아요. 그리고 모든 실수의 제곱은 0보다 크거나 같고요.

세 번째에 있는 건, 근호나 절댓값을 포함한 식을 비교할 때인데 이때는 두 식의 제곱의 차를 이용해서 대소를 비교해요.

네 번째는 절댓값의 성질이에요. 절댓값은 0 또는 양수니까 계산한 결과가 0 또는 양수라면 절댓값 기호를 그냥 없애도 상관없잖아요.

a, b, c가 실수일 때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 구하여라.
(1) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca
(2)  (단, a > 0, b > 0)
(3) |a| + |b| ≥ |a + b|

(1) 우변에 있는 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca
a² + b² + c² - ab - bc - ca ≥ 0
 × 2(a² + b² + c² - ab - bc - ca) ≥ 0
× (2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca) ≥ 0
 × (a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²) ≥ 0
 {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²} ≥ 0

(a - b)² ≥ 0, (b - c)² ≥ 0, (c - a)² ≥ 0이므로 위 등식은 참. a = b = c일 때 등호 성립

원래 곱셈공식의 변형에 나오는 건데 등호만 부등호로 바뀐 거예요.

(2) 번은 근호가 있어요. a > 0, b > 0이니까 이예요. 모두 양수니까 제곱해서 비교할 수 있어요.

양변이 모두 양수이고 제곱했을 때 좌변이 크니까 제곱하지 않았을 때도 좌변이 커요. a > 0, b > 0이니까 등호가 성립할 수는 없겠죠?

(3) |a| + |b| ≥ |a + b|도 절댓값으로 모든 항이 양수니까 제곱해서 비교해보죠. 그리고 절댓값이 있으니까 |a|² = a², |a||b| = |ab|도 기억하고요.

|a| + |b| ≥ |a + b|
(|a| + |b|)² ≥ (|a + b|)²
|a|² + 2|a||b| + |b|² ≥ (a + b)²
a² + 2|ab| + b² ≥ a² + 2ab + b²
2|ab| - 2ab ≥ 0
2(|ab| - ab) ≥ 0

|ab| ≥ ab이므로 부등식이 참. |ab| = ab일 때 즉 ab ≥ 0일 때 등호 성립. (a, b의 부호가 같거나 적어도 하나가 0일 때)

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명제에 이어 정의와 증명, 정리에 관한 내용이에요.

이 단원에서는 새로운 내용을 배우기보다는 기존에 알고 있는 용어들을 이용할 거예요. 비슷한 용어들이 나오고 그 뜻의 차이가 크지 않아서 헷갈릴 수 있으니까 이 기회에 그 뜻을 정확하게 정리하세요. 특히 도형과 관련된 내용이 많이 나오니까 1학년 때 배웠던 도형 관련 내용들을 쭉 한 번 읽어보는 것도 좋아요.

중1 수학 목록

정의, 정리, 증명

정의는 용어의 뜻을 명확하게 정한 것으로 용어의 뜻에 대한 약속이에요. 약속이므로 증명할 필요가 없어요. 약속은 참, 거짓의 문제가 아니니까요.

방정식이라는 용어가 있어요. 식에 미지수가 있어서 이 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 등식을 말하죠. 이건 그냥 그런 특징이 있는 식을 방정식이라고 부르기로 사람들끼리 약속한 거예요. 다른 이름으로 약속했다면 그렇게 부르면 되는 거예요.

증명은 실험이나 경험에 따르지 않고, 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것을 말해요.

어떤 가정이 있다면 그 가정이 진짜인지 증거를 대는 거죠. 그 증거에 잘 맞으면 참이고, 증거에 맞지 않으면 거짓이 되는 거예요.

정리는 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것으로 여러 개가 있어요. 정리는 원래는 가정이었는데, 증명을 통해서 참으로 밝혀진 걸 말해요. 이 정리를 이용해서 다른 명제의 참, 거짓을 증명하게 되는 거죠.

정의와 정리는 달라요. 정의는 그냥 약속이라서 증명을 할 필요가 없어요. 물론 증명할 수도 없지만요. 정리는 증명을 통해서 그것이 참임을 밝혀야 해요. 그래야 정리로서 가치를 인정받을 수 있죠.

도형의 정의

아래는 다각형 중에서 삼각형과 사각형의 정의를 나타낸 거예요.

삼각형: 세 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
정삼각형: 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형
이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형
직각삼각형: 한 내각의 크기가 직각인 삼각형
예각삼각형: 세 내각의 크기가 모두 예각인 삼각형
둔각삼각형: 한 내각의 크기가 둔각인 삼각형

사각형: 네 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
직사각형: 네 각의 크기가 모두 같은 사각형
마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
정사각형: 네 내각의 크기와 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
평행사변형: 두 쌍의 대변이 각각 평행인 사각형
사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행인 사각형
등변사다리꼴: 한 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴

증명에서 자주 사용되는 정리

평행한 두 직선과 한 직선이 만날 때 → 동위각, 엇각의 크기가 같다
평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각

삼각형의 합동 → 대응변의 길이와 대응각의 크기는 서로 같다
도형의 합동, 삼각형의 합동조건

두 직선 l, m이 아래 그림처럼 한 점 O에서 만난다. 일 때 다음을 증명하여라.
<
(1) ∠AOB = ∠COD
(2)

(1)에서 ∠AOC는 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠AOC = ∠AOD + ∠COD이고요.
∠BOD도 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD이고요.
∠AOD + ∠COD = ∠AOB + ∠AOD = 180° 가 되는 거죠.
양변의 ∠AOD를 없애주면 ∠COD = ∠AOB가 됩니다.

사실 (1)번은 새로운 증명이 아니라 맞꼭지각, 동위각, 엇각에 나온 "두 직선이 한 점에서 만날 때 맞꼭지각의 크기는 같다."는 걸 한 번 더 증명해 본 거예요.

(2)번은 삼각형의 합동을 이용할 거예요. 점 A와 점 B에 선을 그으면 △AOB가 되고, 점 C와 점 D에 선을 그으면 △COD가 돼요. 두 삼각형에서 이고, ∠AOB = ∠COD에요. 즉 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기가 가죠? 두 삼각형은 합동이에요. △AOB ≡ △COD
두 삼각형의 합동이니까 대응변의 길이는 같고, 대응각의 크기도 같아요.
따라서 서로 대응변인 변 AB와 변 CD의 길이는 같아요.

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명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역