수학방

네이버 검색어에 "1초 고민하는 수학 문제"라는 게 있어서 클릭해 봤더니, 재미난 기사들이 올라와 있네요.

어느 여학생이 학교에서는 어려운 수학문제도 척척 풀어내지만 마트에서 간단한 더하기는 잘하지 못하는 상황을 나타내는 그림을 기사로 만든 거였어요.

일부 신문에서는 미적분 문제를 풀었다고 나오지만 그림을 자세히 보면 이차방정식 문제였고, 근의 공식을 이용해서 푸는 과정을 담고 있어요.

제가 이 그림에서 주목한 건 문제를 푸는 방식이에요.

1초 고민하는 수학 문제

그림 속의 여학생이 문제를 푸는 과정이 조금 생소하더군요. 미국에서는 이런 식으로 문제를 푸는 가 봅니다. 한국에서와 방법이 다르네요.

그림에서 나오는 문제는 3x² + 4x - 9 = 0이에요. 이차방정식을 보고 근의 공식에 잘 대입했어요.

일단 분모가 2 × 3이라서 6인데, 그림에서는 8로 되어 있어요. 계산 실수로 보여지고요.

이 풀이에서 가장 눈에 띄는 부분은 ±를 제곱근의 근삿값을 이용해서 근호를 풀었다는 거예요.

≒ 10 × 1.114 = 11.14

근삿값을 이용하여 근호를 풀고 그 값을 다른 수들과 계산을 했어요.

우리는 근호안의 수가 제곱수가 아니면 근호를 풀지 않는데 말이죠. 이번에는 우리가 공부하는 방식대로 풀어보죠. 일차항의 계수가 짝수니까 짝수공식으로 풀어볼까요?

3x² + 4x - 9 = 0

미국에서의 수학 문제 풀이와 우리나라에서의 수학 문제 풀이에 차이가 있나보네요. 미국식이라면 제곱근표를 항상 가지고 있어야해서 오히려 불편할 것 같아요. 반대로 문제에서 제곱근의 근삿값을 알려줬다면 문제푸는 데 힌트가 될 수도 있으니까 더 좋을 것 같고요.

혹시 미국에서 학교 다니신 분 계시면 알려주세요.

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이차방정식의 마지막인 이차방정식의 활용입니다.

이차방정식의 활용 문제 푸는 단계

1. 문제를 읽고 구하고자 하는 것을 미지수 x로 놓는다.
   문제에서 구하고자 하는 것을 정확히 찾아야 해요. 수를 구하는 문제에서 큰 수를 구하라고 했는지 작은 수를 구하라고 했는지 등에 주의하세요.
2. 미지수를 이용하여 방정식을 세운다.
3. 방정식을 푼다.
   인수분해, 근의 공식을 이용해서 해를 구합니다.
4. 문제의 조건에 맞는 답을 고른다.
   이차방정식이니까 해가 2개가 나올 수 있어요. 이 중에서 문제에서 요구하는 것을 찾아야 해요. 예를 들어 길이나 무게, 개수 등은 음수가 아닌 양수여야겠죠. 사람 수를 묻는 문제라면 소수가 아닌 자연수가 되어야 하고요.

식 세우는 팁

문제의 유형에 따라 식을 세우는 방법이 몇 가지가 있어요.

연속하는 수

연속하는 두 자연수: x와 x + 1
연속하는 세 자연수: x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수 또는 연속하는 세 짝수: x - 2, x, x + 2

연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적을 때 가장 작은 홀수는? (단 세 홀수는 모두 양수)

연속하는 세 홀수라고 했으니까 x - 2, x, x + 2라고 해볼까요?

가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적으니까 식으로 나타내면 (x + 2)² = x² + (x - 2)² - 9가 되겠네요.

전개해서 정리해보죠.

(x + 2)² = x² + (x - 2)² - 9
x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4 - 9
x² - 8x - 9 = 0
(x - 9)(x + 1) = 0
x = 9 or x = -1

세 홀수는 모두 양수라고 했으니까 x = -1은 안되죠. 남은 건 x = 9지만 문제에서 구하는 건 가장 작은 홀수이므로 x - 2, 즉 7입니다.

도형의 넓이, 부피 문제

사다리꼴 넓이: 1/2 × (윗변 + 아랫변) × 높이

원의 넓이: × 반지름²

삼각뿔, 원뿔의 부피: 1/3 × 밑넓이 × 높이

땅에 길을 만드는 문제

직사각형 모양의 공원에 가로 세로로 산책로를 만드는 문제도 자주 나와요.

이때는 도형의 모양을 약간 변형해서 풀면 쉬워요. 각각 떨어져 있는 영역들을 하나로 합치면 새로운 직사각형의 모양이 돼요. 그러면 그냥 직사각형의 넓이를 구하는 방법으로 풀면 됩니다.

가로와 세로의 길이가 각각 20m, 15m인 잔디밭에 폭이 일정한 길을 내려고 한다. 길을 제외한 잔디밭의 넓이가 204m²이라고 할 때 길의 폭을 구하여라. (그림 생략.)

폭이 일정하다고 했으니 길의 폭을 x라고 하죠.

(전체 넓이) - (길의 넓이) = (잔디밭의 넓이)라는 식을 구할 수 있지요.
20 × 15 - (x × 20 + x × 15 - x²) = 204

하지만 그보다는 위 그림처럼 길을 제외한 부분을 하나로 합치면 (20 - x)(15 - x) = 204라는 식이 돼요. 두 식을 정리해보면 똑같아요. 하지만 아래식이 조금 더 간단해 보이죠?

(20 - x)(15 - x) = 204
300 - 35x + x² = 204
x² - 35x + 96 = 0
(x - 32)(x - 3) = 0
x = 32 or x = 3

일단 둘 다 양수니까 길이가 될 수 있겠죠. 하지만 잔디밭의 세로 길이는 15m여서 폭이 이 세로 길이보다 길 수는 없겠죠? 따라서 길의 폭이 될 수 있는 x는 3m입니다.

하늘로 쏘아 올린 공의 높이 문제

t초 후의 높이를 구하는 식이 주어지고, 정해진 높이일 때 시간을 구하는 문제가 나오죠. 시간이니까 기본적으로 양수여야 해요.

또 공을 위로 쏘아 올리므로 어느 지점을 지나면 다시 땅으로 떨어지겠죠? 따라서 공이 올라가면서 정해진 높이에 도달할 때와 떨어지면서 도달할 때 두 가지 경우가 있다는 걸 주의하세요. 이때 공의 속도가 나오기도 하는데, 속도는 높이에 전혀 영향을 미치지 않으니 그냥 무시하세요.

지면에서 초속 20m/s의 속력으로 하늘로 공을 쏘아 올릴 때 t초 후의 공의 높이는 (30t - 6t²)m이다. 하늘로 쏘아 올린 공은 몇 초 후에 지면에 도달하는지 구하시오.

먼저 초속 20m/s라는 공의 속도는 생각하지 마세요.

공이 지면에 도달할 때 공의 높이는 0m지요? 따라서 식은 30t - 6t² = 0이에요. 이 이차방정식을 풀면 t = 0초 또는 t = 5초가 되는데 0초는 공을 쏘아 올릴 때의 시간이니까 빼고, 답은 5초 후네요.

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복잡한 이차방정식의 풀이

이차방정식을 풀기 위해서는 이차방정식의 기본형인 ax² + bx + c = 0꼴로 바꿔주는 것이 좋아요. 기본형으로 바꾼다음 인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하고 인수분해가 되지 않는다면 근의 공식으로 푸세요.

이번 글에서는 복잡한 이차방정식의 풀이에 대해서 알아볼 거예요. 복잡한 식이라는 거 많이 해봤잖아요. 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이, 복잡한 부등식, 복잡한 인수분해.. 모두 원리는 하나에요.

복잡한 건 복잡하지 않게 계산하기 쉽게 바꾸면 된다. 복잡한 이차방정식은 복잡하지 않게 바꾼 다음에 인수분해 or 근의 공식 입니다.

복잡한 이차방정식 푸는 법

괄호가 있을 때

괄호가 있으면 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 계산을 해야해요. 괄호를 전개하지 않거나 동류항 계산을 다 끝내야 일반형으로 바꿀 수 있어요.

x(1 - x) = (x + 2)(x - 3)

괄호가 있으니까 전개해서 동류항 계산을 하세요. 물론 기본형으로 바꾸는 작업까지요.

x - x² = x² - x - 6
2x² - 2x - 6 = 0
x² - x - 3 = 0

일반형으로 바꿨더니 위처럼 됐어요. 근데 인수분해가 안되니까 근의 공식을 써야겠죠.

계수가 소수일 때

계수가 소수이면 계산이 복잡합니다. 그래서 계수를 정수로 바꿔줘야해요. 정수로 바꿀려면 10의 제곱인 수 즉, 10, 100, 1000을 식에 곱해줍니다. 계수를 정수로 바꾼 다음에 인수분해나 근의 공식을 이용하세요.

0.3x² - x + 0.1 = 0

계수가 소수 첫째자리까지 있으니까 10을 곱해줘야 겠네요.

3x² - 10x + 1 = 0

인수분해가 안되네요. 근의 공식을 써야하는데 x의 계수가 짝수니까 짝수 공식을 써볼까요?

계수가 분수일 때

계수가 분수일 때에도 역시 계수를 정수로 바꿔줘야 해요. 정수로 바꾸려면 각 계수의 분모의 최소공배수를 식에 곱해주면 돼요.

계수가 분수이고, 각 계수의 분모인 5, 2, 10의 최소공배수가 10이니까 식에 10을 곱해줄께요.

2x² + 5x - 3 = 0
(x + 3)(2x - 1) = 0
x = -3 or x = 

공통인 식이 있을 때

공통인 식이 있을 때는 다른 문자로 치환을 해요. 치환하는 거 인수분해할 때 연습 많이 해봤죠? 식에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶여져 있는 부분을 치환합니다.

일단 식을 치환하는 경우에는 대부분 인수분해가 돼요. 인수분해가 되면 치환했던 걸 다시 원래 식으로 바꿔주고 그 다음에 해를 구할 수 있어요.

(x - 1)² + 6(x - 1) - 27 = 0

x - 1이라는 부분이 있으니까 이 걸 A라는 문자로 치환해볼께요.

A² + 6A - 27 = 0라는 식이 돼요. 이 식은 A에 관한 이차방정식입니다. 따라서 인수분해나 근의 공식으로 A 값을 구할 수 있겠죠. 인수분해가 되는 군요. A를 구해볼까요?

(A + 9)(A - 3) = 0
A = -9 or A = 3

A를 구했어요. 하지만 문제에서 구하는 건 A가 아니라 x 라는 걸 명심하세요. 원래 A = x - 1였으니까 x를 구해보죠.

x - 1이라는 식을 A라는 문자로 치환한 후에 다시 원래 식으로 되돌아와서 x를 구할 수 있었어요.

괄호가 있으니까 괄호를 전개해서 계산해도 되지만 전개하지 않고 치환하는 게 훨씬 쉬워요.

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완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이를 이용하면 이제 웬만한 이차방정식의 해는 구할 수 있어요. 그런데 그 과정이 너무 복잡하죠. 이차항의 계수로 나누고, 숫자를 더해주고, 인수분해하고 등등……

그래서 이 과정을 생략하고 바로 근만 구할 방법, 즉 공식이 있어요. 그래서 그 공식은 어떤 식인지 어떤 과정을 거쳐서 만들어지는지 배워볼까요?

이차방정식 근의 공식을 유도하는 과정은 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 과정을 그대로 하면 됩니다. 숫자 대신에 문자를 사용한다는 차이뿐이에요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

완전제곱식을 이용해서 이차방정식을 푸는 과정은 아래와 같아요.

1. 이차항의 계수로 양변을 나눈다
2. 상수항을 우변으로 이항
3. 을 양변에 더해준다.
4. 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x+p)²=k
5. 제곱근을 이용하여 해를 구한다.

아래 예제를 통해서 한 번 더 확인하세요.

근의 공식 유도

위 복잡한 과정을 생략하고 바로 근만 구하는 공식이 있어요. 다음 표에서 왼쪽은 일반적인 식을 이용한 과정이고 오른쪽은 이차방정식의 일반형을 이용한 과정이에요. 숫자가 문자로 바뀐 것만 다르고 방법과 과정은 모두 같아요. 연습장에 여러 번 써보면서 연습을 해야 합니다.

이제 공식이 어떻게 만들어지는 지 이해하셨죠? 이제 공식을 외워야합니다.

ax² + bx + c = 0     (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근

근의 공식은 모든 이차방정식의에 사용할 수 있어요. 인수분해가 되던 안 되던 상관없습니다. 앞으로도 계속 사용하는 가장 중요한 공식 중 하나이니까 꼭 외우세요.

근의 공식 - 짝수 공식

근의 공식 중에 짝수 공식이라는 게 있어요. 짝수 공식은 x 일차항의 계수가 짝수(2b')일 때 사용하는 공식이에요. 위에서 봤던 공식으로 풀지 못하는 건 아니지만, 이 짝수 공식을 이용하면 계산이 조금 더 간단해지죠. 외우면 좋지만, 공식이 두 개라서 헷갈린다면 굳이 외우지 않아도 되는 공식이에요.

ax² + 2b'x + c = 0     (a, b', c는 상수 a ≠ 0)의 근

혹시 시간나면 이차방정식을 푸는 새로운 방법에 대해서도 읽어보세요. 이 글의 유도보다 조금 더 쉬워요.

두 근의 합과, 곱, 평균을 이용해서 이차방정식 풀기

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이차방정식을 풀 때 제일 쉬운 방법은 인수분해를 이용하는 방법이에요. 그런데 인수분해가 되지 않을 때도 풀 수 있는 방법도 있어야겠죠?

바로 완전제곱식을 이용한 방법인데요. 원래 완전제곱식으로 인수분해가 되면 이차방정식이 중근을 가질 조건처럼 중근을 가집니다. 그런데 인수분해가 되지 않는 식을 완전제곱식으로 바꿔서 x를 구하면 완전제곱식 꼴이긴 하지만 중근을 갖지는 않아요. 잘 구별하세요.

여기서는 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용의 방법을 사용하기 위해서 문제에서 주어진 식을 완전제곱식 형태로 바꾸는 과정을 공부할 겁니다.

완전제곱식 만들기

완전제곱식은 말 그대로 식 전체가 제곱이 되어 있는 경우를 말해요. (x + 5)²같은 거 말이죠. 곱셈공식에서 공부했던 (x + a)², (x - a)²이 바로 완전제곱식이에요.

x² + 4x + 1 = 0

위 식은 인수분해가 되지 않아요. 그리고 제곱근을 이용할 수도 없네요. 그래서 제곱근을 이용할 수 있도록 식의 모양을 완전제곱식으로 바꿔줄 겁니다.

1단계는 상수항을 우변으로 이항하는 거예요. 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용에서도 상수항은 우변으로 이항했었죠?
x² + 4x = -1

좌변을 완전제곱식으로 바꿀 거예요. 완전제곱식은 어떤 특징이 있다고 했죠? 일차항의 계수와 상수항 사이에는 아래같은 관계가 있어요.

x² + 4x = -1에 일차항의 계수를 이용해서 상수항을 만들어 주는 거예요. 상수항은 이 되겠네요. 상수항은 4가 되는데 이 상수를 좌변에 더해주면 좌변은 완전제곱식이 될 꺼에요. 그런데 좌변에 4를 더해줬으니 마찬가지로 우변에도 같은 수를 더해줘야 등식이 성립하겠죠.

좌변을 완전제곱식으로 인수분해 할 수 있어요.

(x + 2)² = 3

이제는 제곱근의 정의를 이용할 수 있죠?

이차방정식의 해는 특별한 조건이 없으면 실수 범위에서 구하는 거니까 위의 값이 해가 돼요.

x² - 2x - 6 = 0

2x² -8x + 3 = 0

이번에는 x²의 계수가 1이 아닌 2네요. 위에서 했던 건 x²의 계수가 1이었으니까 우리가 해봤던 형태로 바꿔보죠. 어떻게요? 양변을 x²의 계수인 2로 나눠주는 거죠.

이 되겠네요. 나머지는 위와 모두 같아요.

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이차방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있어요. 앞에서는 인수분해를 이용해서 이차방정식을 풀었는데, 이번에는 다른 방법 이용해서 풀어보죠.

바로 제곱근을 이용하는 방법인데요.제곱근이 뭐죠?

위처럼 되어 있을 때 x를 a의 제곱근이라고 하죠.

제곱근을 구하는 것처럼 이차방정식에서도 좌변을 제곱, 우변을 상수항으로 모양을 바꿔서 미지수의 값을 구할 수 있어요.

a(x + p)² = k    (a, k는 상수, k ≠ 0)

x² - 4 = 0

상수인 4를 우변으로 이항해보세요. x² = 4가 돼요. 제곱근을 구할 때 많이 봤던 형태네요. x가 얼마인가요? x = ±2입니다.

제곱근의 성질을 이용해서 이차방정식을 풀었어요. 어렵지 않죠?

(x + 3)² - 16 = 0

마찬가지로 상수인 16를 우변으로 이항해보세요. (x + 3)² = 16가 됐어요.

제곱근의 성질을 이용하면 x + 3 = ± 4가 돼요. 식이 두 개가 나오네요. x + 3 = 4, x + 3 = -4라는 식에서 각각 x의 값을 구할 수 있어요.

3(2 x + 5)² - 75 = 0

이번에는 제곱된 식 앞에 3이 곱해져 있군요. 상수인 75를 이항한 후 양변을 3으로 나눠주면 돼요.

3(2x + 5)² = 75
(2x + 5)² = 25
2x + 5 = ±5

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이차방정식의 풀이법 중 가장 쉬운 방법은 인수분해를 이용한 방법이에요. 이전 단원에서 인수분해 연습을 많이 해봤으니 이번에 공부할 내용은 그리 어렵지 않을 거예요.

AB = 0

어떤 두 수 a, b를 곱했더니 0이 되었어요. 이게 의미하는 게 뭘까요? 두 수 중의 하나는 반드시 0이라는 뜻이에요. 물론 두 수 모두가 0일 수도 있어요.

마찬가지로 두 다항식을 곱했더니 0이 되었다는 건 두 식 중 하나는 0이라는 거죠. 두 식 모두가 0일 수도 있고요.

AB = 0 은 A = 0 이거나 B = 0이라는 얘기입니다.

AB = 0       <=>     A = 0 or B = 0

이 성질(?)을 이용해서 이차방정식을 풀 수 있어요.

이차방정식 ax²+ bx + c = 0의 좌변을 인수분해해서 다항식의 곱으로 표시하면 AB = 0 의 꼴로 바뀌겠죠. 여기에서 다항식 A = 0일 때의 x 값, B = 0일 때의 x값이 이차방정식의 해가 되는 거예요.

x² - 5x + 6 = 0의 해를 구하여라.

이차방정식의 좌변인 x² – 5x + 6을 인수분해하면 (x – 2)(x – 3) = 0이죠. 두 다항식을 곱했더니 0이 되었단 말은 x – 2 = 0이거나 x – 3 = 0이라는 뜻이에요. 즉, x = 2이거나 x = 3 이라는 거죠. 그래서 위 이차방정식의 해는 x = 2 또는 x = 3입니다.

2x² + 8x + 8 = 0의 해를 구하여라.

좌변을 인수분해하면

2x²+ 8x + 8 = 0
2(x² + 4x + 4) = 0
2(x + 2)² = 0

2(x + 2)² = 0은 2 × (x + 2) × (x + 2) = 0이죠. 제일 앞에 있는 2는 0이 될 수 없어요. 그래서 상수 부분은 그냥 넘어갑니다. x + 2 = 0 이거나 x + 2 = 0인데, 어차피 둘이 똑같으니까 한 번만 써주면 돼요. 그래서 위 문제에서 이차방정식의 해는 x = -2예요.

이처럼 이차방정식의 해 두 개가 같아서 결과적으로 해가 하나만 있을 때 이 해를 중근이라고 합니다. 이차방정식이 중근을 가지려면 완전제곱식 형태가 되어야하는 데 자세한 건 다음에서 알아보죠.