수학방

앞에서는 항의 개수가 3개 이하일 때를 해봤는데, 이제는 항의 개수가 4개 이상인 복잡한 식의 인수분해입니다.

항의 개수가 늘어나면 늘어난 만큼 식도 복잡해지고 계산 방법도 복잡해져요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환에서는 식의 모양을 바꾸서 인수분해를 했었는데, 이 글에서는 두 번의 인수분해 과정을 거쳐야 답이 나오는 경우에요.

그리고, 앞에서 공부했던 인수분해의 공식과 원리가 총 동원된 문제들이 나옵니다. 제법 어려운 문제들이니 틀리지 않게 주의해서 잘 보세요.

항이 4개 일 때

항이 네 개일 때, 모든 항에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶으세요. 4개의 항에 공통인수가 없을 때는 다른 방법을 사용해야 해요.

2-2로 짝짓기

4개 모두에 해당하는 공통인수가 없다면 2개씩 짝을 짓고, 각 쌍을 공통인수로 묶어요. 각각을 공통인수로 묶어서 두 개의 항으로 만들면 다시 공통인수가 생기는데, 그때 다시 공통인수로 묶어주면 돼요.

xy - x - y + 1을 보죠. 항은 4개인데, 4개 항에 모두 공통으로 들어있는 인수가 없어요. 2개씩 묶어보죠.
xy - x - y + 1
= (xy - x) + (-y + 1)
= x(y - 1) - (y - 1)

앞 두 개의 항에는 x라는 공통인수가 있고, 뒤 두 개의 항에는 (-1)이라는 공통인수가 있어요. 각각을 따로 인수분해했더니 양쪽 모두에 (y - 1)이라는 항이 있네요. y - 1 = t로 치환해보죠.

= xt - t
= (x - 1)t
= (x - 1)(y - 1)

y - 1 = t이므로 마지막 줄에서 원래 값을 대입했더니 인수분해가 끝났어요. 계산에 익숙해지면 이 정도 식은 따로 치환하는 식을 넣지 않고도 바로 계산할 수 있을 거예요.

1. 4개의 항을 2개씩 2쌍으로 짝짓기
2. 각 쌍에서 공통인수를 찾아서 각각을 인수분해
3. 두 쌍에서 공통인수를 찾아서 한 번 더 인수분해

3-1로 짝짓기

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x) + 9 - y²
= x(x - 6) + (3 + y)(3 - y)

4개의 항이 있어서 앞의 두 개, 뒤의 두 개의 항으로 묶어서 해봤는데, 인수분해가 안 돼요. 방법이 틀렸다는 얘기예요. 이때는 2개씩 짝을 짓는 것 말고 다른 방법을 써야 해요.

앞의 3개와 뒤의 1개를 따로 짝을 지어보죠.

x² - 6x + 9 - y²
= (x² - 6x + 9) - y²
= (x - 3)² - y²
= (x - 3 + y)(x - 3 - y)
= (x + y - 3)(x - y - 3)

앞의 세 개와 뒤의 하나로 짝을 지었더니 인수분해가 되네요. 경우에 따라서는 앞의 한 개와 뒤의 3개를 짝 지어야 하는 경우도 있어요. 이런 경우는 대부분 한 개짜리가 제곱이고, 세 개짜리는 완전제곱식이며 이 둘은 (제곱 - 제곱)의 형태가 될 때가 많아요.

3 - 1로 할 건지, 1 - 3으로 할 건지는 일차항을 보면 쉽게 판단할 수 있어요. 예를 들어 x, y의 문자가 모두 들어있는 식에서 x의 일차항이 있으면 x², x, 상수항의 3개를 묶고, 남은 y항을 하나로 해요.

x² - 2x - 8 - y² 에서는 일차항이 -2x이므로 x², -2x, -8을 묶어요.
x² - y² + 2y + 8에서는 일차항이 2y이므로 -y², 2y, 8을 묶으세요.

1. 3 - 1 로 짝짓기
2. 3 개짜리 항을 완전제곱식으로 인수분해
3. 1개짜리 항과 ②의 완전제곱식을 합차공식으로 인수분해

항이 5개 이상일 때

항이 5개 이상인 경우는 많이 나오는 경우는 아닌데, 그래도 알아 두면 좋아요. 이때는 문자의 차수가 가장 낮은 한 문자를 선택해서 그 문자에 대해 차수가 높은 순에서 낮은 순서로 항들의 위치를 바꾼 다음에 인수분해를 합니다. 차수가 높은 순에서 낮은 순으로 쓰는 걸 내림차순으로 정리한다고 표현해요.

이때, 선택한 문자가 들어있지 않은 항은 모두 상수항 취급하세요. 예를 들어 y라는 문자를 선택했다면 x²항도 상수항이에요.

x² + xy - 5x - 2y + 6를 볼까요?

항이 5개, 문자는 x, y의 2개예요. 복잡하네요. x는 2차, y는 1차죠? 그렇다면 차수가 낮은 y를 선택하고 차수가 높은 것에서 낮은 순서대로 항의 위치를 바꿔요. 우선 y의 1차인 xy, -2y를 먼저 쓰고 나머지를 그 뒤에 쓰죠.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6

순서를 바꾸고 보니까 앞의 두 항에는 y라는 공통인수가 들어있고, 뒤의 세 항은 인수분해가 되네요. 정리해보죠.
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)

정리하고 보니까 (x - 2)라는 부분이 양쪽 모두에 들어있죠? x - 2 = t라고 치환하죠.
= yt + t(x - 3)
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)

한꺼번에 모아서 다시 써볼게요.

x² + xy - 5x - 2y + 6
= xy - 2y + x² - 5x + 6         ∵ y에 대해서 내림차순 정리
= y(x - 2) + (x - 2)(x - 3)    ∵ 공통인수로 묶기, 인수분해
= yt + t(x - 3)                    ∵ x - 2 = t로 치환
= t(y + x - 3)
= (x - 2)(y + x - 3)              ∵ t = x - 2 대입

복잡한 과정을 거쳐서 인수분해를 할 수 있었어요.

항이 5개 이상일 때: 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리 후 인수분해

참고로 항이 4개인데, 2 - 2, 3 - 1로 묶이지 않을 때에도 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리해보면 묶을 수 있는 경우가 있어요. 이 점도 기억해두세요.

다음을 인수분해 하여라.
(1) 3xy - 6y² - x + 2y
(2) 9x² - 4y² + 16y - 16
(3) x² + xy - x - 2y - 2

(1)은 네 개의 항으로 되어있어요. 네 항 모두에 들어있는 공통인수가 없기때문에 앞의 두 개와 뒤의 두 개를 따로 따로 인수분해해보죠.
3xy - 6y² - x + 2y
= 3y(x - 2y) - (x - 2y)
= (3y - 1)(x - 2y)

(2)는 앞의 두 개, 뒤의 두 개로 나누어도 공통인수가 없어요. 다른 방법을 해야한다는 뜻이에요. 3 - 1로 묶어보죠. 그런데, 뒤에 2, 3번째 항에 y라는 문자가 들어있으니까 앞의 하나와 뒤의 세 항으로 나누어 묶어보죠.
9x² - 4y² + 16y - 16
= (3x)² - 4(y² -4y + 4)
= (3x)² -4(y - 2)²
= (3x)² - {2(y - 2)}²
= {3x + 2(y - 2)}{3x - 2(y - 2)}
= (3x + 2y - 4)(3x - 2y + 4)

(3)번은 항이 다섯개나 있네요. 이 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리를 해요. x는 이차, y는 일차이므로 y의 내림차순으로 정리해보죠.
x² + xy - x - 2y - 2
= xy - 2y + x² - x - 2
= (x - 2)y + (x - 2)(x + 1)
= (x - 2)(y + x + 1)

다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.

인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 한 거니까 따로 외우지 않아도 돼요.

곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.

인수분해 공식 - 완전제곱식

완전제곱식이란

완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거예요. 숫자로 치면 제곱이랑 같아요.

완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (……………)²처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)²도 완전제곱식이고, 2(x + a)²도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)²이나 (x + a)(x + b)²처럼 말이죠.

완전제곱식: 같은 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)², k(a + b)²

어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.

일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A², B²이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 a, b를 곱하고 거기에 또 2를 곱한 항이에요.

A² + 2 × A × B + B²

첫 번째 항은 a의 제곱, 세 번째 항은 b의 제곱, 가운데 항은 a와 b를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.

다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a² + □ + 36
(2) 4a² + 4ab + □

(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a² + □ + 36
= a² + □ + 6²

□ = 2 × a × 6 = 12a

그런데, 36 = 6² = (-6)²이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a² + □ + (-6)²이라고 쓸 수도 있어요.

□ = 2 × a × (-6) = -12a

결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.

(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a² + 4ab + □
= (2a)² + 2 × 2a × b + □

□ = b²

여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.

완전제곱식으로 인수분해

일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보죠.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지 파악하면 되겠죠?

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a² + 4ab + 4b²
(2) 4a² + 12ab + 9b²
(3) 8a² + 8ab + 2b²

식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?

(1) 모양을 바꿔보면
a² + 4ab + 4b²
= a² + 2 × a × 2b + (2b)²
= (a + 2b)²

(2) 4a² + 12ab + 9b²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= (2a + 3b)²

(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a² + 8ab + 2b²
= 2(4a² + 4ab + b²)
= 2{(2a)² + 2 × 2a × b + b²}
= 2(2a + b)²

인수분해 공식 - 합차공식

곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a² - b²

인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?

a² - b² = (a + b)(a - b)

다음을 인수분해하여라.
(1) 4a² - 9b²
(2) 3a² - 27b²
(3) a² + 4b²

제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.

(1) 4a² - 9b²
= (2a)² - (3b)²
= (2a + 3b)(2a - 3b)

(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a² - 27b²
= 3(a² - 9b²)
= 3{a² - (3b)²}
= 3(a + 3b)(a - 3b)

(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.

함께 보면 좋은 글

인수분해, 공통인수로 인수분해
인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
인수분해 공식 두 번째
복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환
복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때
[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식 - 완전제곱식
[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식 - 합차공식 외

단항식의 곱셈, 다항식과 단항식의 곱셈을 해봤어요. 단항식의 곱셈과 나눗셈, 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈

이 글에서는 다항식과 다항식의 곱셈을 해볼 거예요. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하면 되니까 그냥 넘어가고요. 그리고 다항식과 다항식을 곱할 때, 계산과정을 생략하고 그 결과를 바로 만들어낼 수 있는 공식인 곱셈공식도 공부할 거예요.

앞으로 공부할 식은 기본적으로 모두 다항식이기 때문에 곱셈공식은 꼭 알아야 하는 공식이에요. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 먼저 2개를 알아보죠.

다항식 × 다항식

두 개의 다항식의 곱 (a + b)(c + d)을 해보죠. 분배법칙을 이용할 거예요.

먼저 앞에 있는 a + b를 m이라고 한 번 생각해볼까요? 그러면 식은 m(c + d)로 바꿀 수 있죠? 이 모양이라면 분배법칙으로 괄호를 풀 수 있죠?

(a + b)(c + d)
= m(c + d)
= (m × c) + (m × d)

그런데, 원래 m = a + b였잖아요. 원래 값을 대입해보죠.
= {(a + b) × c} + {(a + b) × d}

다시 분배법칙으로 괄호를 풀면
= {(a × c) + (b × c)} + {(a × d) + (b × d)}
= ac + bc + ad + bd

항이 두 개인 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 2번 이용해서 전개하는 거죠.

위의 계산 결과가 맞는지 그림으로 증명해볼까요? 가로 길이가 (a + b)이고, 세로 길이가 (c + d)인 사각형의 넓이는 (a + b)(c + d)죠?

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

다항식의 곱셈을 하는 방법이에요. 앞에 있는 다항식의 항 하나를 뒤에 있는 다항식의 항에 모두 곱하고, 앞에 있는 다항식의 다른 항을 뒤에 있는 다항식의 모든 항에 곱하는 거예요. 말로 하면 어려우니까 그림으로 보고 외우세요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + 2)(a + 3)
(2) (a + 3)(a - 2)
(3) (a + 3)(2a + b - 1)

첫 번째 다항식의 한 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주고, 첫 번째 다항식의 다른 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주는 거예요.

(1) (3a + 2)(a + 3)
= 3a(a + 3) + 2(a + 3)
= 3a² + 9a + 2a + 6
= 3a² + 11a + 6

(2) (a + 3)(a - 2)
= a(a - 2) + 3(a - 2)
= a² - 2a + 3a - 6
= a² + a - 6

(3) 번은 두 번째 다항식의 항이 세 개인데 항의 개수만 다를 뿐 방법이 똑같아요.
(a + 3)(2a + b - 1)
= a(2a + b - 1) + 3(2a + b - 1)
= 2a² + ab - a + 6a + 3b - 3
= 2a² + ab + 5a + 3b - 3

곱셈공식(1) - 완전제곱식(합의 공식)

완전제곱식은 똑같은 다항식을 여러 번 곱하는 거예요. 같은 수를 곱하는 걸 거듭제곱이라고 한다면 같은 식을 곱하는 게 완전제곱식이죠.

(a + b) 라는 다항식을 2번 곱하면 (a + b)(a + b) = (a + b)²에요. 한 번 전개해보죠.

(a + b)²
= (a + b)(a + b)
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²

결과만 볼까요?

(a + b)² = a² + 2ab + b²

다항식의 각 항을 제곱(a², b²)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 더해주는 거예요.

그림으로 보면 공식을 더 쉽게 이해할 수 있어요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 늘린 후 넓이를 구하는 거예요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)² =  a² + ab + ba + b²
            = a² + 2ab + b²

곱셈공식(2) - 완전제곱식(차의 공식)

이번에는 (a - b) 의 완전제곱을 구해보죠.

(a - b)²
= (a - b)(a - b)
= a² - ab - ba + b²
= a² - 2ab + b²

결과만 볼까요?

(a - b)² = a² - 2ab + b²

다항식의 각 항을 제곱(a², b²)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 빼주는 거예요.

아래 그림을 보세요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 줄인 다음에 사각형의 넓이를 구하는 과정이에요.

색칠한 사각형의 넓이 = 큰 사각형 - 흰 사각형 세 개의 넓이
(a - b)² = a² - b(a - b) - (a - b)b - b²
            = a² - ba + b² - ab + b² - b²
            = a² - 2ab + b²

두 완전제곱식의 차이를 잘 비교해서 외우세요. 각 항을 제곱해주는 건 같은데, 가운데 부호에 따라서 2ab를 더해주고, 빼주는 차이가 있어요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

다음을 간단히 하여라.
(1) (a + 5)²
(2) (2a + 3b)²
(3) (3a - 5)²
(4) (4a - 2b)²

완전제곱식은 각 항은 제곱해서 더해주고, 두 항의 곱에 2배 한 것을 더해주거나 빼주는 거예요.

(1) (a + 5)²
= a² + 2 × a × 5 + 5²
= a² + 10a + 25

(2) (2a + 3b)²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= 4a² + 12ab + 9b²

(3) (3a - 5)²
= (3a)² - 2 × 3a × 5 + 5²
= 9a² - 30a + 25

(4) (4a - 2b)²
= (4a)² - 2 × 4a × 2b + (2b)²
= 16a² - 16ab + 4b²

함께 보면 좋은 글

곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외
곱셈공식의 변형
지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱
지수법칙 - 나눗셈, 괄호, 분수
단항식의 곱셈과 나눗셈
[중등수학/중1 수학] - 분배법칙, 분배법칙, 교환법칙, 결합법칙 비교

이차방정식을 풀 때 제일 쉬운 방법은 인수분해를 이용하는 방법이에요. 그런데 인수분해가 되지 않을 때도 풀 수 있는 방법도 있어야겠죠?

바로 완전제곱식을 이용한 방법인데요. 원래 완전제곱식으로 인수분해가 되면 이차방정식이 중근을 가질 조건처럼 중근을 가집니다. 그런데 인수분해가 되지 않는 식을 완전제곱식으로 바꿔서 x를 구하면 완전제곱식 꼴이긴 하지만 중근을 갖지는 않아요. 잘 구별하세요.

여기서는 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용의 방법을 사용하기 위해서 문제에서 주어진 식을 완전제곱식 형태로 바꾸는 과정을 공부할 겁니다.

완전제곱식 만들기

완전제곱식은 말 그대로 식 전체가 제곱이 되어 있는 경우를 말해요. (x + 5)²같은 거 말이죠. 곱셈공식에서 공부했던 (x + a)², (x - a)²이 바로 완전제곱식이에요.

x² + 4x + 1 = 0

위 식은 인수분해가 되지 않아요. 그리고 제곱근을 이용할 수도 없네요. 그래서 제곱근을 이용할 수 있도록 식의 모양을 완전제곱식으로 바꿔줄 겁니다.

1단계는 상수항을 우변으로 이항하는 거예요. 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용에서도 상수항은 우변으로 이항했었죠?
x² + 4x = -1

좌변을 완전제곱식으로 바꿀 거예요. 완전제곱식은 어떤 특징이 있다고 했죠? 일차항의 계수와 상수항 사이에는 아래같은 관계가 있어요.

x² + 4x = -1에 일차항의 계수를 이용해서 상수항을 만들어 주는 거예요. 상수항은 이 되겠네요. 상수항은 4가 되는데 이 상수를 좌변에 더해주면 좌변은 완전제곱식이 될 꺼에요. 그런데 좌변에 4를 더해줬으니 마찬가지로 우변에도 같은 수를 더해줘야 등식이 성립하겠죠.

좌변을 완전제곱식으로 인수분해 할 수 있어요.

(x + 2)² = 3

이제는 제곱근의 정의를 이용할 수 있죠?

이차방정식의 해는 특별한 조건이 없으면 실수 범위에서 구하는 거니까 위의 값이 해가 돼요.

x² - 2x - 6 = 0

2x² -8x + 3 = 0

이번에는 x²의 계수가 1이 아닌 2네요. 위에서 했던 건 x²의 계수가 1이었으니까 우리가 해봤던 형태로 바꿔보죠. 어떻게요? 양변을 x²의 계수인 2로 나눠주는 거죠.

이 되겠네요. 나머지는 위와 모두 같아요.

함께보면 좋은 글

제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식이 중근을 가질 조건

이차방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있어요. 앞에서는 인수분해를 이용해서 이차방정식을 풀었는데, 이번에는 다른 방법 이용해서 풀어보죠.

바로 제곱근을 이용하는 방법인데요.제곱근이 뭐죠?

위처럼 되어 있을 때 x를 a의 제곱근이라고 하죠.

제곱근을 구하는 것처럼 이차방정식에서도 좌변을 제곱, 우변을 상수항으로 모양을 바꿔서 미지수의 값을 구할 수 있어요.

a(x + p)² = k    (a, k는 상수, k ≠ 0)

x² - 4 = 0

상수인 4를 우변으로 이항해보세요. x² = 4가 돼요. 제곱근을 구할 때 많이 봤던 형태네요. x가 얼마인가요? x = ±2입니다.

제곱근의 성질을 이용해서 이차방정식을 풀었어요. 어렵지 않죠?

(x + 3)² - 16 = 0

마찬가지로 상수인 16를 우변으로 이항해보세요. (x + 3)² = 16가 됐어요.

제곱근의 성질을 이용하면 x + 3 = ± 4가 돼요. 식이 두 개가 나오네요. x + 3 = 4, x + 3 = -4라는 식에서 각각 x의 값을 구할 수 있어요.

3(2 x + 5)² - 75 = 0

이번에는 제곱된 식 앞에 3이 곱해져 있군요. 상수인 75를 이항한 후 양변을 3으로 나눠주면 돼요.

3(2x + 5)² = 75
(2x + 5)² = 25
2x + 5 = ±5

함께 보면 좋은 글

이차방정식이란, 이차방정식의 뜻
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식이 중근을 가질 조건
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식

이차방정식의 해가 하나일 때, 이 해를 중근이라고 해요. 사실 해는 두 개인데, 이 두개가 중복되기 때문에 중근이라고 하는 겁니다.

해가 하나만 있다고 해서 중근이라고 하면 안되요. 예를 들어 x = 2, x = -5라는 해가 나왔는데, 문제에서 x > 0 이라는 조건이 주어져서 x = 2라는 해만 답이 될 때는 중근이라고 하지 않아요. x는 중복되는 게 아니니까요.

이차방정식이 중근을 가지는 지 확인하는 방법은 두 가지가 있는데, 이 글에서는 먼저 한가지만 알아볼꺼에요. 다른 한 가지는 판별식을 이용하는데 나중에 보도록 하죠.

이차방정식이 중근을 가질 조건

이차방정식이 중근을 가지려면 AB = 0 에서 살펴봤듯이 A² = 0이라는 완전제곱식 형태가 되어야 해요. 이렇게 됐을 때 다항식 A = 0 이 되어서 똑같은 근이 두 개 생기잖아요.

이차방정식의 해가 중근 = 완전제곱식

전개의 반대과정이 인수분해니까 인수분해해서 완전제곱식이 되는 건 거꾸로 완전제곱식을 전개해서 이차방정식과 비교해도 되겠죠?

이차항의 계수가 1일 때

완전제곱식 (x + a)²을 전개해보면 x² + 2ax + a²가 돼요.

여기서 x의 일차항의 계수와 상수항을 비교해 볼께요. 어떤 관계가 있나요?

를 찾으셨나요? 즉, 일차항의 계수를 2로 나누어서 제곱하면 상수항이 나오는 관계죠.

x² + □x + 9 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?

일차항의 계수인 □의 절반의 제곱이 상수항인 9와 같아야하니까 아래처럼 풀 수 있어요.

따라서 □는 6 또는 -6이 되네요.

일차항의 계수는 ± 값 2개가 있다는 점 주의하세요.

x² - 10x + △ = 0가 중근을 가질 때 △의 값은?

일차항과 상수항의 관계를 이용해서 중근을 가질 때 계수들을 구할 수 있겠죠.

이차항의 계수가 1이 아닐 때

위 경우에는 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때에 사용하는 방법이고요. 만약에 이차항의 계수가 1이 아니라면 양변을 이차항의 계수로 나눈 다음에(이차항의 계수를 1로 만든 다음) 같은 방법으로 하면 되겠지요.

아니면 아래 방법으로 구해도 되고요.

3x² + □x + 75 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?

함께 보면 좋은 글

이차방정식이란, 이차방정식의 뜻
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기