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에라토스테네스라는 사람은 그리스 사람인데, 지구의 둘레를 계산하기도 한 과학자이자 소수를 찾는 방법을 생각해낸 수학자이기도 해요. 지구 둘레 계산한 것도 나중에 과학 시간에 공부할 거예요.

에라토스테네스가 소수를 찾은 방법을 에라토스테네스의 체라고 해요. 체는 물건을 걸러낼 때 쓰죠? 이 체를 통해서 소수를 걸러내는 거예요.

에라토스테네스의 체를 이용해서 소수를 찾는 방법에 대해서 알아보죠.

에라토스테네스의 체

에라토스테네스의 체는 소수를 찾는 방법이니까 먼저 소수가 뭔지는 알아야 해요. 소수와 합성수에서 소수가 어떤 수인지 공부했어요.

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

에라토스테네스의 체는 소수를 하나 찾고, 그 배수를 지워서 소수를 찾아내는 방법이에요. 어떤 소수의 배수는 최소한 1과 소수, 자기 자신의 3개를 약수로 가지니까 합성수잖아요.

에라토스테네스의 체는 아래 순서대로 해요.

1. 숫자를 차례대로 쓴다.
2. 1은 소수가 아니므로 지운다.
3. 2는 두고 2의 배수는 모두 지운다.
4. 남은 숫자 중 가장 작은 수인 3은 두고 3의 배수는 모두 지운다.
5. 4는 2의 배수로 지웠으니 통과
6. 남은 숫자 중 가장 작은 5는 두고 5의 배수는 모두 지운다.
7. 6, 7, 8…… 도 반복 ……
8. 남은 수는 소수, 지운 수는 합성수, 1은 그냥 1

에라토스테네스의 체를 이용하여 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수를 찾아라.

위의 방법대로 해보죠.

첫 번째 그림에서는 소수가 아닌 1을 지웠어요.

두 번째 그림에서는 2에 동그라미를 치고, 2의 배수는 지웠어요.

세 번째 그림에서는 3에 동그라미를 치고, 3의 배수는 지웠고요.

네 번째 그림에서는 5에 동그라미를 치고, 5의 배수는 지웠고요.

다섯 번째 그림은 6, 7, 8……을 계속 같은 방법으로 반복한 결과에요.

동그라미 쳐진 숫자가 소수니까 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29네요.

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일차방정식의 풀이에서 일차방정식의 해를 구하는 기본적인 방법을 알아봤어요. 이 글에서는 조금 더 복잡한 일차방정식의 풀이를 해볼 거예요. 방법은 똑같은데, 식이 조금 더 어렵게 나와요.

식이 복잡하고 어렵다고 해도 이항과 등식의 성질을 이용한 풀이라는 기본 원리는 똑같아요. 복잡한 식을 가능한 한 쉬운 식으로 모양을 바꾸면 다음에 우리가 알고 있는 방법으로 풀 수 있어요.

따라서 이 글에서는 공부할 내용은 복잡한 일차방정식을 덜 복잡한 일차방정식으로 바꾸는 방법이에요.

복잡한 일차방정식의 풀이

괄호가 있을 때

유리수의 사칙연산 혼합계산에서 거듭제곱과 괄호를 먼저 계산해야 한다고 했었죠? 괄호가 있는 일차방정식에서도 마찬가지로 괄호를 먼저 계산해야 해요. 거듭제곱은 안 나오니까 제외하고요. 괄호는 대부분이 분배법칙으로 풀어야 하는 경우에요. 분배법칙으로 괄호 푸는 법 알고 있죠?

2(4x + 2) = 6x + 2
8x + 4 = 6x + 2            분배법칙으로 괄호 풀기
8x - 6x = +2 - 4            x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
2x = -2                         계산
x = -1                           x의 계수로 양변 나누기

계수가 분수일 때

계수가 분수면 계산하기가 복잡하죠. 대신 계수를 정수로 바꿔서 계산하면 계산이 편해져요. 계수를 정수로 바꾸려면 분수의 분모를 없애줘야 하는데, 분모의 최소공배수를 이용해요. 모든 분모의 최소공배수를 방정식의 양변에 곱해서 분모와 최소공배수를 약분시켜 정수로 바꿔주는 거죠.

계수가 소수일 때

계수가 소수일 때도 분수일 때처럼 계수를 정수로 바꿔서 해요. 대신 이때는 10, 100, 1000, … 등 10의 거듭제곱을 곱해요. 계수가 0.1이면 10을, 계수가 0.01이면 100을 곱하고, 여러 소수가 섞여 있을 때는 소수점 이하 자리가 가장 많은 계수를 기준으로 10의 거듭제곱을 곱해요.

0.2x - 0.14 = 0.5x + 0.16
100(0.2x - 0.14) = 100(0.5x + 0.16)    상수항이 소수점이하 두 자리이므로 양변에 100을 곱.
20x - 14 = 50x + 16                            분배법칙으로 괄호 풀기
20x - 50x = 16 + 14                             x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
-30x = 30                                             동류항 계산
x = -1                                                   x의 계수로 양변을 나눔

비례식일 때

방정식이 비례식으로 나왔을 때는 (내항의 곱) = (외항의 곱)이라는 비례식의 성질을 이용해요. 내항의 곱과 외항의 곱을 이용하면 일반적으로 볼 수 있는 방정식으로 모양이 바뀝니다.

(x - 1) : 2 = (2x + 1) : 3
3(x - 1) = 2(2x + 1)          (내항의 곱) = (외항의 곱)으로 변형
3x - 3 = 4x + 2                 분배법칙을 이용하여 괄호 전개
3x - 4x = 2 + 3                 x는 좌변, 상수항은 우변으로 이항
-x = 5                              동류항 계산
x = -5                               x의 계수로 양변을 나눠줌

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정수를 다 공부했어요.

이제 또 새로운 수를 배울 거예요. 유리수라는 건데, 중학교 1, 2학년 수학에서 수라고 말하면 대부분 유리수를 말하는 거예요. 그러니까 이 글을 집중해서 보세요.

이 유리수는 정수의 연장선이라고 생각하면 돼요. 따라서 유리수라는 수의 개념만 잘 이해하면 나머지는 비교적 쉬워요. 정수의 연장선인 만큼 그 성질, 사칙연산과 연산에서 성립하는 법칙 등이 정수와 같아요.

유리수를 분류하는 여러 가지 방법도 알아볼 거예요.

유리수의 뜻

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요. 분수에서 분자와 분모는 정수면 되고요. 꼭 자연수일 필요는 없어요. 단 분모는 0이면 안 돼요. 분모가 0인 분수는 없으니까요.

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수에요. 수의 모양을 분수꼴로 바꿀 수 있으면 다 유리수인 거죠. 유리수와 분수를 같은 것으로 착각하는 데 절대로 그러면 안 돼요. 유리수 ≠ 분수

정수나 소수도 얼마든지 분수 모양으로 바꿀 수 있어요.

유리수는 정수, 분수, 소수 등 이제까지 우리가 봐왔던 모든 수를 통틀어 놓은 거예요. 그러니까 완전히 새로 배우는 수는 아니에요.

정수에 양의 정수, 0, 음의 정수가 있는 것처럼 유리수도 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 되어 있어요.

양의 정수는 (+) 부호를 생략해서 쓰는 것처럼 양의 유리수도 (+) 부호를 생략해서 쓸 수 있어요. 음의 유리수의 (-) 부호는 생략할 수 없고요.

유리수의 분류

위에서는 부호에 따라서 유리수를 나눴죠? 다른 방법으로 구분하기도 하는데요.

유리수의 대표적인 수가 바로 정수잖아요. 정수와 정수가 아닌 유리수로 나누는 거예요. 정수가 아닌 유리수에는 분수, 소수 이런 것들이 포함돼요.

아래 그림을 잘 기억하세요.

는 약분을 하면 2가 되죠? 생긴 모양은 정수가 아니라 분수라서 정수가 아닌 유리수라고 생각하기 쉽지만, 약분을 하면 2가 되기 때문에 는 정수라고 해야 해요. 분수로 되어 있는 경우라도 꼭 약분을 해서 기약분수로 만든 다음에 판단해야 합니다.

다음 수를 정수와 정수 아닌 유리수로 구분하여라.

는 약분을 하면 -3이에요. 음의 정수죠. 나머지는 보면 금방 알 수 있네요.

정수: +1, 0,
정수 아닌 유리수:

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소인수분해는 이름 그대로 어떤 자연수를 소인수로 분해하는 거예요. 소인수분해를 이용하면 약수를 구하기도 쉽고, 약수의 개수를 구하기도 아주 쉬워요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하기도 쉽고요.

이 글에서는 소인수가 뭔지 어떻게 소인수로 나누는지 알아볼 거예요. 나눗셈을 응용해서 소인수분해를 하는데, 일반적인 나눗셈과 살짝 달라요. 오히려 더 쉬울 수도 있어요.

이 글에서 나오는 수는 모두 자연수예요.

소인수분해

약수와 인수, 소인수

나눗셈은 이렇게 표현할 수 있죠?

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지)

여기서 나머지가 0일 때 (나누는 수)를 (나눠지는 수)의 약수라고 해요.

12 ÷ 1 = 12,   12 ÷ 12 = 1
12 ÷ 2 = 6,   12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 3 = 4,   12 ÷ 4 = 3

12를 1이나 12로 나누면 나머지가 0이잖아요. 그래서 1과 12는 12의 약수예요. 2, 3, 4, 6도 마찬가지고요.

인수는 어떤 수나 식을 곱하기만으로 표현했을 때 곱해지는 각각의 것들을 말해요.

1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12

12는 1과 12의 곱으로 표현할 수 있죠? 다른 거 없이 곱하기만 했잖아요. 이때, 1과 12가 12의 인수예요. 2, 3, 4, 6도 12의 인수고요.

그러니까 약수는 나눗셈을, 인수는 곱셈을 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12고 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12죠? 약수와 인수는 의미는 다르지만 실제 값을 구해보면 같다는 걸 알 수 있어요

인수 중에서 소수인 것들을 소인수라고 해요. 소수인 인수죠. 12의 인수 중 소수는 2, 3이니까 소인수는 2, 3이에요.

다음 수의 인수 중 소인수를 모두 구하여라.
(1) 10       (2) 25

(1) 10의 인수 1, 2, 5, 10에서 소수는 2, 5이므로 소인수는 2, 5

(2) 5의 인수 1, 5, 25 에서 소수는 5뿐이므로 소인수는 5

소인수분해

소인수분해는 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 걸 말해요. 그렇다고 해서 12의 소인수는 2, 3이니까 2 × 3 이렇게 쓰면 안 돼요.

소인수분해는 합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 바꾸면 돼요

60을 소인수분해보죠.

60 = 2 × 30
    = 2 × 2 × 15            (∵ 30 = 2 × 15)
    = 2 × 2 × 3 × 5        (∵ 15 = 3 × 5)
    = 22 × 3 × 5            (∵ 2가 두 번 곱해져 있으므로 거듭제곱으로)

1. 60은 2 × 30으로 나타낼 수 있죠?
2. 소수인 2는 그대로 두고, 합성수 30을 2 × 15로 나타냈어요.
3. 소수들의 곱인 2 × 2는 그대로 두고, 합성수 15를 3 × 5로 나타냈어요.
4. 합성수가 없어서 소인수분해가 끝났는데, 2가 2번 곱해져있어서 거듭제곱으로 나타냈어요.

아래 그림처럼 할 수도 있어요.

곱하기가 아닌 나누기를 이용하는 방법도 있어요. 합성수를 몫이 소수가 나올 때까지 계속 소수로 나누는 거지요.

1. 합성수 60을 가장 작은 소수 2로 나눠요.
2. 몫 30은 합성수니까 또 소수 2로 나눠요.
3. 몫 15는 합성수지만 2로 나누어지지 않아서 다음으로 큰 소수인 3으로 나눠요.
4. 15를 3으로 나눴더니 몫이 5가 나왔죠? 5는 소수이므로 여기서 끝

왼쪽에 있는 세 수 2, 2, 3과 마지막 나온 몫 5가 모두 소인수예요

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

어떤 방법으로 해도 결과는 같아요.

81로 한 번 더 해보죠.

81 = 3 × 27
    = 3 × 3 × 9
    = 3 × 3 × 3 × 3
    = 3⁴

소인수분해 하는 법
합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 나타낸다.
몫이 소수가 나올 때까지 계속해서 소수로 나눈다.

다음을 소인수분해하여라.
(1) 135       (2) 36

(1)은 아래처럼 나와요.

135 = 3 × 45
   = 3 × 3 × 15
   = 3 × 3 × 3 × 5
   = 3³ × 5

윗쪽에서는 3을 먼저, 아랫쪽에서는 5를 먼저 계산했지만, 3과 5 모두 소수라서 어떤 걸 먼저 계산해도 상관없어요.

135 = 3³ × 5

(2) 36은 한 번 해보죠.

36 = 2 × 18
  = 2 × 2 × 9
  = 2 × 2 × 3 × 3
  = 2² × 3²

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지금까지 우리가 알고 있는 수는 1, 2, 3, 4 같은 자연수, ½, ¼같은 분수, 0.1, 0.01 같은 소수예요.

이 글에서는 새로운 수의 개념을 공부할 거예요. 위 세 가지 수가 아닌 다른 수를 공부하는 게 아니고, 짝수와 홀수처럼 자연수를 어떤 특징에 의해서 구별하는 거예요.

뒤에 이어질 내용에서 사용할 수와 단어의 개념이니까 잘 이해하고 있어야 해요. 이 글에서 설명하는 단어의 뜻을 모르면 다음 단원으로 넘어갈 수 없어요.

소수와 합성수가 뭔지 알아보죠.

소수와 합성수

소수가 뭐죠? 1의 자리보다 작은 자릿수를 가진 수들 예를 들면 0.1, 0.01처럼 소수점이 있는 수를 소수라고 하죠? 여기서 공부하는 소수는 다른 소수예요.

여기서 다루는 소수와 합성수는 모두 자연수예요. 분수나 우리가 기존에 알고 있는 소수는 다루지 않아요. 문제나 설명에서 따로 얘기하지 않더라도 모두 자연수입니다.

소수

1은 약수가 몇 개 있나요? 1은 약수가 1 하나밖에 없어요.
2는 1, 2
3은 1, 3
4는 1, 2, 4
5는 1, 5
6은 1, 2, 3, 6

2, 3, 5처럼 약수가 1과 자기 자신만 있는 자연수를 소수라고 해요. 약수가 1하고 자기 자신 밖에 없으니 약수의 개수가 2개죠? 그래서 소수를 약수가 2개밖에 없는 자연수라고 말하기도 해요. 또는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수라고도 하고요. 표현은 다르지만 결국 다 같은 얘기예요.

2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수예요. 2가 아닌 짝수는 적어도 1과 2, 자기 자신은 무조건 약수로 갖으니까 소수가 될 수 없어요. 2를 제외한 소수가 모두 홀수라고 해서 모든 홀수가 다 소수인 건 아니에요. 9는 홀수지만 1, 3, 9라는 세 약수를 갖고 있어서 소수가 아니에요.

• 2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수 → ○
• 모든 홀수는 소수 → ×

소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … 등이 있어요.

합성수

합성수는 약수의 개수가 3개 이상인 자연수예요. 4는 약수가 1, 2, 4로 세 개고요, 6은 1, 2, 3, 6으로 네 개예요. 두 수는 약수의 개수가 3개 이상이니까 합성수죠.

합성수를 다른 말로 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수라고도 해요. 1은 약수가 1개고, 소수는 약수가 2개니까 결국 약수가 1, 2개가 아닌 수라는 뜻이죠.

2가 아닌 모든 짝수도 합성수예요. 짝수는 최소한 1, 2, 자기 자신의 세 수를 약수로 갖거든요. 홀수는 숫자마다 다르고요.

합성수는 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, … 등이 있어요.

그러면 1은 뭘까요? 약수의 개수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수인데, 1은 약수의 개수가 1개잖아요. 그래서 1은 소수도 아니고 합성수도 아니에요. 그냥 1이에요.

자연수를 종류별로 나눈다면 1, 소수, 합성수의 세 가지로 나눌 수 있겠죠?

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

다음 수를 소수와 합성수로 나누어라.
1, 2, 9, 11, 24, 36, 40, 57, 63, 71

소수와 합성수를 구분할 때는 약수의 개수를 세면 돼요. 약수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수니까요. 대신 약수를 모두 구할 필요는 없어요. 3개까지만 구하고 그 이상은 구하지 않아도 돼요. 또 2보다 큰 짝수는 약수의 개수를 구할 필요도 없이 무조건 합성수예요.

1은 약수의 개수가 1개라서 소수도 아니고 합성수도 아니에요.
2는 약수가 1, 2로 두 개뿐이니까 소수고요.
9는 약수가 1, 3, 9로 세 개여서 합성수네요.
11은 약수가 1, 11로 2개여서 소수네요.
24, 36, 40은 2보다 큰 짝수니까 약수의 개수를 구할 필요없이 합성수고요.
57은 1, 57, 3, 19로 약수의 개수가 4개여서 합성수예요.
63은 1, 63, 7, 9, … 약수를 벌써 네 개나 찾았어요. 약수를 더 찾을 필요없이 합성수네요.
71은 1, 71뿐이라서 소수고요.

1
소수: 2, 11, 71
합성수: 9, 24, 36, 40, 57, 63

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이차방정식을 풀기 위해서는 이차방정식의 기본형인 ax² + bx + c = 0꼴로 바꿔주는 것이 좋아요. 기본형으로 바꾼다음 인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하고 인수분해가 되지 않는다면 근의 공식으로 푸세요.

이번 글에서는 복잡한 이차방정식의 풀이에 대해서 알아볼 거예요. 복잡한 식이라는 거 많이 해봤잖아요. 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이, 복잡한 부등식, 복잡한 인수분해.. 모두 원리는 하나에요.

복잡한 건 복잡하지 않게 계산하기 쉽게 바꾸면 된다. 복잡한 이차방정식은 복잡하지 않게 바꾼 다음에 인수분해 or 근의 공식 입니다.

복잡한 이차방정식 푸는 법

괄호가 있을 때

괄호가 있으면 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 계산을 해야해요. 괄호를 전개하지 않거나 동류항 계산을 다 끝내야 일반형으로 바꿀 수 있어요.

x(1 - x) = (x + 2)(x - 3)

괄호가 있으니까 전개해서 동류항 계산을 하세요. 물론 기본형으로 바꾸는 작업까지요.

x - x² = x² - x - 6
2x² - 2x - 6 = 0
x² - x - 3 = 0

일반형으로 바꿨더니 위처럼 됐어요. 근데 인수분해가 안되니까 근의 공식을 써야겠죠.

계수가 소수일 때

계수가 소수이면 계산이 복잡합니다. 그래서 계수를 정수로 바꿔줘야해요. 정수로 바꿀려면 10의 제곱인 수 즉, 10, 100, 1000을 식에 곱해줍니다. 계수를 정수로 바꾼 다음에 인수분해나 근의 공식을 이용하세요.

0.3x² - x + 0.1 = 0

계수가 소수 첫째자리까지 있으니까 10을 곱해줘야 겠네요.

3x² - 10x + 1 = 0

인수분해가 안되네요. 근의 공식을 써야하는데 x의 계수가 짝수니까 짝수 공식을 써볼까요?

계수가 분수일 때

계수가 분수일 때에도 역시 계수를 정수로 바꿔줘야 해요. 정수로 바꾸려면 각 계수의 분모의 최소공배수를 식에 곱해주면 돼요.

계수가 분수이고, 각 계수의 분모인 5, 2, 10의 최소공배수가 10이니까 식에 10을 곱해줄께요.

2x² + 5x - 3 = 0
(x + 3)(2x - 1) = 0
x = -3 or x = 

공통인 식이 있을 때

공통인 식이 있을 때는 다른 문자로 치환을 해요. 치환하는 거 인수분해할 때 연습 많이 해봤죠? 식에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶여져 있는 부분을 치환합니다.

일단 식을 치환하는 경우에는 대부분 인수분해가 돼요. 인수분해가 되면 치환했던 걸 다시 원래 식으로 바꿔주고 그 다음에 해를 구할 수 있어요.

(x - 1)² + 6(x - 1) - 27 = 0

x - 1이라는 부분이 있으니까 이 걸 A라는 문자로 치환해볼께요.

A² + 6A - 27 = 0라는 식이 돼요. 이 식은 A에 관한 이차방정식입니다. 따라서 인수분해나 근의 공식으로 A 값을 구할 수 있겠죠. 인수분해가 되는 군요. A를 구해볼까요?

(A + 9)(A - 3) = 0
A = -9 or A = 3

A를 구했어요. 하지만 문제에서 구하는 건 A가 아니라 x 라는 걸 명심하세요. 원래 A = x - 1였으니까 x를 구해보죠.

x - 1이라는 식을 A라는 문자로 치환한 후에 다시 원래 식으로 되돌아와서 x를 구할 수 있었어요.

괄호가 있으니까 괄호를 전개해서 계산해도 되지만 전개하지 않고 치환하는 게 훨씬 쉬워요.

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