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삼각형의 넓이를 했으니까 사각형의 넓이 공식을 알아보죠.

사각형 중에서도 평행사변형과 대각선의 길이와 그 교각을 알려준 사각형의 넓이를 구하는 거예요. 공식이 있는데 새로운 공식을 공부하는 게 아니고 기존에 알고 있던 공식을 다룰 거예요. 특히, 중학교에서 공부했던 공식을 더 간단히 하는 거니까 어렵지 않아요.

공식을 간단히 하는 과정도 아주 간단해요. 공식의 유도는 중학교 때 이미 여기서는 어떻게 공식을 간단히 하는지 정말 간단히 알아보고 넘어가죠.

평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이

중학교 때 공부했던 삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이와 고등학교에서 공부한 삼각형의 넓이 공식의 차이가 뭐였나요?

두 변의 길이가 a, b이고 끼인각이 θ인 △ABC의 넓이를 구할 때, 중학교에서는 θ의 크기에 따라 구하는 공식이 달랐어요.

고등학교에서는 θ < 90°일 때의 공식 하나만 있으면 θ의 크기와 상관없이 삼각형의 넓이를 구할 수 있었죠.

평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이도 똑같아요.

두 변의 길이와 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이를 구하는 공식이에요.

두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이 공식이에요.

이 공식이 만들어지는 과정은 사각형의 넓이 공식 - 삼각비의 활용에 나와 있으니까 참고하세요.

앞으로는 θ의 크기와 상관없이 θ < 90°일 때의 공식만 알고 있으면 평행사변형과 사각형의 넓이를 구할 수 있어요.

θ의 크기와 왜 상관이 없는지만 알면 되겠죠? 이유는 간단해요. 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 sin(π - θ) = sinθ였잖아요.

absin(180° - θ) = absinθ

θ의 크기에 따라 공식에서 달라지는 건 sinθ와 sin(180° - θ)인데 이 둘이 같으니까 결국 공식 자체가 같아지는 거예요.

새로운 공식도 아니고 기존에 알고 있던 공식의 개수를 두 개에서 한 개로 줄였으니 조금 더 편해지겠죠?

• 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각이 θ인 삼각형의 넓이
  
• 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 θ인 평행사변형의 넓이
  
• 두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 θ인 사각형의 넓이
  

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삼각형의 넓이 공식에서는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 공식, 증명을 해봤어요. 이번에는 조금 다른 경우에 삼각형의 넓이를 구하는 방법인 헤론의 공식에 대해서 알아볼 거예요.

헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요. 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 공식을 이용합니다. 문제는 각의 크기를 모르니까 이를 알아내는 과정이 필요한데 이게 좀 복잡해요.

그래서 이 과정을 생략할 수 있게 나온 공식이 헤론의 공식입니다. 여기서는 헤론의 공식을 유도해보고 공식이 왜 좋은지 문제를 통해서 알아보죠.

헤론의 공식

세 변의 길이만 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 아래 과정을 거쳐야 해요.

1. 제2 코사인법칙을 이용하여 한 각의 cos을 구함
2. ①과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 sin을 구함
3. ②를 이용하여 넓이를 구함

①, ② 과정이 매우 복잡해요. 그래서 헤론이라는 사람이 공식으로 유도해 놓은 게 있는데 그걸 헤론의 공식이라고 해요.

이 공식을 유도하기에 앞서 전에 공부했던 두 가지 공식의 모양을 조금 바꿔놓고 시작하죠.

첫 번째는 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sinθ와 cosθ의 관계에요.

다음은 제2 코사인법칙의 모양을 바꿔보죠.

이제 헤론의 공식을 유도해보죠. 앞에 1, 2, 3은 줄번호예요.

1. 삼각함수 사이의 관계 변형
2. 우변 인수분해
3.  대입
4. 괄호 안 통분
5. 분자의 앞 세항을 인수분해
6. 인수분해
7. 우변 곱
8. 양변에 제곱근. 0° < C < 180°이므로 sinC > 0

근호 안이 굉장히 복잡하죠? 여기를 간단히 해보죠. a + b + c = 2s라고 치환해볼까요?

a + b + c = 2s
a + b - c = (a + b + c) - 2c = 2s - 2c = 2(s - c)
a - b + c = (a + b + c) - 2b = 2s - 2b = 2(s - b)
-a + b + c = (a + b + c) - 2a = 2s - 2a = 2(s - a)

이제 이걸 근호 안에 대입해요.

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

되게 복잡한 과정을 거쳤더니 공식이 하나 유도되었네요.

헤론의 공식
△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때

세 변의 길이가 4, 5, 6인 삼각형의 넓이를 구하여라.

a = 4, b = 5, c = 6이라고 해보죠.

제2 코사인법칙에서
c² = a² + b² - 2abcosC
6² = 4² + 5² - 2 × 4 × 5 × cosC
36 = 16 + 25 - 40cosC
40cosC = 5
cosC =

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

정말 복잡하죠? 헤론의 공식에 넣어서 바로 구해보죠.

공식을 이용하니까 훨씬 쉽게 삼각형의 넓이를 구했네요.

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삼각형의 넓이는중3 때 삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이에서 그 공식을 유도도 해봤고 문제도 풀어봤어요. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구했었죠. 다만 그 끼인각의 크기가 예각/직각일 때의 공식과 둔각일 때의 공식이 서로 달라서 두 가지를 다 외워야 했었죠.

삼각비를 이용해서 공식을 유도했는데 그때는 0° ~ 90°만 공부해서 둔각일 때는 예각으로 바꾸는 과정이 필요해서 둘로 나눴던 거예요. 이제는 일반각도 공부했으니 각의 크기를 제한할 필요가 없어요. 조금 더 세련된(?) 방법으로 삼각형의 넓이 공식을 외워보죠.

삼각형의 넓이 공식 유도

삼각형의 한 각을 기준으로 하고 기준각의 크기를 예각, 직각, 둔각으로 바꿔가면서 삼각형의 넓이 공식을 유도할 거예요. 사인법칙, 코사인법칙을 유도할 때도 다 같은 방법을 이용했었죠?

△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

삼각형의 넓이 공식 유도 - 예각일 때

첫 번째 c가 예각일 때에요.

A에서 에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

 = a

△ACH에서

삼각형의 넓이 공식 유도 - 직각일 때

이번에는 C가 직각일 때에요.

C가 직각이면 따로 보조선을 그을 필요가 없어요.

 = a

sinC = sin90° = 1

삼각형의 넓이 공식 유도 - 둔각일 때

C가 둔각일 때에요.

 = a

△ACH에서

세 경우를 통해서 C의 크기와 상관없이 가 성립하는 걸 알 수 있어요. C가 아니라 A, B의 각을 바꿔가면서 같은 방법으로 증명하면 다음과 같은 삼각형의 넓이 공식을 얻을 수 있어요.

△ABC에서 세 각의 대변을 a, b, c, 넓이를 S라고 하면

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알면 삼각형의 넓이를 구할 수 있어요. 끼인각이 예각이든 직각이든 둔각이든 상관없이 공식 하나로 모든 걸 다 해결할 수 있어요. 중학교에서 했던 것보다 훨씬 간단해졌지요.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 삼각형의 넓이는 에요.

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내접원은 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질에서 공부했어요. 여기서는 내접원의 성질이나 내심과 관련된 내용이 중요한 건 아니니까 내심이 잘 기억나지 않는다고 해서 겁내지 마세요. 이 글에서 필요한 건 내접원은 그냥 삼각형의 안쪽에 접한다는 것과 내심에서 각 변에 이르는 거리가 같다는 정도니까요.

하지만 삼각형의 외심과 내심은 아주 중요한 내용이니까 나중에라도 꼭 확인하고 이해할 수 있도록 하세요.

삼각형의 내접원과 접선의 길이를 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 알아보죠.

삼각형의 내접원

삼각형의 내접원을 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 넓이를 구할 수 있어요.

삼각형의 둘레의 길이 = a + b + c = 2(x + y + z)

삼각형 세 변의 길이가 a, b, c라면 둘레의 길이는 a + b + c에요.

원의 접선의 길이에서 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다고 했죠? 위 그림에서는 삼각형의 각 꼭짓점이 원 밖의 한 점에 해당해요. 각 꼭짓점에서 원에 접선을 그었을 때 접점이 바로 점 D, 점 E, 점 F가 되는 거죠.

접선의 길이를 각각 x, y, z라고 했을 때
a = y + z
b = z + x
c = x + y
a + b + c = 2(x + y + z)입니다.

삼각형의 넓이 = r(a + b + c)

원의 중심 O에서 세 꼭짓점으로 선을 그으면 세 개의 삼각형으로 나뉘어요. △OAB, △OBC, △OCA

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA

각각의 삼각형 넓이는 각 변을 밑변으로 하고, 내접원의 반지름을 높이로 하면 구할 수 있죠? 원의 중심에서 접점에 내린 반지름은 각 변에 수직이니까요. (원의 접선의 성질)

△OAB = cr

△OBC = ar

△OCA = br

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
        = cr + ar + br

        = r(a + b + c)

다음 그림에서 △ABC는 ∠B = 90°인 직각삼각형이고, 원 O는 △ABC의 내접원, 각 변의 접점이 D, E, F일 때 물음에 답하여라.
(1) 의 길이를 구하여라.
(2) 원의 넓이를 구하여라.

(1)  = x라고 해보죠. 원 밖의 한 점에서 내린 두 접선의 길이는 같기 때문에, 꼭짓점과 접점 사이의 거리는 아래처럼 표현할 수 있어요.

빗변 = (12 - x) + (9 - x) = 15
2x = 6
x = 3(cm)

(2) □ODBE를 보세요(원의 중심이 O입니다.) 이 사각형은 이웃한 두 각의 크기의 합이 180° (∠DBE + ∠OEB)이므로 평행사변형이에요. 평행사변형은 대변의 길이가 같으니까 x = 3cm이면 대변인 반지름 r = 3cm가 되지요.

사실 이 □ODBE는 정사각형이에요. 자세한 건 사각형의 정의와 성질, 조건를 참고하세요.

내접원의 반지름의 길이가 3cm이니까 넓이는 πr² = 9π(cm²)

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사각형이 끝나고 이제는 다시 삼각형으로 돌아왔어요.

이 글에서는 삼각형의 넓이와 관련된 두 가지를 배울 거예요. 하나는 두 평행선 사이에 그려진 삼각형의 넓이이고, 다른 하나는 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비예요.

삼각형의 넓이 구하는 공식 모르는 사람은 없겠죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

이 공식을 기본으로 해서 삼각형의 넓이에 관한 내용을 시작해보죠.

평행선과 삼각형의 넓이

평행한 직선 l과 m이 있어요. 직선 m위의 두 점 B, C와 l위의 한 점 A를 꼭짓점으로 하는 △ABC가 있어요. 또 직선 l위의 한 점 D와 점 B, C를 꼭짓점으로 하는 △DBC가 있어요.

△ABC의 높이는 점 A와 직선 m사이의 거리지요? h에요. △ABC의 넓이 = ½ × a × h

△DBC의 높이는 점 D와 직선 m사이의 거리로 역시 h에요. △DBC의 넓이 = ½ × a × h

두 삼각형의 밑변은 공통이니까 그렇다고 치더라도 높이도 같아요. 밑변과 평행인 선 위의 점으로 이루어진 삼각형은 그 모양이 달라도 넓이가 같다는 점을 알 수 있지요.

혹시라도 모양이 이상해서 넓이를 모르겠다면 밑변과 평행한 선을 찾아서 그 선 위의 임의의 점과 삼각형을 만들어 넓이를 구하면 되지요.

다음 그림에서 평행사변형 ABCD의 넓이가 40cm²일 때 △EBC의 넓이를 구하여라.

△EBC의 넓이를 구하려면 밑변과 높이를 알아야 하는데 그림에서는 주어져 있지 않아요. 따라서 △EBC와 넓이가 같은 다른 삼각형을 찾아야 해요. 어떤 게 있나요? 삼각형의 밑변 와 가 평행이기 때문에  위에 점을 잡아서 삼각형을 그리면 △EBC와 넓이가 같아요. 점 A를 이용해보죠. (△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이)이므로 △ABC의 넓이를 구하면 되겠네요.

평행사변형과 넓이에서 평행사변형의 대각선으로 나눠지는 두 삼각형은 넓이가 같고, 전체 평행사변형 넓이의 절반이라는 걸 공부했어요. (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이)

(△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이) = ½ × 40 = 20(cm²)

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비

이번에는 높이가 같고 밑변의 길이가 다른 삼각형의 넓이의 비를 알아보죠.

위 그림에서 △ABD의 넓이는 ½mh이고, △ACD의 넓이는 ½nh에요.

두 삼각형의 넓이의 비는 ½mh : ½nh죠. 정리하면 m : n이에요.

넓이의 비가 밑변의 길이의 비와 같죠?

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 = 밑변의 길이의 비

아래 그림에서 점 D는 의 중점, , △ABC의 넓이가 50cm²일 때 △DBE의 넓이를 구하여라.

이 그림에 직각 표시가 되어 있는데 이건 그냥 함정이에요. 밑변과 높이를 이용해서 구할 수 있을 것처럼 보이게 하는 거죠.

삼각형의 밑변의 길이의 비가 나왔는데, 이걸 이용하려면 높이가 같아야 해요. 밑변의 길이의 비를 이용할 수 있는 높이가 같은 삼각형은 △ABE와 △ACE에요. 밑변의 길이의 비가 2 : 3이니까 넓이의 비도 2 : 3이에요. 이 두 삼각형의 넓이의 합이 50cm²이니까 이 넓이를 2 : 3으로 나누면 되겠죠.

(△ABE의 넓이) = (△ABC의 넓이) ×  = 50 ×  = 20(cm²)

가 밑변이 되도록 △ABE를 돌려보세요. △ABE는 △DBE와 △ADE라는 두 개의 삼각형으로 되어 있어요. 점 E에서 에 내린 수선이 △DBE와 △ADE의 높이죠. 높이가 같고 밑변의 길이의 비가 이므로 △DBE와 △ADE의 넓이의 비도 1 : 1이에요.

(△DBE의 넓이) = (△ABE의 넓이) × ½ = 20 × ½ = 10(cm²)

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이제는 삼각형의 높이를 가르쳐주지 않고, 세 변의 길이만 줘요. 그리고 넓이를 구하라고 하는 거죠. 넓이를 구하려면 높이를 알아야 하는데, 이때 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있어요.

세 변의 길이를 주는 가장 쉬운 삼각형은 정삼각형이죠? 피타고라스의 정리를 이용해서 정삼각형의 넓이 공식과 정삼각형의 높이 공식을 유도해보죠. 그리고 정삼각형이 아닌 그냥 삼각형에서 세 변의 길이를 줬을 때 넓이를 구하는 방법도요.

피타고라스의 정리를 이용하기 위해서는 선을 그어서 직각삼각형을 만드는 것이 가장 중요해요.

정삼각형 넓이 공식, 정삼각형 높이 공식

정삼각형은 세 변의 길이가 같고, 세 각의 크기도 60°로 같아요. 삼각형의 넓이를 알려면 우선 높이부터 구해야겠죠?

이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따르면 정삼각형의 각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하죠. 정삼각형의 한 각의 이등분선, 즉 밑변의 수직이등분선을 그으면 두 개의 직각삼각형이 생겨요.

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. 정삼각형 한 변의 길이를 a라고 하면, = a, 가 돼요.

피타고라스의 정리를 적용해보면

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이가 니까 정삼각형의 넓이는 가 됩니다.

한 변의 길이가 a인 정삼각형
정삼각형의 높이 =
정삼각형의 넓이 =

한 변의 길이가 3cm인 정삼각형의 높이와 넓이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 인데, a = 3cm이므로 (cm)입니다.

넓이는 앞에서 구한 높이를 이용해서 구해도 되고, 공식에 넣어서 구해도 되죠. (cm²)

삼각형의 높이와 넓이 구하기

일반적인 삼각형의 높이와 넓이도 정삼각형에서 구하는 것과 같은 방법으로 구해요. 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내려서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거지요.

삼각형 세 변의 길이를 a, b, c라고 해보죠.

점 A에서 수선의 발을 내리면 △ABH와 △ACH라는 두 직각삼각형이 생겨요.

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. = c이고,  라고 해보죠.

피타고라스의 정리를 적용해보면

이번에는 △ACH를 볼까요? = b이고,  이므로 에요.

피타고라스의 정리를 적용해보죠.

세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형의 높이 = 

이건 공식이 어렵죠? 그래서 공식으로 외우지 말고 구하는 과정을 익히세요. 삼각형의 한 꼭짓점에서 수선을 내리고, 두 개의 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거에요. 구한 높이를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 거지요.

삼각형의 높이와 넓이를 구하는 방법입니다. 순서를 잘 기억하세요.

1. 꼭짓점 A에서 변 BC에 수선을 내리고, 수선의 발을 H라고 한다.
2.  = x로 놓는다.
3. △ABH와 △ACH에서 피타고라스의 정리를 이용하여 의 식을 만든다
4. ③에서 만든 두 식을 이용하여 x의 값을 구한다.
5. x의 값으로 높이와 넓이를 구한다.

세 변의 길이가 13cm, 14cm, 15cm인 삼각형의 넓이를 구하여라.

△ABC에서 점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하고  = xcm라고 해보죠.

△ABH에서 15² = x² + h² → h² = 15² - x²

△ACH에서 13² = (14 - x)² + h² → h² = 13² - (14 - x)²

두 식에서 h²이 같으므로

15² - x² = 13² - (14 - x)²
15² - x² = 13² - x² + 28x - 14²
28x = 15² - 13² + 14²
28x = (15 + 13)(15 - 13) + 196
28x = 56 + 196
28x = 252
x = 9

x = 9 이므로 h² = 15² - x²에 대입하면
h² = 15² - 9² = 144
h = 12(cm)

따라서 삼각형의 넓이는 ½ × 14 × 12 = 84(cm²)가 되는군요.

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