수학방

중3 수학 마지막입니다. ㅎㅎ 지긋지긋한 수학 끝났다고 좋아할 수만은 없어요. 이제부터는 고등학생이니까요. 그냥 중학 수학 계속하는 게 나을지도……… 중3 수학 마지막은 비교적 쉬운 내용을 할거예요.

두 원에서 접선과 할선의 비례관계는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계의 내용을 재탕합니다. 하나의 원에서 사용하던 걸 두 원에서 사용하는 거지요. 원과 비례, 원과 비례 증명, 두 원에서 원과 비례에서 했던 것처럼요.

각각의 원에서 접선과 할선의 비례관계를 적용한 다음에 두 개를 하나로 합치는 과정만 거치면 돼요.

두 원에서 접선과 할선의 비례관계

절대 어렵지 않아요. 그림이 약간 달라졌을 뿐이에요.

두 개의 할선과 하나의 접선

두 원이 외접할 때에요. 이때는 공통접선은 하나고 할선이 두 개 있어요.

증명은 쉬워요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 좌변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 가 돼요.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

두 원이 접할 때 할선과 접선 사이에는 가 성립하므로 식에 대입하면
5 × (5 + 4) = 4 × x
4x = 45
x = (cm)

두 개의 접선과 하나의 할선

이번에는 두 원이 두 점에서 만날 때에요. 접선이 두 개고, 할선은 하나에요. 이때 두 접선의 길이는 같아요.

먼저 왼쪽의 작은 원의 접선과 할선만 볼게요. 여기서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 따라 가 성립해요.

오른쪽 큰 원의 접선과 할선을 보죠. 여기서도 가 성립하죠.

두 식의 우변이 같으므로 두 식을 하나로 합치면 이 되는데, 와 는 길이로 둘 다 양수니까 이 돼요.

다음 그림을 보고 의 길이를 구하여라.

길이가 나와 있으니까  = x로 정하고 접선과 할선의 비례관계를 이용해서 식을 세워서 구해야겠죠. 하지만 너무 복잡해져요. 훨씬 쉬운 방법이 있으니 그걸 이용해보자고요.

두 원에서 할선과 접선의 관계에 따라 에요. 이므로  = ½ × 10 = 5(cm)

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원의 할선과 접선, 접점에서 공부웠던 접선과 할선이 또 나와요. 물론 원의 접선의 길이를 구할 때도 했고요. 접선은 원과 한 점에서 만나는 직선이고, 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선이에요. 할선은 현을 연장한 선이기도 하지요.

이 글에서는 원의 접선과 할선 사이의 비례 관계에 대해서 알아볼 거예요. 할선과 접선이 한 점에서 만나서 교점이 생기면 교점과 접점, 현의 양 끝점 사이의 거리에 특별한 관계가 있거든요.

원과 비례와 아주 비슷하므로 원과 비례에 대해서 잘 이해하고 있으면 내용을 이해하기 쉬울 거예요.

할선과 접선의 성질

원 위의 한 점 T를 지나는 접선과 현 AB를 연장한 할선이 한 점 P에서 만날 때, 교점에서 접점까지의 거리의 제곱이 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

그림으로 외우세요.

왜 그런지 증명해보죠.

원 위의 접점 T와 현의 양 끝점 A, B를 선분으로 연결하면 삼각형이 세 개가 생겨요. △PAT, △ABT와 큰 삼각형 △PTB에요.

여기서는 △PAT와 큰 삼각형 △PTB 두 개를 볼게요.

∠APT는 공통이에요.
∠ATP = ∠TBP (접선과 현이 이루는 각 - 호 AT가 포함된 각과 호 AT에 대한 원주각)

두 각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △PAT ∽ △PTB

닮은 도형의 성질에서 닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같으므로 가 되죠.

정리하면 가 돼요.

증명이 조금 어렵다면 이렇게 생각해보세요.

원과 비례에서 였어요. 여기서 가 점점 아래로 내려가면 점 C와 점 D가 한 점 T에서 만나게 되겠죠? 가 되므로, 의 우변이 이 돼요.

다음 그림에서 가 원의 할선일 때, 원의 접선 의 길이를 구하여라.

할선과 접선의 교점에서 접점까지의 거리의 제곱은 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같아요.

x² = 5 × (5 + 5)
x² = 50
x = (cm)

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원과 비례 두 번째로 두 원에서 원과 비례에요. 앞서 원과 비례, 원과 비례 증명에서는 하나의 원에서 원과 비례에 대해서 알아봤고 증명도 해봤어요. 이 글에서는 원이 하나가 아니라 두 개예요. 다른 건 없어요.

앞의 내용을 잘 이해했다면 이 글에서 할 내용은 정말 쉽게 이해할 수 있어요. 원이 한 개 있을 때의 내용을 두 번 적용하면 되는 거니까요. 서로 다른 두 원에서 각각 원과 비례를 적용한 다음에 그 둘을 잘 연결하기만 하면 됩니다.

총 세 가지 경우가 나오는데 결과는 같아요. 그림에 어떤 차이가 있는지만 잘 확인하세요.

두 원에서 원과 비례

원과 비례, 원과 비례 증명에서 원에서 두 현이 접할 때, 접점에서 한 현의 양쪽 끝까지의 거리의 곱은 접점에서 다른 현의 양 끝점까지의 거리의 곱과 같다고 했지요? 그림이 바로 떠올라야 해요.

두 원에서 원과 비례는 위 내용을 바탕으로 해서, 두 원에 포함되는 공통현과 각 원의 현 또는 할선이 한 점에서 만날 때 그 거리의 관계를 식으로 나타낸 거예요.

총 세 가지 경우가 있는데, 첫 번째는 두 원의 현이 하나의 직선일 때에요.

왼쪽의 작은 원을 보세요. 작은 원에는 와 의 두 현이 한 점 P에서 만나요. 여기 원과 비례의 공식을 집어넣어 보죠.

 ……… (1)

오른쪽의 큰 원은 와 두 현이 한 점 P에서 만나죠.

……… (2)

(1)과 (2)에 같은 부분이 있으므로 하나로 정리해보면

두 번째는 각 원의 서로 다른 두 현과 공통현이 원 안에서 만날 때고, 세 번째는 두 원의 할선과 공통현의 연장선이 원 밖의 한 점에서 만날 때에요.

첫 번째와 그림만 다를 뿐 증명하는 방법이 똑같아요. 작은 원과 큰 원에 따로 원과 비례 공식을 적용하고 같은 부분을 하나로 합치는 거지요.

여기서 중요한 게 라는 공통현이에요. 가 양쪽 원에 모두 들어있어서 두 원을 연결해주는 역할을 해요.

내용이 어렵지 않으니까 예제는 생략해도 되겠죠?

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제목에 나와 있듯이 원에서 비례식을 이용하는 거에요. 원의 현, 할선 등의 길이를 비례식을 이용해서 구하는 거지요.

설명은 되게 복잡한데요, 실제 결론을 보면 어렵지는 않아요. 이런 과정을 거쳐서 결론을 얻었구나 하고 바로 이해할 수 있죠. 하지만 이해한 결론을 실제 주어진 문제에 적용하기가 약간 까다로워요. 그림에 선이 여러 개인데다 길이도 여러 개 나오거든요.

원과 비례에서는 결론을 공식이 아닌 그림으로 외워야해요. 그림을 짚어가면서 "여기 여기 곱한 값과 여기 여기 곱한 값이 같다." 처럼요. 그래야 문제에서 주어진 선과 길이를 우리가 외우고 있는 그림에 맞게 변형할 수 있어요.

원과 비례

원과 비례에서 사용하는 비례식의 기본이 되는 건 닮음비에요. 매번 닮음비를 이용하는 게 아니라 공식을 유도하는 과정에서 닮음비를 이용합니다.

두 현과 교점

원에 현을 두 개 그었을 때, 교점이 생기죠. 그 교점에서 현에 이르는 거리를 곱한 값들이 서로 같다는 걸 알 수 있어요.

언제나처럼 그림으로 외우세요. 먼저 현을 하나 고르고, 그 현에서 교점 P에서 출발해서 현의 양쪽으로 거리의 곱을 구하고, 다른 현에서도 점 P에서 양쪽으로 거리의 곱을 구하면 두 값이 서로 같아요.

왜 그런지 증명해 보죠.

와 를 그으면 삼각형 두 개가 생겨요.

△PAC와 △PDB에서
∠PAC = ∠PDB (호 CB의 원주각)
∠PCA = ∠PBD (호 AD의 원주각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림에서 가 원의 중심 O를 지날 때 x를 구하여라.

가 지름이므로 반지름은 5cm죠.

에서
4 × x = (5 - 2) × 7
4x = 21
x = (cm)

원에서 현의 교점 사이에는 대각선 방향의 길이를 그냥 곱한 것이 같고, 피타고라스 정리의 활용 - 사각형에서는 대각선에 이르는 거리의 제곱의 합이 서로 같아요. 헷갈리면 안 돼요.

 +  =  +

두 할선과 교점

이번에는 원의 할선의 교점과 거리의 관계에요.

역시 마찬가지로 할선 하나를 선택하여 교점 P에서 출발해서 현의 양 끝점까지의 거리를 곱한 값과 다른 할선에서 점 P에서 양 끝점까지의 거리를 곱한 값이 같아요.

와 를 그어 두 개의 삼각형을 만들어요. 이때 □ACDB는 원에 내접하는 사각형이에요.

△PDB와 △PAC에서
∠PDB = ∠PAC (□ACDB에서 외각과 내대각)
∠PBD = ∠PCA (□ACDB에서 외각과 내대각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

에서
(3 + 9) × 3 = x × 4
4x = 36
x = 9(cm)

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현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

원에 대해서 계속하고 있는데, 생각보다 어렵지 않죠? 새 단원의 시작이라서 그래요. 이 글도 별로 어렵지 않아요.

이번에는 현과는 조금은 다른 접선에 대해서 알아볼 거예요. 1학년 때 원과 직선의 위치관계, 접점, 접선, 할선에서 접선이 뭔지는 공부했어요. 기억이 정확하지 않다면 얼른 읽어보고 오세요.

이 글에서는 원의 접선의 길이를 구하는 방법과 원의 접선의 성질을 알아볼 거예요.

원의 접선

원 밖의 한 점에서 직선을 그었을 때 직선과 원이 만나는 점을 교점이라고 해요. 이 교점이 하나일 때 원과 직선이 서로 접하므로 그 직선을 접선이라고 하고 이때의 교점을 접점이라고도 해요. 또 원 밖의 한 점과 접점 사이의 거리를 접선의 길이라고 합니다.

이들 사이의 관계를 알아보죠.

원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직

원과 두 점에서 만나는 할선에서 두 교점 사이를 우리는 현이라고 하지요? 현의 수직이등분선에서 공부한 것처럼 반지름은 현을 수직이등분해요.

이 할선을 밑으로 계속 내려보세요. 그러면 한 점에서 만나게 되는데, 이 점이 바로 접점이자 반지름에서 내린 수선의 발이에요.

즉, 접점에서 반지름과 접선이 직교하는 거죠.  ⊥

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.

원 밖의 한 점에서는 원에 접선을 두 개 그을 수 있는데 두 접선의 길이가 서로 같아요.

증명해볼까요?

한 점 P에서 원에 접선을 두 개 그었어요. 그리고 점 P에서 원의 중심 O에 선을 그어보죠.

△POA와 △POB라는 삼각형 두 개가 생겼어요. 원의 반지름과 접선은 서로 직교하므로 이 두 삼각형은 직각삼각형이죠.

= 반지름 r
∠PAO = ∠PBO = 90°
는 공통

두 직각삼각형은 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △POA ≡ △POB

대응변의 길이가 같으므로  =      (증명 끝.)

위 그림에서 한 가지 추가로 알 수 있는 게 있어요. 사각형 내각의 합은 360°죠. □PAOB의 내각의 크기도 360°에요. 그런데, ∠PAO = ∠PBO = 90°이므로 남은 두 각의 합이 180°가 되어야겠죠?

접점이 아닌 두 곳의 내각의 크기의 합 = ∠APB + ∠AOB = 180°

다음 그림은 원과 그 접선들이다. x를 구하여라.

접점이 세 개가 있어요. 한 점에서 원에 그은 두 접선은 길이가 같다는 걸 이용해야겠군요.

8cm로 되어 있는 곳은 원과의 접점을 기준으로 두 부분으로 나누어지죠. 아래쪽 부분은 3cm, 위쪽 부분은 xcm입니다. x + 3 = 8이므로 x = 5(cm)네요.

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원을 공부했으니까 이제는 원의 위치관계에 대해서 알아볼 거예요. 점, 선, 면을 공부할 때 점, 선, 면의 위치관계에 대해서 알아봤잖아요.

평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
공간에서 두 직선의 위치관계, 평면과 직선의 위치관계

간단하게 정리해볼까요?

점과 직선의 위치관계: 직선이 점을 지난다. 지나지 않는다의 두 가지
평면에서 두 직선의 위치관계: 한 점에서 만난다. 평행, 일치의 세 가지
공간에서 두 직선의 위치관계: 평면에서 두 직선의 위치관계 + 꼬인위치
공간에서 평면과 직선의 위치관계: 직선이 평면에 포함, 한 점에서 만난다. 평행

이번에 위치관계가 나와요. 다음 글에서도 위치관계가 하나 더 나오죠. 위치관계가 많이 나와서 헷갈릴 수 있어요. 그러니까 주의 깊게 보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계에는 만나지 않을 때, 한 점에서 만날 때, 두 점에서 만날 때의 세 가지 경우가 있어요. 세 점 이상에서 만나는 경우는 없어요.

원의 반지름의 길이를 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 하고, r과 d의 크기를 비교해볼까요?

점과 직선 사이의 거리를 구할 때 어떻게 했죠? 점과 직선 사이의 거리 중에 가장 짧은 거리, 즉 점에서 직선으로 내린 수선의 길이를 구했어요. 원의 중심과 직선 사이의 거리도 마찬가지 방법으로 구해요.

원과 직선이 두 점에서 만날 때를 생각해보세요. 원과 직선이 두 점에서 만나려면 원의 중심과 원 사이에 직선이 있어야 해요. 따라서 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름보다 짧을 수밖에 없죠. d < r이 되어야 하죠.

한 점에서 만날 때는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 반지름이 같아야 해요. 원은 기본적으로 원의 중심에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어져 있어요. 이 점 중의 하나가 바로 직선위의 점인 경우죠. d = r이에요.

서로 만나지 않을 때는 원보다 직선이 바깥에 있어야 해요. 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 길어야겠죠? 따라서 d > r이에요.

할선과 접선, 접점

원과 직선의 위치관계는 세 가지가 있다고 했어요. 이 위치관계에 따라 직선의 이름을 다르게 불러요. 어떻게 부르는지 알아보죠.

원과 직선이 두 점에서 만날 때, 이 직선을 할선이라고 해요. 분할하는 선이라는 뜻이죠. 원을 둘로 나누는 선이라서 할선이라고 불러요.

또 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선을 접선이라고 해요. 원과 접촉하는 선이라는 뜻이죠. 그리고 이때 원과 직선이 만나는 그 한 점을 접점이라고 해요. 반지름과 접선은 접점에서 항상 수직이에요.

원과 직선이 만나지 않는 경우에는 따로 생각할 게 없네요.

원의 반지름을 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 할 때, 아래 경우에서 원과 직선의 위치관계를 말하여라.
(1) r = 5cm, d = 3cm
(2) r = 5cm, d = 5cm
(3) r = 5cm, d = 7cm
(4) r = 14cm, d = 15cm

(1)에서 r > d 에요. d가 더 짧으니까 원안에 직선이 있다는 뜻이죠. 이 때는 두 점에서 만나는 경우겠네요.

(2)는 r = d네요. 원의 반지름과 직선과의 거리가 같을 때요. 따라서 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우가 되겠군요.

(3)은 r < d에요. 원의 중심과 직선의 거리가 반지름보다 크기 때문에 원 밖에 직선이 있어요. 이 때는 원과 직선이 만나지 않는 경우죠.

(4)는 r < d네요. (3)처럼 원과 직선이 만나지 않는 경우입니다.

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